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1、 9.1 概述概述 9.2 极限弯矩、塑性铰、破坏机构极限弯矩、塑性铰、破坏机构 9.3 单跨梁的极限荷载单跨梁的极限荷载 确定极限荷载的几个定理确定极限荷载的几个定理 9.5 连续梁连续梁的极限荷载的极限荷载 9.6 用机动法求简单刚架的极限荷载用机动法求简单刚架的极限荷载 第第第第9 9章章章章 结构的极限荷载结构的极限荷载结构的极限荷载结构的极限荷载前面的计算都是在结构的线弹性范围内，荷载卸除前面的计算都是在结构的线弹性范围内，荷载卸除后没有残余变形。后没有残余变形。弹性设计，在结构的局部甚至一个截面超过弹性极弹性设计，在结构的局部甚至一个截面超过弹性极限，就认为结构发生破坏，弹性计算是
2、精确的。限，就认为结构发生破坏，弹性计算是精确的。对于非弹性材料，特别是超静定结构，最大应力超对于非弹性材料，特别是超静定结构，最大应力超过弹性极限，甚至局部进入塑性，结构仍然能够继过弹性极限，甚至局部进入塑性，结构仍然能够继续加载，因此，弹性设计是不经济的。续加载，因此，弹性设计是不经济的。9.1 9.1 9.1 9.1 概概概概 述述述述一、弹性分析一、弹性分析 材料在比例极限内的结构分析（利用弹性分析计算内力），以许材料在比例极限内的结构分析（利用弹性分析计算内力），以许用应力为依据确定截面或进行验算的方法。用应力为依据确定截面或进行验算的方法。1、设计：、设计：WMmax2、验算：、验
3、算：WMmaxIMmaxy s流动极限（屈服极限）流动极限（屈服极限） e弹性极限弹性极限 p比例极限比例极限sepoA3 3、弹性分析缺陷：、弹性分析缺陷：（1 1）最大应力达到屈服极限时，截面并）最大应力达到屈服极限时，截面并未全部进入流动状态；未全部进入流动状态；（2 2）超静定结构某一局部应力达到屈服）超静定结构某一局部应力达到屈服状态时，结构并不破坏。状态时，结构并不破坏。ql2/8hbqlAB9.1 9.1 9.1 9.1 概概概概 述述述述1、基本假设、基本假设 1、材料为、材料为“理想弹塑性材料理想弹塑性材料” 。 2、拉压时，应力、应变关系相同。、拉压时，应力、应变关系相同。
4、 3、满足平截面假定。即无论弹、塑性阶段，保持平截面不变。、满足平截面假定。即无论弹、塑性阶段，保持平截面不变。y卸载时有残余变形9.1 9.1 9.1 9.1 概概概概 述述述述二、塑性分析的假设和目的二、塑性分析的假设和目的二、塑性分析的假设和目的二、塑性分析的假设和目的理想弹塑性模型理想弹塑性模型弹性状态弹性状态塑性状态塑性状态屈服屈服极限极限9.1 9.1 9.1 9.1 概概概概 述述述述2 2、结构的塑性分析的目的、结构的塑性分析的目的 基于考虑材料塑性性质的结构分析。其任务是研究基于考虑材料塑性性质的结构分析。其任务是研究 结构处于塑性状态下的性能，确定结构破坏时所能承受结构处于
5、塑性状态下的性能，确定结构破坏时所能承受 的荷载的荷载-极限荷载。极限荷载。 极限荷载：极限荷载： 结构的变形随荷载的增加而增大。当荷载达到某一结构的变形随荷载的增加而增大。当荷载达到某一临界临界 值时，不再增加荷载变形也会继续增大，这时结构值时，不再增加荷载变形也会继续增大，这时结构丧失了丧失了 进一步的承载能力，这种状态称为结构的极限状态，进一步的承载能力，这种状态称为结构的极限状态，此时的此时的 荷载是结构所能承受的荷载极限，称为极限荷载，记作荷载是结构所能承受的荷载极限，称为极限荷载，记作Pu Pu 。 塑性设计时的强度条件：塑性设计时的强度条件：二、塑性分析二、塑性分析9.1 9.1
6、 9.1 9.1 概概概概 述述述述s塑性分析塑性分析按照极限状态进行结构设计的方法。结构破坏瞬时对应按照极限状态进行结构设计的方法。结构破坏瞬时对应的荷载称为的荷载称为“极限荷载极限荷载”；相应的状态称为；相应的状态称为“极限状态极限状态”。ss应应 力力应应 变变塑性区塑性区s9.2 9.2 9.2 9.2 极限弯矩、塑性铰和破坏机构极限弯矩、塑性铰和破坏机构极限弯矩、塑性铰和破坏机构极限弯矩、塑性铰和破坏机构 9.2 极限弯矩、塑性铰、破坏机构极限弯矩、塑性铰、破坏机构一、屈服弯矩与极限弯矩一、屈服弯矩与极限弯矩1、屈服弯矩（、屈服弯矩（Ms): 截面最外侧纤维的应力达到屈服极限时对应的
7、弯矩。截面最外侧纤维的应力达到屈服极限时对应的弯矩。2、极限弯矩（、极限弯矩（Mu): 整个截面达到塑性流动状态时，对应的弯矩。整个截面达到塑性流动状态时，对应的弯矩。 s 第第9章章3、截面形状系数：、截面形状系数：极限弯矩与屈服弯矩之比极限弯矩与屈服弯矩之比4、截面达到极限弯矩时的特点、截面达到极限弯矩时的特点 极限状态时，无论截面形状如何，中性轴两侧的拉压面积相等。依极限状态时，无论截面形状如何，中性轴两侧的拉压面积相等。依据这一特点可确定极限弯矩。据这一特点可确定极限弯矩。hbMu第第9章章* *塑性分析塑性分析（参看上页图）（参看上页图） 截面中性轴上、下各点达到材料的屈服应力。中性
8、轴位置可由中性轴位置可由N=0N=0推出，即推出，即 上下上下 塑性分析的中性轴把截面面积分成上、下相等的两部分，弹性分析的中性轴通过截面形心。S上、S下截面上、下两部分面积对中性轴的静矩绝对值。上下令塑性分析截面的抗弯模量。矩形截面经济第第9章章二、塑性铰二、塑性铰1、塑性铰的概念、塑性铰的概念2、塑性铰的特点（与机械铰的区别）、塑性铰的特点（与机械铰的区别） （1）普通铰不能承受弯矩，塑性铰能够承受弯矩；）普通铰不能承受弯矩，塑性铰能够承受弯矩； （2）普通铰双向转动，塑性铰单向转动（即只能沿弯矩增大的方向）普通铰双向转动，塑性铰单向转动（即只能沿弯矩增大的方向 自由产生相对转角）；自由产
9、生相对转角）； （3）卸载时机械铰不消失；当）卸载时机械铰不消失；当qqu，塑性铰消失。，塑性铰消失。 （4）随荷载不同，出现在不同截面。）随荷载不同，出现在不同截面。MuABCC第第9章章当截面达到塑性阶段时，在极限当截面达到塑性阶段时，在极限弯矩值保持不变的情况下，两个弯矩值保持不变的情况下，两个无限靠近的相邻截面可以产生有无限靠近的相邻截面可以产生有限的相对转角，这种情况与带铰限的相对转角，这种情况与带铰的截面相似。因此，当截面弯矩的截面相似。因此，当截面弯矩达到极限弯矩时，这种截面可叫达到极限弯矩时，这种截面可叫做塑性铰。做塑性铰。三、破坏机构三、破坏机构 由于足够多的塑性铰的出现，使
10、原结构成为机构（几何可变体系），由于足够多的塑性铰的出现，使原结构成为机构（几何可变体系），失去继续承载的能力，该几何可变体系称为失去继续承载的能力，该几何可变体系称为“机构机构”。1、不同结构在荷载作用下，成为机构，所需塑性铰的数目不同。、不同结构在荷载作用下，成为机构，所需塑性铰的数目不同。2、不同结构，只要材料、截面积、截面形状相同，塑性弯矩一定相同。、不同结构，只要材料、截面积、截面形状相同，塑性弯矩一定相同。MuMuMuMu3、材料、截面积、截面形状相同的不同结构，、材料、截面积、截面形状相同的不同结构，qu不一定相同。不一定相同。Mu1Mu2Mu2第第9章章计算梁的极限荷载计算梁的
11、极限荷载基本方法基本方法 （1 1）极限平衡法（静力法或极限弯矩平衡法）极限平衡法（静力法或极限弯矩平衡法）（2 2）破坏机构法（机动法或虚位移法）破坏机构法（机动法或虚位移法）即： 荷载的虚功=塑性铰截面极限弯矩的虚功预先判定梁的破坏机构，根据结构在极限状态下的弯矩预先判定梁的破坏机构，根据结构在极限状态下的弯矩图，由静力平衡条件计算极限荷载，不必考虑弹塑性变图，由静力平衡条件计算极限荷载，不必考虑弹塑性变形过程。形过程。根据结构在极限状态下单向机构，使该破坏机构产生与根据结构在极限状态下单向机构，使该破坏机构产生与加载方向一致的微小虚位移，由外荷载与极限荷载在机加载方向一致的微小虚位移，由
12、外荷载与极限荷载在机构虚位移上所做的总虚功等于零建立虚功方程，求解该构虚位移上所做的总虚功等于零建立虚功方程，求解该方程便得到结构的极限荷载。方程便得到结构的极限荷载。9.3 9.3 9.3 9.3 单跨梁的极限荷载单跨梁的极限荷载单跨梁的极限荷载单跨梁的极限荷载 静定结构无多余约束，出现一个塑性铰即成为破坏机构。静定结构无多余约束，出现一个塑性铰即成为破坏机构。 这时结构上的荷载即为极限荷载。这时结构上的荷载即为极限荷载。 塑性铰出现的位置应为截面弯矩与极限弯矩之比的绝对值塑性铰出现的位置应为截面弯矩与极限弯矩之比的绝对值 最大的截面。最大的截面。 求出塑性铰发生的截面后，令该截面的弯矩等于
13、极限弯求出塑性铰发生的截面后，令该截面的弯矩等于极限弯 矩，利用平衡条件即可求出极限荷载。矩，利用平衡条件即可求出极限荷载。本章不分析结构的塑性发展过程，只讨论梁和刚架的极限荷载。本章不分析结构的塑性发展过程，只讨论梁和刚架的极限荷载。9.3 9.3 9.3 9.3 单跨梁的极限荷载单跨梁的极限荷载单跨梁的极限荷载单跨梁的极限荷载静定梁的极限荷载静定梁的极限荷载* *静力法（一）静力法（一） 由由M M图求解图求解P Pl/2l/2P Pu/2P PuP Pu/2P Pu* *机动法机动法* *静力法（二）静力法（二）由平衡条件求解由平衡条件求解极限状态受力图极限状态受力图计算思路：找出塑性铰
14、的位置（截面弯矩与极限弯矩比值绝对计算思路：找出塑性铰的位置（截面弯矩与极限弯矩比值绝对值最大处），令该处弯矩为极限弯矩，后利用上述方法求解。值最大处），令该处弯矩为极限弯矩，后利用上述方法求解。单跨静定梁的极限荷载单跨静定梁的极限荷载单跨静定梁的极限荷载单跨静定梁的极限荷载超静定梁有多余约束，出现一个塑性铰后仍是几何不变体系。超静定梁有多余约束，出现一个塑性铰后仍是几何不变体系。A截面先出现塑性铰，如截面先出现塑性铰，如(c)(c)图所示，此时图所示，此时单跨超静定梁的极限荷载单跨超静定梁的极限荷载单跨超静定梁的极限荷载单跨超静定梁的极限荷载P Pl/2l/2再增加荷载至再增加荷载至C C截
15、面到达截面到达 ，弯矩图（，弯矩图（d d）所示）所示静力法求静力法求是简支梁在荷载是简支梁在荷载 作用下的弯矩图作用下的弯矩图又因为由又因为由(d)(d)图得图得所以所以R RB BP Pl/2l/2* *静力法（二）静力法（二）由平衡条件求解由平衡条件求解单跨超静定梁的极限荷载单跨超静定梁的极限荷载单跨超静定梁的极限荷载单跨超静定梁的极限荷载* *机动法机动法P Pu假定机构的假定机构的C C点有一个虚设位移点有一个虚设位移 ，则，则1）无需考虑结构弹塑性变形的发展过程，只需考虑最后）无需考虑结构弹塑性变形的发展过程，只需考虑最后破坏机构。破坏机构。2）只需考虑静力平衡条件（极限平衡法），
16、无需考虑变）只需考虑静力平衡条件（极限平衡法），无需考虑变形协调，比弹性计算简单。形协调，比弹性计算简单。3）不受温度变化、支座移动等因素影响，它们只影响）不受温度变化、支座移动等因素影响，它们只影响变形发展过程。最后到机构形态时，影响消失。变形发展过程。最后到机构形态时，影响消失。第第9章章超静定结构极限荷载计算特点超静定结构极限荷载计算特点MuMuMu 例例1:1:求图示等截面梁的极限荷载求图示等截面梁的极限荷载. .已知梁的极限弯矩为已知梁的极限弯矩为Mu。* *机动法机动法极限状态弯矩图极限状态弯矩图* *静力法静力法极限状态受力图极限状态受力图单跨超静定梁的极限荷载单跨超静定梁的极限
17、荷载单跨超静定梁的极限荷载单跨超静定梁的极限荷载 例例2:2:求图示等截面梁的极限荷载求图示等截面梁的极限荷载. .已知梁的极限弯矩为已知梁的极限弯矩为Mu。l 解解: :RB梁中出现两个塑性铰即为破坏机构，根据弹性梁中出现两个塑性铰即为破坏机构，根据弹性分析，一个在分析，一个在A截面，设另一个在截面，设另一个在C截面，距离截面，距离A A点为点为x x，均布荷载作用下，均布荷载作用下，C C截面弯矩达到极限截面弯矩达到极限值，则必有值，则必有 ，所以，此截面剪力必为，所以，此截面剪力必为0 0。 例例3:3:求图示变截面梁的极限荷载求图示变截面梁的极限荷载. .已知已知ABAB段的极限弯矩为
18、段的极限弯矩为2 2Mu,BC段为段为Mu 。这种情况不会出现。这种情况不会出现。 解解: : 确定塑性铰的位置：确定塑性铰的位置：l/3P Pl/3l/3若若B B、D D出现塑性铰，则出现塑性铰，则B B、D D两截面的弯矩两截面的弯矩为为Mu， 若若A出现塑性铰，再加荷载时，出现塑性铰，再加荷载时，B B截面弯矩截面弯矩减少减少D D截面弯矩增加，故另一塑性铰出现于截面弯矩增加，故另一塑性铰出现于D D截面。截面。* *静力法静力法* *机动法机动法确定复杂结构极限荷载面临的问题确定复杂结构极限荷载面临的问题BACDB机构（一）机构（一）CDAB机构（二）机构（二）CDA不可能出现，为什
19、么？不可能出现，为什么？机构（三）机构（三）BCDAB 情况（情况（1）ACDB情况（情况（2）ACDB情况（情况（3）ACD第第9章章试确定图示单跨梁的极限荷载试确定图示单跨梁的极限荷载BB机构（一）机构（一）B机构（二）机构（二）B机构（三）机构（三）B机构（一）机构（一）M 图情况图情况B机构（二）机构（二）M 图情况图情况不可能出现，为什么？不可能出现，为什么？第第9章章9.4 确定极限荷载的几个定理确定极限荷载的几个定理一、几点假设一、几点假设1、比例加载、比例加载2、不计剪力、轴力对极限荷载的影响、不计剪力、轴力对极限荷载的影响3、正负极限弯矩值相等、正负极限弯矩值相等第第9章章2
20、、屈服条件、屈服条件 当荷载达到极限值时，结构上各截面的弯矩都不能超过其极限值。当荷载达到极限值时，结构上各截面的弯矩都不能超过其极限值。3、平衡条件、平衡条件 当荷载达到极限值时，作用在结构整体上或任意局部上的所有的力当荷载达到极限值时，作用在结构整体上或任意局部上的所有的力都必须保持平衡。都必须保持平衡。二、结构极限状态时应满足的三个条件二、结构极限状态时应满足的三个条件1、机构条件、机构条件 当荷载达到极限值时，结构上必须有足够多的塑性铰，而使结构变当荷载达到极限值时，结构上必须有足够多的塑性铰，而使结构变成机构。能够沿弯矩增大方向做单向运动。成机构。能够沿弯矩增大方向做单向运动。确定极
21、限荷载的几个定理确定极限荷载的几个定理确定极限荷载的几个定理确定极限荷载的几个定理2、可接受荷载屈服条件（、可接受荷载屈服条件（p-) 结构的弯矩分布状态能同时满足平衡条件和屈服条件的相应荷载。结构的弯矩分布状态能同时满足平衡条件和屈服条件的相应荷载。 或表述为把满足平衡条件和屈服条件或表述为把满足平衡条件和屈服条件( (不一定满足机构条件不一定满足机构条件) )的荷载的荷载称为可接受的荷载，称为可接受的荷载， 3、极限荷载（、极限荷载（pu) 同时满足机构条件、平衡条件和屈服条件的荷载。它既是可破坏荷同时满足机构条件、平衡条件和屈服条件的荷载。它既是可破坏荷载，又是可接受荷载。载，又是可接受
22、荷载。三、三个定义三、三个定义1、可破坏荷载（、可破坏荷载（p+) 按照其各种可能的破坏机构，由平衡条件所求得的相应荷载。按照其各种可能的破坏机构，由平衡条件所求得的相应荷载。 或表述为或表述为把满足机构条件和平衡条件的荷载把满足机构条件和平衡条件的荷载( (不一定满足屈服条件不一定满足屈服条件) ) 称为可破坏荷载。称为可破坏荷载。 确定极限荷载的几个定理确定极限荷载的几个定理确定极限荷载的几个定理确定极限荷载的几个定理2、下限定理（亦称、下限定理（亦称“静力定理静力定理”、或、或“极大定理极大定理”) 对于比例加载作用下的给定结构，按其各种静力可能对于比例加载作用下的给定结构，按其各种静力
23、可能 而又安全的弯矩分布状态求得的荷载将小于或等于极限荷载。而又安全的弯矩分布状态求得的荷载将小于或等于极限荷载。 或：或：“可接受荷载的最大值是极限荷载的下限可接受荷载的最大值是极限荷载的下限”。 或：或：“极限荷载是可接受荷载的最大值极限荷载是可接受荷载的最大值”3、单值定理（亦称、单值定理（亦称“唯一定理唯一定理”) “ 既是可破坏荷载，又是可接受荷载，则此荷载是极限荷载既是可破坏荷载，又是可接受荷载，则此荷载是极限荷载”。 或：或：“极限荷载是唯一的极限荷载是唯一的”四、确定极限荷载三个定理四、确定极限荷载三个定理1、上限定理（亦称、上限定理（亦称“机动定理机动定理”、或、或“极小定理
24、极小定理”) 对于比例加载作用下的给定结构，按任意可能的破坏对于比例加载作用下的给定结构，按任意可能的破坏机构，由平衡条件求得的荷载将大于或等于极限荷载。机构，由平衡条件求得的荷载将大于或等于极限荷载。 或：或：“可破坏荷载的最小值是极限荷载的上限可破坏荷载的最小值是极限荷载的上限”。 或：或：“极限荷载是可破坏荷载的最小值极限荷载是可破坏荷载的最小值” 一系列一系列可破坏可破坏荷载的荷载的最小值最小值一系列一系列可接受可接受荷载的荷载的最大值最大值极限荷载极限荷载确定极限荷载的几个定理确定极限荷载的几个定理确定极限荷载的几个定理确定极限荷载的几个定理五、确定极限荷载的三种方法五、确定极限荷载
25、的三种方法 1、机动法、机动法 2、静力法、静力法 3、试算法、试算法（一）机动法（一）机动法 （或比较法）（或比较法） 1、依据：机动法是以上限定理为依据的。、依据：机动法是以上限定理为依据的。 2、步骤：先假设出所有的破坏机构，而后利用虚位移原理计算出、步骤：先假设出所有的破坏机构，而后利用虚位移原理计算出各机构相应的极限荷载。依据上限定理，这些可破坏荷载中的最小者各机构相应的极限荷载。依据上限定理，这些可破坏荷载中的最小者即为极限荷载。即为极限荷载。（二）试算法（二）试算法 1、依据：试算法是以单值定理为依据的。、依据：试算法是以单值定理为依据的。 2、步骤：先试算出相应于某一破坏机构的
26、可破坏荷载，而后验算、步骤：先试算出相应于某一破坏机构的可破坏荷载，而后验算该荷载是否满足屈服条件，若满足，该荷载即为极限荷载。该荷载是否满足屈服条件，若满足，该荷载即为极限荷载。确定极限荷载的几个定理确定极限荷载的几个定理确定极限荷载的几个定理确定极限荷载的几个定理9-5 连续梁的极限荷载连续梁的极限荷载连续梁的破坏机构连续梁的破坏机构一跨单独破坏一跨单独破坏相邻跨联合破坏相邻跨联合破坏不会出现不会出现在各跨等截面、荷在各跨等截面、荷载方向相同条件下，载方向相同条件下，破坏机构只能在各破坏机构只能在各跨内独立形成。跨内独立形成。例题例题1 试用机动法求图示结构的极限荷载。试用机动法求图示结构
27、的极限荷载。MuMu机构（机构（1）MuMu机构（机构（2）连续梁的极限荷载连续梁的极限荷载连续梁的极限荷载连续梁的极限荷载例题例题2 试用试算法求图示结构的极限荷载。试用试算法求图示结构的极限荷载。MuMu机构（机构（1）MuMuM 图图连续梁的极限荷载连续梁的极限荷载连续梁的极限荷载连续梁的极限荷载例题例题2 试用试算法求图示结构的极限荷载。试用试算法求图示结构的极限荷载。MuMuM 图图MuMu机构（机构（2）连续梁的极限荷载连续梁的极限荷载连续梁的极限荷载连续梁的极限荷载例题例题3 求图示结构的极限荷载。求图示结构的极限荷载。机构机构1MuMu机构机构2MuMu机构机构3MuMuMu机
28、构机构4MuMu连续梁的极限荷载连续梁的极限荷载连续梁的极限荷载连续梁的极限荷载例题例题3 求图示结构的极限荷载。求图示结构的极限荷载。机构机构1MuMuMuMu连续梁的极限荷载连续梁的极限荷载连续梁的极限荷载连续梁的极限荷载2、无论刚架整体或局部成为机构，均认为刚架被破坏；、无论刚架整体或局部成为机构，均认为刚架被破坏；3、在集中荷载作用下，塑性铰只可能在弯矩图直线段的端点出现。、在集中荷载作用下，塑性铰只可能在弯矩图直线段的端点出现。*9.6 用机动法求简单刚架的极限荷载用机动法求简单刚架的极限荷载一、要点一、要点1、不考虑剪力和轴力对极限弯矩的影响；、不考虑剪力和轴力对极限弯矩的影响；二、机构法（机构叠加法）二、机构法（机构叠加法） 1、基本原理：利用上限定理，在所有可破坏荷载中寻找最小值，从、基本原理：利用上限定理，在所有可破坏荷载中寻找最小值，从而确定极限荷载。而确定极限荷载。 2、基本机构形式：、基本机构形式：（1）梁机构）梁机构（2）侧移机构）侧移机构（3）结点机构）结点机构 3、基本机构数目的确定：、基本机构数目的确定：第第9章章三、例题三、例题 试确定图示刚架的极限荷载试确定图示刚架的极限荷载（机构一）（机构一）（机构二）（机构二）（机构三）（机构三）第第9章章
