数列的通项与求和

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1、数列的通项与求和必记公式必记公式1.1.“基本数列基本数列”的通项公式：的通项公式：(1)(1)数列数列-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,的通的通项公式是公式是a an n=_.=_.(2)(2)数列数列1,2,3,4,1,2,3,4,的通的通项公式是公式是a an n=_.=_.(3)(3)数列数列3,5,7,9,3,5,7,9,的通的通项公式是公式是a an n=_.=_.(4)(4)数列数列2,4,6,8,2,4,6,8,的通的通项公式是公式是a an n=_.=_.(-1)(-1)n nn n2n+12n+12n2n(5)(5)数列数列1,2,4,8,1,2,4,8,的通的通项公

2、式是公式是a an n=_.=_.(6)(6)数列数列1,4,9,16,1,4,9,16,的通的通项公式是公式是a an n=_.=_.(7)(7)数列数列1,3,6,10,1,3,6,10,的通项公式是的通项公式是a an n= .= .(8)(8)数列数列 的通项公式是的通项公式是a an n= .= .2 2n-1n-1n n2 22.2.常用的拆项公式：常用的拆项公式：(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)若等差数列若等差数列aan n 的公差为的公差为d d(d0)(d0), ,则则= =(5)(5)(6)(6)1.(20131.(2013新课标全国卷新课标全国卷)设首项为

3、设首项为1 1，公比为，公比为 的等比数列的等比数列a an n的前的前n n项和为项和为S Sn n，则，则( )( )A.SA.Sn n=2a=2an n-1-1 B.SB.Sn n=3a=3an n-2-2C.SC.Sn n=4-3a=4-3an n D.SD.Sn n=3-2a=3-2an n【解析解析】选选D.D.因为等比数列的首项为因为等比数列的首项为1 1，公比为，公比为 S Sn n= = = = 所以所以S Sn n=3-2a=3-2an n. .2.(20132.(2013玉溪模拟玉溪模拟) )数列数列aan n 的通项公式是的通项公式是 若若前前n n项和为项和为1010

4、，则项数，则项数n n为为( )( )A.120 B.99 C.11 D.121A.120 B.99 C.11 D.121【解析解析】选选A.A.由由 所以所以a a1 1+a+a2 2+ +a+an n 即即 即即 解得解得n+1=121,n=120.n+1=121,n=120.3.(20133.(2013西安模西安模拟) )如果数列如果数列aan n 满足足a a1 1,a,a2 2-a-a1 1,a,a3 3-a-a2 2, , ,a an n-a-an-1n-1, ,是首是首项为1,1,公比公比为3 3的等比数列的等比数列, ,则a an n=(=() )【解析解析】选选C.C.因为数

5、列因为数列aan n 满足满足a a1 1,a,a2 2-a-a1 1,a,a3 3-a-a2 2, ,a,an n-a-an-1n-1, ,是首项为是首项为1,1,公比为公比为3 3的等比数列的等比数列, ,那么可知那么可知a an n-a-an-1n-1=3=3n-1n-1, ,因此利因此利用累加法可知用累加法可知4.(20134.(2013重重庆模模拟) )化化简S Sn n=n+(n-1)=n+(n-1)2+(n-2)2+(n-2)2 22 2+ +2+22 2n-2n-2+2+2n-1n-1的的结果是果是( () )A.2A.2n+2n+2-n-n B.2 B.2n+1n+1-n+2

6、-n+2C.2C.2n n-n-2-n-2 D.2 D.2n+1n+1-n-2-n-2【解析解析】选选D.D.因为因为S Sn n=n+(n-1)=n+(n-1)2+(n-2)2+(n-2)2 22 2+ +2+22 2n-2n-2+2+2n-1n-1, ,2S2Sn n=2n+(n-1)=2n+(n-1)2 22 2+(n-2)+(n-2)2 23 3+ +2+22 2n-1n-1+2+2n n, ,两式作差两式作差, ,得到得到S Sn n=-n+(2+2=-n+(2+22 2+ +2+2n-1n-1)+2)+2n n, ,化简得到为选项化简得到为选项D.D.5.(20135.(2013滁

7、州滁州模拟模拟) )数列数列aan n 满足满足a a1 1=1,a=1,a2 2=2,2a=2,2an+1n+1=a=an n+a+an+2n+2, ,若若b bn n= = 则数列则数列 b bn n 的前的前5 5项和等于项和等于( )( )【解析解析】选选B.B.因为因为2a2an+1n+1=a=an n+a+an+2n+2，所以数列，所以数列aan n 为等差数列，为等差数列，因为因为d=1,d=1,所以所以a an n=1+(n-1)=1+(n-1)1=n,1=n,所以所以所以所以S S5 5=b=b1 1+b+b2 2+b+b3 3+b+b4 4+b+b5 5= =热点考向热点考

8、向 1 1 求数列的通项公式求数列的通项公式【典例典例1 1】(1)(2013(1)(2013长春模拟长春模拟) )已知数列已知数列aan n 中中, a, a1 1=1, a=1, an n= =2a2an n1 1+1(n2),+1(n2),则数列则数列aan n 的通项公式是的通项公式是_._.(2)(2)已知数列已知数列aan n 与与 b bn n 的前的前n n项和分别为项和分别为S Sn n,T,Tn n,a,a1 1=1,b=1,b1 1=2,=2,且对且对任意任意nNnN* *，都有，都有 T Tn n=2b=2bn n-2-2成立，求数列成立，求数列aan n ， b bn

9、 n 的的通项公式通项公式. .【解题探究解题探究】(1)(1)根据根据a an n=2a=2an n1 1+1(n2),+1(n2),可知可知a an n+1+1与与a an n1 1+1+1具有什么样的关具有什么样的关系？系？提示：提示：a an n+1=2(a+1=2(an n1 1+1).+1).(2)(2)根据根据 能得到能得到a an n与与a an n1 1的什么关系的什么关系? ?由此可判断求由此可判断求a an n的方法吗的方法吗? ?提示提示: : 可用累乘法可用累乘法. .【解析解析】(1)(1)由由a an n=2a=2an n1 1+1(n2)+1(n2)得得a an

10、 n+1=2(a+1=2(an n1 1+1),+1),即即所以数列所以数列aan n+1+1是首项为是首项为2,2,公比为公比为2 2的等比数列的等比数列, ,所以所以a an n + 1=2 + 1=2n n, ,所以所以a an n=2=2n n1.1.答案答案：a an n=2=2n n1 1(2)(2)由由 知知S Sn n=n=n2 2a an n, ,S Sn-1n-1=(n-1)=(n-1)2 2a an-1n-1(n2),(n2),两式相减得两式相减得a an n=n=n2 2a an n-(n-1)-(n-1)2 2a an-1n-1, ,即即(n(n2 2-1)a-1)a

11、n n=(n-1)=(n-1)2 2a an-1n-1, ,所以所以所以所以= =又又a a1 1=1=1也适合上式，因此也适合上式，因此由由T Tn n=2b=2bn n-2,-2,所以所以T Tn-1n-1=2b=2bn-1n-1-2(n2),-2(n2),两式相减得两式相减得b bn n=2b=2bn n-2b-2bn-1n-1, ,即即b bn n=2b=2bn-1n-1, ,所以数列所以数列 b bn n 构成以构成以b b1 1=2=2为首项为首项,2,2为公比的等比数列为公比的等比数列, ,所以所以b bn n=2=2n n. .【互动探究互动探究】若题若题(1)(1)条件变为条

12、件变为a a1 1=36,a=36,an+1n+1-a-an n=2n,=2n,试求试求 的最的最小值小值. .【解析解析】由由a an+1n+1-a-an n=2n,=2n,得得a a2 2-a-a1 1=2,=2,a a3 3-a-a2 2=4,=4,a a4 4-a-a3 3=6,=6,a an n-a-an-1n-1=2(n-1).=2(n-1).将以上将以上n-1n-1个式子累加得个式子累加得又因为又因为a a1 1=36,=36,所以所以a an n=n=n2 2-n+36,-n+36,所以所以当当n=6n=6时，时， 有最小值有最小值11.11.【方法总结方法总结】求数列通项公式

13、的常见类型及方法求数列通项公式的常见类型及方法(1)(1)归纳猜想法归纳猜想法: :已知数列的前几项已知数列的前几项, ,求数列的通项公式求数列的通项公式, ,可采用可采用归纳猜想法归纳猜想法. .(2)(2)已知已知S Sn n与与a an n的关系，利用的关系，利用 求求a an n. .(3)(3)累加法：数列递推关系形如累加法：数列递推关系形如a an+1n+1= =a an n+f(n+f(n) )，其中数列，其中数列 f(nf(n)前前n n项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法( (叠叠加法加法).).(4)(4)累乘法：

14、数列递推关系如累乘法：数列递推关系如a an+1n+1= =g(n)ag(n)an n，其中数列，其中数列 g(ng(n)前前n n项可求积，此数列求通项公式一般采用累乘法项可求积，此数列求通项公式一般采用累乘法( (叠乘法叠乘法).).(5)(5)构造法：构造法：递推关系形如递推关系形如a an+1n+1= =papan n+q(p,q+q(p,q为常数为常数) )可化为可化为 (p1)(p1)的形式，利用的形式，利用 是以是以p p为为公比的等比数列求解；公比的等比数列求解；递推关系形如递推关系形如 (p(p为非零常数为非零常数) )可化为可化为的形式的形式. .【变式备选变式备选】已知数

15、列已知数列aan n 满足满足a a1 1=2, =2, 则数列则数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=_.=_.【解析解析】因为因为所以所以所以所以即即所以数列所以数列 构成以构成以 为首项，为首项， 为公差的等差数列，为公差的等差数列，所以所以 所以所以a an n=2.=2.答案：答案：2 2 热点考向热点考向 2 2 裂项相消法求和裂项相消法求和【典例典例2 2】(2013(2013潍坊模坊模拟) )已知数列已知数列aan n 的各的各项排成如排成如图所示所示的三角形数的三角形数阵, ,数数阵中每一行的第一个数中每一行的第一个数a a1 1,a,a2 2,a,a4 4,

16、a,a7 7, ,构成等构成等差数列差数列bbn n,S,Sn n是是bbn n 的前的前n n项和和, ,且且b b1 1=a=a1 1=1,S=1,S5 5=15.=15.a a1 1a a2 2 a a3 3a a4 4 a a5 5 a a6 6a a7 7 a a8 8 a a9 9 a a1010(1)(1)若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知a a9 9=16=16，求，求a a5050的的值值. .(2)(2)设设 求求T Tn n.

17、.【解题探究解题探究】(1)(1)求求a a5050需明确的三个问题：需明确的三个问题：a a5050在数阵中的位置：在数阵中的位置：_；b bn n在数阵中的位置：在数阵中的位置：_；等差数列等差数列 b bn n 的通项公式及等比数列的公比：的通项公式及等比数列的公比：_, ,公比公比: :_. .(2)(2)求求T Tn n的两个步骤的两个步骤: :求求S Sn n:S:Sn n= ;= ;观察观察T Tn n式子的特点，可判断用什么方法求式子的特点，可判断用什么方法求T Tn n? ?提示提示: :裂项相消法裂项相消法. .第第1010行第行第5 5个数个数第第n n行第一个数行第一个

18、数b bn n=n=nq=2q=2【解析解析】(1)(1)因为因为 b bn n 为等差数列为等差数列, ,设公差为设公差为d,bd,b1 1=1,S=1,S5 5=15,=15,所以所以S S5 5=5+10d=15,d=1,=5+10d=15,d=1,所以所以b bn n=1+(n-1)=1+(n-1)1=n.1=n.设从第设从第3 3行起行起, ,每行的公比都是每行的公比都是q,q,且且q0,aq0,a9 9=b=b4 4q q2 2,4q,4q2 2=16,q=2,=16,q=2,1+2+3+1+2+3+9=45,+9=45,故故a a5050是数阵中第是数阵中第1010行第行第5 5

19、个数个数, ,则则a a5050=b=b1010q q4 4=10=102 24 4=160.=160.(2)(2)因为因为所以所以= = = =【方法总结方法总结】裂项相消法求和应注意的问题裂项相消法求和应注意的问题(1)(1)通项公式形如通项公式形如 ( (其中其中a,ba,b1 1,b,b2 2,c,c为常数为常数) )用裂项相消法用裂项相消法. .(2)(2)裂项时要保证裂项前后相等裂项时要保证裂项前后相等, ,为此可通过通分检验裂项的正为此可通过通分检验裂项的正确性确性. .【变式训练变式训练】已知数列已知数列aan n 是一个等差数列，且是一个等差数列，且a a2 2=5=5，a

20、a5 5=11.=11.(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式a an n. .(2)(2)令令 求数列求数列 b bn n 的前的前n n项和项和T Tn n. .【解析解析】(1)(1)设等差数列设等差数列aan n 的公差为的公差为d d，由已知条件得由已知条件得解得解得a a1 1=3=3，d=2.d=2.所以所以a an n=a=a1 1+(n-1)d=2n+1.+(n-1)d=2n+1.(2)(2)存在存在.由由(1)(1)知知a an n=2n+1.=2n+1.所以所以= =所以所以= =即数列即数列bbn n 的前的前n n项和项和热点考向热点考向 3 3 错

21、位相减法求和错位相减法求和【典例典例3 3】(2013(2013淮南淮南模拟模拟) )已知数列已知数列aan n 满足满足a a1 1=3=3，a an+1n+1-3a-3an n= =3 3n n(nN(nN* *) )，数列，数列bbn n 满足满足 (1)(1)证明数列证明数列 b bn n 是等差数列并求数列是等差数列并求数列 b bn n 的通项公式的通项公式. .(2)(2)求数列求数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n. .【解题探究解题探究】(1)(1)要证明数列要证明数列 b bn n 是等差数列只需证明是等差数列只需证明: :_. .(2)(2)数列数列aan

22、n 的通项公式是的通项公式是: a: an n=_=_,=_=_,根据通项公式的结构特点根据通项公式的结构特点, ,可用可用_法求法求S Sn n. .b bn+1n+1b bn n= =常数常数3 3n nb bn n(n+2)(n+2)3 3n-1n-1错位相减错位相减【解析解析】(1)(1)由由 得得所以所以所以数列所以数列bbn n 是等差数列，首项是等差数列，首项b b1 1=1=1，公差为，公差为所以所以 (2)a(2)an n=3=3n nb bn n=(n+2)=(n+2)3 3n-1n-1, ,所以所以S Sn n=a=a1 1+a+a2 2+ +a+an n=3=31+41

23、+43+3+(n+2)+(n+2)3 3n-1n-1所以所以3S3Sn n=3=33+43+43 32 2+ +(n+2)+(n+2)3 3n n-得得-2S-2Sn n=3=31+3+31+3+32 2+ +3+3n-1n-1-(n+2)-(n+2)3 3n n=2+1+3+3=2+1+3+32 2+ +3+3n-1n-1-(n+2)-(n+2)3 3n n= =所以所以【方法总结方法总结】错位相减法求和应注意的问题错位相减法求和应注意的问题(1)(1)通项公式形如通项公式形如 ( (其中其中k k1 1,b,b1 1,k,k2 2,b,b2 2,q,q为常为常数数) )，用错位相减法，用错

24、位相减法. .(2)(2)运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的n+1n+1项中项中的前的前n n项，哪些项构成等比数列，以及两边需除以代数式时注项，哪些项构成等比数列，以及两边需除以代数式时注意要讨论代数式是否为零意要讨论代数式是否为零. .【变式训练变式训练】(2013(2013山东高考山东高考) )设等差数列设等差数列a an n的前的前n n项和项和为为S Sn n，且，且S S4 4=4S=4S2 2，a a2n2n=2a=2an n+1.+1.(1)(1)求数列求数列a an n的通项公式的通项公式. . (2)(2)设数列设数列 b

25、bn n 满足满足 求求 b bn n 的前的前n n项和项和T Tn n. .【解析解析】(1)(1)设等差数列设等差数列aan n 的首项为的首项为a a1 1，公差为，公差为d d，由由S S4 4=4S=4S2 2,a,a2n2n=2a=2an n+1+1得得解得解得a a1 1=1,d=2=1,d=2，因此因此a an n=2n=2n1,nN1,nN* *. .(2)(2)由已知由已知当当n=1n=1时，时，当当n2n2时，时，所以所以由由(1)(1)知知a an n=2n=2n1,nN1,nN* *，所以所以又又两式相减得两式相减得所以所以【典例典例】已知数列已知数列aan n 满

26、足：满足：a a1 1=1,a=1,a2 2= = 且且3+(-1)3+(-1)n naan+2n+2- -2a2an n+2(-1)+2(-1)n n-1=0,nN-1=0,nN* *. .(1)(1)求求a a3 3,a,a4 4,a,a5 5,a,a6 6的值及数列的值及数列aan n 的通项公式的通项公式. .(2)(2)设设b bn n=a=a2n-12n-1a a2n2n-(-1)-(-1)n nln aln a2n2n，求，求S S2n2n. .【解析解析】(1)(1)经计算经计算a a3 3=3, a=3, a5 5=5,a=5,a6 6= = 当当n n为奇数时为奇数时,a,

27、an+2n+2=a=an n+2,+2,即数列即数列aan n 的奇数项成等差数列的奇数项成等差数列, ,所以所以a a2n-12n-1=a=a1 1+(n-1)+(n-1)2=2n-1;2=2n-1;当当n n为偶数，为偶数， 即数列即数列aan n 的偶数项成等比数列，所的偶数项成等比数列，所以以 因此，数列因此，数列aan n 的通项公式为的通项公式为(2)(2)因为因为b bn n=a=a2n-12n-1a a2n2n-(-1)-(-1)n nlnalna2n2n= = =令令并设数列并设数列 c cn n,d,dn n 的前的前n n项和分别为项和分别为T Tn n,T,Tn n.则

28、则，两式相减，两式相减，得得= = =所以所以T T2n2n=-1+2-3+4-=-1+2-3+4-+2nln 2=nln 2+2nln 2=nln 2，所以所以【方法总结方法总结】条件中含有条件中含有( (1)1)n n题目的求解策略题目的求解策略通项公式形如通项公式形如a an n=(-1)=(-1)n nn n或或a an n=a=a(-1)(-1)n n( (其中其中a a为常数，为常数，nNnN* *) )等正负交叉项的求和一般用并项法等正负交叉项的求和一般用并项法. .并项时应注意分并项时应注意分n n为奇数、为奇数、偶数两种情况讨论偶数两种情况讨论. .分类讨论思想分类讨论思想解

29、决数列中的求和问题解决数列中的求和问题【思想诠释思想诠释】1.1.主要类型：主要类型：(1)(1)求和分类讨论，如求数列求和分类讨论，如求数列|a|an n|的前的前n n项和项和.(2).(2)对等比数列公比的讨论对等比数列公比的讨论, ,如求等比数列前如求等比数列前n n项和问题中对公项和问题中对公比比q=1q=1和和q1q1进行讨论进行讨论.(3).(3)对项数的奇偶进行讨论对项数的奇偶进行讨论, ,如当条件中如当条件中含有含有(-1)(-1)n n时应讨论时应讨论n n的奇偶性的奇偶性. .2.2.解题思路：结合数列的通项公式及求和公式，全面分析引解题思路：结合数列的通项公式及求和公式

30、，全面分析引起结论的变化的各种情况进行分类讨论求解起结论的变化的各种情况进行分类讨论求解. .3.3.注意事项：注意事项：(1)(1)准确确定分类对象及分类标准，要不重不漏，准确确定分类对象及分类标准，要不重不漏，符合最简原则符合最简原则.(2).(2)运用公式求和时要注意公式成立的条件运用公式求和时要注意公式成立的条件. .【典例典例】(12(12分分)(2013)(2013浙江高考浙江高考) )在公差在公差为d d的等差数列的等差数列aan n 中中, ,已知已知a a1 1=10,=10,且且a a1 1,2a,2a2 2+2,5a+2,5a3 3成等比数列成等比数列. .(1)(1)求

31、求d,ad,an n. .(2)(2)若若d0,d0,求求|a|a1 1|+|a|+|a2 2|+|a|+|a3 3|+|+|a+|an n|.|.【审题审题】分析信息，形成思路分析信息，形成思路(1)(1)切入点切入点: :把把a a2 2,a,a3 3用用a a1 1,d,d表示表示, ,列方程求解列方程求解. .关注点关注点: :公差公差d d有两个结果有两个结果, ,从而有两个从而有两个a an n. .(2)(2)切入点切入点: :令令a an n00求出变号的项求出变号的项. .关注点关注点: :需根据需根据a an n的正负分类讨论求解的正负分类讨论求解. .【解题解题】规范步骤

32、，水到渠成规范步骤，水到渠成(1)(1)由题意得由题意得,5a,5a3 3a a1 1=(2a=(2a2 2+2)+2)2 2, ,2 2分分d d2 2-3d-4=0,-3d-4=0,解得解得d=-1d=-1或或d=4d=4， 所以所以a an n=-n+11=-n+11或或a an n=4n+6.=4n+6.4 4分分(2)(2)设数列设数列aan n 前前n n项和为项和为S Sn n, ,因为因为d0,d0,所以所以d=-1,ad=-1,an n=-n+11,=-n+11,则则由由a an n0,0,即即-n+110-n+110得得n11.n11.所以当所以当n11n11时时,a,an

33、 n0,n120,n12时时,a,an n0.0.6 6分分所以所以n11n11时，时，|a|a1 1|+|a|+|a2 2|+|a|+|a3 3|+|+|a+|an n|=|=S Sn n 8 8分分n12n12时，时，|a|a1 1|+|a|+|a2 2|+|+|a+|a1111|+|a|+|a1212|+|+|a+|an n|=a|=a1 1+a+a2 2+ +a+a1111- -a a1212- -a-an n=S=S1111-(S-(Sn n-S-S1111) )= =-S-Sn n+2S+2S1111= =综上所述，综上所述，|a|a1 1|+|a|+|a2 2|+|+|a+|an

34、 n| | 1212分分【点题点题】规避误区，规避误区，失分失分警示警示 失分点一失分点一题中题中处容易在解方程组时只得到一组解处容易在解方程组时只得到一组解失分点二失分点二忽略忽略处讨论导致解题步骤不完整处讨论导致解题步骤不完整, ,从而失分从而失分失分点三失分点三处易错写为处易错写为S Sn n-2S-2S1111导致答案错误导致答案错误【变题变题】变式训练，能力迁移变式训练，能力迁移(2013(2013北京模北京模拟) )已知等差数列已知等差数列aan n 的前的前3 3项和和为6,6,前前8 8项和和为-4,-4,(1)(1)求数列求数列aan n 的通的通项公式公式. .(2)(2)

35、设b bn n=(4-a=(4-an n)q)qn-1n-1(q0,nN(q0,nN* *),),求数列求数列 b bn n 的前的前n n项和和S Sn n. .【解析解析】(1)(1)设等差数列设等差数列aan n 的公差为的公差为d d，则则解之得解之得a a1 1=3,d=-1.=3,d=-1.所以所以a an n=3-(n-1)=4-n.=3-(n-1)=4-n.(2)(2)由由(1)(1)的解答可得的解答可得, ,b bn n=n=nq qn-1n-1, ,则则S Sn n=1=1q q0 0+2+2q+3q+3q q2 2+ +n+nq qn-1n-1,若若q1,q1,将上式两边同乘以将上式两边同乘以q q得得qSqSn n=1=1q+2q+2q q2 2+3+3q q3 3+ + +(n-1)(n-1)q qn-1n-1+n+nq qn n,-得得, ,(q-1)S(q-1)Sn n=nq=nqn n-1-q-q-1-q-q2 2- -q-qn-1n-1= =所以所以若若q=1q=1，则，则综上综上