《概率论》第1章§1随机试验

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1、概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计1 1/13/13第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念在一定条件下必然发生的现象在一定条件下必然发生的现象在一定条件下必然发生的现象在一定条件下必然发生的现象向空中抛一物体必然落向地面；向空中抛一物体必然落向地面；向空中抛一物体必然落向地面；向空中抛一物体必然落向地面；水加热到水加热到水加热到水加热到100100100100必然沸腾；必然沸腾；必然沸腾；必然沸腾；异性电荷相吸引；异性电荷相吸引；异性电荷相吸引；异性电荷相吸引；放射性元素发生蜕变；放射性元素发生蜕变；放射性元素发生蜕变；放射性元素发生蜕变；在试验或观察前无

2、法预知出现什么结果在试验或观察前无法预知出现什么结果在试验或观察前无法预知出现什么结果在试验或观察前无法预知出现什么结果抛一枚硬币抛一枚硬币抛一枚硬币抛一枚硬币, , , ,结果可能正面结果可能正面结果可能正面结果可能正面( ( ( (或反面或反面或反面或反面) ) ) )朝上；朝上；朝上；朝上；向同一目标射击向同一目标射击向同一目标射击向同一目标射击, , , ,各次弹着点都不相同；各次弹着点都不相同；各次弹着点都不相同；各次弹着点都不相同；某地区的日平均气温某地区的日平均气温某地区的日平均气温某地区的日平均气温；掷一颗骰子，可能出现的点数；掷一颗骰子，可能出现的点数；掷一颗骰子，可能出现的

3、点数；掷一颗骰子，可能出现的点数； 研研研研究究究究和和和和揭揭揭揭示示示示随随随随机机机机现现现现象象象象的的的的统计规律性的数学学科统计规律性的数学学科统计规律性的数学学科统计规律性的数学学科2 2/13/13第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念3 3/15/153 3/13/13结果有可能为结果有可能为:“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或或 “6”. 实例实例 “抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观观 察出现的点数察出现的点数”. 实例实例 “用同一门炮向同用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多一目标发射同一种炮弹多 发发 , 观察弹落点的情况观察弹落点的情况”.结果结

4、果: “弹落点会各不相同弹落点会各不相同”.随机现象的特征随机现象的特征条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果概率论最早是从赌博概率论最早是从赌博概率论最早是从赌博概率论最早是从赌博( ( ( (博弈博弈博弈博弈) ) ) )游戏开始的游戏开始的游戏开始的游戏开始的. . . . 博博博博弈弈弈弈游游游游戏戏戏戏产产产产生生生生于于于于人人人人类类类类已已已已有有有有数数数数千千千千年年年年历历历历史史史史了了了了. . . .考考考考古古古古工工工工作作作作者者者者在在在在公公公公元元元元前前前前3500350035003500年年年年的的的的一一一一座座座座埃埃埃埃及及及及古古古古墓墓墓

5、墓中中中中发发发发现现现现古古古古埃埃埃埃及及及及人人人人在在在在一一一一种种种种 “ “猎猎猎猎犬犬犬犬与与与与豺豺豺豺狼狼狼狼” ”的的的的板板板板盘盘盘盘游游游游戏戏戏戏中中中中, , , ,用用用用投投投投掷掷掷掷距距距距骨骨骨骨的的的的结结结结果果果果决决决决定定定定猎猎猎猎犬与豺狼移动的步数犬与豺狼移动的步数犬与豺狼移动的步数犬与豺狼移动的步数. . . . 骰骰骰骰子子子子是是是是在在在在距距距距骨骨骨骨之之之之后后后后发发发发现现现现的的的的, , , ,伊伊伊伊拉拉拉拉克克克克北北北北部部部部曾曾曾曾发发发发现现现现一一一一颗颗颗颗陶陶陶陶制制制制的的的的骰骰骰骰子子子子,

6、, , ,据据据据推推推推断断断断距距距距今今今今已已已已有有有有3000300030003000年年年年历历历历史史史史. . . .它它它它对对对对面面面面的的的的点点点点数数数数是是是是2 2 2 2和和和和3,43,43,43,4和和和和5,15,15,15,1和和和和6.6.6.6.现现现现在在在在人人人人们们们们使使使使用用用用的的的的对对对对面面面面点点点点数数数数之之之之和和和和为为为为7 7 7 7的的的的骰骰骰骰子子子子大大大大约约约约出出出出现现现现在在在在公公公公元元元元前前前前1400140014001400年年年年左左左左右右右右. . . .纸纸纸纸牌牌牌牌的的的

7、的出出出出现现现现更更更更晚晚晚晚一一一一些些些些. . . .这这这这些些些些器具不仅用于赌博器具不仅用于赌博器具不仅用于赌博器具不仅用于赌博, , , ,还用于占卜和算命还用于占卜和算命还用于占卜和算命还用于占卜和算命. . . . 公公公公元元元元960960960960年年年年意意意意大大大大利利利利主主主主教教教教韦韦韦韦伯伯伯伯尔尔尔尔德德德德( ( ( (WiboldWibold) ) ) )把把把把人人人人的的的的品品品品德德德德归归归归纳纳纳纳为为为为56565656种种种种, , , ,算算算算命命命命者者者者掷掷掷掷3 3 3 3颗颗颗颗骰骰骰骰子子子子, , , ,主主

8、主主教教教教就就就就告告告告诉诉诉诉他他他他的的的的品品品品德德德德是是是是什什什什么么么么. . . .这说明当时人们已经会计算排列组合问题了这说明当时人们已经会计算排列组合问题了这说明当时人们已经会计算排列组合问题了这说明当时人们已经会计算排列组合问题了. . . .4 4/13/13 有有有有关关关关赌赌赌赌博博博博的的的的最最最最早早早早一一一一个个个个数数数数学学学学问问问问题题题题出出出出现现现现在在在在1494149414941494年年年年意意意意大大大大利利利利修修修修士士士士、数数数数学学学学家家家家巴巴巴巴乔乔乔乔罗罗罗罗( ( ( (Luca Luca Pacciolo

9、Pacciolo) ) ) )的的的的著著著著作作作作算算算算术术术术, , , ,几几几几何何何何, , , ,比比比比例和比值要义例和比值要义例和比值要义例和比值要义中中中中. . . .应该按应该按应该按应该按赌博中止时甲乙已赢的局数分配赌本赌博中止时甲乙已赢的局数分配赌本赌博中止时甲乙已赢的局数分配赌本赌博中止时甲乙已赢的局数分配赌本. . . .比如比如比如比如: : : :就按就按就按就按2:12:12:12:1分配分配分配分配. . . . 热热热热衷衷衷衷于于于于占占占占星星星星术术术术和和和和掷掷掷掷骰骰骰骰子子子子的的的的代代代代数数数数学学学学家家家家卡卡卡卡丹丹丹丹(

10、( ( (J.CardanJ.Cardan) ) ) )和和和和塔塔塔塔塔塔塔塔利利利利亚亚亚亚( ( ( (N.TartanliaN.Tartanlia) ) ) )指指指指出出出出巴巴巴巴乔乔乔乔罗罗罗罗的的的的分分分分法法法法是是是是错错错错误误误误的的的的, , , ,认认认认为为为为巴巴巴巴的的的的分分分分法法法法没没没没有有有有考考考考虑虑虑虑甲甲甲甲乙乙乙乙双双双双方方方方取取取取得得得得最最最最终终终终胜胜胜胜利利利利还还还还需需需需要要要要赢赢赢赢的的的的局局局局数数数数. . . .但是他们两人也没有给出正确的解法但是他们两人也没有给出正确的解法但是他们两人也没有给出正确的

11、解法但是他们两人也没有给出正确的解法. . . .5 5/13/13 17171717世世世世纪纪纪纪中中中中叶叶叶叶, , , ,法法法法国国国国贵贵贵贵族族族族德德德德 梅梅梅梅理理理理 ( ( ( (De De MM r r ) ) ) )向向向向法法法法国国国国著著著著名数学家、物理学家帕斯卡名数学家、物理学家帕斯卡名数学家、物理学家帕斯卡名数学家、物理学家帕斯卡( ( ( (B.PascalB.Pascal) ) ) )再次提出同一问题再次提出同一问题再次提出同一问题再次提出同一问题. . . . 这这这这一一一一貌貌貌貌似似似似简简简简单单单单的的的的问问问问题题题题难难难难住住住

12、住了了了了天天天天才才才才数数数数学学学学家家家家帕帕帕帕斯斯斯斯卡卡卡卡, , , ,他他他他思思思思索索索索了了了了很很很很久久久久仍仍仍仍没没没没有有有有解解解解决决决决. . . .于于于于是是是是, , , ,他他他他开开开开始始始始了了了了与与与与费费费费马马马马( ( ( (P.FermatP.Fermat) ) ) )关关关关于于于于这这这这一一一一问问问问题题题题的的的的通通通通信信信信讨讨讨讨论论论论. . . .帕帕帕帕斯斯斯斯卡卡卡卡在在在在1654165416541654年年年年7 7 7 7月月月月29292929日日日日给给给给费费费费马马马马的的的的信信信信中中

13、中中给给给给出出出出了了了了这这这这一一一一问问问问题题题题的的的的解解解解. . . .这这这这一一一一问问问问题题题题讨讨讨讨论论论论中中中中, , , ,产产产产生生生生了了了了“概概概概率率率率”和和和和“数数数数学学学学期期期期望望望望”等等等等基基基基本本本本概概概概念念念念. . . .帕帕帕帕斯斯斯斯卡卡卡卡的的的的这这这这封封封封信信信信被被被被公公公公认认认认为为为为是概率论的第一篇文献是概率论的第一篇文献是概率论的第一篇文献是概率论的第一篇文献, , , ,是数学史上的一个里程碑是数学史上的一个里程碑是数学史上的一个里程碑是数学史上的一个里程碑. . . .6 6/13/

14、13 在在在在随随随随后后后后的的的的200200200200多多多多年年年年里里里里, , , ,概概概概率率率率论论论论不不不不仅仅仅仅在在在在理理理理论论论论上上上上获获获获得得得得了了了了一一一一定定定定发发发发展展展展, , , ,而而而而且且且且在在在在人人人人口口口口统统统统计计计计、保保保保险险险险业业业业、误误误误差差差差理理理理论论论论、天天天天文文文文学学学学等等等等自自自自然然然然科科科科学学学学中中中中得得得得到到到到了了了了应应应应用用用用. . . .在在在在这这这这一一一一时时时时期期期期, , , ,对对对对概概概概率率率率论论论论在在在在理理理理论论论论和和

15、和和应应应应用用用用方方方方面面面面作作作作出出出出重重重重要要要要贡贡贡贡献献献献的的的的数数数数学学学学家家家家有有有有雅雅雅雅格格格格布布布布伯伯伯伯努努努努利利利利( ( ( (JakobJakob BernoulliiBernoullii),),),),丹丹丹丹尼尼尼尼尔尔尔尔伯伯伯伯努努努努利利利利( ( ( (Daniel Daniel BernoulliiBernoullii),),),), 棣棣棣棣莫莫莫莫弗弗弗弗( ( ( (De De MoivreMoivre), ), ), ), 拉拉拉拉普普普普拉拉拉拉斯斯斯斯( ( ( (P.LapaceP.Lapace),),),

16、), 欧欧拉拉( ( ( (L.EulerL.Euler),),),),贝贝贝贝叶叶叶叶斯斯斯斯 ( ( ( (T.BayesT.Bayes) ) ) ), ,蒲蒲 丰丰 ( ( ( (G.BuffonG.Buffon) ) ) ), ,高高 斯斯 ( ( ( (F.GaussF.Gauss) ) ) ), ,泊泊 松松( ( ( (S.PoissonS.Poisson) ) ) ), ,布布尼尼亚亚可可夫夫斯斯基基( ( ( (V.BunjakovskiiV.Bunjakovskii) ) ) ), ,切切比比雪雪夫夫( ( ( (ChebyshevChebyshev) ) ) ), ,马马

17、 尔尔 可可 夫夫 ( ( ( (A.MarkovA.Markov) ) ) ), ,李李 雅雅 普普 诺诺 夫夫( ( ( (A.LyapunovA.Lyapunov) ) ) )等等. . 尽尽尽尽管管管管18,1918,1918,1918,19世世世世纪纪纪纪, , , ,概概概概率率率率论论论论在在在在理理理理论论论论和和和和应应应应用用用用方方方方面面面面得得得得到到到到了了了了很很很很多多多多成成成成果果果果, , , ,但但但但与与与与其其其其它它它它数数数数学学学学分分分分支支支支比比比比较较较较, , , ,概概概概率率率率论论论论的的的的发发发发展展展展是是是是缓缓缓缓慢慢

18、慢慢的的的的. . . .甚甚甚甚至至至至直直直直到到到到20202020世世世世纪纪纪纪以以以以前前前前概概概概率率率率论论论论还还还还未未未未进进进进入入入入主主主主流流流流数数数数学学学学. . . .其其其其基基基基本本本本原原原原因因因因是概率论缺乏严密的逻辑基础是概率论缺乏严密的逻辑基础是概率论缺乏严密的逻辑基础是概率论缺乏严密的逻辑基础. . . .7 7/13/13“概率概率概率概率”是什么意思是什么意思是什么意思是什么意思 如何定义如何定义如何定义如何定义 如如如如何理解何理解何理解何理解在半径为在半径为在半径为在半径为 的圆的圆的圆的圆 内内内内“ “任意任意任意任意” ”

19、作一弦作一弦作一弦作一弦, , , ,作半径为作半径为作半径为作半径为 的同心圆的同心圆的同心圆的同心圆设设设设弦弦弦弦 的的的的中中中中点点点点 “ “任任任任意意意意” ”落落落落于于于于圆圆圆圆 内内内内试求此弦长度试求此弦长度试求此弦长度试求此弦长度 大于圆内接等边三角形边长大于圆内接等边三角形边长大于圆内接等边三角形边长大于圆内接等边三角形边长 的的的的概率概率概率概率若若若若 落于圆落于圆落于圆落于圆 内内内内, , , ,则则则则, , , ,于是于是于是于是设设设设弦弦弦弦 的一端的一端的一端的一端 固定于圆周上固定于圆周上固定于圆周上固定于圆周上, , , ,另一端任意另一端

20、任意另一端任意另一端任意. . . .考虑等边考虑等边考虑等边考虑等边 如如如如 落于角落于角落于角落于角 对应的对应的对应的对应的弧弧弧弧 上上上上, , , ,则则则则, , , ,于是于是于是于是的弧长的弧长的弧长的弧长圆周长圆周长圆周长圆周长8 8/13/13 我我我我们们们们知知知知道道道道, , , ,平平平平面面面面几几几几何何何何学学学学及及及及微微微微积积积积分分分分等等等等数数数数学学学学概概概概念念念念与与与与理理理理论论论论都都都都是是是是建建建建立立立立在在在在各各各各自自自自的的的的几几几几个个个个基基基基本本本本公公公公理理理理上上上上的的的的. . . .公公公

21、公理理理理化化化化体体体体系系系系是是是是数数数数学学学学的的的的坚坚坚坚实实实实基基基基础础础础. . . .概概概概率率率率论论论论之之之之所所所所以以以以还还还还不不不不成成成成为为为为“数数数数学学学学”, , , ,其基本原因是概率论缺乏严密的逻辑基础其基本原因是概率论缺乏严密的逻辑基础其基本原因是概率论缺乏严密的逻辑基础其基本原因是概率论缺乏严密的逻辑基础. . . . 1900190019001900年年年年, , , ,在在在在巴巴巴巴黎黎黎黎国国国国际际际际数数数数学学学学家家家家大大大大会会会会上上上上, , , ,著著著著名名名名数数数数学学学学家家家家希希希希尔尔尔尔伯

22、伯伯伯特特特特( ( ( (D.HilbertD.Hilbert) ) ) )作作作作了了了了题题题题为为为为数数数数学学学学问问问问题题题题的的的的重重重重要要要要报报报报告告告告, , , ,提提提提出出出出了了了了20202020世世世世纪纪纪纪数数数数学学学学学学学学科科科科的的的的主主主主攻攻攻攻方方方方向向向向, , , ,在在在在第第第第六六六六个个个个问问问问题题题题“ “物物物物理理理理公公公公理理理理的的的的数数数数学学学学处处处处理理理理” ”中中中中就就就就特特特特别别别别提提提提到到到到了了了了概概概概率率率率的的的的公理化问题公理化问题公理化问题公理化问题. . .

23、 . 1902190219021902年年年年, , , ,勒勒勒勒贝贝贝贝格格格格( ( ( (H.LebesgueH.Lebesgue) ) ) )的的的的论论论论文文文文积积积积分分分分、长长长长度度度度和和和和面面面面积积积积建建建建立立立立了了了了测测测测度度度度论论论论的的的的基基基基础础础础, , , ,经经经经过过过过玻玻玻玻雷雷雷雷尔尔尔尔( ( ( (E.BorelE.Borel) ) ) ) 、拉拉拉拉东东东东( ( ( (J.RadonJ.Radon) ) ) )、 弗弗弗弗 雷雷雷雷 歇歇歇歇( ( ( (M.FrchetM.Frchet) ) ) )、 斯斯斯斯 泰

24、泰泰泰 因因因因 豪豪豪豪 斯斯斯斯( ( ( (H.SteinhausH.Steinhaus) ) ) )等等等等人人人人的的的的努努努努力力力力, , , , 到到到到1930193019301930年年年年勒勒勒勒贝贝贝贝格格格格的的的的理理理理论论论论发发发发展展展展到到到到了了了了严严严严格格格格表表表表述述述述概概概概率率率率论论论论公公公公理理理理化化化化所所所所必必必必须须须须的的的的程程程程度度度度.1933.1933.1933.1933年年年年柯柯柯柯尔尔尔尔莫莫莫莫哥哥哥哥洛洛洛洛夫夫夫夫( ( ( (A.KolmogorvoA.Kolmogorvo) ) ) )的的的的

25、著著著著作作作作概概概概率率率率论论论论基基基基础础础础正正正正式式式式出出出出版版版版, , , ,给给给给出出出出了了了了概概概概率率率率论论论论公公公公理理理理化化化化的的的的完完完完整整整整结结结结构构构构. . . .从从从从此此此此, , , ,概概概概率率率率论论论论才才才才正正正正式成为真正的数学分支式成为真正的数学分支式成为真正的数学分支式成为真正的数学分支. . . .9 9/13/13 凯凯凯凯恩恩恩恩斯斯斯斯主主主主张张张张把把把把任任任任何何何何命命命命题题题题都都都都看看看看作作作作事事事事件件件件, , , ,例例例例如如如如“明明明明天天天天将将将将下下下下雨雨

26、雨雨”,“,“,“,“土土土土星星星星上上上上有有有有生生生生命命命命”等等等等等等等等都都都都是是是是事事事事件件件件, , , ,人人人人们们们们对对对对这这这这些些些些事事事事件件件件的的的的可可可可信信信信程程程程度度度度就就就就是是是是概概概概率率率率, , , ,而而而而与与与与随随随随机机机机试试试试验验验验无无无无关关关关, , , ,通通通通常常常常称称称称为为为为主主主主观观观观概概概概率率率率. . . . 米米米米泽泽泽泽斯斯斯斯定定定定义义义义事事事事件件件件的的的的概概概概率率率率为为为为该该该该事事事事件件件件出出出出现现现现的的的的频频频频率率率率的的的的极极极

27、极限限限限, , , ,而而而而作作作作为为为为公公公公理理理理就就就就必必必必须须须须把把把把这这这这一一一一极极极极限限限限的的的的存存存存在在在在作作作作为为为为第第第第一一一一条条条条公公公公理理理理, , , ,通通通通常称为常称为常称为常称为客观概率客观概率客观概率客观概率. . . . 目目目目前前前前, , , ,绝绝绝绝大大大大多多多多数数数数教教教教科科科科书书书书都都都都是是是是采采采采用用用用柯柯柯柯尔尔尔尔莫莫莫莫哥哥哥哥洛洛洛洛夫夫夫夫的的的的概概概概率率率率公理化体系公理化体系公理化体系公理化体系. . . .1010/13/131111/13/13第一章第一章

28、概率论的基本概念概率论的基本概念1212/13/13第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念1313/15/15科学实验科学实验科学实验科学实验掷一颗骰子，观察出现的点数掷一颗骰子，观察出现的点数掷一颗骰子，观察出现的点数掷一颗骰子，观察出现的点数对某厂生产的电子产品进行寿命测试对某厂生产的电子产品进行寿命测试对某厂生产的电子产品进行寿命测试对某厂生产的电子产品进行寿命测试观察某地区的日平均气温和日平均降水量观察某地区的日平均气温和日平均降水量观察某地区的日平均气温和日平均降水量观察某地区的日平均气温和日平均降水量或者对某一事物的某一特征进行观察或者对某一事物的某一特征进行观察或者对某一

29、事物的某一特征进行观察或者对某一事物的某一特征进行观察抛一枚硬币，观察正面抛一枚硬币，观察正面抛一枚硬币，观察正面抛一枚硬币，观察正面 、反面、反面、反面、反面 出现的情况出现的情况出现的情况出现的情况将一枚硬币连抛三次，观察正面将一枚硬币连抛三次，观察正面 出现的次数出现的次数从一批产品中抽取从一批产品中抽取从一批产品中抽取从一批产品中抽取 件，观察次品出现的数量件，观察次品出现的数量件，观察次品出现的数量件，观察次品出现的数量这些试验有什么特点这些试验有什么特点这些试验有什么特点这些试验有什么特点试验前无法预知结果试验前无法预知结果试验前无法预知结果试验前无法预知结果第一章第一章 概率论的

30、基本概念概率论的基本概念1414/15/15试验可以在相同的条件下重复进行试验可以在相同的条件下重复进行试验可以在相同的条件下重复进行试验可以在相同的条件下重复进行 试验的结果可能不止一个，但试验前知道所试验的结果可能不止一个，但试验前知道所试验的结果可能不止一个，但试验前知道所试验的结果可能不止一个，但试验前知道所有可能的全部结果有可能的全部结果有可能的全部结果有可能的全部结果在每次试验前无法确定会出现那个结果在每次试验前无法确定会出现那个结果在每次试验前无法确定会出现那个结果在每次试验前无法确定会出现那个结果 具有上述特征的试验称为具有上述特征的试验称为具有上述特征的试验称为具有上述特征的试验称为随机试验随机试验随机试验随机试验, , , ,简称简称简称简称试验试验试验试验第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念1515/15/15记录某公共汽车站某日上记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人午某时刻的等车人 数数.考察某地区考察某地区 10 月份的平月份的平均气温均气温.从一批灯泡中任取一只从一批灯泡中任取一只,测试其寿命测试其寿命.