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1、郑平正制作1.1.3四种命题的四种命题的相互关系相互关系高二数学高二数学 选修选修2-1 第一章第一章 常用逻辑用语常用逻辑用语9/22/2024郑平正制作回顾回顾l交交换换原原命命题题的的条条件件和和结结论论，所所得得的的命命题题是是_ l同同时时否否定定原原命命题题的的条条件件和和结结论论，所所得得的的命命题是题是_ l交交换换原原命命题题的的条条件件和和结结论论，并并且且同同时时否否定定，所得的命题是所得的命题是_ 逆命题。逆命题。否命题。否命题。逆否命题。逆否命题。9/22/2024郑平正制作原命题原命题, ,逆命题逆命题, ,否命题否命题, ,逆否命题逆否命题四种命题形式四种命题形式
2、: :l 原命题原命题: : l 逆命题逆命题: :l 否命题否命题: : l逆否命题逆否命题: :若若 p, p, 则则 q q 若若 q q, , 则则 p p若若p p, , 则则q q若若q, q, 则则p p9/22/2024郑平正制作观察与思考观察与思考？你能说出其中任意你能说出其中任意两个命题之间的关两个命题之间的关系吗系吗?9/22/2024课课 堂堂 小小 结结原命题原命题若若p则则q逆命题逆命题若若q则则p否命题否命题若若 p则则 q逆否命题逆否命题若若 q则则p互为逆否互为逆否 同同真真同同假假互为逆否互为逆否 同同真真同同假假互逆命题互逆命题 真假真假无关无关互逆命题互
3、逆命题 真假真假无关无关互互否否命命题题真真假假无无关关互互否否命命题题真真假假无无关关9/22/2024郑平正制作例例:分别写出分别写出原命题的逆原命题的逆命题、否命命题、否命题和逆否命题和逆否命题：题：若若X=1或或X=2，则，则X23X+2=0。逆否命题：逆否命题：若若X2 ，则则 且且 。 逆命题：逆命题：若若X2， 则或则或 。 否命题：否命题：若若 且且 ，则则 。9/22/2024郑平正制作例例 设原命题是设原命题是“当当c 0 时，若时，若a b ，则，则ac bc ”，写出写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真
4、假：解：解： 逆命题：当逆命题：当c 0 时，若时，若ac bc ，则，则a b 逆命题为真逆命题为真否命题：当否命题：当c 0 时，若时，若a b ，则，则ac bc 否命题为真否命题为真逆否命题：当逆否命题：当c 0 时，若时，若ac bc ，则，则a b 逆否命题为真逆否命题为真9/22/2024郑平正制作否命题与命题的否定否命题与命题的否定l否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题。否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题。l命题的否定是逻辑联结词命题的否定是逻辑联结词“非非”作用于判断作用于判断, ,只否定结只否定结论不否定条件。论不否定条件。l对于原命题对于原命题: : 若
5、若 p , p , 则则 q q 有有 否命题否命题: : 若若p , p , 则则q q 。 命题的否定命题的否定: : 若若 p p ，则则q q 。例例.命题：命题：ABC中，若中，若C90，则，则A、B都是锐角都是锐角.命题的否命题是（命题的否命题是（ ），命题的否定是（），命题的否定是（ ）(A)ABC中，若中，若C90，则，则A、B都不是锐角都不是锐角(B)ABC中，若中，若C90，则，则A、B不都是锐角不都是锐角(C)ABC中，若中，若C90，则，则A、B都不一定是锐角都不一定是锐角(D) ABC中，若中，若C90，则，则A、B不都是锐角不都是锐角9/22/2024郑平正制作原词
6、语原词语 否定词否定词 原词语原词语 否定词否定词 等于等于任意的任意的是是 至少有一个至少有一个 都是都是 至多有一个至多有一个 大于大于 至少有至少有n n个个 小于小于 至多有至多有n n个个 对所有对所有x,x,成立成立对任何对任何x x，不成立不成立所有的所有的准准确确地地作作出出反反设设( (即即否否定定结结论论) )是是非非常常重重要要的的，下面是一些常见的结论的否定形式下面是一些常见的结论的否定形式. . 不是不是不都是不都是不大于不大于大于或等于大于或等于一个也没有一个也没有至少有两个至少有两个至多有（至多有（n-1)个个至少有（至少有（n+1)个个存在某存在某x，不成立不成
7、立存在某存在某x， 成立成立不等于不等于某个某个某些某些9/22/2024郑平正制作练习练习1:写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题。写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题。(1)原命题：原命题： 若若 则则答答:逆命题：逆命题： 若若 则则 否命题：否命题： 若若 则则 逆否命题：逆否命题： 若若 则则 (2)原命题：若一个数是负数，则它的平方是原命题：若一个数是负数，则它的平方是0； 逆命题：逆命题：若一个数的平方是若一个数的平方是0，则它是负数；，则它是负数； 否命题：否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是若一个数不是负数，则它的平方不是0；逆否命题：逆否命题：若一个数的平方不是若一
8、个数的平方不是0，则它不是负数，则它不是负数. 试判断上面命题的真假试判断上面命题的真假.真命题真命题假命题假命题假命题假命题真命题真命题假假假假假假假假9/22/2024郑平正制作2）原命题：若）原命题：若a=0, 则则ab=0。逆命题：若逆命题：若ab=0, 则则a=0。否命题：若否命题：若a 0, 则则ab0。逆否命题：若逆否命题：若ab0,则则a0。(真真)(假假)(假假)(真真)(真真)2.四种命题的真假四种命题的真假看下面的例子：看下面的例子：1）原命题：若）原命题：若x=2或或x=3, 则则x2-5x+6=0。逆命题：若逆命题：若x2-5x+6=0, 则则x=2或或x=3。否命题
9、：若否命题：若x2且且x3, 则则x2-5x+60 。逆否命题：若逆否命题：若x2-5x+60，则，则x2且且x3。(真真)(真真)(真真)3）原命题：若）原命题：若xAB，则，则x U A UB。逆命题：逆命题：x UA UB ，xAB 。否命题：否命题：xAB，x UA UB。逆否命题：逆否命题： x UA UB ，xAB 。Help假假假假假假假假9/22/2024郑平正制作真真真真真真假假真真假假假假假假9/22/2024郑平正制作练习练习.四种命题真假的个数可能为（四种命题真假的个数可能为（ ）个。）个。答：答：0个、个、2个、个、4个。个。 一般地一般地, ,四种命题的真假性四种命
10、题的真假性, ,有而且仅有下面四有而且仅有下面四种情况种情况: :9/22/2024郑平正制作想一想？想一想？（2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。其原命题、逆否命题不一定为真。由以上三例及总结我们能发现什么？由以上三例及总结我们能发现什么？即即 原命题与逆否命题同真假。原命题与逆否命题同真假。原命题的逆命题与否命题同真假。原命题的逆命题与否命题同真假。（1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否其逆命题、否命题不一定为真。命题不一定为真。(两个命题为互逆命题或互否命题两
11、个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系它们的真假性没有关系).几条结论几条结论:9/22/2024郑平正制作1.判断下列说法是否正确。判断下列说法是否正确。1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真； （对）（对）2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。（对）（对）2.四种命题真假的个数可能为（四种命题真假的个数可能为（ ）个。）个。答：答：0个、个、2个、个、4个。个。如：原命题：若如：原命题：若AB=A, 则则AB=。逆命题：若逆命题：若AB=，则，则AB=A。否命题：若否命题
12、：若ABA，则，则AB。逆否命题：若逆否命题：若AB，则，则ABA。（假）（假）（假）（假）（假）（假）（假）（假）3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。（错）（错）4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。（错）（错）练一练练一练9/22/2024郑平正制作总结总结9/22/2024郑平正制作反证法：反证法：l要要证证明明某某一一结结论论A是是正正确确的的，但但不不直直接接证证明明，而而是是先先去去证证明明A的的反反面面（非非A）是是错错误的，从而断定误的，从而断定A是正确的。是正确的。l即即反反
13、证证法法就就是是通通过过否否定定命命题题的的结结论论而而导导出出矛矛盾盾来来达达到到肯肯定定命命题题的的结结论论，完完成成命命题题的的论证的一种数学证明方法。论证的一种数学证明方法。9/22/2024郑平正制作反证法的一般步骤：反证法的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立假设命题的结论不成立,即假即假 设结论的反面成立；设结论的反面成立； (2)从这个假设出发，经过推理从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；论证，得出矛盾； (3) 由矛盾判定假设不正确，由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。从而肯定命题的结论正确。 反设反设归谬归谬结论结论推理过程中一定要用到才行显而易见的矛盾(如
14、和已知条件矛盾).9/22/2024郑平正制作1、反证法证题时关键在第二步，如何导出矛盾。、反证法证题时关键在第二步，如何导出矛盾。2、导出矛盾有四种可能：、导出矛盾有四种可能：（1）与原命题的条件（）与原命题的条件（题设）题设）矛盾；矛盾；（2）与定义、公理、定理等矛盾；）与定义、公理、定理等矛盾；（3）与结论的反面（）与结论的反面（反设）反设）成立矛盾。成立矛盾。（1 1）难于直接使用已知条件导出结论的命题；）难于直接使用已知条件导出结论的命题；（2 2）唯一性命题；）唯一性命题；（3 3）“至多至多”或或“至少至少”性命题；性命题；（4 4）否定性或肯定性命题。）否定性或肯定性命题。3
15、3、反证法的使用范围：、反证法的使用范围：几点注意：几点注意：（4）在证明过程中，推出自相矛盾的结论。）在证明过程中，推出自相矛盾的结论。9/22/2024郑平正制作例例 证明：若证明：若p2q22，则，则pq2. 将将“若若p2q22，则，则pq2”看成原命题。看成原命题。由于原命题和它的逆否命题具有相同的真由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，要证原命题为真命题，可以证明它假性，要证原命题为真命题，可以证明它的逆否命题为真命题。的逆否命题为真命题。即证明即证明 为真命题为真命题9/22/2024郑平正制作假设原命题结假设原命题结论的反面成立论的反面成立看能否推出看能否推出原命题原命题条
16、件的反面成立条件的反面成立尝试成功尝试成功得证得证例例 证明：若证明：若p2q22，则，则pq2.9/22/2024郑平正制作9/22/2024郑平正制作这些条件都与已知这些条件都与已知矛盾矛盾所以原命题所以原命题成立成立证明证明: 假设假设不大于不大于则则或或因为因为所以所以例例 用反证法证明：用反证法证明： 如果如果ab0ab0，那么那么 . . 9/22/2024郑平正制作练练 圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。 已知：如图，在已知：如图，在 O中，弦中，弦AB、CD交于交于P，且，且AB、CD不是直径不是直径.求证：弦求证：弦AB、CD不被不被
17、P平分平分.证明：证明： 假设弦假设弦AB 、CD被被P平分，平分，P点一定不是圆心点一定不是圆心O，连接连接OP，根据垂径定理的推论，根据垂径定理的推论，有有OPAB, OPCD即即 过点过点P有两条直线与有两条直线与OP都垂直，都垂直，这与垂线性质矛盾，这与垂线性质矛盾，弦弦AB、CD不被不被P平分。平分。9/22/2024郑平正制作9/22/2024郑平正制作若a2能被2整除，a是整数，求证：a也能被2整除.证：假设证：假设a不能被不能被2整除，则整除，则a必为奇数，必为奇数，故可令故可令a=2m+1(m为整数为整数),由此得由此得a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1,此结果表明此结果表明a2是奇数，是奇数，这这与与题题中中的的已已知知条条件件（a2能能被被2整整除除）相相矛矛盾盾,a能被能被2整除整除.9/22/2024郑平正制作9/22/2024UAABBBack9/22/2024郑平正制作练习：分别写出下列命题的逆命题、否命练习：分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。题、逆否命题，并判断它们的真假。（1）若）若q2,那么那么q2-p,根据幂函数根据幂函数 的单调性，得的单调性，得即即所以所以 因此因此9/22/2024
