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1、作业作业P22011.1.3 11.1.6 u (x ,t)的偏微分方程（齐次）的偏微分方程（齐次）u (x ,t)的边条件（齐次）的边条件（齐次）u (x ,t)的初条件的初条件令令T (t)满足的方程满足的方程X (x)满足的常微分方程满足的常微分方程X (x)满足的边条件满足的边条件第二章第二章 直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法1分离变量法简介分离变量法简介一、基本思想和解题思路一、基本思想和解题思路通过分别解通过分别解X (x)和和T (t),求出满足齐次方程求出满足齐次方程 齐次边条件的分离变量的形式解：齐次边条件的分离变量的形式解：把这些形式解迭加起来把这些形式解迭
2、加起来 令其满足非齐次的定解条件，求出令其满足非齐次的定解条件，求出C n，即为所求的解。即为所求的解。二、理论依据二、理论依据线性迭加原理线性迭加原理设：设：L、Mk (k=1,2m)为线性算子为线性算子 u i (i=1,2n)为线性齐次定解问题的解为线性齐次定解问题的解则则 一定是线性齐次定解问题的解，一定是线性齐次定解问题的解，其中其中C i为任意常数为任意常数即：即：【例】【例】三、处理的主要问题三、处理的主要问题1.一维空间齐次方程，齐次边条件的定解问题一维空间齐次方程，齐次边条件的定解问题2.一维空间非齐次方程，齐次边条件的定解问题一维空间非齐次方程，齐次边条件的定解问题3.一维
3、空间非齐次边条件的定解问题一维空间非齐次边条件的定解问题4. 多维空间的定解问题多维空间的定解问题2齐次方程、齐次边条件的齐次方程、齐次边条件的初值初值边值问题边值问题特点：直接用分离变量法就可获得成功特点：直接用分离变量法就可获得成功一、两端固定弦的自由横振动一、两端固定弦的自由横振动1.求解过程：求解过程：（1）列出定解问题）列出定解问题(2)分离变量分离变量设形式解设形式解:代入代入中的方程中的方程两边同时除以两边同时除以(*)分析：右侧只是分析：右侧只是t的函数与的函数与x无关无关 左侧只是左侧只是x的函数与的函数与t无关无关x、t是两个独立变量，所以为了使是两个独立变量，所以为了使0
4、x0上式能上式能处处成立，只能有一种情况：左右常量处处成立，只能有一种情况：左右常量由（由（*）式得到：）式得到：将形式解代入边条件：将形式解代入边条件：T (t) 0整理得：整理得：其中：其中： 为待定常数为待定常数讨讨 论：论：1）分离变量法的第一个目的已经达到）分离变量法的第一个目的已经达到 分离为分离为X (x)的常微分方程的常微分方程 的边值条件的边值条件T (t)的常微分的常微分 方程方程思考：若方程或边条件之一为非齐次的，是否能思考：若方程或边条件之一为非齐次的，是否能 直接成功地分离变量？直接成功地分离变量？2）和和的解相乘构成的特解一定满足偏微分的解相乘构成的特解一定满足偏微
5、分 方程定解问题方程定解问题中的齐次方程和齐次边条件。中的齐次方程和齐次边条件。偏微分方程偏微分方程的定解问题的定解问题（3） 求解常微分方程的边值问题求解常微分方程的边值问题本征值问题本征值问题 初值问题与边值问题的区别初值问题与边值问题的区别对自变量对自变量t同一点同一点(t=0)给出的不同初条给出的不同初条 件件 初值问题初值问题 边值问题边值问题对自变量中两个不同的端点提出的对自变量中两个不同的端点提出的 条件条件 边值问题的突出特点是：其解与边值问题的突出特点是：其解与 的取值密切相关，的取值密切相关， 本征值问题：含有待定参量的边值问题本征值问题：含有待定参量的边值问题 本征值：对
6、应边值问题有非零解的参数本征值：对应边值问题有非零解的参数 n的取值的取值 本征函数：边值问题的非零解本征函数：边值问题的非零解X n (x) 所谓求解本征值问题就是将全部的本征值及相应的所谓求解本征值问题就是将全部的本征值及相应的全体全体线性无关线性无关的本征函数求出来的本征函数求出来 下面求解本征值问题下面求解本征值问题：因为因为 是厄米算子，本征值是厄米算子，本征值 一定是实数一定是实数特征方程：特征方程： . 0特征方程：特征方程：通解：通解：代入边条件代入边条件上式可视为关于上式可视为关于A、B的二元一次方程组，由方程的二元一次方程组，由方程理论知，二元一次齐次方程组有非零解的充要条
7、件理论知，二元一次齐次方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零是其系数行列式为零A、B只有零解只有零解X (x)=0 0不是不是的本征值（因为的本征值（因为 0特征方程：特征方程：通解：通解：代入边条件：代入边条件：两分子乘积为零只有是：两分子乘积为零只有是：因为因为B=0不可取（不可取（X (x)不为零），所以只有不为零），所以只有 的解为：的解为：注：注： . n=0, 0，X (x)0，所以，所以n=0不能要不能要 .n0是线性相关的是线性相关的例：例：与与 只取只取n0.与与 线性相关线性相关取取式即为式即为的解的解 满足边值问题的解不止是满足边值问题的解不止是所表达的这些，但线性所
8、表达的这些，但线性无关的就是这些无关的就是这些(4) 求解相应的方程求解相应的方程的解（将本征值代的解（将本征值代 入）入） 特征方程：特征方程：(5) 构成特解构成特解一个本征值一个本征值 n一个特解一个特解un (x ,t)一个一个n特解满足：特解满足： 齐次方程：齐次方程： 齐次边条件：齐次边条件：但一般不满足初条件：但一般不满足初条件：（6）通解）通解 1）通解）通解u (x ,t)一定满足齐次方程，齐次边条件。一定满足齐次方程，齐次边条件。2）令通解满足非齐次初条件，从而求解迭加系数）令通解满足非齐次初条件，从而求解迭加系数将算出的将算出的C n， D n代入通解所得的解就是满足代入
9、通解所得的解就是满足中方程、边条件和初条件的解。中方程、边条件和初条件的解。2. 有关问题讨论有关问题讨论（1） 解的敛散性解的敛散性 的解为无穷级数形式的解为无穷级数形式 级数的收敛性，主要由初条件所给的两个函数级数的收敛性，主要由初条件所给的两个函数 (x)和和 (x)定，定， 要求要求： (x)是有连续的一、二阶导数，分段连续的三是有连续的一、二阶导数，分段连续的三阶导数阶导数 (x)具有连续的一阶导数，分段连续的二阶导数具有连续的一阶导数，分段连续的二阶导数 保证保证u (x ,t)是绝对且一致收敛，可逐项求导两次，是绝对且一致收敛，可逐项求导两次，得到的级数仍然是绝对且一致收敛得到的
10、级数仍然是绝对且一致收敛 （2）求解的主要步骤）求解的主要步骤齐次泛齐次泛定方程定方程分离变量分离变量u=XTT (t)的常的常微分方程微分方程X (x)的常的常微分方程微分方程应的应的T n求出相求出相求出求出 n、Xn (x)解本征值问题解本征值问题齐次边齐次边条件条件分离变量分离变量u=XTX (x)的边条件的边条件迭加迭加特解特解得通得通解解初条件初条件代入通解求出迭加系数代入通解求出迭加系数P213(3) 关于常微分方程的本征值问题关于常微分方程的本征值问题(* *)i)ii)iii)iv)v) 只能用图解法解出只能用图解法解出 本征值问题本征值问题(* *)的共同特点：的共同特点：
11、a) 本征值本征值 n为实数为实数b) 本征函数本征函数X n (x)是是a ,b上的正交完备系上的正交完备系(* *)（4） 解的物理意义解的物理意义i) 特解特解un (x ,t)代表弦上的本征驻波代表弦上的本征驻波 相位因子相位因子 振幅因子振幅因子a) 对应某一确定的时刻对应某一确定的时刻t，空间各点的振幅不同，空间各点的振幅不同对于对于的点，振幅最大的点，振幅最大()称作波腹称作波腹对于对于的点，振幅最小的点，振幅最小(=0)，称作波节，称作波节可以算出波节的位置：可以算出波节的位置：共有共有n+1个节点个节点b) 弦上各点振动的位相相同弦上各点振动的位相相同各点的位相没有超前和落后
12、之分，即弦上各点各点的位相没有超前和落后之分，即弦上各点同时离开平衡位置，同时取振幅的最大值又同同时离开平衡位置，同时取振幅的最大值又同时回到平衡位置，各点的振动是同步的。时回到平衡位置，各点的振动是同步的。只与弦的性质有关，与初始条件无关只与弦的性质有关，与初始条件无关c) 振动的频率振动的频率 n本征频率本征频率 以本征频率振动的驻波，称为本征驻波以本征频率振动的驻波，称为本征驻波ii) u (x ,t)代表弦上实际发生的振动代表弦上实际发生的振动 u (x ,t)是各次本征驻波迭加的结果，而各次本征是各次本征驻波迭加的结果，而各次本征 驻波在实际振动中所占的比重由初始条件而定。驻波在实际
13、振动中所占的比重由初始条件而定。 思考：思考： 解的形式解的形式 二、求解两端自由的均匀细杆的纵振动，各点二、求解两端自由的均匀细杆的纵振动，各点 初始位移为初始位移为cos(3x/l)，初速度为零。初速度为零。 定解问题：定解问题：解：设形式解解：设形式解u (x ,t)=X (x) T (t)代入代入中方程及边条件中方程及边条件得：得：和和解本征值问题解本征值问题将将 n 代入代入解解T n (t)n0时：时：n=0时：时： 迭加特解得通解：迭加特解得通解： 代入初条件：代入初条件：(a)(b) 注：注：所给初条件中的所给初条件中的 (x)、 (x)满足使级数绝对满足使级数绝对 收敛的条件
14、收敛的条件 u t (x,0)右侧级数中先逐次求导，再代入右侧级数中先逐次求导，再代入t=0分析：分析：(a)(b)两式的两侧都是按同一正交完备系展开的两式的两侧都是按同一正交完备系展开的 (a)(b)两式在整个正交区间两式在整个正交区间0, l 上都是成立的上都是成立的 所以，可以直接比较系数所以，可以直接比较系数物理意义：物理意义：均匀细杆上发生的是具有与初始时刻均匀细杆上发生的是具有与初始时刻 相同振幅分布的振动相同振幅分布的振动t0时，两端自由，没有外力使振幅时，两端自由，没有外力使振幅加强或衰弱加强或衰弱课堂练习：课堂练习： 长为长为l的均匀细杆，侧面绝热，左右端分别的均匀细杆，侧面绝热，左右端分别与与00和和1000的物体接触，的物体接触，t0时刻，撤去右端时刻，撤去右端物体，设杆右端与外界无热交换，物体，设杆右端与外界无热交换，求：杆上各点温度随时间变化？求：杆上各点温度随时间变化？
