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1、 直线和平面所成的角直线和平面所成的角 知识复习知识复习 定义：定义：如果一条直线与平面内的任意一条直如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直. .定理：定理：如果一条直线和一个平面内的两条相如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面面.性质：性质：过平面外一点有且只有一条直线和过平面外一点有且只有一条直线和此平面垂直此平面垂直知识探究（一）：知识探究（一）：平面的斜线平面的斜线 思考思考1:1:当直线与平面相交时，它们可能垂当直线与平面相交时，它们可能垂直，也可
2、能不垂直，如果一条直线和一个直，也可能不垂直，如果一条直线和一个平面相交但不垂直，这条直线叫做这个平平面相交但不垂直，这条直线叫做这个平面的面的斜线斜线，斜线和平面的交点叫做，斜线和平面的交点叫做斜足斜足. .那那么过一点作一个平面的斜线有多少条？么过一点作一个平面的斜线有多少条？lP斜线斜线斜足斜足思考思考2:2:过斜线上斜足外一点向平面引垂线，过斜线上斜足外一点向平面引垂线，连结垂足和斜足的直线叫做这条斜线在这个连结垂足和斜足的直线叫做这条斜线在这个平面上的平面上的射影射影.那么斜线那么斜线l在平面在平面内的射影有内的射影有几条？几条？lPAB思考思考3:3:两两条平行直线、相交直线、异面
3、直线条平行直线、相交直线、异面直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形？在同一个平面内的射影可能是哪些图形？思考思考4:4:如图，过平面如图，过平面外一点外一点P P引平面引平面的的两条斜线段两条斜线段PAPA、PBPB，斜足为，斜足为A A、B B，再过点，再过点P P引平面引平面的垂线，垂足为的垂线，垂足为O O，如果，如果PAPAPBPB，那，那么么OAOA与与OBOB的大小关系如何？反之成立吗？的大小关系如何？反之成立吗？OPAB思考思考5:5:如图，过平面如图，过平面内一点内一点P P引平面引平面的的两条斜线两条斜线PAPA、PBPB，这两条斜线段在平面，这两条斜线段在平面内内的射影分
4、别为的射影分别为PCPC、PDPD，如果，如果PAPAPBPB，那么，那么PCPC与与PDPD的大小关系确定吗？的大小关系确定吗？CPABD思考思考6:6:如图，直线如图，直线l是平面是平面的一条斜线，它的一条斜线，它在平面在平面内的射影为内的射影为b b，直线，直线a a在平面在平面内，内，如果如果abab，那么直线，那么直线a a与直线与直线l垂直吗？为什垂直吗？为什么？反之成立吗？么？反之成立吗？alb知识探究（二）：知识探究（二）：直线和平面所成的角直线和平面所成的角 思考思考1:1:平面的一条斜线与这个平面总存在一平面的一条斜线与这个平面总存在一个相对倾斜度，我们设想用一个平面角来反
5、个相对倾斜度，我们设想用一个平面角来反映这个倾斜度，并且这个角的大小由斜线与映这个倾斜度，并且这个角的大小由斜线与平面的相对位置关系所确定，那么角的顶点平面的相对位置关系所确定，那么角的顶点宜选在何处？宜选在何处？l思考思考2:2:如图，如图，ABAB为平面为平面的一条斜线，的一条斜线，A A为斜为斜足，足，ACAC为平面为平面内的任意一条直线，能否用内的任意一条直线，能否用BACBAC反映斜线反映斜线ABAB与平面与平面的相对倾斜度？为的相对倾斜度？为什么？什么？CAB思考思考3:3:反映斜线与平面相对倾斜度的平面反映斜线与平面相对倾斜度的平面角的顶点为斜足，角的一边在斜线上，另角的顶点为斜
6、足，角的一边在斜线上，另一边在平面内的哪个位置最合适？为什么一边在平面内的哪个位置最合适？为什么？PAB思考思考4:4:我们把平面的一条斜线和它在平面上我们把平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平这条斜线和这个平面所成的角面所成的角. .在实际应用或解题中，怎样去求在实际应用或解题中，怎样去求这个角？这个角？PAB思考思考5:5:特别地，当一条直线与平面垂直时，规特别地，当一条直线与平面垂直时，规定它们所成的角为定它们所成的角为9090；当一条直线和平面平；当一条直线和平面平行或在平面内时，规定它们所成的角为行或在平面内时，规定它们所成的角为0
7、0. .这这样，任何一条直线和一个平面的相对倾斜度都样，任何一条直线和一个平面的相对倾斜度都可以用一个角来反映，那么直线与平面所成的可以用一个角来反映，那么直线与平面所成的角的取值范围是什么？角的取值范围是什么？思考思考6:6:如图，如图，BADBAD为斜线为斜线ABAB与平面与平面所成的所成的角，角，ACAC为平面为平面内的一条直线，那么内的一条直线，那么BADBAD与与BACBAC的大小关系如何？的大小关系如何？DCABBACBAC BADBAD思考思考7:7:两条平行直线与同一个平面所成的两条平行直线与同一个平面所成的角的大小关系如何？反之成立吗？一条直角的大小关系如何？反之成立吗？一条
8、直线与两个平行平面所成的角的大小关系如线与两个平行平面所成的角的大小关系如何？何？例例1 1已知已知PAPA平面平面ABCD,ABCD,四边形四边形ABCDABCD为正方为正方形，形，PA=AB,1)PA=AB,1)求求PCPC和平面和平面ABCDABCD所成的角所成的角 2 2）求）求PCPC和平面和平面PCDPCD所成的角所成的角 3) 3) 求求PCPC和平面和平面PCDPCD所成的角所成的角P PA AB BC CD D 例例2 2 在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中. .（1 1）求直线）求直线A A1 1B B和平面和平面ABCDABCD所成的角；所成的角；（2 2）求直线）求直线A A1 1B B和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角所成的角. .D1 1ABA1 1CB1 1C1 1DO例例3 3 如图，如图，ABAB为平面为平面的一条斜线，的一条斜线，B B为斜为斜足，足，AOAO平面平面，垂足为，垂足为O O，直线，直线BCBC在平面在平面内，已知内，已知ABC=60ABC=60，OBC=45OBC=45，求斜，求斜线线ABAB和平面和平面所成的角所成的角. .ABCOD
