第二章第二章 极限与连续极限与连续 定义定义1 1：：§2.1§2.1 数列的极限 数列的极限 1 1. .数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列. .可看作一动点在数轴可看作一动点在数轴上依次取上依次取2 2. .数列是整标函数：数列是整标函数： ２２. .１１. .２２ 数列的极限数列的极限 观察例观察例观察例观察例1 1 1 1、、、、2 2 2 2、、、、3 3 3 3、、、、4 4 4 4、、、、5 5 5 5中的数列的极限中的数列的极限中的数列的极限中的数列的极限思考数列的有界性与有极限之间的关系思考数列的有界性与有极限之间的关系 1.1.数列的极限存在情况与数列的前有限项无关，数列的极限存在情况与数列的前有限项无关，v2 2、、收敛数列不等于有限数列，比如收敛数列不等于有限数列，比如 .所以如果只改变一个数列的有限项则不会改所以如果只改变一个数列的有限项则不会改变数列的极限的存在情况以及极限值的大小！变数列的极限的存在情况以及极限值的大小！ 几何解释几何解释: 例例6证证所以所以, 例例7证证所以所以, ( (一一) ) 考虑当考虑当 ，函数，函数 的变化情况的变化情况O Ox xy y§2.2§2.2 函数的极限 函数的极限 由图容易看出： 例例1证证 例２例２证证 （二）（二）问题问题:函数函数在在的过程中的过程中, ,对应对应将如何表现？将如何表现？ 函数值函数值O Ox xy y 几何解释几何解释:注意：注意： 例例3证证例例4证证 例例5证证函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义. 左极限左极限右极限右极限（三）（三） 单侧极限单侧极限（（左极限，右极限左极限，右极限）） 左极限左极限右极限右极限x x 从左侧无限趋近于从左侧无限趋近于 x x0 0x x 从右侧无限趋近于从右侧无限趋近于 x x0 0 例例6 左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例6证证 定理定理( (保序性保序性) )推论推论 定理定理( (保号性保号性) )推论推论 定义定义: :（（3 3）如果）如果 , ,则称则称ββ是比是比αα低阶无穷小。
低阶无穷小 一、极限运算法则一、极限运算法则定理定理（（1 1）（）（2 2）都可以推广到任意有限个函数的情形）都可以推广到任意有限个函数的情形. .§2.5§2.5 极限运算法则 极限运算法则 推论推论1 1即常数因子可以提到极限记号外面即常数因子可以提到极限记号外面.推论推论2 2即乘方运算与极限运算可交换顺序即乘方运算与极限运算可交换顺序. 小结小结: :无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分子以分母中自变量的最高次幂除分子, ,分母分母, ,以分出无穷小以分出无穷小, ,然后再求极限然后再求极限. . 1.1.夹逼准则夹逼准则２２.6..6.１极限存在准则 １极限存在准则 §2.6§2.6 两个重要极限 两个重要极限 2.单调有界准则单调有界准则单调增加单调增加单调减少单调减少单调数列单调数列 几何解释几何解释: (1)２２.6..6.２两个重要极限 ２两个重要极限 (2) 例５例５解解 提高题：提高题：换元换元解：解： 例例:解解: 定义定义: :§2.7 §2.7 利用等价无穷小代换求极限利用等价无穷小代换求极限 定理定理 ( (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理) )证证 常用等价无穷小常用等价无穷小: : 例例2 2解解不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.等价无穷小的代换只能用于乘除运算，不等价无穷小的代换只能用于乘除运算，不可用于加减运算可用于加减运算. .注意注意 例例3 3解解解解错错 在某过程中在某过程中, ,变量变量 u 的终值的终值u2 2与它的初值与它的初值u1 1的差的差u2 2 u1 1, ,称为变量称为变量u在在u1 1处的增量处的增量, ,记为记为 u = =u2 2－－u1.1. u u 是一个整体记号是一个整体记号, , 它可以取正值、负值或零它可以取正值、负值或零. . 有时我们也称有时我们也称 u u 为变量为变量 u u 在在 u u1 1 处的差分处的差分. .1 函数的连续性 函数增量概念：函数增量概念：§§2 2.8.8 函数的连续性 函数的连续性 设函数设函数 f (x) 在在 U(x0)内有定义内有定义, x U(x0) , 则称则称 x = x x0 为自变量为自变量 x 在在 x0 点处的增量点处的增量. = f (x0 + x) f (x0 ) y = f (x) f (x0 ) x yOx0xxyy = f (x)此时此时, x = x0 + x , 相应地相应地, 函数在点函数在点 x0 点处点处有增量有增量 y 2 连续函数的概念连续函数的概念 定义３定义３定理定理 例３例３证证由定义由定义2知知 例４例４解解左连续但不右连续左连续但不右连续 , 3 3 函数的间断点函数的间断点 1.跳跃间断点跳跃间断点例例4 4解解 为跳跃间断点为跳跃间断点 2.可去间断点可去间断点例７例７ 解解注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, , 则可使其变为连续点则可使其变为连续点. .跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .特点特点 3.第二类间断点第二类间断点例８例８解解 例９例９解解 一、四则运算的连续性一、四则运算的连续性定理定理1 1例如例如,4 4 连续函数运算与初等函数的连续性连续函数运算与初等函数的连续性 二、反函数与复合函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性定理定理2 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. .例如例如,反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续. . 定理定理3 3证证 将上两步合起来将上两步合起来: 意义意义1.1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换; ;例例1111解解 定理定理4 4注意 定理注意 定理4 4是定理是定理3 3的特殊情况的特殊情况. .例如例如, , 三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.★★★★★★ 定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. .★★(均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. . 1. 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如,这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.注意注意 定义定义: :例如例如,5 5 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理) ) 在在闭闭区区间间上上连连续续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值. .注意注意: :1.若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立. 推推论论( (有有界界性性定定理理) ) 在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定在该区间上有界在该区间上有界. .证证 定义定义: : 几何解释几何解释: 。