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1、第三章第三章 向量空向量空间3.1 n3.1 n维维向量概念及其向量概念及其线线性运算性运算3.1.1 n3.1.1 n维维向量及其向量及其线线性运算性运算定定义 由由n n个数个数 组成的有序数成的有序数组 称称为一个一个n n维向量，向量， 数数 称称为该向量的第向量的第i i个分量个分量 向量通常写成一行：向量通常写成一行： 称称为行向量，行向量， 有有时也写成一列：也写成一列： 称称为列向量。列向量。 也是也是1n1n矩矩阵， 也是也是n1n1矩矩阵， 既然向量又是一种特殊的矩既然向量又是一种特殊的矩阵， 那么向量相等、零向量、那么向量相等、零向量、负向量的定向量的定义及向量及向量运算
2、的定运算的定义都都应与矩与矩阵的相的相应的定的定义一致。一致。 定定义 一切分量都是零的一切分量都是零的n n维向量称向量称为n n维零向量。零向量。 零向量零向量记作作 留意：不同留意：不同维数的零向量是不相等的。数的零向量是不相等的。 把向量把向量 的各个分量都取相反数的各个分量都取相反数组成的向量，成的向量， 称称为 的的负向量，向量， 记作作 定定义 假假设n n维向量向量 与与n n维向量向量 的的对应分量都分量都 即即 相等，相等， ，那么称向量，那么称向量 与与 相等，相等， 记作作 定定义 向量的加法向量的加法 设n n维向量向量 ，那么，那么 与与 的和向量的和向量 利用利用
3、负向量的概念，可以定向量的概念，可以定义向量的减法：向量的减法： 定定义数与向量的乘法数与向量的乘法 设 是一个是一个n n维向量，向量， k为为一个数，一个数， 那么数那么数k k与与 的乘的乘积称称为数乘向量，数乘向量， 简称称为数乘，数乘， 记作作 ，并且，并且 例例1 1 设 ，求向量，求向量 解解例例2 2 设 求求满足足 的的 解解3.1.2 3.1.2 向量的向量的线线性性组组合合1 1、向量的、向量的线线性性组组合合定定义 设 是一是一组n n维向量，向量， 是一是一组常数，常数， 那么那么称称 为 的一个的一个线性性组合。合。 常数常数 称称为该线性性组合的合的组合系数。合系
4、数。 假假设一个一个n n维向量向量 可以表示成可以表示成 那么称那么称 是是 的的线性性组合，合， 或称或称 可用可用 线性表出性表出或或线性表示性表示仍称仍称 为组合系数，合系数， 或表出系数。或表出系数。 零向量可以用恣意一零向量可以用恣意一组同同维数的向量数的向量线性表出：性表出： 称它称它为零向量的平凡表出式。零向量的平凡表出式。 这阐明：明： 表出系数可以全表出系数可以全为零。零。 表出系数全表出系数全为零零时被表出的向量必是零向量。被表出的向量必是零向量。 假假设干个同干个同维数的向量所数的向量所组成的集合叫做向量成的集合叫做向量组。 m个向量个向量 组成的向量成的向量组可可记为
5、： 或或例例3 3 设 ，将，将A A按行分按行分块可得一个可得一个n n维行向量行向量组 称之称之为A A的行向量的行向量组； 将将A A按列分按列分块可得一个可得一个m m维列向量列向量组 称之称之为A A的列向量的列向量组。 思索下面的思索下面的n n维规范范单位向量位向量组：中第中第i i个分量个分量为1 1， 其他分量都其他分量都为0.0.恣意一个恣意一个n n维向量向量都可以独一地表示成都可以独一地表示成这n n个个规范范单位向量位向量的的线性性组合：合：3 3、线线性性组组合的矩合的矩阵阵表示法表示法向量向量 可用向量可用向量组 线性表出的充分必要条件是性表出的充分必要条件是 存
6、在存在m m个数个数 ，使得，使得 怎怎样用向量用向量组 线性表示性表示 ，即求出，即求出 ，怎，怎样求出求出 转化化为求非求非齐次次线性方程性方程组的解，的解，例例5 5 问 能否表示成能否表示成 的的线性性组合？合？ 解解 通解方程通解方程组为 即方程即方程组的独一解，的独一解， 所以所以 能独一表示成能独一表示成 的的线性性组合。合。 例例6 6 问 能否表示成能否表示成 的的线性性组合？合？ 解解 同解方程同解方程组为 取取 所以所以 能表示成能表示成 的的线性性组合，且方法有很多。合，且方法有很多。，那么有，那么有 K K可恣意取可恣意取值值3.2 3.2 线线性相关与性相关与线线性
7、无关性无关3.2.1 3.2.1 线线性相关性概念性相关性概念定定义 是是m m个个n n维向量，向量， 假假设存在存在m m个不全个不全为零的数零的数 使得使得 ，那么称向量，那么称向量组 线性相关，性相关，为相关系数。相关系数。 否那么，否那么， 称向量称向量组 线性无关。性无关。 设 称称定定义 设 是一个是一个n n维向量向量组。 假假设 仅当当 时成立，成立， 那么称向量那么称向量组 线性无关。性无关。 判判别线性相关性的方法：性相关性的方法： 1 1、一个向量、一个向量 单个向量个向量 线性相关性相关 单个向量个向量 线性无关性无关 2 2、两个向量、两个向量 两个向量两个向量线性
8、相关的充要条件性相关的充要条件为 对应分量成比例。分量成比例。 线性无关性无关 线性相关性相关 P94 1(5) 3 3、三个及三个以上向量、三个及三个以上向量 1 1向量个数和向量向量个数和向量维数相等数相等例例 问向量向量组 能否能否线性相关。性相关。 解解 设即即系数行列式系数行列式 所以此所以此线性方程性方程组只需零解，只需零解， 这阐明明线性无关。性无关。 方法：方法：计算由每个列向量作算由每个列向量作为一列的行列式的一列的行列式的值，假假设不等于不等于0 0，线性无关。性无关。 假假设等于等于0 0，线性相关。性相关。 P94 1(1) 2 2向量个数大于向量向量个数大于向量维数数
9、不需判不需判别，一定，一定线性相关性相关P94 1(6) 3 3向量个数小于向量向量个数小于向量维数数方法：方法： 向量向量组的秩小于向量的个数，的秩小于向量的个数， 线性相关性相关向量向量组的秩等于于向量的个数，的秩等于于向量的个数， 线性无关性无关例例 问向量向量组 能否能否线性相关。性相关。 解解: :所以所以，及向量，及向量组的秩也的秩也为2 2， 小于向量的个数，小于向量的个数， 所以向量所以向量组线性相关。性相关。怎怎样求出相关系数求出相关系数知向量知向量组 试讨论其其线性相关性。性相关性。 假假设线性相关，性相关， 那么求出一那么求出一组不全不全为零的数零的数 使得使得 解：解：
10、 设即即由于由于所以方程所以方程组有非零解。有非零解。故向量故向量组线性相关。性相关。方程方程组的同解方程的同解方程组为：令令，可得一，可得一组解解为，即，即，得，得例例 假假设 线性无关，性无关， 证明以下向量明以下向量组线性无关：性无关： 证 设 ，将知条件代入得，将知条件代入得 整理得整理得由于由于线性无关，性无关， 必有，必有， 解得解得 ，所以，所以 线性无关。性无关。 定理定理 m m个个n n维维向量向量 线性相关性相关 至少存在某个至少存在某个 是其他向量是其他向量的的线性性组合。合。 即，即， 线性无关性无关 恣意一个恣意一个 都不能表示都不能表示为其他向量的其他向量的线性性
11、组合。合。 定理定理 假假设向量向量组 线性无关性无关 ，而添加一个同，而添加一个同维向量向量 后所得到的向量后所得到的向量组 线性相关，性相关， 那么那么 可以用可以用线性表出性表出 ，且表示法是独一的。，且表示法是独一的。定理定理 设 为线性相关性相关组， 那么恣意那么恣意扩展后的同展后的同维向量向量组 必必为线性相关性相关组。 简述述为： 相关相关组的的扩展向量展向量组必必为相关相关组， 或者，或者， 部分相关，部分相关， 整体必相关，整体必相关，它的等价它的等价说法是法是无关无关组的子向量的子向量组必必为无关无关组，或者，或者， 整体无关，部分必无关。整体无关，部分必无关。定理定理 设
12、有两个向量有两个向量组， 它它们的前的前n n个分量个分量对应相等：相等： 假假设 为线性相关性相关组， 那么那么必必为线性相关性相关组，3.2.3 3.2.3 线性相关性的假设干根本定理线性相关性的假设干根本定理向量向量组称称为向量向量组的的“接接长向量向量组；而把向量而把向量组称称为向量向量组的的“截短向量截短向量组；相关相关组的截短向量的截短向量组必必为相关相关组；无关无关组的接的接长向量向量组必必为无关无关组；3.3 向量向量组组的秩的秩3.3.1 向量向量组组的极大的极大线线性无关性无关组组定定义 设有两个有两个n n维向量向量组假假设向量向量组R R中的每个向量中的每个向量 都可以
13、由向量都可以由向量组S S中的向量中的向量 线性表出，性表出， 那么称向量那么称向量组R R可以由向量可以由向量组S S线性表出。性表出。 根据此定根据此定义， 容易容易证明向量明向量组之之间的的线性表出关系具有性表出关系具有传送性，送性， 即假即假设有三个向量有三个向量组 假假设R R可由可由S S线性表出，性表出， S可由可由T线线性表出，性表出， 那么那么R R必可由必可由T T线性表出。性表出。 定定义 假假设向量向量组R R可以由向量可以由向量组S S线性表出，性表出， 向量向量组S S也可以由向量也可以由向量组R R线性表出，性表出， 那么称那么称这两个向量两个向量组等价。等价。
14、等价性等价性质设R R，S S，T T为三个同三个同维向量向量组， 那么有那么有 1 1反身性反身性 R R与与R R本身等价。本身等价。2 2对称性称性 假假设R R与与S S等价，那么等价，那么S S与与R R等价。等价。3 3传送性假送性假设R R与与S S等价，等价，S S与与T T等价，那么等价，那么R R与与T T等价。等价。例例2 2 设向量向量组显然有然有 ，记 易知易知R R，S S，T T都是都是线性无关的向量性无关的向量组， 且且 可由可由R R线性表出，性表出， 可由可由S S线性表出，性表出， 可由可由T T线性表出，性表出， 具有具有这种特性的向量种特性的向量组R
15、R，S S，T T 都称都称为向量向量组的极大的极大线性无关性无关组。定定义 设T T是由假是由假设干个有限或无限多个干个有限或无限多个n n维向量向量组成的向量成的向量组。 假假设存在存在T T的一个部分的一个部分组 满足以下条件：足以下条件： 1 线性无关性无关 2 对于恣意一个向量于恣意一个向量 ，向量，向量组 都都线性相关，性相关， 那么称那么称 为T T的一个极大的一个极大线性无关向量性无关向量组， 简称称为极大无关极大无关组。 可以可以这样了解了解 在在T T中的中的“极大性：极大性： 对于于“无关性来无关性来说， S在在T中曾中曾经经“饱饱和了，和了， 即即S S本身是本身是线性
16、无关性无关组， 在在S S中恣意添加中恣意添加T T中的一个中的一个向量向量 ，就成，就成为线性相关性相关组了。了。 向量向量组S S是是T T的极大的极大线性无关向量性无关向量组 等价于等价于T T中的任一个向量均可用中的任一个向量均可用S S中向量中向量独一地独一地线性表出。性表出。定理定理 向量向量组T T与它的恣意一个极大无关与它的恣意一个极大无关组等价，等价， 因此因此T T的恣意两个极大无关的恣意两个极大无关组等价。等价。 例例4 4 由全体由全体n n维向量所向量所组成的集合成的集合记为 ，求，求 的一个极大的一个极大线性无关性无关组。 并并证明明 中的恣意中的恣意n+1n+1个
17、向量一定个向量一定线性相关。性相关。 解解 n维规维规范范单单位向量位向量组组 是是线性无关的，性无关的， 且任一且任一n n维向量向量 都可用都可用 线性表出，性表出， 即即 从而从而 是是 的一个极大的一个极大线性无关性无关组。 设 是是 中的恣意中的恣意n+1n+1个向量，个向量， 由于向量的个数大于向量的由于向量的个数大于向量的维数，数， 可知可知 一定一定线性相关。性相关。 定理定理 设有两个有两个n n维向量向量组 和和 且知向量且知向量组R R可由向量可由向量组S S线性表出。性表出。 1 假假设 ，那么，那么R R必必为线性相关性相关组。 2 假假设R R为线性无关性无关组，
18、那么必有那么必有 推推论1 1 恣意两个恣意两个线性无关的等价向量性无关的等价向量组所含向量的个数一所含向量的个数一样。 推推论2 2 一个向量一个向量组的恣意两个极大的恣意两个极大线性无关性无关组所含向量的个数一所含向量的个数一样。 3.3.2 向量向量组组的秩的秩定定义 向量向量组T T的恣意一个极大无关的恣意一个极大无关组中所含向量的个数成中所含向量的个数成为T T的秩，的秩， 记为 ，或者秩，或者秩T T 定理定理 假假设向量向量组S S可由向量可由向量组T T线性表出，性表出， 其秩分其秩分别为 那么那么 推推论 等价的向量等价的向量组必有一必有一样的秩。的秩。3.3.3 向量向量组
19、组的秩及极大无关的秩及极大无关组组的求法的求法当向量当向量组中向量的个数与中向量的个数与维数不同数不同时有下面断定定理。有下面断定定理。 定理定理5 5 设m m个个n n维列向量列向量 ，取，取 阶矩矩阵 设 的秩的秩 假假设，那么向量，那么向量组 线性无关。性无关。 假假设 ，那么向量，那么向量组 线性相关，性相关， 且称矩且称矩阵A A的秩的秩为向量向量组的秩。的秩。 推推论 向量向量组中所含向量的个数大于向量的中所含向量的个数大于向量的维数数时， 向量向量组线性相关。性相关。 例例 讨论向量向量组 的的线性关系。性关系。 解解 取矩取矩阵 ，对A A作初等行作初等行变换求秩。求秩。 由
20、于由于 向量的个数，向量的个数， 故故 线性相关。性相关。 定定义10 10 设 是是n n维向量，向量， 假假设存在一存在一组实数数 使得使得成立，成立， 那么称向量那么称向量 可由向量可由向量组 线性表示，性表示， 或称向量或称向量 是向量是向量 的的线性性组合。合。 如例如例9 9中，中， 可由可由 线性表示，性表示， 且且为 例例1010中，中， 也可由也可由 线性表示，性表示， 且且为 设 为恣意一个恣意一个n n维向量，向量， 由于由于 因此因此 是可以由是可以由n n维单位坐位坐标向量向量线性表示。性表示。 定定义11 11 设T T是是n n维向量所向量所组成的向量成的向量组，
21、 在在T T中中选取取 个向量个向量 假假设满足：足： (1) (1) 线性无关；性无关； (2) (2) 任取任取 ，总有有 线性相关。性相关。 那么称向量那么称向量组 为T T的一个极大的一个极大线性无关性无关组, , 简称极大无关称极大无关组。 例例11 11 求例求例1010中的向量中的向量组 的极大无关的极大无关组。 解解 线性无关，性无关， 故是极大无关故是极大无关组。 除此以外除此以外, , 也是极大无关也是极大无关组。 可可见， 一个向量一个向量组的极大无关的极大无关组不是独一的，不是独一的， 但极大无关但极大无关组中所含向量的个数却是一中所含向量的个数却是一样的，的， 这也正是也正是对一个向量一个向量组来来说秩是一定的。秩是一定的。
