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1、7.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用7.6.1 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 7.6.2 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线多元函数微分学的几何应用7.6.1 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 设空间曲线的方程设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.1 曲面方程为参数式曲面方程为参数式多元函数微分学的几何应用考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程上式分母同除以上式分母同除以割线割线 的方程为的方程为多元函数微分学的几何应用曲线在曲线在M处的处的切线方程切线方程切向量切向量：切线的方向向量称为曲线
2、的切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 法平面法平面：过：过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.多元函数微分学的几何应用例例1及法平面方程及法平面方程.解解切线方程为切线方程为法平面方程为法平面方程为即即应的参数应的参数t =1, 所以所以多元函数微分学的几何应用空间曲线方程为空间曲线方程为法平面方程为法平面方程为2 曲面方程为一般式曲面方程为一般式切向量切向量多元函数微分学的几何应用空间曲线方程为空间曲线方程为切线方程为切线方程为法平面方程为法平面方程为切向量切向量多元函数微分学的几何应用解解例例2在点在点(1,1,1)处的切线方程与法平面方程处的切线方程与法平面方程. 求曲线求
3、曲线将所给方程的两边对将所给方程的两边对x 求导并移项，得求导并移项，得多元函数微分学的几何应用所求切线方程为所求切线方程为法平面方程为法平面方程为多元函数微分学的几何应用设曲面方程为设曲面方程为 在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点M的曲线的曲线7.6.2 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 上任何一条过点上任何一条过点M0的曲线在点的曲线在点M0处的切线都在处的切线都在同一平面上同一平面上,则称这个平面是曲面在点则称这个平面是曲面在点M0处的处的切平面切平面. 设设M0(x0, y0, z0)是曲面是曲面上一点上一点,如果曲如果曲面面定义定义7.8多元函数微分学的几何应用由于曲线
4、由于曲线完全在曲面完全在曲面所以有恒等式所以有恒等式上上,上式对上式对t 求导数求导数, 并代入并代入 t = t0, 得得令令曲线在曲线在M处的切向量处的切向量多元函数微分学的几何应用则则由于曲线是曲面上通过由于曲线是曲面上通过的任意一的任意一 条曲线，条曲线， 它们在它们在的切线都与同一向量的切线都与同一向量垂直，垂直， 故曲面上通过故曲面上通过的一切曲线在点的一切曲线在点的切线都在的切线都在 同一平面上，同一平面上， 这个平面就是曲面在点这个平面就是曲面在点的的切平面切平面. 切平面方程为切平面方程为多元函数微分学的几何应用法线方程为法线方程为曲面在曲面在M处的法向量即处的法向量即 垂直
5、于曲面上切平面的向量称为曲面的垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量法向量.定义定义7.9通过点通过点M0(x0, y0, z0)而垂直于切平面而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线的直线称为曲面在该点的法线.多元函数微分学的几何应用切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量因为曲面在因为曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为 z=f ( (x, ,y) )在在(x0, y0)的全微分，表示的全微分，表示曲面曲面z=f ( (x, ,y) )在点在点(x0, y0, z0)处的切平处的切平面上的点的面上的点的竖坐标的增量竖坐标的增量. 全微分的几何意义全微分的几何意义多元函数微分学
6、的几何应用切平面及法线方程切平面及法线方程. 例例3 求椭圆抛物面求椭圆抛物面z=x2+2y21在点在点M0(1,2,8)处的处的解解在点在点M0处处,法向量为法向量为所求的切平面为所求的切平面为2(x+1)+8(y2) (z8)=0,即为即为 2x8y+z+10=0.法线方程为法线方程为多元函数微分学的几何应用其中其中若若表示曲面的法向量的方向角，表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与即使得它与z 轴轴的正向所成的角是锐角，的正向所成的角是锐角，则法向量的则法向量的方向余弦方向余弦为为多元函数微分学的几何应用例例4 求椭球面求椭球面2x2
7、+3y2+z2=9上的点上的点, 使该点处的切使该点处的切平面平行于平面平面平行于平面2x3y+2z+12=0, 并写出该点的切平并写出该点的切平面及法线方程面及法线方程.解解设切点为设切点为M0(x0, y0, z0)，则法向量为，则法向量为按题意按题意,所以有所以有设设则有则有将其代入到椭球面方程中将其代入到椭球面方程中,有有得到得到 t =多元函数微分学的几何应用当当t = 2时时,得切点得切点M1(1,1,2), 当当t = 2时时,得切点得切点 M2(1,1,2)在点在点M1, 切平面方程为切平面方程为2(x1)3(y+1)+2(z2)=0,即即 2x3y+2z9=0.在点在点M2,
8、切平面切平面方程方程为为2x3y+2z+9=0.多元函数微分学的几何应用例例5求椭球面求椭球面上点上点M0(x0, y0, z0)处的切平面方程处的切平面方程.在点在点M0处处,曲面的法向量为曲面的法向量为 解解切平面方程为切平面方程为 注意到点注意到点(x0, y0, z0)在椭球面上在椭球面上,其坐标应满足于椭其坐标应满足于椭球面方程球面方程,故上面的切平面方程可整理为故上面的切平面方程可整理为多元函数微分学的几何应用设函数设函数f ( (u) )有连续导数，有连续导数，的切平面必过原点的切平面必过原点.例例6证证令令切平面方程为切平面方程为即即可见，曲面的所有切平面都过点可见，曲面的所有
9、切平面都过点多元函数微分学的几何应用在点在点M0(3, 4, 5)处的切线方程处的切线方程. 例例7求曲线求曲线解解利用曲面的切平面来做利用曲面的切平面来做.球面球面x2 + y2 + z2 = 50在在(3, 4, 5)点的切平面为点的切平面为3x + 4y + 5z 50 = 0，圆锥面圆锥面x2+y2=z2在在(3,4,5) 点的切平面为点的切平面为3x + 4y 5z = 0.将两个切平面方程联立将两个切平面方程联立即为所求的切线即为所求的切线L的一般式方程的一般式方程. 多元函数微分学的几何应用练习练习1练习练习2处的切向量的处的切向量的方向余弦方向余弦练习练习3 3 确定正数确定正数 使曲面使曲面在点在点相切相切.与球面与球面多元函数微分学的几何应用练习练习1解解切线方程切线方程法平面方程法平面方程多元函数微分学的几何应用练习练习2处的切向量的处的切向量的方向余弦方向余弦.解解令令则则 故切向量的方向余弦为故切向量的方向余弦为多元函数微分学的几何应用练习练习3 3 确定正数确定正数 使曲面使曲面在点在点解解 二曲面在二曲面在 M 点的法向量分别为点的法向量分别为二曲面在点二曲面在点 M 相切相切, , 故故又点又点 M 在球面上在球面上, ,于是有于是有相切相切.与球面与球面, 因此有因此有多元函数微分学的几何应用
