《《矢量分析与场论》PPT课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《矢量分析与场论》PPT课件（82页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、电磁场与电磁波电磁场与电磁波鞠秀妍鞠秀妍课程体系课程体系电磁理论电磁理论电磁基本理论电磁基本理论电磁工程电磁工程电磁场源与场电磁场源与场的关系的关系电磁波在空间电磁波在空间传播的基本规律传播的基本规律 产生、辐射、产生、辐射、传播、接收传播、接收电磁干扰电磁干扰电磁兼容电磁兼容各方面的应用各方面的应用l抽象抽象看不见、摸不着看不见、摸不着l复杂复杂时域、频域、空域、极化时域、频域、空域、极化l要求具有较浓厚的数学功底和较强的空间想像要求具有较浓厚的数学功底和较强的空间想像力力l应用广泛应用广泛课程特点课程特点电磁场理论的发展史电磁场理论的发展史l1785年法国年法国库仑库仑(17361806)
2、定律定律l1820年丹麦年丹麦奥斯特奥斯特(17771851)发现电流的磁场发现电流的磁场l1820年法国年法国安培安培(17751836)电流回路间作用力电流回路间作用力l1831年英国年英国法拉第法拉第电磁感应定律电磁感应定律变化的磁场产生电场变化的磁场产生电场l1873年英国年英国麦克斯韦麦克斯韦(18311879)位移电流时变电场产生磁场位移电流时变电场产生磁场麦氏方程组麦氏方程组l1887年德国年德国赫兹赫兹(18571894)实验证实麦氏方程组实验证实麦氏方程组电磁波的存在电磁波的存在l近代俄国的波波夫和意大利的马可尼近代俄国的波波夫和意大利的马可尼电磁波传消息电磁波传消息l无线电
3、无线电l当今电信时代当今电信时代“电电”、“光光”通信通信电磁应用电磁应用l射线射线l医疗上用医疗上用射线作为射线作为“手术刀手术刀”来切除肿瘤来切除肿瘤lx射线射线l医疗、飞机安检，医疗、飞机安检，X射线用于透视检查射线用于透视检查l紫外线紫外线l医学杀菌、防伪技术、日光灯医学杀菌、防伪技术、日光灯l可见光可见光l七色光七色光(红、橙、黄、绿、青、蓝、紫红、橙、黄、绿、青、蓝、紫）l红外线红外线l在特定的红外敏感胶片上能形成热成像（热感应）在特定的红外敏感胶片上能形成热成像（热感应）l微波微波l军事雷达、导航、电子对抗军事雷达、导航、电子对抗l微波炉微波炉l无线电波无线电波l通信、遥感技术通
4、信、遥感技术本章主要内容本章主要内容l1、矢量及其代数运算、矢量及其代数运算l2、圆柱坐标系和球坐标系、圆柱坐标系和球坐标系l3、矢量场、矢量场l4、标量场、标量场l5、亥姆霍兹定理、亥姆霍兹定理矢量及其代数运算矢量及其代数运算l标量和矢量标量和矢量电电磁磁场场中中遇遇到到的的绝绝大大多多数数物物理理量量，能能够够容容易易地地区区分分为为标标量量（Scalar）和和矢矢量量(Vector)。一一个个仅仅用用大大小小就就能能够够完完整整描描述述的的物物理理量量称称为为标标量量，例例如如，电电压压、温温度度、时时间间、质质量量、电电荷荷等等。实实际际上上，所所有有实实数数都都是是标标量量。一一个个
5、有有大大小小和和方方向向的的物物理理量量称称为为矢矢量量，电电场场、磁磁场场、力力、速速度度、力力矩矩等等都都是是矢矢量量。例例如如，矢矢量量A可可以以表表示示成成A=aA其其中中，A是是矢矢量量A的的大大小小;a代代表表矢矢量量A的的方方向向，a=A/A其大小等于其大小等于1。一一个个大大小小为为零零的的矢矢量量称称为为空空矢矢（Null Vector）或或零零矢矢（Zero Vector），一一个个大大小小为为1的的矢矢量量称称为为单单位位矢矢量量（Unit Vector）。在在直直角角坐坐标标系系中中，用用单单位位矢矢量量ax、ay、az表征矢量分别沿表征矢量分别沿x、y、z轴分量的方向
6、。轴分量的方向。空空间间的的一一点点P(X,Y,Z)能能够够由由它它在在三三个个相相互互垂垂直直的的轴轴线线上上的的投投影影唯唯一一地地被被确确定定，如如图图1-1所所示示。从从原原点点指指向向点点P的的矢矢量量r称称为为位位置置矢矢量量(Position Vector)，它它在在直直角角坐标系中表示为坐标系中表示为r=axX+ayY+azZ图图1-1直角坐标系中一点的投影直角坐标系中一点的投影X、Y、Z是是位位置置矢矢量量r在在x、y、z轴轴上上的的投投影影。任任一一矢矢量量A在在三三维维正正交交坐坐标标系系中中都都可可以以给给出出其其三三个个分分量量。例例如如，在在直直角角坐坐标标系系中中
7、，矢矢量量A的的三三个个分分量量分分别别是是Ax、Ay、Az，利利用用三三个个单单位位矢矢量量ax、ay、az可以将矢量可以将矢量A表示成：表示成：A=axAx+ayAy+azAz 矢量矢量A的大小为的大小为A： A=(A2x+A2y+A2z)1/2 矢量的加法和减法矢量的加法和减法矢量相加的平行四边形法则矢量相加的平行四边形法则，矢量的加法的坐，矢量的加法的坐标分量是两矢量对应坐标分量之和，矢量加法的标分量是两矢量对应坐标分量之和，矢量加法的结果仍是矢量结果仍是矢量矢量的乘积矢量的乘积矢矢量量的的乘乘积积包包括括标标量量积积和和矢矢量量积。积。 1）标量积标量积任意两个矢量任意两个矢量A与与
8、B的标量积的标量积(Scalar Product)是一个标量，是一个标量，它等于两个矢量的大小与它它等于两个矢量的大小与它们夹角的余弦之乘积，如图们夹角的余弦之乘积，如图1-2所示，所示，记为记为AB=ABcos 图图1-2标量积标量积例例如如，直直角角坐坐标标系系中中的的单单位位矢矢量量有有下下列列关关系系式：式： axay=ayaz=axaz=0axax=ayay=azaz=1任任意意两两矢矢量量的的标标量量积积，用用矢矢量量的的三三个个分分量量表表示为示为AB=AxBx+AyBy+AzBz 标量积服从交换律和分配律，即标量积服从交换律和分配律，即AB=BA A(B+C)=AB+AC2）矢
9、量积矢量积任任 意意 两两 个个 矢矢 量量 A与与 B的的 矢矢 量量 积积 （ Vector Product）是是一一个个矢矢量量，矢矢量量积积的的大大小小等等于于两两个个矢矢量量的的大大小小与与它它们们夹夹角角的的正正弦弦之之乘乘积积，其其方方向向垂垂直直于于矢矢量量A与与B组组成成的的平平面面，如如图图1-3所所示示，记为记为 C=AB=anABsin an=aAaB（右手螺旋）（右手螺旋）图图1-3矢量积的图示及右手螺旋矢量积的图示及右手螺旋 (a)矢量积矢量积(b)右手螺旋右手螺旋矢矢量量积积又又称称为为叉叉积积(Cross Product)，如如果果两两个个不不为为零零的的矢矢量
10、量的的叉叉积积等等于于零零，则则这这两两个个矢矢量量必必然然相相互互平平行行，或或者者说说，两两个个相相互互平平行行矢矢量量的的叉叉积积一一定定等等于于零零。矢矢量量的的叉叉积积不不服服从从交交换换律律，但但服服从从分分配配律，即律，即AB=-BA A(B+C)=AB+AC直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：axay=az,ayaz=ax,azax=ay axax=ayay=azaz= 0 在直角坐标系中，在直角坐标系中，矢量的矢量的叉积叉积还可以表示为还可以表示为 =ax(AyBz-AzBy)+ay(AzBx-AxBz)+az(AxBy-AyBx)结论结论
11、l矢量的加减运算同向量的加减，符合平行四边矢量的加减运算同向量的加减，符合平行四边形法则形法则l任意两个矢量的点积是一个标量，任意两个矢任意两个矢量的点积是一个标量，任意两个矢量的叉积是一个矢量量的叉积是一个矢量l如果两个不为如果两个不为零零的矢量的点积等于的矢量的点积等于零零，则这两，则这两个矢量必然个矢量必然互相垂直互相垂直l如果两个不为如果两个不为零零的矢量的叉积等于的矢量的叉积等于零零，则这两，则这两个矢量必然个矢量必然互相平行互相平行1.2 1.2 圆柱坐标系和球坐标系圆柱坐标系和球坐标系l1.2.1 1.2.1 圆柱坐标系圆柱坐标系l空间任一点空间任一点P P的位置的位置 可以用圆
12、柱坐标系可以用圆柱坐标系 中的三个变量中的三个变量 来表示。来表示。l圆柱坐标系中也有三个相互圆柱坐标系中也有三个相互垂直的坐标面。垂直的坐标面。l平面平面表示一个以表示一个以z轴为轴线的半径轴为轴线的半径为为 的圆柱面。的圆柱面。平面平面表示一个以表示一个以z为界的半平面。为界的半平面。平面平面z=常数常数 表示一个平行于表示一个平行于xy平面的平面。平面的平面。l圆柱坐标系中的三个单位矢量为圆柱坐标系中的三个单位矢量为,分别指分别指向向增加的方向。三者始终保持正交关系。增加的方向。三者始终保持正交关系。（课本（课本P4）l圆柱坐标系的位置矢量圆柱坐标系的位置矢量l圆柱坐标系中的单位矢量与直
13、角坐标系的单位矢圆柱坐标系中的单位矢量与直角坐标系的单位矢量之间的关系：量之间的关系：l矩阵形式：矩阵形式：l三个坐标面的面元矢量与体积元：三个坐标面的面元矢量与体积元：球坐标系：球坐标系：l球坐标系中，空间任意一点球坐标系中，空间任意一点P P可用三个可用三个 坐标变量（坐标变量（ ) )来表示。来表示。l球坐标系也有三个坐标面：球坐标系也有三个坐标面：表示一个半径为表示一个半径为r的球面。的球面。坐标面坐标面=常数，表示一个以原点为顶点、以常数，表示一个以原点为顶点、以z轴轴为轴线的圆锥面。为轴线的圆锥面。坐标面坐标面表示一个以表示一个以z轴为界的半平面。轴为界的半平面。l球坐标系的位置矢
14、量可表示为：球坐标系的位置矢量可表示为：l球坐标系中的三个单位矢量互相正交，遵守右手球坐标系中的三个单位矢量互相正交，遵守右手螺旋法则。（课本螺旋法则。（课本P6） l球坐标系与直角坐标系的单位矢量的转换：球坐标系与直角坐标系的单位矢量的转换：l面元矢量和体积元：面元矢量和体积元：1.3 1.3 矢量场矢量场矢量场的矢量线矢量场的矢量线矢量场空间中任意一点矢量场空间中任意一点P处的矢量可用一处的矢量可用一个矢性函数个矢性函数A=A（P）来表示。直角坐标）来表示。直角坐标中，可以表示成如下形式：中，可以表示成如下形式：l矢量线：在曲线上的每矢量线：在曲线上的每一点处，场的矢量都位一点处，场的矢量
15、都位于该点处的切线上。如于该点处的切线上。如电力线，磁力线等。电力线，磁力线等。l矢量线方程：矢量线方程：l直角坐标系中，其表达直角坐标系中，其表达式为：式为：l例例1-2求矢量场求矢量场A=xy2ax+x2yay+zy2az的矢量线方程。的矢量线方程。解：解：矢量线应满足的微分方程为矢量线应满足的微分方程为从而有从而有解之即得矢量方程解之即得矢量方程c1和和c2是积分常数。是积分常数。矢量场的通量及散度矢量场的通量及散度将将曲曲面面的的一一个个面面元元用用矢矢量量dS来来表表示示，其其方方向向取取为为面面元元的的法法线线方方向向，其大小为其大小为dS，即，即n是面元法线方向的单位矢量。是面元
16、法线方向的单位矢量。A与面元与面元dS的标量积称为矢量场的标量积称为矢量场A穿过穿过dS的通量的通量将将曲曲面面S各各面面元元上上的的AdS相相加加，它它表表示示矢矢量量场场A穿穿过过整整个个曲曲面面S的通量，也称为矢量的通量，也称为矢量A在曲面在曲面S上的面积分：上的面积分：如果曲面是一个封闭曲面，则如果曲面是一个封闭曲面，则l2、矢量场的散度、矢量场的散度哈米尔顿（哈米尔顿（Hamilton）算子）算子为了方便，引入一个矢性微分算子：为了方便，引入一个矢性微分算子：在在直直角角坐坐标标系系中中称称之之为为哈哈米米尔尔顿顿算算子子，是是一一个个微微分分符符号号，同同时时又又要要当当作作矢矢量
17、量看看待待。算算子子与与矢矢性性函函数数A的的点点积积为为一一标标量量函函数数。在在直直角角坐坐标标系系中中，散散度的表达式可以写为度的表达式可以写为结论结论ldivA是一标量，表示场中一点处的通量对体积是一标量，表示场中一点处的通量对体积的变化率，即在该点处对一个单位体积来说所的变化率，即在该点处对一个单位体积来说所穿出的通量，称为该点处源的强度。穿出的通量，称为该点处源的强度。l它描述的是场分量沿各自方向上的变化规律。它描述的是场分量沿各自方向上的变化规律。l当当divA0，表示矢量场，表示矢量场A在该点处有散发通量在该点处有散发通量的正源，称为源点；的正源，称为源点；divA0,表示矢量
18、场表示矢量场A在在该点处有吸收通量的负源，称为汇点；该点处有吸收通量的负源，称为汇点；divA=0，矢量场，矢量场A在该点处无源。在该点处无源。ldivA0的场是连续的或无散的矢量场。的场是连续的或无散的矢量场。l3、高斯散度定理、高斯散度定理l矢量场散度的体积分等于矢量场在包围该体积矢量场散度的体积分等于矢量场在包围该体积的闭合面上的法向分量沿闭合面的面积分的闭合面上的法向分量沿闭合面的面积分.例例:球面球面S上任意点的位置矢量为上任意点的位置矢量为r=xax+yay+zaz，求，求解：解：根据散度定理知根据散度定理知而而r的散度为的散度为所以所以l矢量场的环量及旋度矢量场的环量及旋度l1、
19、环量的定义、环量的定义设设有有矢矢量量场场A，l为为场场中中的的一一条条封封闭闭的的有有向向曲曲线线，定定义义矢矢量量场场A环环绕绕闭闭合合路路径径l的的线线积积分分为为该该矢矢量量的的环量环量，记作，记作矢矢量量的的环环量量和和矢矢量量穿穿过过闭闭合合面面的的通通量量一一样样，都都是是描描绘绘矢矢量量场场A性性质质的的重重要要物物理理量量，同同样样都都是是积积分分量量。为为了了知知道道场场中中每每个个点点上上旋旋涡涡源源的的性性质质，引引入入矢量场矢量场旋度旋度的概念的概念。若环量不等于若环量不等于0，则在，则在L内必然有产生这种场内必然有产生这种场的旋涡源，若环量等于的旋涡源，若环量等于0
20、，则在，则在L内没有旋涡内没有旋涡源。源。矢量场的环量 闭合曲线方向与面元的方向示意图2、矢量场的旋度、矢量场的旋度l1）旋度的定义）旋度的定义设设P为为矢矢量量场场中中的的任任一一点点，作作一一个个包包含含P点点的的微微小小面面元元S，其其周周界界为为l，它它的的正正向向与与面面元元S的的法法向向矢矢量量n成成右右手手螺螺旋旋关关系系。当当曲曲面面S在在P点点处处保保持持以以n为为法法矢矢不不变变的的条条件件下下，以以任任意意方方式式缩向缩向P点，取极限点，取极限若极限存在，则称矢量场若极限存在，则称矢量场A沿沿L正向的环量与正向的环量与面积面积SS之比为矢量场在之比为矢量场在P P点处沿点
21、处沿n n方向的环量方向的环量面密度，即环量对面积的变化率。面密度，即环量对面积的变化率。l必存在一个固定矢量必存在一个固定矢量R，它在任意面元方向上的投影，它在任意面元方向上的投影就给出该方向上的环量面密度，就给出该方向上的环量面密度，R的方向为环量面密的方向为环量面密度最大的方向，其模即为最大环量面密度的数值。称度最大的方向，其模即为最大环量面密度的数值。称固定矢量固定矢量R为矢量为矢量A的旋度。的旋度。旋度为一矢量旋度为一矢量。l rotA=Rl旋度矢量在旋度矢量在n方向上的投影为：方向上的投影为：l直角坐标系中旋度的表达式为：l一个矢量场的旋度表示该矢量场单位面积上的一个矢量场的旋度表
22、示该矢量场单位面积上的环量，环量，描述的是场分量沿着与它相垂直的方向描述的是场分量沿着与它相垂直的方向上的变化规律上的变化规律。l若旋度不等于若旋度不等于0，则称该矢量场是有旋的，若，则称该矢量场是有旋的，若旋度等于旋度等于0，则称此矢量场是无旋的或保守的，则称此矢量场是无旋的或保守的l旋度的一个重要性质：旋度的一个重要性质：任意矢量旋度的任意矢量旋度的散度恒等于零散度恒等于零，即即 ( A)0如果有一个矢量场如果有一个矢量场B的散度等于零，则该的散度等于零，则该矢量矢量B就可以用另一个矢量就可以用另一个矢量A的旋度来表的旋度来表示，即当示，即当 B=0则有则有 B= Al3、斯托克斯定理斯托
23、克斯定理矢量分析中另一个重要定理是矢量分析中另一个重要定理是称称之之为为斯斯托托克克斯斯定定理理，其其中中S是是闭闭合合路路径径l所所围围成成的的面面积积，它它的的方方向向与与l的的方方向向成成右右手手螺螺旋旋关关系系。该该式式表表明明：矢矢量量场场A的的旋旋度度沿沿曲曲面面S法法向向分分量量的的面面积积分分等等于于该矢量沿围绕此面积曲线边界的线积分。该矢量沿围绕此面积曲线边界的线积分。例例：已已知知一一矢矢量量场场F=axxy-ayzx,试求：试求：（1）该矢量场的旋度该矢量场的旋度;（2）该该矢矢量量沿沿半半径径为为3的的四四分分之之一一圆圆盘盘的的线线积积分分，如如图图所所示示，验验证证
24、斯斯托托克克斯定理。斯定理。四分之一圆盘例例：求求矢矢量量A=-yax+xay+caz(c是是常常数数)沿沿曲曲线线(x-2)2+y2=R2,z=0的环量的环量(见图见图1-6)。解解：由于在曲线由于在曲线l上上z=0，所以，所以dz=0。例例:求求矢矢量量场场A=x(z-y)ax+y(x-z)ay+z(y-x)az在在点点M(1，0，1)处处的旋度以及沿的旋度以及沿n=2ax+6ay+3az方向的环量面密度。方向的环量面密度。解：解：矢量场矢量场A的旋度的旋度在点M(1，0，1)处的旋度n方向的单位矢量在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度1.4 1.4 标量场标量场l一个仅用大小就可以
25、完整表征的场称为标量场一个仅用大小就可以完整表征的场称为标量场l等值面等值面l方向导数方向导数l梯度梯度l梯度的积分梯度的积分l1、等值面、等值面l为考察标量场的空间分布，引入等值面的概念。一个标量场可为考察标量场的空间分布，引入等值面的概念。一个标量场可以用一个标量函数来表示。例如，标量以用一个标量函数来表示。例如，标量是场中点是场中点的单值函数，它可表示为的单值函数，它可表示为l而而是坐标变量的连续可微函数，令是坐标变量的连续可微函数，令l随着随着C的取值不同，得到一组曲面。在每一个曲的取值不同，得到一组曲面。在每一个曲面上的各点，虽然坐标值不同，但函数值均为面上的各点，虽然坐标值不同，但
26、函数值均为C。这样的曲面称为标量场这样的曲面称为标量场u的等值面。的等值面。例如温度场中的等值面，就是由温度相同的点例如温度场中的等值面，就是由温度相同的点所组成的等温面；电位场中的等值面，就是由所组成的等温面；电位场中的等值面，就是由电位相同的点组成的等位面。电位相同的点组成的等位面。l如果某一标量物理函数如果某一标量物理函数u仅是两个坐标变量的仅是两个坐标变量的函数，这种场称为平面标量场（即二维场），函数，这种场称为平面标量场（即二维场），则则u(x,y)=C（C为任意常数）为任意常数）称为等值线方程，它在几何上一般表示一组等称为等值线方程，它在几何上一般表示一组等值曲线。场中的等值线互不
27、相交。如地图上的值曲线。场中的等值线互不相交。如地图上的等高线，地面气象图上的等温线、等压线等等等高线，地面气象图上的等温线、等压线等等都是平面标量场的等值线的例子。都是平面标量场的等值线的例子。l2、方向导数、方向导数l为了研究标量函数在场中各点的邻域内沿每一为了研究标量函数在场中各点的邻域内沿每一方向的变化情况，引入方向导数。方向的变化情况，引入方向导数。l当上式极限存在，则称它为当上式极限存在，则称它为函数函数u(P)在点在点P0处沿处沿方向方向的方向导数。的方向导数。l方向导数的计算公式：方向导数的计算公式：l在直角坐标系中，设在直角坐标系中，设在点在点P0（x0,y0,z0）处可微，
28、则有处可微，则有l点点P0至至P点的距离矢量为点的距离矢量为若若与与轴的夹角分别为轴的夹角分别为,则则同理有同理有,l也称为也称为的方向余弦。的方向余弦。 l例：例：求数量场求数量场=(x+y)2-z通过点通过点M(1,0,1)的等值面方程。的等值面方程。解解：点点M的的坐坐标标是是x0=1,y0=0,z0=1，则则该该点点的的数数量量场值为场值为=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为。其等值面方程为或例例:求数量场求数量场在点在点M(1,1,2)处沿处沿l=ax+2ay+2az方向的方向导数。方向的方向导数。解：解：l方向的方向余弦为方向的方向余弦为而而数量场在数量场在l方向的方向导数
29、为方向的方向导数为在点在点M处沿处沿l方向的方向导数方向的方向导数l3、梯度、梯度l 方向导数解决了函数方向导数解决了函数U(P)在给定点处沿某个方向的变化在给定点处沿某个方向的变化率问题。但是从标量场中的给定点出发，有无穷多个方向，率问题。但是从标量场中的给定点出发，有无穷多个方向，函数沿其中哪个方向其变化率最大呢？最大的变化率又是函数沿其中哪个方向其变化率最大呢？最大的变化率又是多少呢？多少呢？ l对同样的对同样的U的增量的增量du，存在着最大的空间增长率，即最大，存在着最大的空间增长率，即最大的方向导数。很明显，沿等值面的法线方向的方向导数最的方向导数。很明显，沿等值面的法线方向的方向导
30、数最大，其距离最短。大，其距离最短。l因此可定义用来表示一个标量最大因此可定义用来表示一个标量最大空间的增长率的大小和方向的矢量空间的增长率的大小和方向的矢量G，就是标量的梯度。就是标量的梯度。 l梯度公式：梯度公式：l梯度又可以表示为算子与标量函数相乘：梯度又可以表示为算子与标量函数相乘：l标量拉普拉斯算子：标量拉普拉斯算子：l直角坐标系中标量函数的拉普拉斯表达式：直角坐标系中标量函数的拉普拉斯表达式：l4、梯度的性质：、梯度的性质：l方向导数等于梯度在该方向上的投影：方向导数等于梯度在该方向上的投影：l在标量场中任意一点在标量场中任意一点P处的梯度垂直于过该点的等值处的梯度垂直于过该点的等
31、值面，或说等值面法线方向就是该点的梯度方向面，或说等值面法线方向就是该点的梯度方向由由此此，可可将将等等值值面面上上任任一一点点单单位位法法向向矢矢量量表表示为：示为： l梯度的旋度恒等于零：梯度的旋度恒等于零：l5、梯度的积分、梯度的积分l设标量场设标量场u,标量场梯度标量场梯度F是一个无旋场，则由斯托是一个无旋场，则由斯托克斯定理可知，无旋场沿闭合路径的积分必然为零：克斯定理可知，无旋场沿闭合路径的积分必然为零：l这说明积分与路径无关，仅与始点这说明积分与路径无关，仅与始点P1和终点和终点P2的的位置有关。位置有关。l选定选定P1为参考点，为参考点，P2为任意动点，则为任意动点，则P2点的
32、函数点的函数值可以表示成：值可以表示成：l如果已知一个无旋场，选定一个参考点，就可求得如果已知一个无旋场，选定一个参考点，就可求得其标量场其标量场u.l结论：结论：1.5 1.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理l矢量场的散度、旋度和标量场的梯度都是场性矢量场的散度、旋度和标量场的梯度都是场性质的重要度量。换言之，一个矢量场所具有的质的重要度量。换言之，一个矢量场所具有的性质，可完全由它的散度和旋度来表明；一个性质，可完全由它的散度和旋度来表明；一个标量场的性质则完全可以由它的梯度来表明。标量场的性质则完全可以由它的梯度来表明。亥姆霍兹定理就是对矢量场性质的总结说明。亥姆霍兹定理就是对矢量场性质的总结
33、说明。l无旋场的散度不能处处为零，同样，无散场的无旋场的散度不能处处为零，同样，无散场的旋度也不能处处为零，否则矢量场就不存在。旋度也不能处处为零，否则矢量场就不存在。l任何一个矢量场都必须有源，矢量场的散度对任何一个矢量场都必须有源，矢量场的散度对应发散源，矢量场的旋度对应旋涡源。应发散源，矢量场的旋度对应旋涡源。 l当一个矢量场的两类源在空间的分布确定时，当一个矢量场的两类源在空间的分布确定时，该矢量场就唯一地确定了，这一规律称为亥姆该矢量场就唯一地确定了，这一规律称为亥姆霍兹定理霍兹定理。l因为场是由它的源引起的，所以场的分布由源因为场是由它的源引起的，所以场的分布由源的分布决定。现在矢
34、量的散度、旋度为已知，的分布决定。现在矢量的散度、旋度为已知，即源分布已确定，自然，矢量场分布也就唯一即源分布已确定，自然，矢量场分布也就唯一地确定。地确定。 l研究任意一个矢量场都应该从散度和旋度两个研究任意一个矢量场都应该从散度和旋度两个方面去进行（或通量和环量）。方面去进行（或通量和环量）。l矢量场基本方程的微分形式：矢量场基本方程的微分形式：l矢量场基本方程的积分形式：矢量场基本方程的积分形式：l亥姆霍兹定理非常重要，它总结了矢量场的基本性亥姆霍兹定理非常重要，它总结了矢量场的基本性质，是研究电磁场理论的一条主线。无论是静态质，是研究电磁场理论的一条主线。无论是静态场，还是时变场，都要研究场矢量的散度、旋度场，还是时变场，都要研究场矢量的散度、旋度以及边界条件以及边界条件 l源和场的关系：源和场的关系：
