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1、第三部分第三部分 代数代数结构构1精选ppt第五章第五章 代数系代数系统代代数数结构构又又称称为代代数数系系统，简称称代代数数，是是抽象代数的主要研究抽象代数的主要研究对象。象。代代数数系系统的的种种类很很多多，它它们在在计算算机机科科学学的的自自动机机理理论、编码理理论、形形式式语言言、时序序线路路、开开关关线路路计数数问题以以及及计算算机机网网络纠错码的的纠错能能力力判判断断、密密码学学、计算算机理机理论科学等方面有着非常广泛的科学等方面有着非常广泛的应用用。2精选ppt本部分主要内容本部分主要内容二元运算及其性二元运算及其性质。二二元元运运算算中中的的特特殊殊元元素素幺元，零元，逆逆元。
2、元。代数系代数系统的定的定义及其性及其性质。 3精选ppt定定义5.1 设 为集集合合，函函数数 称称为 上上的二元运算，的二元运算，简称称为二元运算。二元运算。5.15.1节 二元运算及其性二元运算及其性质在整数集合在整数集合 上，上，对任意两个整数所任意两个整数所进行的普通加法和乘法，都是集合上的二行的普通加法和乘法，都是集合上的二元运算。元运算。 4精选ppt如何判断一个运算是否如何判断一个运算是否为集合集合 上的上的二元运算二元运算 1唯一性唯一性集合集合S中任意的两个元素都能中任意的两个元素都能进行行这种运种运算，并且算，并且结果要是唯一的。果要是唯一的。2封封闭性性 3集合集合S中
3、任意的两个元素运算的中任意的两个元素运算的结果都果都是是4属于属于S的，就是的，就是说S对该运算是封运算是封闭的的 5精选ppt例例5.1设Ax|x ，nN，问在集合A上通常的乘法运算是否封闭，对加法运算呢?解：对于任意的 所以乘法运算是封闭的。 而对于加法运算是不封闭的 , 因为至少有 6精选ppt定定义5.2 设*是是定定义在在集集合合A上上的的二二元元运运算算，如如果果对于于任任意意的的x,y A，都都有有x*yy*x，则称称该二二元元运运算算*是是可可交交换的。的。例例5.2 设Q是有理数集合，是有理数集合，*是是Q上的二元上的二元运算，运算，对任意的任意的a，b Q，a*ba+b-a
4、b，问运算运算*是否可交是否可交换。解：因解：因为a*ba+b-abb+a-bab*a，所以运算所以运算*是可交是可交换的。的。7精选ppt定定义5.1 设 为集集合合，函函数数 称称为 上上的二元运算，的二元运算，简称称为二元运算。二元运算。5.15.1节 二元运算及其性二元运算及其性质在整数集合在整数集合 上，上，对任意两个整数所任意两个整数所进行的普通加法和乘法，都是集合上的二行的普通加法和乘法，都是集合上的二元运算。元运算。 8精选ppt定定义5.2 设*是是定定义在在集集合合A上上的的二二元元运运算算，如如果果对于于任任意意的的x,y A，都都有有x*yy*x，则称称该二二元元运运算
5、算*是是可可交交换的。的。例例5.2 设Q是有理数集合，是有理数集合，*是是Q上的二元上的二元运算，运算，对任意的任意的a，b Q，a*ba+b-ab，问运算运算*是否可交是否可交换。解：因解：因为a*ba+b-abb+a-bab*a，所以运算所以运算*是可交是可交换的。的。9精选ppt定定义5.3 设*是是定定义在在集集合合A上上的的二二元元运运算算，如如果果对于于任任意意的的x，y，z A，都都有有(x*y)*zx*(y*z)，则称称该二二元元运运算算*是是可可结合合的的，或或者者说运运算算*在在A上适合上适合结合律。合律。例例5.3 设A=Z,“+”是整数中的加法：是整数中的加法：则 “
6、+”在在Z中适合中适合结合律。合律。 “。”是整数中的减法：是整数中的减法：则则特取特取 而 运算“。”不满足结合律 10精选ppt定定义5.4 设*是是定定义在在集集合合A上上的的一一个个二二元元运运算算，如如果果对于于任任意意的的x A，都都有有x*xx，则称运算称运算*是等是等幂的。的。例例5.4 设P(S)是集合是集合S的的幂集，在集，在P(S)上上定定义的两个二元运算，集合的的两个二元运算，集合的“并并”运运算算 和集合的和集合的“交交”运算运算，验证 ，是等是等幂的。的。解：解： 对于任意的于任意的A P(S)，有有A AA和和AAA，因此运算因此运算 和和都都满足等足等幂律。律。
7、 11精选ppt定定义5.5 设。和*是S上的两个二元运算，如果对任意的 有 例例5.5 在实数集R上， 对于普通的乘法和加法有 即乘法对加法是可分配的。 12精选ppt定定义5.6 设。和*是是定定义在在集集合合A上上的的两两个个可可交交换二二元元运运算算，如如果果对于于任任意意的的x，y A，都有，都有则称称。运算。运算和*满足吸收律足吸收律 例例5.6 设集合集合N为自然数全体，在自然数全体，在N上定上定义两个二元运算两个二元运算*和和，对于任意于任意 x，y N，有，有x*ymax(x，y)， xymin(x，y)， 验证运算运算*和和满足吸收律。足吸收律。13精选ppt解：解：对于任
8、意于任意a，b Na*(ab)max(a，min(a，b)aa(a*b)min(a，max(a，b)a 因此，因此，*和和满足吸收律。足吸收律。14精选ppt定定义5.7 设*是S上的二元运算，5.25.2节 二元运算中的特殊元素二元运算中的特殊元素1. 1. 幺元幺元15精选ppt在自然数集N上加法的幺元是0，乘法的幺元是1. 对于给定的集合和运算有的存在幺 元，有的不存在幺元。16精选ppt17精选ppt定理定理5.1 设*是是S上的二元运算， 如果S中存在关于运算*的）幺元， 则必是唯一的。 所以幺元是唯一的。18精选ppt定理定理5.2 5.2 设* *是是S S上的二元运算，如果S
9、S中既存在关于运算* *的左幺元的左幺元 ，又又存在关于运算的右幺元的右幺元 则S中必存在关于运算* *的幺元e并且 19精选ppt定定义5.8 设*是是S上的二元运算，2. 2. 零元零元20精选ppt在在自自然然数数集N上普通乘法的零元是0，而加法没有零元。 21精选ppt定定理理5.3 设 *是是S上的二元运算，如果S中存在（关于运算*的）零元，的）零元，则必是唯一的。必是唯一的。所以零元是唯一的。22精选ppt定定理理5.4 设 *是是S上的二元运算，如果S中既存在关于运算*的左零元 又存在关于运算*的右零元 23精选ppt定定义5.9 设*是是S上的二元运算，2. 2. 逆元逆元 2
10、4精选ppt例例5.8 整数集整数集Z上关于加法的幺元是上关于加法的幺元是0，对任意的整数任意的整数m，它关于加法的逆元是，它关于加法的逆元是-m,因因为25精选ppt定定理理5.5 设*是是S上可结合的二元运算，e为幺幺元元,如如果果S中元素x存在（关于运算* ）的逆元，）的逆元， 则必是惟一的。 所以对于可结合的二元运算，逆元是惟一的。26精选ppt定定理理5.6 设*是是S上可结合的二元运算，e为幺幺元元,如如果果S中元素x既存在关于运算*的左逆元 ，又存在关于运算*的右逆元 ， 则 S中必存在x关于运算*的逆元并且 27精选ppt解：解：*运算适合交换律、结合律和消去律，不适合幂等律。
11、单位元是a，没有零元，且 运算适合交换律、结合律和幂等律，不适合消去律。单位元是a，零元是b.只有a有逆元， 运算不适合交换律，适合结合律和幂等律，不适合消去律。没有单位元，没有零元，没有可逆元素。 28精选ppt定定义5.10 设S是是非非空空集集合合，由由S和S上若干个运算 构成的系统称为代数系统，记作 5.35.3节 代数系代数系统 代数系统也简称为代数。 例如，R是实数集，对于普通的加法和剩法运算， M是n阶方阵构成的集合，对于矩阵的加法和剩法运算， 29精选ppt定定义5.11 设 都是封闭的，且B和S含有相同的代数常数，则称 30精选ppt定定义5.12 设 31精选ppt例例5.
12、11 设32精选ppt定定义5.13 设定定义5.14 设33精选ppt34精选ppt例例5.14 表示求两个数的最小公倍数的运算。则 解：解： 零元是不存在的， 只有惟一的逆元。35精选ppt例5.15 在有理数集Q上定义二元运算*解解：36精选ppt37精选ppt例5.16 设有集合 解解：讨论这5个集合对普通的乘法和加法运算是否封闭。38精选ppt例5.17 设 解解：39精选ppt第六章第六章 几个典型的代数系几个典型的代数系统 本章本章讨论几几类重要的代数重要的代数结构：构： 半群、群、半群、群、环、域、格与布、域、格与布尔代数代数 40精选ppt定定义6.1 设 6.16.1节 半
13、群与群半群与群是可结合的即： 41精选ppt定定义6.2若半群 例6.1（1）普通加法是 （2）普通乘法是N,Z,Q和R上的二元运算，满足 结合律且有幺元1 42精选ppt43精选ppt定定义6.3 设例例6.2定定义6.3 设 44精选ppt定定义6.4 设定定义6.5 设 45精选ppt例例6.3 设 证明G关于矩阵乘法构成一个群故G关于矩阵乘法是Z上的代数运算，矩阵乘法满足结合律，故G关于矩阵乘法构成半群， 在G中每个矩阵的逆元都是自己， 所以 G关于矩阵乘法构成一个群。46精选ppt定义6.6 若群例例6.4 （1）在 中除0之外都没有逆元，所以它仅是含幺半群而不是群。 中每个元素都有
14、逆元即它的相反数，且运算满足交换律，所以它们是交换群。 0没有逆元，所以它们仅是有么半群而不是群。 47精选ppt48精选ppt例例6.5设G=e,a,b,c,。为G上的二元运算，上的二元运算，它由以下运算表它由以下运算表给出。不出。不难证明明G是一是一个群，称个群，称该群群为Klein四元群。四元群。49精选ppt定定义6.7 设50精选ppt例例6.6 在群解：解：51精选ppt定理定理6.1 设 证明：略。52精选ppt定定义6.8 设53精选ppt定定义6.954精选ppt例例6.7 对于集合 列出其运算表如下表从表中可以看出，运算满足封闭性，满足结合律和交换律，0是单位元，每个元都有
15、逆元 ， 这个群的阶数是6，元素0，1，2，3，4，5的次数分别为1，6，3，2，3，6。 55精选ppt定理定理6.2 设 下面证明唯一性从而唯一性得证。56精选ppt例例6.8 设57精选ppt定理定理6.3 58精选ppt定理定理6.4 设 59精选ppt60精选ppt定定理理6.5 G为有有限限群群，则G的的运运算算表表中中的的每每一一行行（每每一一列列）都都是是G中中元元素素的的一一个个置置换，且不同的行（或列）的置且不同的行（或列）的置换都不相同。都不相同。定定义6.10 设 61精选ppt例例6.9 例例6.10 群群 62精选ppt定理定理6.6(子群判定定理1)设H是群 。证
16、明：必要性是显然的。63精选ppt定理定理6.7( 子群判定定理2) 设H是群 证明：必要性充分性证明： 64精选ppt定理定理6.8(子群判定定理3)设H是群 证明：必要性是显然的。65精选ppt例例6.11 设 66精选ppt定定义6.11 设 6.26.2节 陪集与拉格朗日定理陪集与拉格朗日定理 例例6.12 设 解： H的右陪集为 67精选ppt定理定理6.9 设H是群 68精选ppt定理定理6.10 设69精选ppt70精选ppt定理定理6.11 设证明： 略。推论6.171精选ppt定理定理6.12 设72精选ppt定理定理6.13 设73精选ppt定定义6.12 群 定理定理6.
17、14（拉格朗日定理）（拉格朗日定理）设 即子群的阶数一定是群的阶数的因子。根据定理6.11的推论有74精选ppt推推论6.2 设 推推论6.3 设 根据定理6.11的推论有75精选ppt定定义6.13 设 任何群G都有正规子群，因为G的两个平凡子群 76精选ppt定理定理6.15 设 证明：略。77精选ppt例例6.13 设 78精选ppt例例6.14 设 79精选ppt定理定理6.16 设 80精选ppt定定义6.14 设6.3 6.3 群的同群的同态与同构与同构 81精选ppt例例6.13 设 82精选ppt定定义6.15 设83精选ppt定理定理6.17 设 证明：略。84精选ppt定定
18、义6.16 设85精选ppt定理定理6.18 （群同（群同态基本定理）基本定理）设 86精选ppt定定义6.17 设6.4 6.4 循循环群与置群与置换群群 87精选ppt88精选ppt定理定理6.19 设 89精选ppt例例6.16例例6.17 设 90精选ppt定定义6.18 设 例例6.18 设 91精选ppt92精选ppt定定义6.19 设 例例6.19 4元置换93精选ppt定定义6.20设 94精选ppt定理定理6.2095精选ppt定定义6.21例例6.20 如图进行旋转，也可以围绕它的对称轴进行翻转，但经过旋转或翻转后仍要与原来的方格重合（方格中的数字可以改变）。如果把每种旋转
19、或翻转看作是作用在 96精选ppt97精选ppt98精选ppt99精选ppt定义6.22 设 6.5 6.5 环和域和域100精选ppt例例6.21 （1）整数集 101精选ppt定理定理6.21 设 2,3证明略。102精选ppt例例6.22 103精选ppt定定义6.23 设 104精选ppt例例6.23 （1）整数）整数环 105精选ppt例例6.22模6整数环 106精选ppt定定义6.24 设 107精选ppt定义6.22 设 6.5 6.5 环和域和域108精选ppt例例6.25 设 109精选ppt110精选ppt111精选ppt定定义6.25 设 6.6 6.6 格与布格与布尔
20、代数代数 112精选ppt例例6.26 设n是正整数是正整数 113精选ppt例例6.27（1）对于偏序集 114精选ppt115精选ppt定理定理6.22设 116精选ppt定理定理6.23 设 117精选ppt定定义6.26 设 定定义6.27 设 118精选ppt例例6.28 设格 119精选ppt定定义6.28 设 120精选ppt例例6.29 说明下图中的格是否为分配格， 为什么？121精选ppt122精选ppt定定义6.29 设 123精选ppt定定义6.30 设 例例6.30 例例6.31 124精选ppt定定义6.31 设 125精选ppt定定义6.32 设 定定义6.33 如果一个格是有补分配格，则称它为布尔格或布尔代数。 126精选ppt此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！127精选ppt
