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1、正弦定理、余弦定理及其运用正弦定理、余弦定理及其运用一、考纲解读考纲解读二、正弦定理及其变形二、正弦定理及其变形三、余弦定理及其变形三、余弦定理及其变形四、实际应用问题中的基本概念和术语四、实际应用问题中的基本概念和术语五、例题讲解五、例题讲解六、高考题再现六、高考题再现七、小结七、小结本节课内容目录：一、考纲解读：一、考纲解读：在课标及教学要求中对正弦定理、余在课标及教学要求中对正弦定理、余弦定理的要求均为理解弦定理的要求均为理解(B)。在高考试题中，。在高考试题中，出现的有关试题大多为容易题，主要考查出现的有关试题大多为容易题，主要考查正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行正弦定理、余弦定理
2、及利用三角公式进行恒等变换的技能及运算能力，以化简、求恒等变换的技能及运算能力，以化简、求值或判断三角形形状为主。值或判断三角形形状为主。二、正弦定理及其变形：二、正弦定理及其变形：ABCabc( 其中其中 R是是外接圆的半径）外接圆的半径）1、已知两角和任一、已知两角和任一边，求其他两，求其他两边和一和一角；角；(三角形形状唯一）三角形形状唯一）2、已知两、已知两边和其中一和其中一边的的对角，求另一角，求另一边的的对角。（三角形形状不一定唯一）角。（三角形形状不一定唯一）解决题型：解决题型：解决题型：解决题型：三、余弦定理及其变形：三、余弦定理及其变形：ABCabc解决题型：解决题型：1、已
3、知三、已知三边，求三个角；（只有一解），求三个角；（只有一解）2、已知两已知两边和它和它们的的夹角，求第三角，求第三边 和其他两个角。（和其他两个角。（只有一解）只有一解） 四、实际应用问题中的基本概念和术语四、实际应用问题中的基本概念和术语仰角和俯角是与目标视线在同一铅垂平面内仰角和俯角是与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，其中目标视的水平视线和目标视线的夹角，其中目标视线在水平线上方时叫仰角；目标视线在水平线在水平线上方时叫仰角；目标视线在水平线下方时叫俯角。线下方时叫俯角。方位角：一般指北方向线顺时针转到目标方方位角：一般指北方向线顺时针转到目标方向线的水平角。向线的水
4、平角。 中，若中，若的范围是的范围是 。 例例1.在锐角在锐角解：由解：由得到得到(某学生的解）某学生的解）五、例题讲解：例1五、例题讲解五、例题讲解错因分析：错因分析：是锐角三角形，则要求是锐角三角形，则要求前面解法忽视了对前面解法忽视了对的讨论。的讨论。因为因为正确解答正确解答解：由解：由得到得到即即若这个三角形有两解，求若这个三角形有两解，求的取值范围。的取值范围。例例2.BCAAD例2则以则以C为圆心，为圆心，2为半径画弧应与射线为半径画弧应与射线BD有两有两解：如图作解：如图作个交点，则要求个交点，则要求若合题意若合题意 的三角形有两个，的三角形有两个，解得情况如下：解得情况如下：A
5、 A为锐为锐角角角角A A为钝为钝角或直角或直角或直角或直角角角角图图形形形形 关系关系关系关系式式式式a=bsinAa=bsinAbsinAabbsinAabab解的解的解的解的个数个数个数个数一解一解一解一解两解两解两解两解一解一解一解一解一解一解一解一解无解无解无解无解ABCbaABBCABCCBA已知两边和一边的对角，三角形解得一般情况。上表中上表中A为锐角时，为锐角时，A为直角时，为直角时，均无解。均无解。时，无解；时，无解；例例3.在在中中, ,已知已知, ,判定判定的形状。的形状。解法一：原式可化为解法一：原式可化为 即：即： 例三整理得：整理得：得：得：或或即即是等腰三角形或是
6、直角三角形。是等腰三角形或是直角三角形。解法二：原式可化为解法二：原式可化为 化简得：化简得：也即也即即即是等腰三角形或是直角三角形。是等腰三角形或是直角三角形。解法二 判断三角形形状时，可以将边化到角也可以判断三角形形状时，可以将边化到角也可以将角化到边，或边角同时互化。在转化过程将角化到边，或边角同时互化。在转化过程 中，三角形边角具有的基本性质不能忘记。中，三角形边角具有的基本性质不能忘记。如内角和为如内角和为，每个内角大于，每个内角大于等。等。点评：点评：且且满足足 求求证：例四：例四：内角内角的的对边分分别是是证明：证明：例四点评点评:本题通过基本不等式的运用构造不等关本题通过基本不
7、等式的运用构造不等关系，再利用三角形的内角具有的范围，得到系，再利用三角形的内角具有的范围，得到结论结论.例五、例五、如如图所示，某海所示，某海岛上一上一观察哨察哨A上午上午12时20分分测得船在海得船在海岛北偏西北偏西12时40分分轮船到达位于海船到达位于海岛正西方且距海正西方且距海如果如果轮船始船始终匀速直匀速直线前前的的B处，处， 11时测得一轮船在海岛北偏东时测得一轮船在海岛北偏东 的的C处，处， 的的E港口，港口， 进，问船速多少？进，问船速多少？ 例五分析：分析：已知从已知从C到到B及及B到到E的时间，要知船速度，的时间，要知船速度，只需知道只需知道CB,BE或或CE中的任一长度即
8、可。中的任一长度即可。题中只知题中只知AE=5km，那么只要将已知长度的，那么只要将已知长度的边长和需要计算的那个边长纳入到同一个三边长和需要计算的那个边长纳入到同一个三角形中，或是通过间接的途径纳入到同一个角形中，或是通过间接的途径纳入到同一个三角形中，再通过正弦定理或余弦定理进行三角形中，再通过正弦定理或余弦定理进行计算即可。计算即可。解：轮船从解：轮船从C到到B用时用时80分钟分钟， 从从B到到E用时用时20 分钟，分钟， 而船始终匀速前进，由此而船始终匀速前进，由此 可见：可见： 设，则，由已知得，由已知得 在在中，由正弦定理中，由正弦定理 在在中，由正弦定理得：中，由正弦定理得：在在
9、中，由余弦定理得：中，由余弦定理得：所以船速所以船速 六、高考题再现：六、高考题再现： 1.（2008山东理）已知已知的对边，向量的对边，向量若若且且则角则角B= 三个内角三个内角分析：由分析：由转化为三角问题。转化为三角问题。2.（2009全国理）在在中，内角中，内角A、B、C的对边的对边 长分别为长分别为已知已知求求b.分析：求边长，考虑将角向边转化。分析：求边长，考虑将角向边转化。3.（2009浙江理） 在在中，三个内角中，三个内角所对的边分别为所对的边分别为且满足且满足(1)求求的面积；的面积；（2）若）若求求的值的值.分析：利用倍角公式求出分析：利用倍角公式求出A的三角函数值，的三角
10、函数值，通过向量的数量积求出通过向量的数量积求出的积，即可。的积，即可。4.（2010江苏）在锐角三角形江苏）在锐角三角形的对边分别为的对边分别为则则 分析：可将所求结论切化弦，再利用正弦、分析：可将所求结论切化弦，再利用正弦、余弦定理求解。余弦定理求解。小结：小结：处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本解型，特别是“边边角”型可能有两解、一解或无解的三种情况。三角形中的三角变换，实质就是有条件的三角式的计算与证明。祝同学们暑期愉 快、学习进步!小结作业小结作业1.1.以三角形为背景求值或证明三角等式，以三角形为背景求值或证明三角等式，是三角变换中的两个基本问题，活用正、是三角变换中的两个基本问题，活用正、余弦定理，从整体进行变形和运算，是余弦定理，从整体进行变形和运算，是解题的基本思想解题的基本思想. .2.2.利用正、余弦定理化边为角，或者化利用正、余弦定理化边为角，或者化角为边，是处理三角形中三角变换问题角为边，是处理三角形中三角变换问题的基本策略，是实现三角运算与代数运的基本策略，是实现三角运算与代数运算相互转化的主要手段算相互转化的主要手段. .作业：作业：P10P10习题习题1.11.1 A A组：组：3.3.
