高等代数与解析几何第八章课件

水桶的表面、台灯的罩子面等．水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．．曲面方程的定义：曲面方程的定义：曲面的实例：曲面的实例： §8.1 §8.1 曲面的方程曲面的方程下一页返回根据题意有根据题意有化简得所求方程化简得所求方程解解上一页下一页返回解解根据题意有根据题意有所求方程为所求方程为上一页下一页返回以下给出几例常见的曲面以下给出几例常见的曲面.解解根据题意有根据题意有所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为上一页下一页返回得上、下半球面的方程分别是：得上、下半球面的方程分别是：当当 A2+B2+C2-4D >0 时时, 是球面方程是球面方程.由由由上述方程可得球面的一般式方程为：由上述方程可得球面的一般式方程为：反之，由一般式方程（反之，由一般式方程（*），经过配方又可得到：），经过配方又可得到：x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0 （（*））(x+A/2)2+(y+B/2)2+(z+C/2)2=(A2+B2+C2-4D)/4上一页下一页返回例例4 4 方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？根据题意有根据题意有图形上不封顶，下封底．图形上不封顶，下封底．解解以上方法称为以上方法称为截痕法截痕法.上一页下一页返回以上几例表明研究空间曲面有以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：：（（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．上一页返回二、曲面的参数方程二、曲面的参数方程二、曲面的参数方程二、曲面的参数方程例例例例3(P41)3(P41)3(P41)3(P41) 求以求以求以求以z z 轴为对称轴，半径为轴为对称轴，半径为轴为对称轴，半径为轴为对称轴，半径为R R 的圆柱面的参数方程的圆柱面的参数方程的圆柱面的参数方程的圆柱面的参数方程. . . .注意注意注意注意 空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的. . . .空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不方程，不在曲线上的点不能同时满足两个方程能同时满足两个方程.空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点：：下一页返回 空间曲线的方程空间曲线的方程例例1 1 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？解解表示圆柱面，表示圆柱面，表示平面，表示平面，交线为椭圆交线为椭圆.上一页下一页返回例例2 2 方程组方程组解解上半球面上半球面,圆柱面圆柱面,交线如图交线如图.表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？上一页返回空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程下一页返回 动点从动点从A点出发点出发，经过，经过t时间，运动到时间，运动到M点点 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t为参数，为参数，解解上一页下一页返回螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质：：上升的高度与转过的角度成正比．上升的高度与转过的角度成正比．即即上升的高度上升的高度螺距螺距上一页返回观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程: 定义定义4.1.14.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为的直线所形成的曲面称为柱面柱面. .这条定曲线叫这条定曲线叫柱面的柱面的准线准线，，动直线叫柱面动直线叫柱面的的母线母线.母线母线准准线线上一页下一页返回§8.2.1 §8.2.1 柱面柱面柱面举例：柱面举例：抛物柱面抛物柱面平面平面抛物柱面抛物柱面方程：方程：平面方程：平面方程：上一页下一页返回从柱面方程看从柱面方程看柱面的特征柱面的特征：：（其他类推）（其他类推）实实 例例椭圆柱面，椭圆柱面，双曲柱面双曲柱面 ，，抛物柱面，抛物柱面，母线母线// 轴轴母线母线// 轴轴母线母线// 轴轴上一页下一页返回1. 椭圆柱面椭圆柱面xyzO2. 双曲柱面双曲柱面上一页返回abzxyo椭圆椭圆柱面柱面柱面柱面上一页下一页返回zxy = 0yo 双曲双曲柱面柱面柱面柱面上一页下一页返回zxyo抛物抛物柱面柱面柱面柱面上一页返回 定义定义4.2.14.2.1 通过一定点且与定曲线相交的一通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做族直线所产生的曲面叫做锥面锥面. .这些直线都叫做锥面的这些直线都叫做锥面的母线母线. .那个定点叫做锥面的那个定点叫做锥面的顶点顶点. .锥面的方程是一个三元方程锥面的方程是一个三元方程. .特别当顶点在坐标原点时：特别当顶点在坐标原点时：§8.2.2 §8.2.2 锥面锥面下一页返回 n次齐次方程次齐次方程 F(x,y,z)= 0 的图形是以原点为顶点的锥面的图形是以原点为顶点的锥面；；方程方程 F(x,y,z)= 0是是 n次齐次方程次齐次方程：：准线准线顶点顶点F(x,y,z)= 0. 反之，以原反之，以原点为顶点的锥面点为顶点的锥面的方程是的方程是n次齐次次齐次方程方程 锥面是直纹面锥面是直纹面x0z y 锥面的准线不锥面的准线不唯一，和一切母线唯一，和一切母线都相交的每一条曲都相交的每一条曲线都可以作为它的线都可以作为它的母线母线.上一页下一页返回设锥面设锥面S的顶点在原点的顶点在原点O，准线为曲线，准线为曲线设锥面设锥面S的方程为的方程为椭圆锥面椭圆锥面上一页下一页返回x2 a2 + y2 b2  z2 c2 = 0 (a>0, b>0, c>0) O x y z y2 b2  z2 c2 = 0, x = 0,x2 a2  z2 c2 = 0, y = 0,x2 a2 + y2 b2 = 0 z = 0,y = bz c x = az c n二次锥面z = h,x2 a2 + y2 b2 = h2 c2 当h  0 时，该交线是椭圆；当h = 0 时，该交线是原点。

所以，二次锥面也叫椭圆锥面P P LCxyzO设设 L 为已知空间曲线为已知空间曲线, P P 为已知平面为已知平面三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影则以则以 L 为准线，为准线，垂直于垂直于 P P 的直线的直线为母线的柱面称为为母线的柱面称为L 关关于于 P P 的投影的投影柱面柱面投影柱面与平面投影柱面与平面P P 的交线的交线 C 称称为曲线为曲线 L 在平面在平面P P 上的上的投影曲线投影曲线.特别是以特别是以 L 为准线，为准线，母线平行于母线平行于 z 轴轴的柱面称为的柱面称为L 关关于于 xoy面的面的投影柱面投影柱面, 曲线曲线 C 称为称为 L 在在xoy上的上的投影曲线投影曲线.中消去变量中消去变量 z ,得：得：在空间曲线的一般方程：在空间曲线的一般方程：曲线曲线 L 在在 xoy 面上的面上的投影柱面投影柱面 H(x,y) = 0曲线曲线中消去变量中消去变量 z ,得：得：在空间曲线的一般方程：在空间曲线的一般方程：类似地：空间曲线类似地：空间曲线 在在面上的面上的投影曲线投影曲线面上的面上的投影曲线投影曲线,问题问题: :各个投影柱面方程是什么各个投影柱面方程是什么? ?理由是什么理由是什么? ?曲线必在柱面上曲线必在柱面上; ;柱面必包含曲柱面必包含曲线线例例求二球面的交线求二球面的交线在在 xo y 坐标面上的投影曲线方程坐标面上的投影曲线方程.解解这就是消去这就是消去z后所得在后所得在 xoy 坐标面的投影柱面方程，坐标面的投影柱面方程，因而曲线因而曲线 C 在在 xo y 坐标面上的坐标面上的投影曲线是椭圆投影曲线是椭圆.把把 x2+ y 2+z2 =1 代入代入 x2+(y -1)2+(z -1) 2=1,得得 y+z=1把把 y+z=1 代入代入 x2+(y -1)2+(z -1) 2=1,得得 x2 +2y 2 -2y =0zxy例例 解解半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为圆圆例例 求曲线求曲线在在 xoy, y0z 坐标面上的投影曲线的方程坐标面上的投影曲线的方程.解解  关于关于xo y 坐标面的投影坐标面的投影柱面方程柱面方程因而曲线因而曲线   在在 xo y 坐标坐标面上的投影曲线是圆面上的投影曲线是圆.消消x得到曲线得到曲线   关于关于 yoz 坐标面的坐标面的投影柱面的方程投影柱面的方程  在在 y oz 坐标面的投影曲线是一段抛物线坐标面的投影曲线是一段抛物线得得 x2 + y2  3x  5y = 0 ，， 在在 xo y 坐标面坐标面上的投影上的投影曲线曲线的方程的方程.例例求曲线求曲线解解从曲线从曲线   的方程中消去的方程中消去 z ，， 即即它是曲线它是曲线   关于关于x oy 坐标面的坐标面的投影柱面投影柱面 －－ 圆柱面的方程，圆柱面的方程，   在在 xo y 坐标面上投影曲线是圆坐标面上投影曲线是圆.投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面消元消元[4] 空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影空空间间立立体体曲曲面面思考题思考题解答解答交线方程为交线方程为在在 面上的投影为面上的投影为 定义定义4.3.1 以一条曲线绕其一条定直线旋以一条曲线绕其一条定直线旋转一周所产生的曲面称为转一周所产生的曲面称为旋转曲面旋转曲面或称或称回旋回旋曲面曲面. .这条定直线叫旋转曲面的这条定直线叫旋转曲面的旋转轴旋转轴．．这条曲线叫旋转曲面的这条曲线叫旋转曲面的母线母线．．§8.3 §8.3 旋转曲面旋转曲面下一页返回曲线曲线 CCy zo绕绕 z轴轴上一页下一页返回曲线曲线 CxCy zo绕绕z轴轴.上一页下一页返回曲线曲线 C旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 SCSMNzPy zo绕绕 z轴轴.f (y1, z1)=0M(x,y,z).x  S上一页下一页返回曲线曲线 C旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 SxCSMNzP.绕绕 z轴轴..f (y1, z1)=0M(x,y,z)f (y1, z1)=0f (y1, z1)=0.y zo  S上一页下一页返回建立旋转曲面的方程：建立旋转曲面的方程：如图如图将将 代入代入得方程得方程上一页下一页返回方程方程上一页下一页返回例例1 1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．生成的旋转曲面的方程．旋转双叶双曲面旋转双叶双曲面yzoxyzox上一页下一页返回 xyoz xyoz旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面上一页下一页返回旋旋转转椭椭球球面面xyzxyz上一页下一页返回旋转抛物面旋转抛物面xyzoxyzo上一页下一页返回几种 特殊旋转曲面v1 双叶旋转曲面v2 单叶旋转曲面v3 旋转锥面v4 旋转抛物面v5 环面上一页下一页返回x0y1 1 双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面绕绕 x 轴一周轴一周上一页下一页返回x0zy. .绕绕 x 轴一周轴一周1 1 双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面上一页下一页返回x0zy.1 1 双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面.绕绕 x 轴一周轴一周上一页下一页返回axyo2 2 单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周上一页下一页返回axyoz. .上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周2 2 单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面上一页下一页返回a.xyoz..2 2 单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周上一页下一页返回3 3 旋转锥面旋转锥面两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周x yo上一页下一页返回.两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周x yoz3 3 旋转锥面旋转锥面上一页下一页返回x yoz.两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周得旋转锥面得旋转锥面.3 3 旋转锥面旋转锥面上一页下一页返回yoz4 4 旋转抛物面旋转抛物面旋转抛物面旋转抛物面抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周上一页下一页返回yoxz. .抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周4 4 旋转抛物面旋转抛物面旋转抛物面旋转抛物面上一页下一页返回y.oxz.4 4 旋转抛物面旋转抛物面旋转抛物面旋转抛物面抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周得旋转抛物面得旋转抛物面上一页下一页返回5 5环面环面环面环面yxorR绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面上一页下一页返回5 5环面环面环面环面z绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面yxo.上一页下一页返回5 5环面环面环面环面z绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面环面方程环面方程.生活中见过这个曲面吗？生活中见过这个曲面吗？yxo..上一页下一页返回二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之为三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面二次曲面．．相应地平面被称为相应地平面被称为一次曲面一次曲面．．讨论二次曲面形状的讨论二次曲面形状的截痕法截痕法：： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全貌．．以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面． 二次曲面二次曲面下一页返回截痕法截痕法用用z = h截曲面截曲面用用y = m截曲面截曲面用用x = n截曲面截曲面abcyx zo椭球面椭球面上一页下一页返回椭球面的方程 椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标面的交线：的交线：椭球面椭球面上一页下一页返回椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面椭球面与平面 的交线为的交线为椭圆椭圆同理与平面同理与平面 和和 的交线也是的交线也是椭圆椭圆.上一页下一页返回椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成．轴旋转而成．旋转椭球面旋转椭球面与与椭球面椭球面的的区别区别：：方程可写为方程可写为与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.上一页下一页返回球面球面截面上圆的方程截面上圆的方程方程可写为方程可写为上一页返回单叶双曲面单叶双曲面（（1）用坐标面）用坐标面 与与 曲面相截截得中心在原点曲面相截截得中心在原点 的的椭圆椭圆一、单叶双曲面一、单叶双曲面 双曲面双曲面下一页返回与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.（（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得中心在原点的双曲线截得中心在原点的双曲线.实轴与实轴与 轴相合，轴相合，虚轴与虚轴与 轴相合轴相合.上一页下一页返回单叶双曲面图形单叶双曲面图形 xyoz（（3）用坐标面）用坐标面 ，与曲面相截，与曲面相截均可得双曲线均可得双曲线.上一页下一页返回二、双叶双曲面二、双叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面xyoz上一页下一页返回 单叶单叶：：双叶双叶：：.. .yx zo 在平面上，双曲线有渐进线。

在平面上，双曲线有渐进线 相仿，相仿，单叶双曲面单叶双曲面和和双叶双曲面双叶双曲面有有渐进锥面渐进锥面 用用z=z=h h去截它们，当去截它们，当| |h h| |无限增大无限增大时，时， 双曲面双曲面的截口椭圆与它的的截口椭圆与它的渐进锥渐进锥面面 的截口椭圆任意接近，即：的截口椭圆任意接近，即：双曲面和锥面任意接近双曲面和锥面任意接近渐进锥面：渐进锥面：双曲面及其渐进双曲面及其渐进双曲面及其渐进双曲面及其渐进锥锥面面面面上一页返回2.二次曲线方程的化简和分类二次曲线方程的化简和分类 定理定理5.6.1 适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以化成下列三个简化方程中的一个： 定理定理5.6.2 通过适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：上一页下一页返回上一页返回n曲面和曲线的一般方程 S S1 1  F(x, y, z) F(x, y, z) = 0 F(x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0x = x(t) y = y(t) z = z(t) 曲面的一般方程: 曲线的一般方程: 曲线的参数方程: G(x, y, z) CS S2 2 (xx0)2 + (yy0)2 + (zz0)2 = r2 n球面及其方程n柱面及其方程n旋转曲面方程n投影曲线方程曲线方程H H( (x x, , y y) ) = 0 = 0 z z = 0 = 0 F F( (x x, , y y, , z z) = 0 ) = 0 G G( (x x, , y y, , z z) = 0 ) = 0 曲线曲线C C: : 在在xOyxOy面面的投影曲线的投影曲线 x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 (a>0, b>0, c>0) n椭球面椭球面截痕法截痕法x2 a2 + y2 b2  z2 c2 = 0 (a>0, b>0, c>0) O x y z y2 b2  z2 c2 = 0, x = 0,x2 a2  z2 c2 = 0, y = 0,x2 a2 + y2 b2 = 0 z = 0,y = bz c x = az c 第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 §6.4 §6.4 二次曲面二次曲面n二次锥面z = h,x2 a2 + y2 b2 = h2 c2 当h  0 时，该交线是椭圆；当h = 0 时，该交线是原点。

所以，二次锥面也叫椭圆锥面O x y z a b x2 a2 + y2 b2  z2 c2 = 1 (a>0, b>0, c>0) y2 b2  z2 c2 = 1 x = 0,x2 a2  z2 c2 = 1 y = 0,x2 a2 + y2 b2 = 1 z = 0,n单叶双曲面双曲线椭圆z = h,x2 a2 + y2 b2 = 1+ h2 c2 x2 a2 + y2 b2  z2 c2 = 1 (a>0, b>0, c>0) O x y z c y2 b2  z2 c2 = 1 x = 0,x2 a2  z2 c2 = 1 y = 0,x2 a2 + y2 b2 = 0 z =|c|,n双叶双曲面双曲线z = h,x2 a2 + y2 b2 =  1 h2 c2 椭圆|h| > c 时, |h|越大,椭圆越大|h| = c时时,椭圆退缩成点.x2 a2 + y2 b2 = z (a>0, b>0) O O x x y y z z y2 b2 z = x = 0,y = 0,x2 a2 + y2 b2 = 0 z = 0, x2 a2 z = n椭圆抛物面x2 a2 + y2 b2 = z抛物线z = h,x2 a2 + y2 b2 = h h 越大,椭圆曲线也越大h = 0时时,椭圆退缩成点. 椭圆O x y z x2 a2  y2 b2 = z (a>0, b>0) y2 b2 z =  x = 0,h2 a2  y2 b2 z= x = h,第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 §6.4 §6.4 二次曲面二次曲面n双曲抛物面表示过原点，开口朝 z 轴负方向的抛物线。

开口朝 z 轴负方向的抛物线O x y z x2 a2  y2 b2 = z (a>0, b>0)y = 0,y = h, x2 a2 z = 第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 §6.4 §6.4 二次曲面二次曲面n双曲抛物面表示过原点，开口朝 z 轴正方向的抛物线开口朝 z 轴正方向的抛物线x2 a2  h2 b2 z= O x y z x2 a2  y2 b2 = z (a>0, b>0)(马鞍面) x2 a2  y2 b2 = h z = h,n双曲抛物面当h > 0 时，是实轴是 x 轴的双曲线当h < 0 时，是实轴是 y 轴的双曲线当h = 0 时，是过原点的两条直线x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 椭球面椭球面(a>0, b>0, c>0) x2 a2 + y2 b2  z2 c2 = 0二次锥面x2 a2 + y2 b2  z2 c2 = 1单叶双曲面x2 a2 + y2 b2  z2 c2 = 1双叶双曲面截痕法截痕法x2 a2 + y2 b2 = z椭圆抛物面x2 a2  y2 b2 = z(马鞍面) 双曲抛物面n若已知二次曲面的标准方程，则容易画出它的图形。

üü椭球面椭球面椭球面椭球面üü二次锥面二次锥面二次锥面二次锥面üü单叶双曲面和双叶双曲面单叶双曲面和双叶双曲面单叶双曲面和双叶双曲面单叶双曲面和双叶双曲面üü椭圆抛物面和双曲抛物面椭圆抛物面和双曲抛物面椭圆抛物面和双曲抛物面椭圆抛物面和双曲抛物面n若二次曲面的方程不是标准方程，要通过正交变换和平移变换把一般二次方程化为标准方程，从而知道其图形n二次曲面的判别方法n一般三元二次方程的化简a11 a12 a13 a12 a22 a23 a13 a23 a33 x y z B = b1 b2 b3 (x,y,z)+ (b1,b2,b3) x y z + c = 0a11 a12 a13 a12 a22 a23 a13 a23 a33令A = x y z X = XTAX + + c = 0 BTX n一般三元二次方程的化简XTAX + + c = 0 (1) BTX A是实对称矩阵 正交矩阵P， 正交替换X=PY, Y=(x1,y1,z1)XTAX =YT(PTAP)Y =YTdiag(1, 2, 3)Y 二次型标准形则方程(1)变成再令BTX= (d1,d2,d3), 1x12 + 2y12 + 3z12 + d1x1 + d2y1 + d3z1 + c = 0 将此方程配平方，再做平移变换，得二次方程标准形。

O x y z f(x, y, z) = 2x2 + y2 + z2 + 2xy + kyz = 1 例. 求k的值使下面的方程表示一个椭球面. 上述方程表示一个椭球面A正定, P2 = 2 1 1 1 = 1 > 0, 而P1 = 2 > 0, P3 = |A| = 1k2/2. 由此可得,  < k < 时, 原方程表示一 22 个椭球面. 解: f(x, y, z)的矩阵A = 2 1 0 1 1 k/2 , 0 k/2 1 二次曲面二次曲面方程的化简和分类方程的化简和分类 定理定理 适当选取坐标系，二次曲面的方程总可以化成下列五个简化方程中的一个： 定理定理 通过适当选取坐标系，二次曲面的方程总可以写成下面十七种标准方程的一种形式：二次曲面方程的化简和分类v 椭球面v（单页，双叶）双曲面v（椭圆，双曲）抛物面v（椭圆，双曲，抛物）柱面v 椭圆锥面v（两相交，两平行，重合）平面v 一条直线v 一点 （双曲，抛物）锥面 a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + b1x + b2y + b3z + c = 0 一般方程 二次型 xTAx + + c = 0 BTx A = a a1111 a a1212 a a1313 a a1212 a a2222 a a2323 a a1313 a a2323 a a3333x = x y z B = b1 b2 b3 §6.3 二次曲面  标准方程 xTAx + BTx + c = 0 正交变换x = Qy y = (x, y, z)T 1x2 + 2y2 + 3z2 + b1x + b2y + b3z + c = 0 平移或旋转变换 例15. x2 + y2 + z2  2xz + 2y = 0. Q = 0 1 0 0 , 2 2 2 2 1 1 1 1 0 A = 1 0 1 0  1 1 0 1 0 0 1 0  1 0 1 1 0 1 , QTAQ = 0 0 1 1 2 2 , 令 x y z x y z = Q , 则原方程化为 y2 + 2z2 + 2y = 0. 即(y+1)2 + 2z2 = 1.  例15. x2 + y2 + z2  2xz + 2y = 0. 令 x y z x y z = Q , 则原方程化为 y2 + 2z2 + 2y = 0. 即(y+1)2 + 2z2 = 1. 再作平移变换 x = x, y = y1, z = z,则上式化为 y2 + 2z2 = 1. 可见原方程表示一个椭圆柱面. z z  x x  O O  y y  则原方程化为 x2 + 2( y 1) = 0.  例16. x2 + y + z  2 = 0. 1 0 0 1 0 0 0 2/2 0 2/2   2/2 2/2 0 2/2 2/2 0 2/2 2/2 , 令 x y z x y z = 再作平移变换 x = x, y = y+1, z = z,则上式化为 x2 =  2y. 可见原方程表示一个抛物柱面. 该变换是对坐标轴作了一个旋转.注1：在例16中将两个一次项之和化为一个一次项时，用了一个正交变换，如何看出它是一个旋转变换呢？事实上，对于一个正交变换x=Qy, 如果|Q|=1，则称该变换是第一类正交变换，其对应的是将坐标轴作了一个旋转。

如果|Q|= - 1，称该变换是第二类正交变换，其对应的是将坐标轴作了一个“镜像变换”(可以先做一个旋转)了解即可) 注2：如果一个方程的形式为x2 + ay +bz + c = 0, 其中a, b 不同时为零，那么它一定表示一个抛物柱面. 进一步, 如果一个方程的形式为x2 + dx+ay +bz + c = 0, 其中a, b 不同时为零，那么它一定表示一个抛物柱面. §6.3 §6.3 二次曲面二次曲面 第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 例17. z = xy. 解: xy = (x, y, z) 0 1/2 0 1/2 0 0 x y z , 0 0 0 先求得正交矩阵Q = , 212121210 0 0 0 1 使QT . Q = 1/2 0 0 0 1/2 0 0 1/2 0 1/2 0 0 0 0 0 0 0 0 A 可见原方程表示一个双曲抛物面. 则原方程化为 x2  y2 = 2z, x y z 令 = , 212121210 0 0 0 1 x y z 特别地，假设二次曲面方程为如下形式，a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz = 1 xTAx = 1.A = a a1111 a a1212 a a1313 a a1212 a a2222 a a2323 a a1313 a a2323 a a3333x = x y z 记，，方程即为不难求出实对称阵A的特征值1, 2, 3 (从而知道A的正负惯性指数), 然后对曲面分类.1.当三个特征值均大于零时，曲面为椭球面.2.当三个特征值均小于零时，曲面为虚椭球面.3.当有两个特征值大于零，一个特征值小于零时，曲面为单叶双曲面.4.当有两个特征值小于零，一个特征值大于零时，曲面为双叶双曲面.5.当有两个特征值大于零，一个特征值等于零时，曲面为椭圆柱面.6.当有两个特征值小于零，一个特征值等于零时，曲面为虚椭圆柱面.7.当有两个特征值等于零，一个特征值大于零时，曲面为一对平行的平面.8.当有两个特征值等于零，一个特征值小于零时，曲面为一对平行的虚平面.7.当有一个特征值大于零，一个特征值小于零时，一个特征值等于零，曲面为双曲柱面. §6.3 §6.3 二次曲面二次曲面 第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 例18. f(x, y, z) = x2 + 2y2  z2 + 2kxz. 试就参数k不同的取值范围, 讨论二次曲面f(x, y, z) = 1的类型. 解: f(x, y, z)的矩阵 A =  1 0 1 0 k k 0 2 0 0 2 0 k k 0 0  1 1 , |E  A| = ( 2)( +1k)( +1+ k). A的特征值1 = 2, 2 = k1, 3 = 1k. f(x, y, z) = 1的标准方程为 2x2 + (k1)y2 + (1k)z2 = 1.  例18. f(x, y, z) = x2 + 2y2  z2 + 2kxz. 试就参数k不同的取值范围, 讨论二次曲面f(x, y, z) = 1的类型. 解: f(x, y, z) = 1的标准方程为 2x2 + (k1)y2 + (1k)z2 = 1. k k的取的取的取的取值值k k < <    1 1 k k = =    1 1    1< 1< k k < 1 < 1 k k = 1 = 1k k > 1 > 1   2 2 = = k k     1 1   3 3 = =    1 1     k kf f( (x x, , y y, , z z) = 1) = 1的的的的类类型型型型< 0 < 0 < 0 < 0 < 0< 0= 0 = 0 > 0 > 0 > 0 > 0 = 0 = 0 < 0 < 0 < 0 < 0 < 0 < 0 单叶单叶 双曲面双曲面 双曲双曲 柱面柱面 双叶双叶 双曲面双曲面 双曲双曲 柱面柱面 单叶单叶 双曲面双曲面  §6.3 §6.3 二次曲面二次曲面 第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 f(x, y, z) = 2x2 + y2 + z2 + 2xy + kyz = 1 例19. 求k的值使下面的方程表示一个椭球面. 上述方程表示一个椭球面A正定, 2 = 2 1 1 1 = 1 > 0, 而1 = 2 > 0, 3 = |A| = 1k2/2. 由此可得,  < k < 时, 原方程表示一 22 个椭球面. 解: f(x, y, z)的矩阵A = 2 1 0 1 1 k/2 , 0 k/2 1 xyzO双曲柱面双曲柱面平行于平行于z 轴的直线为母线轴的直线为母线.xoy 坐标面上的抛物线为准线、坐标面上的抛物线为准线、平行于平行于z 轴的直线为母线轴的直线为母线.xyzO抛物柱面抛物柱面 x2 = ayxoy 坐标面上的抛物线为准线、坐标面上的抛物线为准线、三元二次方程三元二次方程平面称为平面称为一次曲面一次曲面．．截痕法截痕法：： 曲面形状曲面形状已知平行截面面积可计算体积已知平行截面面积可计算体积; ;已知平行截面形状可掌握曲面形状．已知平行截面形状可掌握曲面形状．四、二次曲面四、二次曲面所表示的曲面所表示的曲面称为称为二次曲面二次曲面.二平面的交线是直线二平面的交线是直线; ;平面和曲面的交线是平面曲线平面和曲面的交线是平面曲线; ;二个曲面的交线是空间曲线二个曲面的交线是空间曲线; ;曲面方程曲面方程, ,平行平面与曲面相截所得的交线（即截痕）平行平面与曲面相截所得的交线（即截痕）, ,①① 椭圆锥面椭圆锥面xyo当当 x=0为二条相交直线为二条相交直线 y= ±bz n次齐次方程次齐次方程F(x,y,z)= 0的图形是以原点为顶点的锥面；的图形是以原点为顶点的锥面；方程方程 F(x,y,z)= 0是是 n次齐次的：次齐次的：准线准线顶点顶点n次齐次方程次齐次方程F(x,y,z)= 0.反之，以原点为顶点的锥面的方程是反之，以原点为顶点的锥面的方程是锥面是直纹面锥面是直纹面x0z yt是任意数是任意数 一般锥一般锥面面面面------扩充知识点扩充知识点扩充知识点扩充知识点②② 椭球面椭球面 1、、椭球面与三个坐标面的交线：椭球面与三个坐标面的交线：2、、椭球面椭球面 与平面与平面 z=z0 的交线为的交线为椭圆椭圆同理与平面同理与平面 x = x0 和和 y = y0 的交线也是椭圆的交线也是椭圆.3、、椭球面椭球面 的几种特殊情况：的几种特殊情况：的旋转椭球面的旋转椭球面由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转生成轴旋转生成可写成可写成方程可写为方程可写为由圆由圆 绕绕 x 轴或轴或 y 轴旋转生成的轴旋转生成的球面球面xyzO双曲面双曲面③③单叶双曲面单叶双曲面 xyzo对垂直于对垂直于z 轴的平面轴的平面 z=z0对垂直于对垂直于y 轴的平面轴的平面 y = y0同样同样, 对垂直于对垂直于x 轴的平面轴的平面 x = x0当当 | y0|b,实轴沿实轴沿 z 轴方向轴方向 直纹面在建筑学上有意义直纹面在建筑学上有意义直纹面在建筑学上有意义直纹面在建筑学上有意义含两个直母线系含两个直母线系含两个直母线系含两个直母线系 例如，储水塔、例如，储水塔、电视塔等建筑都电视塔等建筑都有用这种结构的。

有用这种结构的单叶双曲面是直纹面单叶双曲面是直纹面单叶双曲面是直纹面单叶双曲面是直纹面④④双叶双曲面双叶双曲面xyo 单叶单叶：：双叶双叶：：.. .yx zo 在平面上，双曲线在平面上，双曲线有渐近线有渐近线 相仿，相仿，单叶双曲面单叶双曲面和和双叶双曲面双叶双曲面有有渐近锥面渐近锥面 用用z=z=h h去截它们，去截它们，当当| |h h| |无限增大时，无限增大时，双曲面双曲面的截口椭圆与的截口椭圆与它的它的渐近锥面渐近锥面 的截的截口椭圆任意接近，即：口椭圆任意接近，即：双曲面和锥面任意接双曲面和锥面任意接近渐近锥面：渐近锥面：双曲面的渐近双曲面的渐近双曲面的渐近双曲面的渐近锥锥面面面面（二）抛物面（二）抛物面⑤⑤椭圆抛物面椭圆抛物面用坐标面用坐标面 xoy (z = 0) 与曲面相截与曲面相截得坐标原点得坐标原点O(0,0,0)原点也叫椭圆抛物面的原点也叫椭圆抛物面的顶点顶点.xyzo与平面与平面 z=z0 >0 的交线为椭圆的交线为椭圆.与平面与平面 x=x0和和 y=y0相交均截得抛物线线相交均截得抛物线线.特殊地：特殊地：当当 a=b这是由抛物线这是由抛物线 y2=a2z 绕绕 z 轴旋转生成的轴旋转生成的旋转抛物面旋转抛物面时，方程变为时，方程变为oyxz⑥⑥双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）对对 z = z0 ,对应于对应于 z0>0, <0 的的截痕是截痕是双曲线双曲线这些双曲线都以这些双曲线都以 z0=0所对应的直线所对应的直线 为共同渐近线为共同渐近线对对 x = x0 是形状相同开口朝下的抛物线是形状相同开口朝下的抛物线对对 y = y0 则是形状相同开口朝上的抛物线则是形状相同开口朝上的抛物线Ll双曲抛物面是抛物双曲抛物面是抛物线线 l 当其顶点沿抛当其顶点沿抛物线物线L平行移动所平行移动所产生的曲面产生的曲面 双曲抛物面是直纹面双曲抛物面是直纹面双曲抛物面是直纹面双曲抛物面是直纹面当当 x = x0双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）是形状相同开口朝下的抛物线是形状相同开口朝下的抛物线抛物线的顶点坐标抛物线的顶点坐标 ( x0 , )顶点坐标满足顶点坐标满足顶点轨迹是顶点轨迹是 xoz 平面上抛物线平面上抛物线马鞍面与马鞍面与xoz 平面相交的截痕平面相交的截痕。