《2013-2014学年高二数学备课课件：1.4.1-1.4.2《全称量词与存在量词》（新人教a版选修2-1）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013-2014学年高二数学备课课件：1.4.1-1.4.2《全称量词与存在量词》（新人教a版选修2-1）（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.4全称量词与存在量词全称量词存在量词一、全称量词与全称命题一、全称量词与全称命题全称量全称量词全称命全称命题符号表示符号表示短短语“_”“任意一个任意一个”在在逻辑中通常叫做中通常叫做全称量全称量词, ,并用符并用符号号“_”表示表示含有含有_的命的命题叫做全叫做全称命称命题符号符号简记为: :_读作作: :对_x_x属于属于M,M,有有p(x) p(x) _所有的所有的 全称量全称量词 xM,p(x)xM,p(x)任意任意成立成立思考思考: :全称命全称命题中的中的“x,M“x,M与与p(x)p(x)表达的含表达的含义分分别是什么是什么? ?提示提示: :元素元素x x可以表示可以表示实
2、数、方程、函数、不等式数、方程、函数、不等式, ,也可以表示也可以表示几何几何图形形, ,相相应的集合的集合M M是是这些元素的某一特定的范些元素的某一特定的范围.p(x).p(x)表示表示集合集合M M的所有元素的所有元素满足的性足的性质. .如如“任意一个自然数都不小于任意一个自然数都不小于0 0, ,可以表示可以表示为“xN,x0xN,x0. .二、存在量词与特称命题二、存在量词与特称命题存在量存在量词特称命特称命题符号表示符号表示短短语“_”“至少有一个至少有一个”在在逻辑中通常叫做存中通常叫做存在量在量词, ,并用符号并用符号“_”表示表示含有含有_的命的命题叫做特叫做特称命称命题符
3、号符号简记为: :_读作作: :“存在存在M M中的元中的元素素x x0 0, ,使使p(xp(x0 0)_)_”存在一个存在一个 存在量存在量词 x x0 0M,p(xM,p(x0 0),),成立成立判断判断:(:(正确的打正确的打“, ,错误的打的打“) )(1)“(1)“有些有些“某个某个“有的等短有的等短语不是存在量不是存在量词.(.() )(2)(2)全称量全称量词的含的含义是是“任意性任意性, ,存在量存在量词的含的含义是是“存在性存在性.(.() )(3)(3)全称命全称命题一定含有全称量一定含有全称量词, ,特称命特称命题一定含有存在量一定含有存在量词.(.() )提示提示:(
4、1)“:(1)“有些有些“某个某个“有的等短语是存在量词有的等短语是存在量词, ,故说故说法是错误的法是错误的. .(2)(2)结合全称量词和存在量词的含义知结合全称量词和存在量词的含义知, ,这种说法是正确的这种说法是正确的. .(3)(3)有些命题虽然没有写出全称量词和存在量词有些命题虽然没有写出全称量词和存在量词, ,但其意义具但其意义具备备“任意性或任意性或“存在性存在性, ,这类命题也是全称命题或特称命这类命题也是全称命题或特称命题题, ,如如“正数大于正数大于0 0即即“所有正数都大于所有正数都大于0 0, ,故说法是错误故说法是错误的的. .答案答案:(1):(1)(2)(2)(
5、3)(3)【知识点拨】【知识点拨】1.1.全称命题及其真假的判断方法全称命题及其真假的判断方法(1)(1)全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题题, ,常见的全称量词还有常见的全称量词还有“一切一切“每一个等每一个等, ,相应的词语相应的词语是是“都都. .(2)(2)有些命题省去了全称量词有些命题省去了全称量词, ,但仍是全称命题但仍是全称命题, ,如如“有理数是有理数是实数实数, ,就是就是“所有的有理数都是实数所有的有理数都是实数. .(3)(3)要判断全称命题要判断全称命题“ xM,p(x)xM,p(x)为假命题为假命题,
6、 ,只需要在集合只需要在集合M M中找到一个元素中找到一个元素x0,x0,使得使得p(x0)p(x0)不成立即可不成立即可; ;要判断全称命题为要判断全称命题为真命题真命题, ,必须对集合必须对集合M M中的每一个元素中的每一个元素x,x,证明证明p(x)p(x)成立成立. .简单地简单地说说, ,判断全称命题真假的步骤为判断全称命题真假的步骤为“先找反例后证明先找反例后证明. .2.2.特称命题及其真假的判断方法特称命题及其真假的判断方法(1)(1)特称命题就是陈述某集合中存在一个或局部元素具有某种特称命题就是陈述某集合中存在一个或局部元素具有某种性质的命题性质的命题, ,常见的存在量词还有
7、常见的存在量词还有“有的有的“存在等存在等. .(2)(2)要判断特称命题要判断特称命题“ x0M,p(x0)x0M,p(x0)为真命题为真命题, ,只需要在集只需要在集合合M M中找到一个元素中找到一个元素x0,x0,使得使得p(x0)p(x0)成立即可成立即可; ;要判断特称命题要判断特称命题为假命题为假命题, ,必须说明集合必须说明集合M M中不存在元素中不存在元素x0,x0,使得使得p(x0)p(x0)成立成立. .简简单地说单地说, ,判断特称命题真假的步骤为判断特称命题真假的步骤为“先找正例后证明先找正例后证明. .类型类型 一一 全称命题的构成与真假判断全称命题的构成与真假判断
8、【典型例题】【典型例题】1.(20211.(2021聊城高二检测聊城高二检测) )以下是全称命题且是真命题的以下是全称命题且是真命题的是是( () )A.A.xR,x20xR,x20B.B.xQ,x2QxQ,x2QC.C.x0Z,x021x0Z,x021 D. D.x,yR,x2+y20x,yR,x2+y202.2.用全称量用全称量词把以下把以下语句写成全称命句写成全称命题, ,并判断真假并判断真假: :(1)x2+2x+32.(1)x2+2x+32.(2)(2)负数都没有数都没有对数数. .(3)(3)终边相同的角的正弦相同的角的正弦值相等相等. .【解【解题探究】探究】1.1.全称命全称命
9、题的形式是什么的形式是什么? ?2.2.判断全称命判断全称命题真假的方法是什么真假的方法是什么? ?探究提示探究提示: :1.1.全称命题的一般形式为全称命题的一般形式为“ xM,p(x)xM,p(x). .2.2.假设某一集合存在不满足某一性质的反例假设某一集合存在不满足某一性质的反例, ,那么全称命题是那么全称命题是假命题假命题, ,不存在反例不存在反例, ,就是真命题就是真命题. .【解析】【解析】1.1.选选B.B.由于由于x=0x=0时时,x2=0,x2=0,故故A A假假; ;任意有理数的平方都任意有理数的平方都是有理数是有理数, ,故故B B真真; ;选项选项C C为特称命题为特
10、称命题; ;由于由于, ,当当x=y=0x=y=0时时,x2+y2=0,x2+y2=0,故故D D假假. .综上所述综上所述, ,选选B.B.2.(1)2.(1) xR,x2+2x+32.x2+2x+3=(x+1)2+22.xR,x2+2x+32.x2+2x+3=(x+1)2+22.真命题真命题. .(2)(2)所有的负数都没有对数所有的负数都没有对数. .真命题真命题. .(3)(3)所有终边相同的角的正弦值相等所有终边相同的角的正弦值相等. .真命题真命题. .【拓展提升】全称命题的形式定义与真假判断【拓展提升】全称命题的形式定义与真假判断(1)(1)全称命题的统一形式为全称命题的统一形式
11、为“ xM,p(x)xM,p(x), , 表示表示“任意任意“所有等量词所有等量词, ,集合集合M M表示给定的范围表示给定的范围,p(x),p(x)表示某一性质表示某一性质. .(2)(2)判断全称命题的真假判断全称命题的真假, ,可以先找反例可以先找反例, ,假设找到一个反例假设找到一个反例, ,说明全称命题是假命题说明全称命题是假命题, ,假设找不到反例假设找不到反例, ,就可以尝试证明命就可以尝试证明命题是真命题题是真命题. .【变式式训练】1.“1.“xZ,2x+1xZ,2x+1都是奇数是命都是奇数是命题( (填真、假填真、假).).2.2.用全称量用全称量词把以下把以下语句写成全称
12、命句写成全称命题, ,并判断真假并判断真假: :(1)sin2x=2sinxcosx.(1)sin2x=2sinxcosx.(2)(2)三角形有外接三角形有外接圆. .(3)(3)非非负实数有两个偶次方根数有两个偶次方根. .【解析】【解析】1.“1.“ xZ,2x+1xZ,2x+1都是奇数是真命题都是奇数是真命题. .答案答案: :真真2.(1)2.(1) xR,sin2x=2sinxcosx.xR,sin2x=2sinxcosx.真命题真命题. .(2)(2)任意三角形都有外接圆任意三角形都有外接圆. .真命题真命题. .(3)(3)所有的非负实数都有两个偶次方根所有的非负实数都有两个偶次
13、方根. .假命题假命题. .类型类型 二二 特称命题的构成与真假判断特称命题的构成与真假判断 【典型例题】【典型例题】1.1.特称命题特称命题“x0R, x02x0x0R, x02x0是命题是命题( (填真、假填真、假).).2.2.用存在量词将以下语句写成特称命题用存在量词将以下语句写成特称命题, ,并判断真假并判断真假: :(1)2sinx0=3(1)2sinx0=3能成立能成立. .(2)(2)素数也可以是偶数素数也可以是偶数. .(3)(3)公比大于公比大于1 1的等比数列可以是递减数列的等比数列可以是递减数列. .【解题探究】【解题探究】1.1.题题1 1中使不等式成立的未知数的范围
14、是什么中使不等式成立的未知数的范围是什么? ?2.2.特称命题的形式是什么特称命题的形式是什么? ?探究提示探究提示: :1.1.不等式化为不等式化为x0(x0-1)0,x0(x0-1)0,即即0x01,0x01,故不等式成立故不等式成立. .2.2.特称命题的一般形式为特称命题的一般形式为“ x0M,p(x0)x0M,p(x0). .【解析】【解析】1.1.由于由于“当当0x010x01时时,x02x0,x02x0成立成立, ,所以特称命题所以特称命题“ x0R,x02x0x0R,x02x0是真命题是真命题. .答案答案: :真真2.(1)2.(1) x0R,2sinx0=3.x0R,2si
15、nx0=3.假命题假命题. .(2)(2)有的素数是偶数有的素数是偶数. .真命题真命题. .(3)(3)存在公比大于存在公比大于1 1的等比数列是递减数列的等比数列是递减数列. .真命题真命题. .【拓展提升】特称命题的形式定义与真假判断【拓展提升】特称命题的形式定义与真假判断(1)(1)特称命题的统一形式为特称命题的统一形式为“ x0M,p(x0)x0M,p(x0),“,“ 表示表示“存存在在“至少有一个等量词至少有一个等量词. .(2)(2)判断特称命题的真假判断特称命题的真假, ,可以先找满足性质的元素可以先找满足性质的元素, ,假设找到假设找到一个元素一个元素, ,说明特称命题是真命
16、题说明特称命题是真命题, ,假设找不到假设找不到, ,就是假命题就是假命题. .【变式式训练】1.“1.“x0N,x0x0N,x0是奇数且是合数是是奇数且是合数是命命题( (填真、假填真、假).).2.2.用存在量用存在量词将以下将以下语句写成特称命句写成特称命题, ,并判断真假并判断真假: :(1)(1)奇函数也可以是偶函数奇函数也可以是偶函数. .(2)(2)不是每一个四不是每一个四边形都有外接形都有外接圆. .【解析】【解析】1.“1.“ x0N,x0x0N,x0是奇数且是合数是真命题是奇数且是合数是真命题. .答案答案: :真真2.(1)2.(1)存在函数既是奇函数又是偶函数存在函数既
17、是奇函数又是偶函数, ,如如f(x)=0,xR,f(x)=0,xR,真命真命题题. .(2)(2)有的四边形没有外接圆有的四边形没有外接圆. .真命题真命题. .类型类型 三三 含有一个量词的命题及其综合应用含有一个量词的命题及其综合应用 【典型例题】【典型例题】1.1.假设假设“x0R,x02+2x0+2=mx0R,x02+2x0+2=m是真命题是真命题, ,那么实数那么实数m m的取值的取值范围是范围是. .2.2.命题命题p:“p:“x0R,sinx0mx0R,sinx00xR, x2+mx+10恒成立恒成立, ,假设假设pqpq是真命题是真命题, ,求实数求实数m m的取值范围的取值范
18、围. .【解题探究】【解题探究】1.1.一元二次方程有实根的条件是什么一元二次方程有实根的条件是什么? ?是否可以是否可以利用函数利用函数y=x2+2x+2y=x2+2x+2的图象解答的图象解答? ?2.2.题题2 2中中p,qp,q的真假设何的真假设何? ?探究提示探究提示: :1.1.利用关于利用关于x x的一元二次方程有实根的充要条件的一元二次方程有实根的充要条件( (判别式判别式0)0)解决解决. .也可以采用数形结合的思想将题目转化为也可以采用数形结合的思想将题目转化为y=x2+2x+2y=x2+2x+2的图象与直线的图象与直线y=my=m有公共点有公共点. .2.2.命题命题p,q
19、p,q都是真命题都是真命题. .【解析】【解析】1.1.方法一方法一: :由于由于“ x0R,x02+2x0+2=mx0R,x02+2x0+2=m是真命题是真命题, ,那么实数那么实数m m的取值集合就是二次函数的取值集合就是二次函数f(x)=x2+2x+2f(x)=x2+2x+2的值域的值域, ,即即m|m1.m|m1.方法二方法二: :依题意依题意, ,方程方程x2+2x+2-m=0x2+2x+2-m=0有实数解有实数解, ,=4-4(2-m)0,=4-4(2-m)0,解得解得m1.m1.答案答案:1,+):1,+)2.2.由于由于pqpq是真命题是真命题, ,那么那么p,qp,q都是真命
20、题都是真命题. .因为因为“ x0R,sinx0mx0R,sinx0-1.m-1.又因为又因为“ xR,x2+mx+10xR,x2+mx+10恒成立是真命题恒成立是真命题, ,所以所以=m2-40,=m2-40,解得解得-2m2.-2m2.综上所述综上所述, ,实数实数m m的取值范围是的取值范围是(-1,2).(-1,2).【互【互动探究】假探究】假设题2 2变为: :命命题p:“p:“xR,sinxmxR,sinxm, ,命命题q:“q:“x0R,x02+mx0+10x0R,x02+mx0+10, ,假假设pqpq是真命是真命题, ,如何求如何求实数数m m的取的取值范范围? ?【解【解题
21、指南】指南】转化化为正弦函数的最大正弦函数的最大值以及判以及判别式的符号解式的符号解题. .【解析】由于【解析】由于pqpq是真命题是真命题, ,那么那么p,qp,q都是真命题都是真命题. .因为因为“ xR,sinxmxR,sinx1.m1.又因为又因为“ x0R, x02+mx0+10x0R, x02+mx0+10是真命题是真命题, ,所以所以=m2-40,=m2-40,解得解得m-2m-2或或m2.m2.综上所述综上所述, ,实数实数m m的取值范围是的取值范围是2,+).2,+).【拓展提升】能成立与恒成立问题的解法【拓展提升】能成立与恒成立问题的解法(1)(1)假设含有参数的方程能成
22、立假设含有参数的方程能成立, ,求参数的取值范围一般转化求参数的取值范围一般转化为求函数的值域为求函数的值域. .(2)(2)假设含有参数的不等式假设含有参数的不等式f(x)mf(x)m在区间在区间D D上能成立上能成立, ,那么那么f(x)minm;f(x)minm;假设不等式假设不等式f(x)mf(x)m在区间在区间D D上能成立上能成立, ,那么那么f(x)maxm.f(x)maxm.(3)(3)假设含有参数的不等式假设含有参数的不等式f(x)mf(x)m在区间在区间D D上恒成立上恒成立, ,那么那么f(x)maxm;f(x)maxm;假设含有参数的不等式假设含有参数的不等式f(x)m
23、f(x)m在区间在区间D D上恒成立上恒成立, ,那么那么f(x)minm.f(x)minm.(4)(4)特称命题是真命题特称命题是真命题, ,可以转化为能成立问题可以转化为能成立问题, ,全称命题是真全称命题是真命题命题, ,可以转化为恒成立问题解决可以转化为恒成立问题解决. .【易错误区】应用函数与方程思想时无视变量的取值范围致【易错误区】应用函数与方程思想时无视变量的取值范围致误误【典例】假设【典例】假设x0R,x0R,使使cos2x0+2sinx0+a=0,cos2x0+2sinx0+a=0,那么实数那么实数a a的取的取值范围是值范围是. .【解析】依题意【解析】依题意, ,假设假设
24、 x0R,x0R,使使cos2x0+2sinx0+a=0,cos2x0+2sinx0+a=0,那么得那么得a=-cos2x0-2sinx0=2sin2x0-2sinx0-1=2(sinx0- )2- ,a=-cos2x0-2sinx0=2sin2x0-2sinx0-1=2(sinx0- )2- ,令令t=sinx0,t=sinx0,那么那么a=2(t- )2- ,-1t1. a=2(t- )2- ,-1t1. 由于函数由于函数a(t)a(t)在在-1t -1t 上单调递减上单调递减, ,在在 t1 cosx0x0R,sinx0cosx0C.C.x0R,sinx0+cosx0=2x0R,sinx
25、0+cosx0=2D.D.x0R,sinx0+cosx0=sinx0cosx0x0R,sinx0+cosx0=sinx0cosx0【解析】选【解析】选C.C.当当x0= x0= 时时,sinx0=cosx0,A,sinx0=cosx0,A正确正确; ;当当x0= x0= 时时,sinx0cosx0,B,sinx0cosx0,B正确正确; ;由于由于sinx0+cosx0= sin(x0+ ) ,sinx0+cosx0= sin(x0+ ) ,故故C C错误错误; ;令令t=sinx0+cosx0= sin(x0+ ),t=sinx0+cosx0= sin(x0+ ),那么那么- t ,- t
26、,sinx0+cosx0=sinx0cosx0,sinx0+cosx0=sinx0cosx0,即即t= ,t= ,得得t2-2t-1=0,t2-2t-1=0,解得解得t=1- ,t=1- ,或或t=1+ (t=1+ (舍去舍去).D).D正确正确. .4.4.特称命特称命题“有些向量的坐有些向量的坐标等于其等于其终点的坐点的坐标是是命命题( (填填“真或真或“假假).).【解析】当向量的起点在坐【解析】当向量的起点在坐标原点原点时, ,向量的坐向量的坐标等于其等于其终点点的坐的坐标. .答案答案: :真真5.5.对任意任意x3,xax3,xa恒成立恒成立, ,那么那么实数数a a的取的取值范范围是是. .【解析】【解析】对任意任意x3,xax3,xa恒成立恒成立, ,即大于即大于3 3的数恒大于的数恒大于a,a3.a,a3.答案答案:(-,3:(-,36.6.假假设存在存在x0R,x0R,使使ax02+2x0+a0ax02+2x0+a0成立成立, ,求求实数数a a的取的取值范范围. .【解析】当【解析】当a0a0时, ,显然存在然存在x0R,x0R,使使ax02+2x0+a0;ax02+2x0+a0a0时, ,必必须=4-4a20,=4-4a20,解得解得-1a1,-1a1,故故0a1.0a1.综上所述上所述, ,实数数a a的取的取值范范围是是(-,1).(-,1).
