FIR数字滤波器设计

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1、第七章第七章 FIRFIR数字滤波器设计数字滤波器设计FIRFIR数字滤波器的数字滤波器的特点特点： 很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号产生相位失真，这一特点在宽频带信号处理、阵列信号理、数据传输等系统中非常重要；极点全部在原点（永远稳定），无稳定 性问题；任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一定的延时，转变为因果序列， 所以因果性总是满足；无反馈运算，运算误差小。缺点缺点：1.因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较高的阶数为代价；2.无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析设计公式，要借助计算机辅助设计程序完成。本章主要讲述：本章主要讲述：p 线性相位FIRDF及其特点p 用窗函

2、数法设计FIRDFp 利用频率采样法设计FIRDFp 利用等波纹最佳逼近法设计FIRDFp IIR与FIR数字滤器的比较7.1 7.1 线性相位线性相位FIRDFFIRDF及其特点及其特点传输函数幅度特性（可为负值）相位特性第一类线性相位FIRDR 严格线性函数：第二类线性相位 满足 为常数， 为起始相位返回系统的群时延：群时延均为常数称为恒定群延时滤波器：返回回到本节对称：对称：类型类型 1: 1:N为奇数，偶对称为奇数，偶对称对称中心对称中心返回回到本节 类型类型 2 2:N为偶数，偶对称为偶数，偶对称对称中心对称中心返回回到本节 类型类型 3: 3:N为奇数，奇对称为奇数，奇对称返回回到

3、本节类型类型 4: 4:N为偶数，奇对称为偶数，奇对称返回回到本节2 2 线性相位的条件线性相位的条件时域约束：时域约束：第一类线性相位：其中：返回回到本节三角函数的恒等关系 返回回到本节满足上式的一组解 关于求和区间的中心奇对称 则要求 关于 偶对称 返回回到本节返回回到本节第二类线性相位：其中：返回回到本节三角函数的恒等关系 返回回到本节满足上式的一组解 关于求和区间的中心奇对称 则要求 关于 奇对称返回回到本节偶对称奇对称图1线性相位特性返回回到本节（1）h(n)=h(N-n-1)，N为奇数幅度特性为：相位特性：由于 偶对称，因此， 对这些频率也呈偶对称。可实现低通、高通、带通、带阻滤波

4、器可实现低通、高通、带通、带阻滤波器频率约束：频率约束：返回回到本节推导：推导：返回回到本节（2）h(n)=h(N-n-1)，N为偶数幅度特性：相位特性：返回回到本节证明：证明：返回回到本节幅度特性为：相位特性：由于 偶对称，因此 对这些频率也呈偶对称。由于因此，这种情况不能用于设计高通、带阻滤波器。因此，这种情况不能用于设计高通、带阻滤波器。返回回到本节(3) (3) h(n)h(n)奇对称，奇对称，N N为奇数，为奇数，h(n)=-h(N-1-n)h(n)=-h(N-1-n)相位特性:返回回到本节返回回到本节由于点呈奇对称，所以对这些点也奇对称。由于时，相当于H（z）在处有两个零点，不能用

5、于的滤波器设计，故不能用作低通、高通和带阻滤波器的设计。返回回到本节(4) h(n)(4) h(n)奇对称，奇对称，N N为偶数为偶数相位特性:频率特性:Hg()在=0，2 处为零，即H(z)在 z=1处有零点；Hg() 在=0，2 奇对称，在=处偶对称。不能用于低通和带阻不能用于低通和带阻返回回到本节返回回到本节返回回到本节（3）线性相位FIRDF的零点分布特点 将 代入式 得到 返回回到本节如果 是H(z)的零点，其倒数 也是其零点；因为h(n)是实序列 ，H(z)的零点必共轭成对， 和 也是其零点；零点分别是复数、零点分别是复数、纯虚数、实数和纯虚数、实数和单位圆上的实数单位圆上的实数返

6、回回到本节由该式可看出，若z=zi是H(z)的零点，则z=z-1i也一定是H(z)的零点。由于h(n)是实数，H(z)的零点还必须共轭成对，所以z=z*i及z=1/z*也必是零点。所以线性相位滤波器的零点必须是互为倒数的共轭对，即成四出现，这种共轭对共有四种返回回到本节返回回到本节FIR滤波器，h(n)奇对称，N为奇数，因所以z=1，z=-1都是H(z)的单根；对于第四种滤波器，h(n)奇对称，N为偶数，H(O)=0，所以z=1是H(z)的单根。所以，h(n)奇对称H(0)=0N为偶数H()=0线性相位滤波器是FIR滤波器中最重要的一种，应用最广。实际使用时应根据需用选择其合适类型，并在设计时

7、遵循其约束条件。返回回到本节四种线性相位FIRDF的特性特性：第一种情况，偶、奇，四种滤波器都可设计。第二种情况，偶、偶，可设计低、带通滤波器，不能设计高通和带阻。第三种情况，奇、奇，只能设计带通滤波器，其它滤波器都不能设计。第四种情况，奇、偶，可设计高通、带通滤波器，不能设计低通和带阻。一般微分器与90相移器用3、4；选频性滤波器用1、2。返回回到本节小小结: :四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于h(n)的对称性，而与h(n)的值无关。幅度特性取决于h(n)。设计FIR数字滤波器时，在保证h(n)对称的条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。返回回到本节7.2 7.2 窗函数设计窗函数设计F

8、IRDFFIRDFp设计思想设计思想保证线性相位逼近理想滤波器窗口设计法（时域逼近）频率采样法（频域逼近） 最优化设计（等波纹逼近） 一般情况下是无穷序列，需对其进行截断，即时域加窗加窗的影响窗函数的设计返回本节主要讲述：本节主要讲述：7.2.1 用窗函数法设计FIRDF的基本方法7.2.2 窗函数法的设计性能分析7.2.3 典型窗函数介绍7.2.4 用窗函数法设计FIRDF的步骤及MATLAB 设计函数 返回7.2.1 7.2.1 用窗函数法设计用窗函数法设计FIRDFFIRDF的基本方法的基本方法 具体设计步骤： （1）构造希望逼近的频率响应函数 。以低通线性相位FIRDF设计为例，一般选

9、择 为线性相位理想低通滤波器，即 （） （2）求出 。对 进行IFT得到返回回到本节（3）加窗得到FIRDF的单位脉冲响应h(n) 式中，w(n)称为窗函数，其长度为N。 如果要求设计第一类线性相位FIRDF，则要求h(n)关于 (N-1)/2点偶对称。 而hd(n)关于n=点偶对称，所以要求=(N-1)/2。同时要求w(n)关于(N-1)/2点偶对称。返回回到本节例：例：理想低通滤波器 N=31， 返回回到本节7.2.2 7.2.2 窗函数法的设计性能分析窗函数法的设计性能分析u矩形窗函数：u其频率响应为：返回回到本节理想滤波器加窗得到的FIRDF的单位脉冲响应为h(n)的频率响应函数返回回

10、到本节返回回到本节幅度特性等于理想低通滤波器的幅度特性与窗函数幅度特性的卷积相位保持严格线性因此，只需分析幅度逼近误差返回回到本节返回回到本节卷积结果 矩形窗对理想低通幅度特性的影响返回回到本节对加矩形窗处理后，其频率响应的几点影响：对加矩形窗处理后，其频率响应的几点影响：改变了理想频响的边沿特性，形成过渡带，宽为 等于 的主瓣宽度。（决定于窗长） 通带、阻带均有纹波，纹波取决于 的旁瓣，旁瓣幅度大，纹波幅度大，与窗口长度 N无关。（决定于窗口形状）N增加,过渡带宽减小,肩峰值不变。N的改变不能改变主瓣与旁瓣的比例关系，只能改变的绝对值大小和起伏的密度，当N增加时，幅值变大，起伏变密，而最大肩

11、峰永远为8.95%，这种现象称为吉布斯（Gibbs）效应。返回回到本节改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性，窗函数有改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性，窗函数有许多种，但要满足以下两点要求：许多种，但要满足以下两点要求：窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带；窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带；相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中在相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中在主瓣中，这样就主瓣中，这样就 可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和通带平稳性。通带平稳性。但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。返回回到本节

12、1 1矩形窗（矩形窗（Rectangle WindowRectangle Window）窗函数的几个参数: 旁瓣峰值n窗函数的幅频函数 的最大旁瓣的最大值相对主瓣最大值的衰减（dB）； 过渡带宽度B用该窗函数设计的FIRDF的过渡带宽度； 阻带最小衰减s用该窗函数设计的FIRDF的阻带最小衰减。 7.2.3 7.2.3 典型窗函数介绍典型窗函数介绍 返回回到本节 矩形窗的四种波形如图 返回回到本节矩形窗函数的损耗函数曲线 主瓣宽度与N 成反比，即滤波器过渡带宽度与N 成反比，但是旁瓣峰值并不随N增大而变化，返回回到本节2 2三角窗（三角窗（Bartlett WindowBartlett Win

13、dow）单位脉冲响应：频率响应：n其主瓣宽度为其主瓣宽度为 ，第一旁瓣比主瓣低，第一旁瓣比主瓣低26dB。返回回到本节三角窗的四种波形如图 返回回到本节3 3升余弦窗（汉宁窗升余弦窗（汉宁窗: Hanning Window: Hanning Window）窗函数：频率响应：返回回到本节当N1，可近似为：三部分矩形窗频谱相加，使旁瓣互相抵消，能量集中在主瓣，旁瓣大大减小，主瓣宽度增加1倍，为 返回回到本节汉宁窗的四种波形如图 返回回到本节4 4改进升余弦窗（哈明窗改进升余弦窗（哈明窗: Hamming Window: Hamming Window） 窗函数： 频率响应：返回回到本节当N1，可近似

14、为：是对汉宁窗的改进，在主瓣宽度（对应第一零点的宽度）相同的情况下，旁瓣进一步减小，可使99.96%的能量集中在窗谱的主瓣内。返回回到本节哈明窗的四种波形如图 返回回到本节5 5布莱克曼窗（布莱克曼窗（Blackman WindowBlackman Window）窗函数:增加一个二次谐波余弦分量，可进一步降低旁瓣，但主瓣宽度进一步增加，增加N可减少过渡带频率响应：返回回到本节布莱克曼窗的四种波形如图 返回回到本节返回回到本节窗口函数的频谱N=51，A=20lg|W()/W(0)|四种窗函数的比较返回回到本节返回回到本节返回回到本节6 6凯塞窗（凯塞窗（Kaiser WindowKaiser W

15、indow） 以上五种窗函数，滤波器的阻带衰减是固定的不同的窗函数通过增加主瓣宽度为代价来降低旁瓣。凯塞窗则可自由选择主瓣宽度和旁瓣衰减。对给定的指标，凯塞窗函数可以使滤波器阶数最小。凯塞窗函数: 返回回到本节凯塞窗函数 是调整参数，可自由选择决定主瓣宽度与 旁瓣衰减。越大，wk(n)窗越窄，其频谱的主瓣变宽，旁瓣变小。一般取 49。=5.44 接近汉明=8.5 接近布莱克曼=0 为矩形返回回到本节I0(x)是零阶修正贝塞尔函数参数 控制滤波器阻带的最小衰减通带纹波幅度近似等于阻带纹波幅度，未单独控制返回回到本节图2凯塞窗函数图1零阶修正贝塞尔函数I0(x)x01返回回到本节返回回到本节返回回

16、到本节六种窗函数基本参数六种窗函数基本参数 窗函数类型旁瓣峰值n（dB）过渡带宽度B阻带最小衰减s（dB）近似值精确值矩形窗-134/N1.8/N-21三角窗-258/N6.1/N-25汉宁窗-318/N6.2/N-44哈明窗-418/N6.6/N-53布莱克曼窗-5712/N11/N-74凯塞窗(b=7.865)-5710/N-80返回回到本节7.2.4 7.2.4 用窗函数设计用窗函数设计FIRFIR滤波器的步骤滤波器的步骤p选择窗函数的类型和长度根据阻带最小衰减选择窗函数的类型原则是：在保证阻带衰减满足要求的情况下，尽量选择主瓣窄的窗函数。根据过渡带的宽度选择窗函数的长度p按性能指标要求

17、，构造希望频率响应函数 近似为过渡带中心频率，幅度函数衰减一半（-6dB)返回回到本节p确定期望滤波器的单位脉冲响应p加窗得到设计结果返回回到本节用窗函数设计线性相位高通FIRDF，要求通带边界频率 ，通带最大衰减 ，阻带截止频率 ，阻带最小衰减 解：解：1）选择窗函数 因为阻带最小衰减 ，可选择汉宁窗、哈明窗。这里选择汉宁窗。 求N=？ 根据过渡带宽返回回到本节高通，N为奇数， N=252)期望理想滤波器返回回到本节3）确定期望滤波器的单位脉冲响应全通滤波器全通滤波器低通滤波器低通滤波器返回回到本节4)加窗返回回到本节7.3 7.3 利用频率采样法设计利用频率采样法设计FIRDF FIRDF

18、 窗函数设计法是根据设计要求，从相应的理想频率响应特性出发，求出它的单位脉冲响应，并选择合适的窗函数加窗后作为FIRDF的单位脉冲响应。窗函数法适合设计片段常数特性的标准型频率响应特性滤波器。本节介绍的频率采样设计法可以设计任意形状频率响应特性的FIRDF。 返回本节主要讲述：本节主要讲述：7.3.1 频率采样设计法的基本概念7.3.2 设计线性相位特性FIRDF时，频域采样 H(k)的设置原则7.3.3 逼近误差及改进措施返回7.3.1 7.3.1 频率采样设计法的基本概念频率采样设计法的基本概念将理想滤波特性 经单位圆上的N等分采样后得到频域采样值：单位脉冲响应：其系统函数为：返回回到本节

19、由内插公式，可从频率采样值直接实现FIR滤波器的系统函数用频率采样法设计FIR数字滤波器主要关心的问题：实现线性相位Hd（k）应满足的条件逼近误差改进措施返回回到本节返回回到本节7.3.2 7.3.2 线性相位的约束条件线性相位的约束条件 H(k)=? H(k)=?如果FIR数字滤波器为线性相位的，则必满足第一或第二类线性相位的条件频域采样 分别为幅度采样、相位采样返回回到本节1）第一类线性相位N为奇数N为偶数返回回到本节2）第二类线性相位N为奇数N为偶数返回回到本节 对理想低通滤波器，截止频率为 采样点数N，则有：另外，对于高通和带阻，N只能为奇数返回回到本节7.3.3 7.3.3 逼近误差

20、及改进措施逼近误差及改进措施 1频率采样基本设计法的逼近误差分析 为了对逼近误差及其起因建立感性认识，首先采用上述频率采样的基本设计法设计一个低通滤波器。观察逼近误差的特点，寻找减小逼近误差的有效措施。 返回回到本节2降低逼近误差的措施 （1）设置适当的过渡带，使希望逼近的幅度特性Hdg()从通带比较平滑地过渡到阻带，消除阶跃突变，从而使逼近误差减小。其实质是对幅度采样A(k)增加过渡带采样点，以加宽过渡带为代价换取通带和阻带内波纹幅度的减小。 （2）采用优化设计法，以便根据设计指标选择优化参数（过渡带采样点的个数m和h(n)的长度N）进行优化设计返回回到本节3频率采样法设计步骤 （1）根据阻

21、带最小衰减s选择过渡带采样点的个数m。 （2）确定过渡带宽度B，按照式 估算滤波器长度N。 （3）构造一个希望逼近的频率响应函数: （4）进行频域采样:返回回到本节 （5）对H(k)进行N点IDFT得到第一类线性相位FIRDF的单位脉冲响应为 （6）检验设计结果。如果阻带最小衰减未达到指标要求，则要改变过渡带采样值，直到满足指标要求为止。如果滤波器边界频率未达到指标要求，则要微调Hdg()的边界频率。 返回回到本节小结：小结：频率采样设计法优点优点：直接从频域进行设计，物理概念清楚，直观方便；适合于窄带滤波器设计，这时频率响应只有少数几个非零值。典型应用：用一串窄带滤波器组成多卜勒雷达接收机，

22、覆盖不同的频段，多卜勒频偏可反映被测目标的运动速度；缺点缺点：截止频率难以控制。因频率取样点都局限在2/N的整数倍点上，所以在指定通带和阻带截止频率时，这种方法受到限制，比较死板.充分加大N，可以接近任何给定的频率，但计算量和复杂性增加。返回回到本节7.4 7.4 利用等波纹最佳逼近法设计利用等波纹最佳逼近法设计FIRDFFIRDF等波纹最佳逼近法是一种优化设计法，它克服了窗函数设计法和频率采样法的缺点，使最大误差最小化，并在整个逼近频段上均匀分布。用等波纹最佳逼近法设计的FIRDF的幅频响应在通带和阻带都是等波纹的，而且可以分别控制通带和阻带波纹幅度。这就是等波纹的含义。最佳逼近指在滤波器长度给定的条件下使加权误差波纹幅度最小化。 返回7.5 IIR7.5 IIR与与FIRFIR数字滤器的比较数字滤器的比较FIRIIR性能严格线性相位，但成本高，运算量大，信号延时也较大存储单元少，运算量小，经济高效设计结果可得到幅频特性（可以多带）和线性相位（最大优点）只能得到幅频特性，相频特性未知（一大缺点），如需要线性相位，须用全通网络校准，但增加滤波器阶数和复杂性稳定性极点全部在原点（永远稳定）无稳定性问题有稳定性问题阶数高结构非递归递归结构设计工具只有计算程序可循可借助于AF的设计成果快速算法可用FFT实现，减少运算量无快速运算方法低返回