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1、第七章第七章多元函数积分学多元函数积分学（按积分区域分类）（按积分区域分类）（按积分区域分类）（按积分区域分类）积分区域积分区域积分区域积分区域定积分定积分二重积分二重积分三重积分三重积分D曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分一型：对弧长一型：对弧长二型：对坐标二型：对坐标一型：对面积一型：对面积二型：对坐标二型：对坐标Stokes 公式公式高斯公式高斯公式格林公式格林公式多元函数积分学概况多元函数积分学概况多元函数积分学概况多元函数积分学概况推推 广广推推 广广推推 广广推推 广广第一节第一节二二 重重 积积 分分柱体体积柱体体积 = = 底面积底面积 高高特点：平顶特点：平顶. .柱体体积柱体
2、体积 = = ？特点：曲顶特点：曲顶. .曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、问题的提出一、问题的提出曲顶柱体曲顶柱体x0z y DSS : z = f (x,y)元素法元素法元素法元素法1 任意分割区域任意分割区域 D,化整为零化整为零2 以平代曲以平代曲 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 ix0z yDS : z = f (x,y)3 积零为整积零为整2 以平代曲以平代曲元素法元素法元素法元素法1 任意分割区域任意分割区域 D,化整为零化整为零. i 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积x0z yDS : z = f (x,y)3 积零为整积零为整4 取极限取极限令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细
3、令分法无限变细 i2 以平代曲以平代曲元素法元素法元素法元素法1 任意分割区域任意分割区域 D,化整为零化整为零.V = 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积x0z yDS : z = f (x,y)3 积零为整积零为整4 取极限取极限令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细2 以平代曲以平代曲元素法元素法元素法元素法1 任意分割区域任意分割区域 D,化整为零化整为零.V = 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积x0z yS : z = f (x,y)3 积零为整积零为整4 取极限取极限令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细V2 以平代曲以平代曲元素法元素法元素法元素法1 任
4、意分割区域任意分割区域 D,化整为零化整为零.V = 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积求平面薄片的质量求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作取典型小块，将其近似看作均匀薄片，均匀薄片， 所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量二、二重积分的概念二、二重积分的概念 定义：设定义：设 f(x,y) 是有界闭区域是有界闭区域D上的有界函数上的有界函数 1. 分割分割2. 取近似取近似3. 求和求和 如如果果当当各各小小闭闭区区域域的的直直径径中中的的最最大大值值趋趋近近于于零零时时，这这和和式式的的极极限限存存在在，则则称称此此极
5、极限限为为函函数数在在闭闭区区域域D上的二重积分，记为：上的二重积分，记为： 3. 求和求和4. 取极限取极限积积积积分分分分区区区区域域域域积积积积分分分分和和和和被被被被积积积积函函函函数数数数积积积积分分分分变变变变量量量量被积表达式被积表达式被积表达式被积表达式面积元素面积元素面积元素面积元素对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：（4）如果函数）如果函数 f(x,y) 在有界闭区域在有界闭区域D上有界，并且除去上有界，并且除去 有限个点和有限条光滑曲线段外都是连续的，则它有限个点和有限条光滑曲线段外都是连续的，则它 在在D上可积。上可积。二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积
6、函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值在直角坐标系下用平行于坐在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为故二重积分可写为则面积元素为则面积元素为D D性质性质当当 k 为常数时，为常数时，性质性质（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质三、二重积分的性质性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性性质性质若若 为为D的面积，的面积，性质性质若在若在D上上特殊地特殊地则有则有性质性质性质
7、性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）先讨论积分区域为：先讨论积分区域为：其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续. .四、直角坐标系二重四、直角坐标系二重 积分的累次积分法积分的累次积分法 X型型应用计算应用计算“平行截面平行截面面积为已知的立体求面积为已知的立体求体积体积”的方法的方法, ,如果积分区域为：如果积分区域为：Y型型- 先对先对 x 积分，后对积分，后对 y 积分的积分的二次积二次积分分X 型区域的特点：型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y 轴的直线与轴的直线与 区域边界相交不多于两个交点区域边界相交不多于两
8、个交点. .Y 型区域的特点：型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x 轴的直线与轴的直线与 区域边界相交不多于两个交点区域边界相交不多于两个交点. .若区域如图，若区域如图，在分割后的三个区域上分别使在分割后的三个区域上分别使用积分公式用积分公式则必须分割则必须分割. .例例 计算计算其中其中 D 由直线由直线围成。围成。解解 先画出积分区域先画出积分区域 D 。D 是是 X型。型。将将 D 向向 x 轴投影。轴投影。于是，于是，于是，于是，解解设设则则于是，于是，设设将将 D 向向 y 轴投影。轴投影。解解aa xz y0z = 0y = 0x = 0aaxz y0.aaxz y0
9、.a例例42.0z yx422x+y=4.0z yxx = 04422x+y=4.0z yxz = 0y = 0z=0y =0x = 04422x+y=4.DV =.0z yx21D0y xD1D2D3D4D:.怎么计算？怎么计算？此题用直角系算麻烦此题用直角系算麻烦必须把必须把D分块分块!将将变换到变换到极坐标系极坐标系极坐标系极坐标系0D用用坐标线坐标线坐标线坐标线: : : : = =常数常数；r r r r = = = =常数常数常数常数 分割区域分割区域 D ir. .五、五、利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分d d i + iI =drr. .例例 将将化为在极坐标系下的
10、二次积分。化为在极坐标系下的二次积分。（1）（4）（2）（3）0y x12 y =xD. .例例由对称性，考虑上半部分由对称性，考虑上半部分由对称性，考虑上半部分由对称性，考虑上半部分zxyo.例例a由对称性，考虑上半部分由对称性，考虑上半部分由对称性，考虑上半部分由对称性，考虑上半部分.xyozz = 0axyzo。V。维望尼曲线维望尼曲线维望尼曲线维望尼曲线。由对称性，考虑上半部分由对称性，考虑上半部分由对称性，考虑上半部分由对称性，考虑上半部分D 1.2a2a0xz ya.L联立联立例例. .2a0xz ya.L联立联立D.解解例例 设积分区域设积分区域 D 关于关于 x 轴对称，轴对称，D1 是是 D 中对应于中对应于 y 0 的部分，证明：的部分，证明：六、对称性算法六、对称性算法积分区域积分区域 D 关于关于 y 轴对称轴对称，D1 是是 D 中对应于中对应于 x 0 的部分，则：的部分，则：同理同理例例解解D 区域关于区域关于 x 轴对称，且轴对称，且而而而而因此，因此，例例解解解解思考：思考：思考：思考：例例例例例例例例
