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1、 旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台体体 积积一、旋转体的体积一、旋转体的体积1旋转体的体积为旋转体的体积为xyo2所围成的曲边梯形绕所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周所成的立体的体积轴旋转一周所成的立体的体积为为例例1 求椭圆求椭圆 所围成的平面图形分别绕所围成的平面图形分别绕 x 轴和轴和 y 轴旋转一周所成的旋轴旋转一周所成的旋转体（旋转椭球体）的体积转体（旋转椭球体）的体积类似地，由连续曲线类似地，由连续曲线3这个旋转体可以看成是由半个椭圆这个旋
2、转体可以看成是由半个椭圆及及 x 轴所围成的平面图形绕轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的立体轴旋转而成的立体与上同理与上同理椭球体也可以看成由半个椭圆椭球体也可以看成由半个椭圆及及 y 轴围成的平面图形绕轴围成的平面图形绕 y 轴旋转而成的立体轴旋转而成的立体解解4特别当特别当 a = b 时时旋转体成为球体旋转体成为球体解解5解解67例例4证明由平面图形证明由平面图形 （f ( x ) 连续）连续） 绕绕 y 轴旋转而成的立体的体积为轴旋转而成的立体的体积为对应的部分量对应的部分量 可近似看成内径为可近似看成内径为 x ，外径为，外径为 x + dx 高为高为 f ( x ) 的薄壁圆筒
3、的薄壁圆筒故故证证8 或展开后近似于长为或展开后近似于长为 宽为宽为 dx 高为高为 f(x) 的薄长方体的薄长方体利用这个公式，可知上例中利用这个公式，可知上例中9解解体积元素为体积元素为10 求圆心在求圆心在 ( b ,0 ) 半径为半径为 a ( 0 a b ) 的圆绕的圆绕 y 轴旋转一周所成的环状体的体积轴旋转一周所成的环状体的体积解解圆的方程圆的方程例例611绕绕 x 轴旋转轴旋转dV = 薄片圆柱的体积（底半径为薄片圆柱的体积（底半径为 f(x) ，高为，高为dx ）柱片法柱片法绕绕 y 轴旋转轴旋转dV = 薄壁圆筒的体积（内径为薄壁圆筒的体积（内径为 x ，外径为，外径为x+
4、dx高为高为f ( x )柱壳法柱壳法旋转体的侧面积旋转体的侧面积绕绕 x 轴旋转轴旋转所得的旋转面的侧面积为所得的旋转面的侧面积为一一 般地般地 12 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积立体体积二、平行截面面积为已知的立体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积13解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积14 已知点已知点A（1,0,1), B(0,1,0) ，线段，
5、线段AB绕绕 z 轴旋转一周所成的旋转曲面为轴旋转一周所成的旋转曲面为S，求由，求由S和和两平面两平面 z = 0,z = 1所围立体的体积所围立体的体积解解AB 的方程为的方程为 在在 z 轴上截距为轴上截距为 z 的水平面截此旋转体所得的水平面截此旋转体所得截面为一个圆，此截面与截面为一个圆，此截面与 z 轴交于点轴交于点Q (0,0,z) ，与与AB交于点交于点M (z,1-z,z) ，截面面积截面面积立体体积立体体积故截面的半径为故截面的半径为例例815旋转体的体积旋转体的体积绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕非轴直线旋转一周绕非轴直线旋转一周平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积思考题思考题三、小结三、小结16交点交点立体体积立体体积思考题解答思考题解答17练练 习习 题题181920练习题答案练习题答案21
