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1、上节回顾：上节回顾：大小大小 ： L=r mvsin 方向：方向：右手螺旋法则右手螺旋法则若质点作圆运动，则：若质点作圆运动，则：L = rmv = mr2 = J 注意：不是圆运动注意：不是圆运动( 2 )不能这样表示不能这样表示.2、质点的角动量定理、质点的角动量定理 ：Mdt = dL 微分形式微分形式积分形式积分形式物理意义：质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。物理意义：质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。3、质点的角动量守恒定律：若质点所受合力矩为零，、质点的角动量守恒定律：若质点所受合力矩为零，=即即 M = 0 ，则有则有 dL= 0 ，即即 L = 恒量恒量r1P1sin
2、1 = r2P2sin 2（下一页）（下一页）1、质点对原点、质点对原点O 的角动量的角动量 L =r P =mr v2021/6/714、刚体定轴转动的角动量、刚体定轴转动的角动量 L = J 5、刚体定轴转动的角动量定理、刚体定轴转动的角动量定理 若若J 变化，则变化，则6、刚体定轴转动的角动量守恒定律：、刚体定轴转动的角动量守恒定律：当合外力矩为零时，即当合外力矩为零时，即 M外外=0 时，时，L =恒量，即恒量，即 J2 2 = J1 1（下一页）（下一页）2021/6/72一、一、力矩的功力矩的功称为力矩的功。称为力矩的功。力矩作功是力作功的角量表达式力矩作功是力作功的角量表达式xO
3、Pd 圆轨道上的弧元圆轨道上的弧元（下一页）（下一页）4 4 力矩作功力矩作功 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理2021/6/73刚体上所有质元的动能之和为：刚体上所有质元的动能之和为：三、刚体定轴转动的动能定理三、刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能变化的原因可以用力矩作刚体定轴转动的动能变化的原因可以用力矩作功的效果来解释。功的效果来解释。（下一页）（下一页）二、转动动能二、转动动能2021/6/74上式即为：上式即为： 合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于刚体的转动动能的增量。的功等于刚体的转动动能的增量。（下一页）（下一页）定
4、轴转动的动能定理定轴转动的动能定理2021/6/75四、刚体的重力势能四、刚体的重力势能hhihcxOmCm整个刚体：整个刚体： 一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质量都集中在质心时所具有的势能。质量都集中在质心时所具有的势能。 对于含有刚体的系统对于含有刚体的系统, ,如果在运动过程中只有保如果在运动过程中只有保守内力作功守内力作功, ,则此系统的机械能守恒。则此系统的机械能守恒。一一个质元：个质元：（下一页）（下一页） 对于系统的动能，除了考虑它的平动动能，对于系统的动能，除了考虑它的平动动能，还要考虑它的转动动能。还要考虑它的转动动能。202
5、1/6/76介绍：介绍：*39 质心质心 质心运动定理质心运动定理 (P95)一一 质心质心有有n 个质点组成的质点系，其质心位置可由下式确定个质点组成的质点系，其质心位置可由下式确定若取若取为质点系内各质点的质量总和为质点系内各质点的质量总和上式可写为上式可写为对时间的一阶导数为：对时间的一阶导数为：（下一页）（下一页）2021/6/77上式表明：系统内各质点的动量的矢量和等于系统上式表明：系统内各质点的动量的矢量和等于系统质心的速度乘以系统的质量。质心的速度乘以系统的质量。上式表明：作用在系统上的合外力等于系统的总质量上式表明：作用在系统上的合外力等于系统的总质量乘以系统质心的加速度。乘以
6、系统质心的加速度。此即质心运动定律。利用此定律求解多粒子体系的此即质心运动定律。利用此定律求解多粒子体系的物理问题时，会带来许多方便。物理问题时，会带来许多方便。以上质心问题只是了解一下就可以了，不要求掌握。以上质心问题只是了解一下就可以了，不要求掌握。完毕完毕2021/6/78例例、一个质量为、半径为的定一个质量为、半径为的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为的物体而下垂。忽略轴处一质量为的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体由静止下落高度时摩擦，求物体由静止下落高度时的速度和此时滑轮的角速
7、度。的速度和此时滑轮的角速度。解：解：据机械能守恒定律：据机械能守恒定律：上次的例题另解如下：上次的例题另解如下：RM比上次作法简单比上次作法简单（下一页）（下一页）2021/6/79T4-27、如图所示，一质量为如图所示，一质量为m的小球由一绳索系着，以角的小球由一绳索系着，以角速度速度 0 在无摩擦的水平面上，在无摩擦的水平面上，作半径为作半径为r0 的圆周运动。如果的圆周运动。如果在绳的另一端作用一竖直向下在绳的另一端作用一竖直向下F 0m的拉力，使小球作半径为的拉力，使小球作半径为r0/2的圆周运动。试求：的圆周运动。试求：小球新的角速度；小球新的角速度； 拉力所作的功。拉力所作的功。
8、分析：分析：沿轴向的拉力对小球不产生力矩，因此，小球沿轴向的拉力对小球不产生力矩，因此，小球在水平面上转动的过程中不受外力矩作用，其角动量应在水平面上转动的过程中不受外力矩作用，其角动量应保持不变。但是，外力改变了小球圆周运动的半径，也保持不变。但是，外力改变了小球圆周运动的半径，也改变了小球的转动惯量，从而改变了小球的角速度；改变了小球的转动惯量，从而改变了小球的角速度；拉力所作的功，可根据动能定理由小球动能的变化得到。拉力所作的功，可根据动能定理由小球动能的变化得到。解：解：根据分析小球在转动过程中，角动量守恒，根据分析小球在转动过程中，角动量守恒，故有故有 J0 0 = J1 1（下一页
9、）（下一页）2021/6/710 式中式中随着小球转动角速度的增加，其转动动能也随着小球转动角速度的增加，其转动动能也 =增加，这正是拉力作功的结果。由转动的动增加，这正是拉力作功的结果。由转动的动=能定理可得拉力的功为能定理可得拉力的功为（下一页）（下一页）2021/6/711例例3 3、如图，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一如图，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量点，杆的质量m与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度下垂，将单摆的摆锤拉到高度h h0 0 ，令它自静止状态下，令它自静止状态下垂垂, ,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞
10、。求碰撞后直杆下端于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的高度达到的高度h 。（下一页）（下一页）解解: :碰撞前单摆摆锤的速度为碰撞前单摆摆锤的速度为chchh=3h0/2bamlhol2021/6/712 令碰撞后直杆的角速度为令碰撞后直杆的角速度为 ，摆锤的速度为，摆锤的速度为v 。由角动量守恒，有由角动量守恒，有在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的: :二式联立解得：二式联立解得：（下一页）（下一页）式中式中而杆的质心达到的高度满足而杆的质心达到的高度满足由此得由此得按机械能守恒，碰撞后摆锤达到的高度显然为按机械能守恒，碰撞后摆锤达到的高度显然为（
11、碰后速度减为一半，动能减为四分之一）（碰后速度减为一半，动能减为四分之一）2021/6/713P153，T4-26 地球对自转轴的转动惯量为地球对自转轴的转动惯量为033mER2 ，其中其中mE为地球的质量，为地球的质量，R为地球的半径（为地球的半径（1）求地）求地球自转时的动能；（球自转时的动能；（2）由于潮汐的作用，地球自转）由于潮汐的作用，地球自转的速度逐渐减小，一年内自转周期增加的速度逐渐减小，一年内自转周期增加3510-5 s ,求求潮汐对地球的平均力矩。潮汐对地球的平均力矩。分析：分析：地球自转一周的时间为地球自转一周的时间为24小时，由小时，由 =2/T 可可确定地球自转的角速度
12、和转动动能确定地球自转的角速度和转动动能EK=1/2J2 。随着随着自转周期的增加，相应自转周期的增加，相应 自转角速度将减小，因而转动自转角速度将减小，因而转动动能也将减少。对上述两式微分，可得动能也将减少。对上述两式微分，可得EKT 的的关系，又由关系，又由W=M =EK ，即可求得即可求得M 。解：解：（1）地球的）地球的mE=5981024kg ，R=637106m ， 地球自转的动能地球自转的动能EK=1/2J2=（033/2）mER2（2/T）2 =2121029J；（2）对式）对式=2/T两边微分，得两边微分，得d=（2/T2）dT（下一页）（下一页）2021/6/714由地球自
13、转减慢而引起动能的减少量为由地球自转减慢而引起动能的减少量为当周期变化一定量时，当周期变化一定量时，（1）（2）又根据动能定理又根据动能定理（3）由式（由式（2）、（）、（3）、（）、（4）可得潮汐的摩擦力矩为：）可得潮汐的摩擦力矩为：式中式中 n =365天，天，T 为一天中周期的增加量。为一天中周期的增加量。（下一页）（下一页） = 2n (4)一年内一年内2021/6/715P154，T4-30 在在T3-28（P105）的冲击摆问题中，若一的冲击摆问题中，若一质量为质量为m的均匀细棒代替柔绳，子弹速度的最小值是的均匀细棒代替柔绳，子弹速度的最小值是多少？多少？T3-28、质量为质量为m
14、 的弹丸的弹丸A ，穿过如图穿过如图3-28所示的摆锤所示的摆锤后后 ，速率由，速率由 v 减少到减少到 v / 2 。已知摆锤的质量为已知摆锤的质量为m ，摆线的长度为摆线的长度为 l ，如果摆锤能在垂直平面内完成一个如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动完全的圆周运动 ， v 的最小值应为多少？的最小值应为多少？解：解：水平方向的动量守恒，有水平方向的动量守恒，有在最高点，绳中张力在最高点，绳中张力FT=0 ，则则为摆锤在最高点的速率为摆锤在最高点的速率又摆锤在垂直平面内圆周运动时，机械能守恒又摆锤在垂直平面内圆周运动时，机械能守恒 ，（下一页）（下一页）2021/6/716故有故有
15、解上述三个方程解上述三个方程 ，可得弹丸所需速率的最小值为，可得弹丸所需速率的最小值为若以细直棒代替柔绳若以细直棒代替柔绳 ，不同之处在于，不同之处在于 ：（1）子弹与摆锤相互作用过程不再）子弹与摆锤相互作用过程不再满足动量守恒满足动量守恒 ，而应属于角动量守恒，而应属于角动量守恒 （轴对棒有水平分力作用）；（轴对棒有水平分力作用）； （2）摆在转动过程中）摆在转动过程中 ，机械能守恒，机械能守恒，且在最高端且在最高端EK0 即可。即可。 解：解：取子弹与摆为系统取子弹与摆为系统 ，角动量守恒，有，角动量守恒，有（下一页）（下一页）vmml2021/6/717摆在转动过程中机械能守恒，摆在转动
16、过程中机械能守恒，取子弹射入处为零势点，有取子弹射入处为零势点，有由式（由式（1）、（）、（2）可得子弹速度的最小值为）可得子弹速度的最小值为（下一页）（下一页）2021/6/718P154，T4-33、如图，在光如图，在光滑的水平面上有一劲度系数滑的水平面上有一劲度系数为为k的轻质弹簧，它的一端的轻质弹簧，它的一端固定，另一端系一质量为固定，另一端系一质量为m的滑块。最初滑块静止时，弹簧呈自然长度的滑块。最初滑块静止时，弹簧呈自然长度 l。，。，今今有质量为有质量为m 的子弹以速度的子弹以速度v。沿水平方向并垂直于弹簧沿水平方向并垂直于弹簧轴线射向滑块且留在其中，滑块在水平面内滑动）当轴线射
17、向滑块且留在其中，滑块在水平面内滑动）当弹簧被拉伸至长度为弹簧被拉伸至长度为 l 时，求滑快速度的大小和方向。时，求滑快速度的大小和方向。分析：分析：该题可分两个过程。（该题可分两个过程。（1）子弹与滑块撞击的过）子弹与滑块撞击的过程，是完全非弹性碰撞，沿子弹运动方向外力为零，程，是完全非弹性碰撞，沿子弹运动方向外力为零，系统动量守恒，系统动量守恒，可求出碰撞后它们的共同速度可求出碰撞后它们的共同速度v1 ；（2）它们碰后以共同速度运动时，由于弹簧不断伸长，它们碰后以共同速度运动时，由于弹簧不断伸长，滑块在受到指向固定点的弹力的作用下作弧线运动。滑块在受到指向固定点的弹力的作用下作弧线运动。m
18、Ov0ml。v2lv1（下一页）（下一页）2021/6/719该弹力对滑块不产生力矩，因而滑块在运动中角动量该弹力对滑块不产生力矩，因而滑块在运动中角动量守恒；与此同时，对滑块、弹簧组成的系统也满足机守恒；与此同时，对滑块、弹簧组成的系统也满足机械能守恒。这样，应用机械能守恒可求出滑快速度的械能守恒。这样，应用机械能守恒可求出滑快速度的大小，应用角动量守恒可求出其速度的方向。大小，应用角动量守恒可求出其速度的方向。解：解：子弹射入滑块瞬间，完全非弹性碰撞，动量守恒，子弹射入滑块瞬间，完全非弹性碰撞，动量守恒，有有 mv0=（m+m）v1 （1）之后，滑块与子弹一起运动的过程中，在包括弹簧之后，
19、滑块与子弹一起运动的过程中，在包括弹簧的系统内，机械能守恒，有的系统内，机械能守恒，有（2）又在滑块绕固定点作弧线运动中，角动量守恒，故有又在滑块绕固定点作弧线运动中，角动量守恒，故有（m+m）v1l0=（m+m）v2l sin （3） 式中式中 为滑块速度方向与弹簧线之间的夹角为滑块速度方向与弹簧线之间的夹角联立解上述三式，可得联立解上述三式，可得（下一页）（下一页）2021/6/720（下一页）（下一页）五、力矩的功率五、力矩的功率 即力矩的功率等于力矩与角速度的乘积。当即力矩的功率等于力矩与角速度的乘积。当功率一定时，转速越低，力矩越大；反之，转速功率一定时，转速越低，力矩越大；反之，转
20、速越高，力矩越小。越高，力矩越小。2021/6/721看课本看课本P139 表表4-3 质点、刚体对照表质点、刚体对照表再加上质点对定轴的角动量再加上质点对定轴的角动量 L=mv r sin 机械能的动能有：平动动能、转动动能；机械能的动能有：平动动能、转动动能； = 势能有：重力势能、万有引力势能、弹性势能势能有：重力势能、万有引力势能、弹性势能 到此为止，力学的三大守恒定律，我们都已学完。到此为止，力学的三大守恒定律，我们都已学完。 要加强对角动量的概念的理解。要加强对角动量的概念的理解。 角动量守恒定律，同动量守恒定律一样，也是用角动量守恒定律，同动量守恒定律一样，也是用牛顿力学原理牛顿
21、力学原理“推证推证”出来的，但它们不仅适用于宏出来的，但它们不仅适用于宏观、低速领域，而且通过相应的扩展和修正后也适用观、低速领域，而且通过相应的扩展和修正后也适用于微观、高速（接近光速）的领域，是比牛顿力学理于微观、高速（接近光速）的领域，是比牛顿力学理论更为普适的物理定律论更为普适的物理定律（下一页）（下一页）2021/6/7224-6 经典力学的成就和局限性经典力学的成就和局限性一、狭义相对论基础一、狭义相对论基础二、确定性与随机性二、确定性与随机性 人们把确定性运动具有的不确定性的现象称人们把确定性运动具有的不确定性的现象称之为混沌现象。之为混沌现象。 先有先有“系统论系统论”、“信息
22、论信息论”、“控制论控制论”三论三论又有又有“同一论同一论”、“协同论协同论”、“耗散结构理论耗散结构理论”三论三论三、能量的连续性与能量量子化三、能量的连续性与能量量子化 在经典力学中，物体的能量变化是连续的。在经典力学中，物体的能量变化是连续的。能量量子化是微观粒子的重要性质之一能量量子化是微观粒子的重要性质之一（下一页）（下一页）2021/6/723课本课本P153 ，T4-24 （1）设氢原子中电子在圆形轨道中以速率）设氢原子中电子在圆形轨道中以速率v 绕质子运绕质子运动。作用在电子上的向心力为电作用力，其大小为动。作用在电子上的向心力为电作用力，其大小为其中其中e 为电子、质子的电量
23、，为电子、质子的电量， r 为轨道半径为轨道半径0 为恒量为恒量试证轨道半径为试证轨道半径为（2）假设电子绕核的角动量只能为）假设电子绕核的角动量只能为h / 2 的整数倍，的整数倍，其中其中h 为普朗克恒量。试证电子为普朗克恒量。试证电子 的可能轨道半径由下式确定：的可能轨道半径由下式确定：（3）试由以上两式消去）试由以上两式消去 v ，从而证明符合这两个要求从而证明符合这两个要求的轨道半径必须的轨道半径必须 满足以下关系式：满足以下关系式：（式中（式中n 可取正整数可取正整数=1、2、3、）（下一页）（下一页）2021/6/724分析：分析：在氢原子中，电子、质子的线度远小于它们在氢原子中
24、，电子、质子的线度远小于它们之间的距离之间的距离，因此，可将它们视为质点。又由于它，因此，可将它们视为质点。又由于它们之间的电作用力远大于万有引力，因此，可略去们之间的电作用力远大于万有引力，因此，可略去万有引力。由电子在圆周运动中的径向动力学方程万有引力。由电子在圆周运动中的径向动力学方程和角动量和角动量L 的量子化条件，可证得题中各结果。的量子化条件，可证得题中各结果。证证（1）已知电子的向心力，根据径向动力学方程，有）已知电子的向心力，根据径向动力学方程，有则电子的轨则电子的轨道半径为道半径为（2）已知电子角动量的量子化条件为）已知电子角动量的量子化条件为有有则电子可能的轨道半径为则电子
25、可能的轨道半径为（下一页）（下一页）2021/6/725（3）根据（）根据（1）和（）和（2）的结果消去）的结果消去 v ，电子可能的电子可能的轨道半径也可表示为轨道半径也可表示为式中式中n 可取正整数可取正整数1、2、3、 经典物理不能用来描述微观粒子的运动；符合经典物理不能用来描述微观粒子的运动；符合微观粒子的特点的是微观粒子的特点的是量子力学量子力学 量子力学还指出描述物体（微观粒子）运动状态量子力学还指出描述物体（微观粒子）运动状态的位置和动量有相互联系，但不能同时精确确定，而的位置和动量有相互联系，但不能同时精确确定，而且一般作不连续的变化。且一般作不连续的变化。 对于宏观物体，用量子力学和经典力学所得的结对于宏观物体，用量子力学和经典力学所得的结果相差甚微。所以，经典力学对于宏观物体还是适用果相差甚微。所以，经典力学对于宏观物体还是适用的。的。下面作业下面作业2021/6/726 作业：作业： P153 T4-28、P154 T4-29。Bye Bye! 下次课带下册书来下次课带下册书来, 学习第十八章学习第十八章 相对论相对论2021/6/727部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
