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1、第一章第一章 函函 数数 与与 极极 限限第一节第一节 映射与函数映射与函数一、根本概念一、根本概念1.1.集合集合: :具有某种特定性具有某种特定性质的事物的全体的事物的全体.组成成这个集合的事物称个集合的事物称为该集合的元素集合的元素.或或是是的真子集：的真子集：数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集数集关系关系:例如例如不含任何元素的集合称不含任何元素的集合称为空集空集.例如例如,规定定 空集空集为任何集合的子集任何集合的子集.集合的运算集合的运算设是两个集合是两个集合定定义的并集的并集的交集的交集的差集的差集的直的直积或笛卡儿乘或笛卡儿乘积
2、例如例如即即:面上的全体点的集合面上的全体点的集合, 即即:整个整个平面平面通常通常记研研讨某个某个问题普通是限定在一个大的集合中普通是限定在一个大的集合中进展的展的,这个大的集合称个大的集合称为选集集,记为设称称为集合集合的余集或的余集或补集集,记为即即例如，例如，那么那么2.2.区间区间: :是指介于某两个是指介于某两个实数之数之间的全体的全体实数数.这两个两个实数叫做区数叫做区间的端点的端点.有限区有限区间无限区无限区间3.3.邻域邻域: :记为，即，即4.4.常量与变量常量与变量: : 在某在某过程中数程中数值坚持不持不变的量称的量称为常量常量,留意留意常量与常量与变量是相量是相对于于
3、“过程而言程而言的的.通常用字母通常用字母 a,b,c, a, b, ca等表示等表示常量常量;而数而数值变化的量称化的量称为变量量.常量与常量与变量的表示方法：量的表示方法： 用字母用字母 x, y,z, t ,u,v 等表示等表示变量量.5.5.绝对值绝对值: :性性质:绝对值不等式不等式:二、映射二、映射1. 映射的概念映射的概念定定义 设是两个非空集合是两个非空集合, 假假设存在一个法那么存在一个法那么 ,使得使得对于于中每个元素中每个元素,按法那么按法那么,在在中中有独一确定的元素有独一确定的元素与之与之对应, 那么称那么称 为 从从到到的映射的映射,记为称称为元素元素(在映射在映射
4、下下) 的像的像,并并记为,即即元素元素称称为元素元素(在映射在映射下下) 的一个原像的一个原像.集合集合称称为映射映射的定的定义域域, 记为即即中一切元素的像所中一切元素的像所组成的集合称成的集合称为映射映射的的值域域记为,即即留意留意:(1) 构成映射的三要素构成映射的三要素:集合集合,即定即定义域域集合集合,值域域对应法那么法那么 ,对每个每个有独一确定的有独一确定的与它与它对应(2)对每个每个,元素元素的像的像是独一的是独一的. 但是但是,对每个每个,元素元素的原像的原像却不一定是独一的却不一定是独一的.例例1 设对每个每个显然然,是映射是映射.它的定它的定义域域它的它的值域域对于于值
5、域域中的元素中的元素,假假设那么其原像不独一那么其原像不独一.例如例如:的原像是的原像是:两个两个例例2 设对每个每个有独一确定的有独一确定的与它与它对应.显然然,是映射是映射.它的定它的定义域域它的它的值域域-11例例3 设对每个每个按定按定义,是映射是映射.它的定它的定义域域它的它的值域域定定义 设是从集合是从集合到集合到集合的映射的映射,假假设,那么称那么称 为满射射(或到上的或到上的).假假设对 中恣意两个不同元素中恣意两个不同元素,它它们的像的像,那么称那么称为单射射.假假设映射映射 既是既是单射射, 又是又是满射射, 那么称那么称 为一一映射一一映射(或双射或双射)例例1中中,不是
6、不是单射射,不是不是满射射例例2中中,不是不是单射射, 是是满射射例例3中中,是是单射射,是是满射射是是 一一映射一一映射2. 逆映射与复合映射逆映射与复合映射设是从集合是从集合到集合到集合的的单射射,那么根据定那么根据定义, 对每个每个有独一的有独一的满足足这样,我我们就得到一个新的映射就得到一个新的映射对每个每个有独一的有独一的 满足足的的与它与它对应我我们称称这个映射个映射为 映射映射的逆映射的逆映射, 记为显然然,其定其定义域域其其 值域域按上述定按上述定义,可知可知: 只需只需单射才有逆映射射才有逆映射因此因此, 在例在例1,例例2,例例3中中,只需例只需例3的的有逆映射有逆映射对每
7、个每个,有独一的有独一的满足足的的与它与它对应.(反正弦函数反正弦函数)其定其定义域域其其值域域设有两个映射有两个映射且且即即这样 对于每个于每个即即这是一个从是一个从到到的映射的映射,我我们称它称它为映射映射构成的复合映射构成的复合映射, 记为即即留意留意(1)映射映射能构成复合映射的条件是：能构成复合映射的条件是：否那么，否那么，不能构成复合映射不能构成复合映射.例如例如:映射映射对每个每个映射映射对每个每个不能构成复合映射不能构成复合映射.(2)映射映射的复合是有的复合是有顺序的序的, 即普通地有即普通地有:例例4映射映射对每个每个映射映射对每个每个显然然,映射映射构成复合映射构成复合映
8、射:对每个每个,三三. .函数函数1.函数的概念函数的概念定定义设数集数集那么称映射那么称映射为定定义在在上的函数上的函数, 记为,称称为自自变量量称称为因因变量量称称为定定义域域 记为即即称称这个个值为函数函数在在处的函数的函数值记为,即即函数函数值的全体所构成的集合称的全体所构成的集合称为函数函数的的值域，域， 记为，即，即留意留意与与的区的区别对应法那么法那么函数在函数在处的函数的函数值习惯上，也用上，也用或或来表示定来表示定义在在上的函数。上的函数。对应法那么法那么 也可用也可用等表示等表示函数可函数可记为有有时，也直接用因，也直接用因变量的量的记号来表示函数，号来表示函数，将将是是的
9、函数，的函数，记为构成函数的二要素：构成函数的二要素：1定定义域域2对应法那么法那么假假设两个函数的定两个函数的定义域和域和对应法那么都一法那么都一样那么那么这两个函数相等。否那么，就不相等。两个函数相等。否那么，就不相等。函数的定函数的定义域的求法：域的求法：1 有有实践背景的函数践背景的函数根据根据实践背景中践背景中变量的量的实践意践意义来求来求自在落体运自在落体运动中位置函数与中位置函数与时间的函数关系的函数关系为比如，比如，开开场下落的下落的时辰辰为落地的落地的时辰辰为它的定它的定义域是什么？域是什么？2 笼统地用算式表达的函数地用算式表达的函数商定：商定：这种函数的定种函数的定义域是
10、使得算式有意域是使得算式有意义的一真的一真实数数所所组成的集合成的集合这样的定的定义域称域称为自然定自然定义域。域。在在这一商定下，普通的用算式表达的函数可用一商定下，普通的用算式表达的函数可用表达，表达， 不用再写不用再写为例如例如函数函数的定的定义域是域是函数函数的定的定义域是域是在函数的定在函数的定义中，中，对每个每个对应的函数的函数值总是独一的，是独一的，这样的函数称的函数称为单值函数。函数。假假设给定一个定一个对应法那么，法那么，按照按照这个法那么，个法那么，对每个每个，总有确定的有确定的值与它与它对应，但但这个个的个数不的个数不总是独一的，是独一的， 那么称那么称这种法那么种法那么
11、 确定了一个多确定了一个多值函数。函数。例如：例如： 设变量量和和之之间的的对应法那么由方程法那么由方程给出出.对每个每个,由方程由方程可确定出可确定出对应的的值:当当对应于于(一个一个值)当当对应于于(两个两个值)这是一个多是一个多值函数函数.可化可化为单值函数来研函数来研讨.假假设附加条件附加条件:那么得到那么得到假假设附加条件附加条件:那么得到那么得到单值分支分支(单值函数函数)(单值函数函数)函数的表示法函数的表示法:(1)表格法表格法(2)图形法形法(3)解析法解析法 (1) 符号函数符号函数几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyo(2) 取整函数取整函数 y=x x表示不超
12、越表示不超越 x 的最大整的最大整数数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲梯曲线易知易知:(3) 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)函函数数(4) 取最值函数取最值函数yxoyxo作业:P21,P21,习题习题1-11-11,3-61,3-6(5) 绝对值函数绝对值函数定定义域域值域域它的它的图形：形：在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, 对应法那么用不同对应法那么用不同的的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为分段函数称为分段函数.例例1 1脉冲发生器产生一个单三角脉冲脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如下其波形如下图图,
13、写出电压写出电压U与时间与时间 的函数关系式的函数关系式.解解单三角脉冲信号的电压单三角脉冲信号的电压例例2 2解解故故2、函数的特性、函数的特性(1)函数的有界性函数的有界性:设函数函数的定的定义域域为，数集数集假假设存在数存在数， 使得使得对每个每个都成立，都成立，那么称函数那么称函数在在上有上界上有上界.(有下界有下界)假假设存在正数存在正数， 使得使得对每个每个都成立，都成立，那么称函数那么称函数在在上有界上有界.假假设这样的的不存在不存在那么称函数那么称函数在在上无界上无界.函数函数在在上无界上无界, 即即:假假设对于恣意正数于恣意正数,总存在存在,使使成立成立.例如例如:函数函数,
14、在在内内显然然, 对每个每个都成立都成立.在在内有上界内有上界.又易知又易知, 对每个每个都成立都成立.在在内有下界内有下界.还可知道可知道:, 对每个每个都成立都成立.在在内有界内有界.又例如又例如:函数函数,在在内内有有在在内内有下界有下界.但是但是, 它在它在内内没有上界没有上界,它在它在内内是无界的是无界的.不存在不存在这样一个正数一个正数, 使使对每个每个都成立都成立.(2) 函数的单调性函数的单调性:xyoxyo(3) 函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数yxox-x奇函数奇函数yxox-x(4) 函数的周期性函数的周期性:通常通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期函数的周期是
15、指其最小正周期.3、反函数与复合函数、反函数与复合函数反函数是逆映射的一种特例反函数是逆映射的一种特例.定定义 设函数函数是是单射射,那么存在逆映射那么存在逆映射称此映射称此映射为函数函数的反函数的反函数.按定按定义, 对每个每个有独一的有独一的满足足这阐明明:反函数反函数的的对应法那么完全由函数法那么完全由函数的的对应法那么确定法那么确定.例如例如是是单射射,所以所以,它的反函数存在它的反函数存在,反函数反函数为:对调得得普通地，将函数普通地，将函数的反函数的反函数记为定理定理假假设函数函数是是上的上的单调函数，函数，那么它的反函数那么它的反函数一定存在，一定存在，并且并且也是也是上的上的单
16、调函数其函数其单调性与函数性与函数的的单调性一性一样自自证相相对于反函数于反函数原来的函数原来的函数称称为直接函数直接函数.反函数的反函数的图形与直接函数的形与直接函数的图形的关系形的关系:关于直关于直线对称称.复合函数是复合映射的一种特例复合函数是复合映射的一种特例.定定义设函数函数的定的定义域域为,函数函数在在上有定上有定义, 且且那么由下式表示的函数那么由下式表示的函数称称为由函数由函数与函数与函数构成的构成的复合函数复合函数.它的定它的定义域域为,变量量称称为中中间变量量.函数函数与函数与函数的复合函数通常的复合函数通常记为,即即与复合映射一与复合映射一样, 函数函数与函数与函数能构成
17、复合函数能构成复合函数的条件是的条件是:否那么否那么,不能构成复合函数不能构成复合函数.例如例如:函数函数与函数与函数能构成复合函数能构成复合函数又如又如: :函数函数与函数与函数不能构成复合函数不能构成复合函数，但是，但是，假假设将函数将函数 限制在它的定限制在它的定义域的一个子集域的一个子集上，上，令令，那么，那么，因此，因此， 与与能构成复合函数能构成复合函数，习惯上，上，为了了简便起便起见，仍称函数，仍称函数是由函数是由函数与与的复合函数。的复合函数。这里里的定的定义域域应了解成：了解成：以后我们采取这种习惯说法以后我们采取这种习惯说法 。能构成复合函数能构成复合函数，它的定，它的定义
18、域域普通地，普通地，能构成复合函数能构成复合函数其定其定义域域不能构成复合函数。不能构成复合函数。能构成复合函数能构成复合函数，它的定，它的定义域域两个以上函数也能构成复合函数，只需它们依次满足两个以上函数也能构成复合函数，只需它们依次满足构成复合函数的条件。构成复合函数的条件。例例能构成复合函数能构成复合函数它的定它的定义域域例例3 3解解是有界函数是有界函数, ,是偶函数是偶函数, ,是周期函数是周期函数不是不是单调函数函数, ,：( (但无最小正周期但无最小正周期) )例例4 4解解综上所述上所述4、函数的运算、函数的运算设函数函数的定的定义域分域分别为且且那么可定那么可定义两个函数的以
19、下运算两个函数的以下运算:和和( 差差 )积商商例例设函数函数的定的定义域域为,证明明:必存在必存在上的偶函数上的偶函数和奇函数和奇函数, 使得使得(P16,例例11本人看本人看)5、初等函数、初等函数(1) 根本初等函数根本初等函数i).幂函数函数ii).指数函数指数函数iii).对数函数对数函数iv).三角函数三角函数正弦函数正弦函数对恣意实数对恣意实数有有余弦函数余弦函数对恣意实数对恣意实数有有正切函数正切函数余切函数余切函数正割函数正割函数余割函数余割函数v).反三角函数反三角函数 幂函数函数,指数函数指数函数,对数函数数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数三角函数统称称为根本初等函
20、数根本初等函数.2.初等函数初等函数 由常数和根本初等函数由常数和根本初等函数经过有限次有限次四那么运算和有限次的函数复合步四那么运算和有限次的函数复合步骤所构成并可所构成并可用一个式子表示的函数用一个式子表示的函数,称称为初等函数初等函数.例如例如都是初等函数都是初等函数3、双曲函数与反双曲函数、双曲函数与反双曲函数奇函数奇函数.偶函数偶函数.(1) 双曲函数双曲函数奇函数奇函数,有界函数有界函数,双曲函数常用公式双曲函数常用公式(2) 反双曲函数反双曲函数奇函数奇函数,奇函数奇函数,小结小结根本概念根本概念集合集合, 区区间, 邻域域, 常量与常量与变量量, 绝对值.函数的概念函数的概念函数的特性函数的特性有界性有界性, ,单调性性, ,奇偶性奇偶性, ,周期性周期性. .反函数反函数复合函数复合函数函数的运算函数的运算初等函数初等函数作业:P21,P21,习题习题1-11-18-10, 12(8-10, 12(单单),13,14,15(1)(4),16,18.),13,14,15(1)(4),16,18.
