自动控制原理控制系统的时域分析与综合ppt课件

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1、第三章第三章 控制系控制系统的的时域分析与域分析与综合合3.1 引言引言控制系统设计的两个主要义务控制系统的分析控制系统的综合分析计算控制系统的各项性能目的，判别其能否满足设计要求。综合寻求改良系统性能并使它满足设计要求的方法。本章所采用的方法和步本章所采用的方法和步骤：1给出闭环控制系统的传送函数 ；2用公式 求出系统输出信号的拉氏变换式 ，进而用拉氏反变换求得输出信号 ；3根据 分析系统的稳定性、动态过程质量和稳态误差， 得出系统性能能否满足设计要求的判别；4从步骤3的分析中可以看出系统性能和传送函数之间的关系，从而可以省去步骤2， 由传送函数直接分析系统的各项性能目的，并判别能否满足设计

2、要求；5根据控制系统的设计要求，推导出系统传送函数应该具有的方式以及参数的适当取值范围，从而得出改良系统性能的方法。3.2 典型典型输入信号入信号控制系统在实践任务时，其输入信号不是预知的。典型输入信号用来对控制系统性能评价提供一个参考规范。典型输入信号应具有以下特点：可以反映控制系统在某一方面的性质，如快速性、平稳性、稳态精度；具有简单的函数方式，并且易于产生，以便于控制系统的实验和测试；它的拉氏变换应具有简单的方式，以便于求得系统的输出信号。常用的典型输入信号有以下几种：1单位阶跃函数1单位阶跃信号的拉氏变换：系统的单位阶跃呼应可以反映系统的快速性和动态过程的平稳性。2单位匀速函数表达式：

3、拉氏变换：又称单位斜坡信号。系统的单位斜坡呼应可以反映系统在跟踪匀速变化信号时的性能。3单位加速度函数表达式：拉氏变换：单位加速度信号4单位脉冲函数又称理想脉冲函数。表达式：0拉氏变换：用单位脉冲函数作为输入信号可以反映出系统遭到冲击或瞬时干扰情况下的质量。近似的单位脉冲函数5正弦函数表达式：拉氏变换：正弦信号具有无穷阶延续导数。3.3 一一阶系系统的的时域分析域分析3.3.1 一一阶系系统的数学模型的数学模型液位系统的例子+-系统的输入信号电压：系统的输出信号液位：系统的被控制量。+-由上图画出系统的方块图：-各变量之间的关系：+-差动放大器流量调理阀水位水池横截面积反响电位计根据方块图求出

4、闭环系统的传送函数：-本节研讨具有普遍意义的一阶系统：时间常数研讨其在典型输入信号作用下的呼应，设系统的初始条件为零。3.3.2 一一阶系系统的的单位位阶跃呼呼应当输入信号为单位阶跃信号 时，一阶系统的输出信号 称为一阶系统的单位阶跃呼应。其拉氏变换为求拉氏反变换得：0163.2%AB86.5%0.63295%98.2%99.3%T2T3T4T5T斜率为 普通以为，当 的值与其稳态值的差小于一定的允许值后，便可以为动态过程终了。误差5%减小时间常数 。一阶系统单位阶跃呼应的过渡过程时间：误差2%提高一阶系统单位阶跃呼应快速性的方法：对于单位负反响一阶系统，只需 ，系统即是稳定的。系统的传送函数

5、只需一个极点 ，只需极点在复数平面的左半平面，系统即是稳定的。极点离虚轴越远，系统的快速性越好。从一阶系统的实测单位阶跃呼应曲线，有两种方法求得系统的时间常数：1处所对应的时间；2处的切线与程度线 的交点所对应的时间。3.3.3 一一阶系系统的的单位脉冲呼位脉冲呼应当输入信号为单位脉冲信号 时，一阶系统的输出信号 称为一阶系统的单位脉冲呼应。其拉氏变换为求拉氏反变换得：0T2T3T4T一阶系统的单位脉冲呼应误差5%一阶系统单位脉冲呼应的过渡过程时间：误差2%一阶系统的快速性受时间常数 的影响；一阶系统单位脉冲呼应传送函数的拉氏反变换等价单位脉冲呼应传送函数均可反映系统的全部性质都是系统的数学模

6、型单位脉冲呼应传送函数拉氏变换拉氏变换也适用于其他各阶线性定常系统。线性定常系统单位脉冲信号单位脉冲呼应闭环传递函数求 得工程上用方波脉冲信号替代，脉冲宽度普通满足3.3.4 一一阶系系统的的单位斜坡呼位斜坡呼应单位斜坡信号 ，其拉氏变换输出信号的拉氏变换：求拉氏反变换，得输出信号：02T4T6T2T4T6TTT稳态误差一阶系统的单位斜坡呼应一阶系统的单位斜坡呼应的稳态值为：一阶系统在跟踪单位斜坡信号时具有稳态误差，其数值等于系统的时间常数T。 时间常数越小，稳态误差就越小。结论对一阶系统而言，减小时间常数T，既可以提高系统的快速性，又可以减小系统对斜坡信号的跟踪误差。3.3.5 一一阶系系统

7、的的单位加速度呼位加速度呼应单位匀加速信号：其拉氏变换：输出信号的拉氏变换：求拉氏反变换，得输出信号：系统的跟踪误差：系统的跟踪误差随着时间的增大而增大，直至发散。结论对一阶系统而言，不能实现对加速度信号的跟踪。3.3.6 线性定常系性定常系统的一个重要特性的一个重要特性 呼应 输入信号单位阶跃单位脉冲单位斜坡单位加速度一阶系统对典型输入信号的呼应求导求导求导求导求导求导求导求导求导求导求导求导 上述关系不仅适用于一阶系统，而且也适用于其他阶次的系统。线性定常系性定常系统的一个重要特性的一个重要特性 系统对输入信号的导数的呼应，就是系统对原信号的呼应的导数； 系统对输入信号的积分的呼应，就是系

8、统对原信号的呼应的积分。本次本次课内容内容总结典型典型输入信号入信号一一阶系系统的的时域分析域分析一一阶系系统的数学模型的数学模型一一阶系系统的的单位位阶跃呼呼应一一阶系系统的的单位脉冲呼位脉冲呼应一一阶系系统的的单位斜坡呼位斜坡呼应一一阶系系统的的单位加速度呼位加速度呼应线性定常系性定常系统的一个重要特性的一个重要特性3.4 二二阶系系统的的时域分析域分析3.4.1 二二阶系系统的数学模型的数学模型电动伺服系统原理图上述电动伺服系统的输入信号是：输入电位计的转角输出信号是：机械负载的转角误差信号是：输入电位计的电压：输出电位计的电压：放大器的输入电压：放大器的输出电压：直流电机电枢的电压-电

9、流方程：反电势系数反电势系数电枢绕组电阻电枢绕组电阻电枢绕组电感电枢绕组电感电枢反电势电枢反电势通常很小，可以忽略，直流电机电枢的电压-电流方 程可简化为：直流电机的力矩平衡方程式：折算到电机轴上的转动惯量折算到电机轴上的阻力系数直流电机的力矩系数电机转角和负载转角的关系为：减速器的传动比综合以上关系，可得方块图：-电动伺服系统方块图系统的开环传送函数为其中系统的闭环传送函数为二阶系统的规范传送函数为-开环传送函数无阻尼振荡频率；(rad/s)阻尼比阻尼系数。无量纲结合前面例子中的电机伺服系统，有：规范方式二阶系统的特征方程为：它的两个根闭环极点是：3.4.2 二二阶系系统的的单位位阶跃呼呼应

10、1欠阻尼情形两个闭环极点是一对共轭虚数，即：0ReIm系统的闭环传送函数可写为：有阻尼振荡频率，在单位阶跃信号作用下，输出的拉氏变换为：求拉氏反变换， 思索到：于是可得：求得二阶系统的单位阶跃呼应为暂态分量暂态分量稳态分量稳态分量决议衰决议衰减速度减速度其中或第I象限角0ReIm2无阻尼情形此时二阶系统的单位阶跃呼应为这是一个等幅振荡， 表示无阻尼振荡频率。此时二阶系统的闭环极点为0ReIm无阻尼情形下二阶系统的闭环极点分布3临界阻尼情形此时二阶系统的闭环极点为临界阻尼情形下二阶系统的闭环极点分布0ReIm求拉氏反变换，得：在单位阶跃信号作用下，输出的拉氏变换为：这是一个单调延续上升过程。类似

11、于一阶系统的单位阶跃呼应。但是在 处的切线斜率不同，切线斜率按下述过程求取：先对二阶系统的单位阶跃呼应求导，得：当 时，切线斜率为零。而一阶系统的单位阶跃呼应在 时的斜率为。4过阻尼情形此时二阶系统的闭环极点为两个不相等的负实数：过阻尼情形下二阶系统的闭环极点分布0ReIm在单位阶跃信号作用下，输出的拉氏变换为：其中输出的拉氏反变换为：此阶跃呼应包含两个指数衰减项，两个闭环极点远离虚轴接近虚轴衰减较快，可以忽略此项此时该二阶系统的呼应可近似为一阶系统的呼应：忽略了极点 及其相应的衰减项以后的结果 相应地，该二阶系统的闭环传送函数也可以近似为一阶传送函数：忽略与极点有关的项另一方面，从数学上可以

12、证明，当 时有而且 的值越大，两者越接近。于是即于是其中当 时，这种近似有称心的结果。5负阻尼情形此时二阶系统的单位阶跃呼应为其中递增的指数函数第II象限角此呼应为发散的正弦振荡，系统不稳定！ReIm0负阻尼情形阻尼情形闭环极点位于右半平面极点位于右半平面时，系，系统不不稳定定 为比较在不同的 值 下，二阶系统的单位阶跃呼应曲线，先对二阶系统的闭环传送函数作如下处置：二二阶系系统的的单位位阶跃呼呼应比比较令 ，那么闭环传送函数可以改写为单位阶跃呼应曲线如以下图所示。2468101200.20.40.60.811.21.41.61.82Step ResponseAmplitude00.20.40

13、.60.81.02.03.4.3 动态过程的性能目的程的性能目的 动态过程又称为过渡过程或瞬态过程，是指在输入信号的作用下，系统的输出由初态到达终态的呼应过程。动态过程的好坏表现为快速性平稳性 通常情况下，以单位阶跃信号作为输入，来衡量系统呼应的动态过程质量。02468101214161800.20.40.60.811.2Time (sec)上升时间第一次到达稳态值所需时间，反映系统的快速性。峰值时间到达第一个峰值所需时间。第一次到达稳态值所需时间，反映系统的快速性。上升时间 对于过阻尼系统，也可采用 从稳态值的10%上升到90%所需的时间。02468101214161800.20.40.60

14、.81Time (sec)过阻尼系阻尼系统的上升的上升时间峰值时间到达第一个峰值所需时间。超调量定义：超调量反映系统动态过程的平稳性。一阶系统和过阻尼二阶系统无超调量。调整时间单位阶跃呼应到达并坚持在稳态值5%或2%的范围内所需的最短时间。即允许误差5%或2%以后，即可以为动态过程终了。反映系反映系统快速性快速性的重要目的。的重要目的。02468101214161800.20.40.60.811.2Time (sec)振荡次数在动态过程继续时间内 ，单位阶跃呼应的振荡次数。在动态过程继续时间内 ，单位阶跃呼应曲线穿越其稳态值的次数的一半。振荡次数反映系统动态过程的平稳性。在上述5项目的中，最常

15、用的是 和 。超调量，反映平稳性。调整时间，反映快速性。3.4.4 欠阻尼二欠阻尼二阶系系统的的动态过程目的程目的 研讨动态性能目的与传送函数的关系。1上升时间 的计算当 时，令得0ReIm结论： 当阻尼比一定时，上升时间与无阻尼振荡频率 有关。2峰值时间 的计算对时间 求导数，并令导数 为零，可得：由于 对应于 的第一个峰值，故3超调量 的计算将 代入最终得超调量只与阻尼比有关，而与无阻尼振荡频率无关。阻尼比越小，超调量越大；反之那么越小。结论：当 0.4，0.8 时， 相应地 25%，2.5%4调整时间 的计算对于欠阻尼二阶系统，其单位阶跃呼应为这是一个衰减的正弦振荡曲线。其包络线方程为：

16、如以下图所示。0510152025-0.500.511.522.5Step ResponseTime (sec)Amplitude包络线的衰减速率取决于 ，那么按照其包络线计算，有那么当 时，约等于约等于4当 时，对于欠阻尼二阶系统，当 时，可得简化近似式闭环极点离虚轴的间隔5振荡次数 的计算振荡次数 等于在 时间内系统单位阶跃呼应 的振荡次数。其振荡角频率为其振荡周期为振荡次数 为：当 时，同理当 时，最终可得振荡次数的计算式：用上式计算得到的振荡次数普通为非整数，此时振荡次数取整数即可。重要重要结论二阶系统具有称心的性能目的适当的阻尼比适当的无阻尼振荡频率增大 ，可以提高系统的平稳性，使超

17、调量和振荡次数减少。增大 ，可以提高系统的呼应速度。举例对于上一例的电机伺服系统来说，调整 的值显然是矛盾的，最好是设法减小时间常数 。本次本次课内容内容总结二二阶系系统的的单位位阶跃呼呼应；动态过程的性能目的；程的性能目的；欠阻尼二欠阻尼二阶系系统的的动态过程目的。程目的。例例3-1 知二阶系统的闭环传送函数为其中 ， 。计算系统单位阶跃呼应的特征量： 、 、 、 、 。解解单位：s12单位：s34单位：s当 时当 时单位：s5例例3-2 知系统的方块图，-要求具有性能目的： ，确定系统参数 和 ，并计算单位阶跃呼应的特征量 、 及 。解解先求得闭环传送函数根据解出其次， 根据解出根据解出根

18、据解出计算单位阶跃呼应的特征值当 时当 时例例3-3 知系统的方块图，-该系统能否正常任务？ 假设要求 ，系统应如何改良？ 解解根据系统的方块图-求得闭环传送函数显然 ，系统无阻尼，单位阶跃呼应三角诱导公式三角诱导公式这是一个等幅振荡， 不能反映控制信号的规律，系统不能正常任务。假设要求 ， 我们可以添加一个传送函数为的微分负反响来改良原系统。-改良后的闭环传送函数：求得反响系数为如今，阶跃呼应曾经变成阻尼比为 的减幅振荡。超调量为：结论微分负反响提高了系统的阻尼程度。3.4.5 二二阶系系统的的单位脉冲呼位脉冲呼应系统的单位脉冲呼应普通记为：单位脉冲函数的拉氏变换为1，规范二阶系统的单位脉冲

19、呼应的拉氏变换为：1无阻尼 情形有两个共有两个共轭纯虚根轭纯虚根等幅正弦振荡2欠阻尼 情形有两个共有两个共轭的虚根轭的虚根衰减正弦振荡3临界阻尼 情形有两个相有两个相等的实根等的实根先单调增、后单调衰减的曲线。非振荡曲线！4过阻尼 情形有两个不有两个不相等实根相等实根可求得那么024681012-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81Impulse ResponseTime (sec)Amplitude临界临界阻尼阻尼过阻尼过阻尼对于欠阻尼二阶系统，单位脉冲呼应到达最大值的时间 可以用求极值的方法来确定。令 ，得：得下面求单位脉冲相应的最大值等于等于1代入代入 的值的值

20、单位阶跃函数单位脉冲函数求导积分单位阶跃呼应单位脉冲呼应求导积分0单位脉冲呼应单位阶跃呼应的峰值时辰单位阶跃呼应的峰值欠阻尼二阶系统的单位脉冲呼应024681012-0.4-0.200.20.40.60.811.21.4Time (sec)单位位阶跃呼呼应单位脉位脉冲呼冲呼应欠阻尼二阶系统欠阻尼二阶系统阴影阴影面积面积从上述分析可知：结论都是系统的一种数学模型。所以系统单位脉冲呼应和传送函数一样，系统的单位脉冲呼应是其传送函数的拉氏反变换，3.4.6 二二阶系系统的的单位斜坡呼位斜坡呼应单位斜坡信号 的拉氏变换为二阶系统的单位斜坡呼应 的拉氏变换为可求得的拉氏反变换为1欠阻尼 情形将 、 、

21、、 代入上式右边的后两项是衰减项，其稳态呼应为 。结论二阶系统在跟踪斜坡信号时存在稳态误差。稳态误差为常值 。2临界阻尼 情形3过阻尼 情形3.5 高高阶系系统的的时域分析域分析 求解高阶控制系统对各种典型输入信号的呼应是非常困难的，普通来说需借助计算机求取数值解。 本节根据高阶系统的单位阶跃呼应，找出高阶系统动态呼应的特点，进而寻觅简化计算的近似方法。3.5.1 高高阶系系统的的阶跃呼呼应高阶系统的闭环传送函数为也可以写成零极点的方式闭环系统的零点闭环系统的极点它它们可以是可以是实数或共数或共轭虚数虚数假设闭环系统有 对共轭虚数极点，那么高阶系统的闭环传送函数还可写为：那么高阶系统单位阶跃呼

22、应的拉氏变换为求上式的拉氏反变换可得单位阶跃呼应：适当的常系数稳态稳态分量分量指数衰减指数衰减暂态分量暂态分量振荡衰减振荡衰减暂态分量暂态分量高阶系统的单位阶跃呼应由三部分构成：高高阶系系统单位位阶跃呼呼应的特点：的特点：1假设高阶系统的闭环极点全部具有负实部，即一切闭环极点全部位于复平面的左半平面，那么单位阶跃呼应的暂态分量最终一定衰减为零。2在暂态分量中， 每一项的衰减快慢取决于相应极点的实部绝对值的大小， 或者说极点离虚轴的远近，负实部的绝对值越大，或者说极点离虚轴越远，那么这一项暂态分量衰减越快。3高阶系统的单位阶跃呼应中， 暂态分量的各项系数不仅和闭环极点有关，而且也和闭环零点有关。

23、在复平面上，假设某一闭环极点接近某一零点，而且又与其他极点相距较远， 那么相应衰减项系数较小，对暂态分量的影响也较小。假设某一对闭环极点、零点非常接近，那么称为一对偶极子。 该闭环极点对暂态过程几乎没有影响。假设某一闭环零点附近没有极点， 并且离虚轴较近，那么相应项的系数较大，对暂态过程的影响也较大。3.5.2 高高阶系系统的的闭环主主导极点极点离虚轴较近的闭环极点离虚轴较远的闭环极点对应项的系数较大；衰减较慢；对动态过程影响较大。对应项的系数较小；衰减较快；对动态过程影响较小。极点附近有零点时， 相应项的系数较小，对动态过程的影响也较小。闭环主导极点在闭环极点中，假设有一对共轭虚数极点，或实

24、数极点，离虚轴最近，其他极点离虚轴的间隔都是它到虚轴间隔的5倍以上， 并且间隔虚轴较近处又没有单独的闭环零点，那么这对个离虚轴最近的极点称为高阶系统的闭环主导极点。高阶系统的动态过程主要取决于闭环主导极点，所以对于存在闭环主导极点的高阶系统， 在分析它的动态过程时，可以近似为以这对闭环主导极点为极点的二阶系统，或者近似为以这一个闭环主导极点为极点的一阶系统。3.6 用用MATLAB做做线性系性系统的的时域分析域分析3.6.1 用用MATLAB求解系求解系统的的单位位阶跃呼呼应MATLAB给出了以下几种求取单位阶跃呼应的方式：y=step(G, t)要计算的时间点所构成的向量与时间点相对应的呼应

25、值构成的向量y, t=step(G)由系统自动产生y, t, X=step(G)系统的形状向量step(G)直接画呼应图举例分析以下系统的单位阶跃呼应编写以下MATLAB文件：a=1,7,24,24;b=1,10,35,50,24;G=tf(a,b);t=0:0.1:10;y=step(G,t);plot(t,y,r-);grid;Y_sd=dcgain(G)运转结果如下：单位阶跃呼应曲线 step_01Y_sd = 1 MATLAB的任务空间3.6.2 用用MATLAB求解系求解系统的的单位脉冲呼位脉冲呼应MATLAB给出了以下函数impulse(num,den);impulse(G);im

26、pulse(G,t);在0, t时间内作出单位脉冲呼应曲线举例给定系统的闭环传送函数求系统的单位脉冲呼应。编写以下MATLAB文件：sys=tf(5,8,1,6,10,8);impulse(sys,r-);grid;axis(0,6,-0.1,0.9);运转结果如下：0123456-0.100.10.20.30.40.50.60.70.80.9 System: sys Time (sec): 0.505 Amplitude: 0.883 System: sys Time (sec): 2.42 Amplitude: 0.00239 Impulse ResponseTime (sec)Ampli

27、tude3.6.3 用用MATLAB求解系求解系统对恣意恣意输入的呼入的呼应MATLAB给出了以下函数Lsim(sys,u,t);举例绘制典型二阶系统和的单位斜坡呼应。编写以下MATLAB文件：t=0:0.01:5;u=t;sys1=tf(1,1,1,1);sys2=tf(1,1,0.6,1);lsim(sys1,u,t);hold on;lsim(sys2,u,t);grid;legend(sys1,sys2);运转结果如下：00.511.522.533.544.5500.511.522.533.544.55sys1sys2Linear Simulation ResultsTime (sec

28、)Amplitude本次本次课内容内容总结二阶系统的单位脉冲呼应；二阶系统的单位脉冲呼应；二阶系统的单位斜坡呼应；二阶系统的单位斜坡呼应；高阶系统的阶跃呼应；高阶系统的阶跃呼应；高阶系统的闭环主导极点；高阶系统的闭环主导极点；用用MATLAB做线性系统的时域分析。做线性系统的时域分析。3.7 改善控制系改善控制系统动态性能的方法性能的方法本节只引见两种简单的时域综合方法，更为复杂、更为有效的方法将在后续的章节中进展引见。3.7.1 速度反响速度反响典型二阶系统的开环传送函数为假设可以对输出量 的速度信号进展丈量，并将输出量的速度信号反响到系统的输入端与偏向比较那么构成带有速度反响的二阶系统。如

29、图-系统的闭环传送函数为其中引入速度反响以后，系统的阻尼比比原来的大。从而可以提高系统的各项性能目的。例例3-4二阶系统的方块图如下-要求闭环系统的超调量 ，峰值时间为，求放大器的放大倍数和速度反响系数。解解系统的开环传送函数为系统的闭环传送函数为由此可得根据标题给定的性能目的可以求得 ，根据前面得到的求得 ，3.7.2 比例比例+微分控制微分控制PD控制控制比例增益微分增益+-PD控制器的传送函数 微分信号具有预测作用，有助于改善系统的动态性能。以欠阻尼二阶系统为例，讨论比例+微分控制对改善系统动态过程的作用。假设上图中在没有PD控制造用的情况下，闭环传送函数为：即引入PD控制器后的闭环系统

30、传送函数为求得和 属于PD控制器的参数，只需适当的选取参数 和 ，就可以增大系统的阻尼比和无阻尼振荡频率，使系统的快速性和平稳性都得以改善。采用PD控制以后，引入了一个闭环零点闭环零点为： ， 在选择参数 和 时，假设可以保证这个零点 远离虚轴，那么校正后的闭环极点就成为系统的主导极点。此时可按照规范二阶系统来估算动态性能目的。例例3-5 采用PD校正的控制系统如下图，-要求系统的动态过程目的为：求PD校正参数 和 。解解 在没有校正的情况下， 系统的闭环传送函数为相应的参数为：可求出相应的目的为 ， 。可见，动态过程的目的不满足要求。采用PD校正后，系统的闭环传送函数为其中相应的参数为：为了

31、满足目的要求按照规范二阶系统计算，可得解出选择可求得注释采用PD校正后，系统必然会引入一个零点，具有零点的二阶系统， 动态性能目的没有准确简捷的计算公式，只能作近似估算，工具进展数字仿真，或者利用MATLAB经过仿真来确定参数。3.8 线性系性系统的的稳定性定性本节只研讨线性定常系统的稳定性。3.8.1 稳定的根本概念定的根本概念硬杆摆的例子ab平衡点稳定的不稳定的对于线性定常系统其运动微分方程为当 时， 其输出及其各阶导数都为零，那么系统会静止在 点。假设对系统施加一个瞬时冲击作用 ，其输出信号 最终可以到达 ，并且静止在 ，那么以为该线性定常系统是稳定的，否那么以为该线性定常系统是不稳定的

32、。判别线性定常系统能否稳定的根据是：单位脉冲呼应3.8.2 线性定常系性定常系统稳定的充分必要条件定的充分必要条件线性定常系统的单位脉冲呼应的拉氏变换为相应的闭环极点为共有 个闭环极点。当且仅当系统的闭环极点全部具有负实部时，单位脉冲呼应系统是稳定的。假设系统的闭环极点至少有一个具有正实部，那么系统是不稳定的。假设系统的闭环极点至少有一个具有零实部，那么 趋于常数或者是等幅正弦振荡，系统是临界稳定的。线性定常系统的稳定性取决于闭环传送函数的极点，即方程的根。闭环系统的特征方程闭环系统的特征方程定理定理 线性定常系统稳定的充分必要条件是：闭环系统特征方程的根全部具有负实部。闭环系统传送函数的极点

33、全部位于s平面的左半平面。BIBO稳定稳定有界输入有界输出稳定稳定临界稳定在工程上是无意义的。一个重要结论一个重要结论线性定常系统的稳定性取决于系统本身的构造，是系统的固有属性，与输入信号无关。3.8.3 劳斯斯(Routh)稳定判据定判据劳斯稳定判据的优点在于无需求解高次代数方程，而直接根据方程的系数来判别其根的分布情况。闭环系统的特征方程：假设特征方程同时满足以下3个条件，劳斯斯稳定判据定判据那么闭环系统是稳定的。1特征方程的各项系数都不等于零， 即方程按降幂陈列不缺项；2特征方程的各项系数全部都是正实数；注：各项系数全部都是负实数的情况可以变换成正实系数方程。3将特征方程的各项系数陈列成

34、劳斯列表，表中的第一列各元全部大于零。劳斯列表斯列表第一列第一列其中劳斯列表的性斯列表的性质1在计算劳斯列表时，某一行各元同时乘以或除以同一个正数， 不影响稳定性的判别结果，往往可简化后续的运算。这种乘除2劳斯列表第一列各元自上而下符号改动的次数等于闭环系统特征方程中具有正实部的根的个数。例例3-6控制系统的特征方程为用劳斯判据断定该系统的稳定性。解解显然，本例满足劳斯判据的前两条，下面计算劳斯列表135240150-605自上而下符号改动2次，有2个正实部根，系统不稳定。例例3-7控制系统的特征方程为用劳斯判据断定该系统的稳定性，并确定正实部根的数目。解解该特征方程不满足劳斯判据的第二条，所

35、以系统不稳定。为了确定正实部根的数目，必需列出劳斯列表：1-25301-190-630-14030自上而下符号改动2次，有2个正实部根，系统不稳定。计算算劳斯列表斯列表时出出现的特殊情况的特殊情况1劳斯列表某一行的第一个元为零， 而其他各元不为零或不全为零。在计算下一行时，会出现分母为零的景象。处理的方法之一：令，构成以为未知数的代数方程，这个代数方程正实部根的个数与原特征方程的一样。例例3-8控制系统的特征方程为用劳斯判据断定该系统的稳定性。解解 对原特征方程列写劳斯表：12512005以下无法计算令，得对此方程列写劳斯表。列写劳斯表：521210-1252自上而下符号改动2次，有2个正实部

36、根，系统不稳定。处理的方法之二：恣意正实数恣意正实数正实部根的数目相等。在上例中，对此方程列写劳斯列表。13724529-55115自上而下符号改动2次，有2个正实部根，系统不稳定。2劳斯列表某一行一切元均为零处理方法用全零行的上一行系数构造一个辅助方程并将此方程对s求导数， 所得导数方程的系数取代全零行的各元，然后继续编排劳斯列表。例例3-9控制系统的特征方程为用劳斯判据断定该系统的稳定性。解解按照D(s)=0列写劳斯列表：112200用 行构造一个辅助方程对s求导数得继续列写劳斯列表112200402劳斯列表的第一列各元全正，但不能阐明系统稳定。由于辅助方程 的根是原特征方程的根， 所以系

37、统是临界稳定的。例例3-10例例3-10 系统的特征方程为求该系统正实部特征根的数目。解解 由于特征方程各项的系数有正有负，所以系统不稳定。列写劳斯列表：1-4-71044-801-4-71044-80-5-510各元均除以5-1-1200辅助方程求导得-4-22各元均乘以2-14-184变号变号2次，阐明有次，阐明有2个个正实部特征根。正实部特征根。辅助方程的根为阐明特征方程还有一对纯虚根。本次本次课内容内容总结改善控制系统动态性能的方法改善控制系统动态性能的方法线性系统的稳定性线性系统的稳定性速度反响速度反响比例比例+微分控制微分控制PD控制控制稳定的根本概念稳定的根本概念线性定常系统稳定

38、的充分必要条件线性定常系统稳定的充分必要条件劳斯劳斯(Routh)稳定判据稳定判据3.8.4 用用MATLAB分析控制系分析控制系统的的稳定性定性用MATLAB判别系统的稳定性是非常方便的，在MATLAB软件中经过求解特征方程的根即可：Roots(den)例例3-11给定系统的特征方程判别系统的稳定性。解解在MATLAB中输入以下命令 den=1,2,8,12,20,16,16; roots(den)运转结果ans = -0.0000 + 2.0000i -0.0000 - 2.0000i -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i 0.0000 + 1.4142i

39、 0.0000 - 1.4142i存在共轭纯虚根， 系统临界稳定。在MATLAB软件中也可以直接求取系统传送函数的特征值：eig(sys)例例3-12求取如下图系统的闭环极点，并判别其稳定性。-解解在MATLAB中编写下述m文件G=tf(1,1,2,4);H=tf(1,1,1);sys=feedback(G,H);p=eig(sys)运转结果p = -0.8389 + 1.7544i -0.8389 - 1.7544i -1.3222 3.9 求取保求取保证系系统稳定的条件定的条件 虽然经过MATLAB软件可以直接求出系统的闭环极点，比用劳斯判据更加简捷，MATLAB无法替代的作用但是劳斯判据

40、还具有条件。求取保证系统稳定的为系统设计和调试提供参考。3.9.1 确定某个参数的取确定某个参数的取值范范围例例3-13 某系统的方块图如下图，-+确定参数 的取值范围，使闭环系统稳定。例例3-14某控制系统的特征方程为使闭环系统稳定。确定参数 和 的取值范围，3.9.2 确定某些参数之确定某些参数之间的相互关系的相互关系例例3-15某单位负反响系统的开环传送函数为为使闭环系统稳定，和 应满足什么关系？在K-T直角坐标系中画出使闭环系统稳定的区域。假设闭环系统处于临界稳定，继续振荡频率为1rad/s，求 和 的值。00.511.522.533.544.5500.511.522.533.544.

41、553.9.3 保保证系系统稳定并且定并且闭环极点极点远离虚离虚轴例例3-16 某系统的方块图如下图，-要求闭环系统的极点全部位于直线 的左侧，试确定参数 的取值范围。本次本次课内容内容总结用用MATLAB分析控制系统的稳定性；分析控制系统的稳定性；求取保证系统稳定的条件。求取保证系统稳定的条件。3.10 线性控制系性控制系统的的稳态误差差 控制系统的稳态误差是表征系统性能的一项重要目的。 它表示动态过程终了后，系统的被控制量能否到达期望值或按期望的规律变化。稳态误差物理元件产生的稳态误差系统设计中的原理性稳态误差物理元件产生稳态误差的例子电子放大器的漂移机械安装的摩损和间隙本节只研讨系统设计

42、中的原理性稳态误差。注注 只需稳定的控制系统，研讨其稳态误差才有意义。3.10.1 控制系控制系统的的误差和差和稳态误差差-负反响控制系统方块图偏向信号偏向信号的拉氏变换误差信号的定义：期望输出实践输出在理想的情况下，我们希望期望反响输入信号-根据上述方块图可得期望输出期望反响-理想情况下的负反响控制系统方块图根据上述方块图可得-非理想情况下的负反响控制系统方块图误差信号的拉氏变换为偏向信号的拉氏变换即误差偏向偏向闭环传送函数思索单位负反响控制系统结论对于普通的负反响控制系统对于单位负反响控制系统误差信号等于偏向信号对于单位负反响控制系统-偏向闭环传送函数稳态误差的定义：对于单位负反响控制系统

43、结论对于普通的负反响控制系统对于单位负反响控制系统这两种情形下误差都与系统的数学模型有关。3.10.2 终值定理和定理和稳态误差的差的计算算思索单位负反响控制系统， 开环传送函数为开环放大倍数开环传送函数中串联积分环节的个数偏向闭环传送函数为单位负反响系统的误差为根据稳态误差的定义及拉氏变换的终值定理假设典型输入信号拉氏变换 的分母阶次那么上述极限为零，即：系统的无静差度，此时系统也称为 阶无静差系统。单位阶跃输入的稳态误差定义 为静态位置误差系数。1根据得静态位置误差系数：单位阶跃输入的稳态误差公式结论的单位负反响系统，在单位阶跃输入下的稳态误差为一个常值，并且稳态误差与系统的开环放大倍数

44、成递减关系。的单位负反响系统，在单位阶跃输入下的稳态误差为零。在开环传送函数中，的系统称为0型系统；的系统称为I型系统；的系统称为II型系统。的值对控制系统的稳态误差起着重要作用。I型系统可以无静差地跟踪阶跃信号。单位斜坡输入的稳态误差2单位斜坡输入稳态误差定义 为静态速度误差系数。根据得静态速度误差系数：单位斜坡输入的稳态误差公式结论在单位斜坡输入下的稳态误差为一个常值，并且稳态误差与系统的开环放大倍数 成反比。的单位负反响系统，的单位负反响系统，在单位斜坡输入下的稳态误差为零。II型系统可以无静差地跟踪斜坡信号。单位加速度输入的稳态误差3单位加速度输入稳态误差定义 为静态加速度误差系数。根

45、据得静态加速度误差系数：单位加速度输入的稳态误差公式结论在单位加速度输入下的稳态误差为一个常值，并且稳态误差与系统的开环放大倍数 成反比。的单位负反响系统，对比比总结各种典型输入下单位反响系统的稳态误差系统的三个静态误差系数 、 、在系统的型别与输入信号的类型相一致的情况下，就等于系统的开环放大倍数 。静态误差系数与开环放大倍数的关系系统的型别与输入信号类型一致性的对照通常情况下，稳态误差与开环放大倍数成递减关系。但是，不能为了减小稳态误差而过分地增大开环放大倍数，系统不稳定。由于开环放大倍数太大，会导致必需在保证系统稳定的前提下， 适当地增大开环放大倍数。I型系统、II型系统在单位阶跃输入下

46、的稳态误差为零。可见，提高系统的型别是减小稳态误差的又一方法。在系统中添加串联积分环节的数目，可以提高系统的型别。但是这样会使系统的动态性能变坏。无论是提高系统的开环放大倍数，还是提高系统的型别，都必需在不对系统的稳定性和动态性能产生不良影响的前提下进展。假设输入信号是几种典型信号的合成：根据线性系统的叠加原理，稳态误差为：稳态误差与系统的模型及输入信号均有关。3.10.3 干干扰信号作用下的信号作用下的稳态误差差线性系统的稳态误差+线性系统的叠加原理输入单独作用下的稳态误差干扰单独作用下的稳态误差这两种稳态误差可以单独分别进展研讨。-+在思索干扰 引起的稳态误差时，可以令：在单位反响系统情形

47、下， 误差等于偏向。+干扰干扰引起的偏向根据拉氏变换的终值定理，可得：由此就可计算由干扰引起的稳态误差了。例例3-18 控制系统如图，-+1当 ， 时，求稳态误差 ；2当 ， 时，求稳态误差 ；3假设要减少 ，应如何调整 和 ？4假设分别在扰动点之前和之后参与积分环节，对系统的稳态误差有何影响？结论在扰动点之前参与串联积分环节，由输入和干扰引起的稳态误差；可以同时减小在扰动点之后参与串联积分环节，引起的稳态误差。只能减小由输入本次本次课内容内容总结在扰动点之前参与串联积分环节，由输入和干扰引起的稳态误差；可以同时减小在扰动点之后参与串联积分环节，引起的稳态误差。只能减小由输入干扰信号作用下的稳

48、态误差干扰信号作用下的稳态误差:线性控制系统的稳态误差；线性控制系统的稳态误差；终值定理和稳态误差的计算；终值定理和稳态误差的计算；各种典型输入下单位反响系统的稳态误差。各种典型输入下单位反响系统的稳态误差。例例3-19 单位反响系统的开环传送函数为：假设输入信号为和 为正常数，欲使系统的稳态误差 正常数，求系统各参数应满足的条件。3.10.4 动态误差系数差系数 利用拉氏变换的终值定理求取稳态误差有一定的局限性。必需满足终值定理的运用条件；只能求得 时的稳态误差值，弄不清楚稳态误差是怎样随时间而变化。有时我们希望搞清楚稳态误差随时间而变化的规律，动态误差系数法可以差系数法可以处理理这一一问题

49、。对于单位负反响系统-其偏向信号就等于误差信号：其中偏向闭环传送函数：在 的邻域内将 展成Taylor级数：记为其中称为动态误差系数。动态误差系数偏向信号的拉氏变换可以写成：动态误差系数除了经过对 求各阶导数而获得以外，还可以经过长除法将 写成幂级数的方式而获得。例例3-20 控制系统的闭环偏向传送函数为求动态误差系数。动态误差系数与静态误差系数的关系0型系统I型系统II型系统用动态误差系数法也可以求取干扰信号作用下的稳态误差，只需用替代即可。例例3-21 单位反响系统如图，-+同时存在输入和干扰：用动态误差系数法计算该系统的稳态误差。例例3-22 单位反响系统的开环传送函数为求当输入信号为时

50、的稳态误差。注注释用动态误差系数法适宜于求 为幂函数方式的稳态误差。幂函数方式的 只需有限阶导数，这种情况下只需求出有限个动态误差系数即可；假设 为正弦或余弦信号，它有无穷阶导数，这种情况下需求求出无穷个动态误差系数，显然，在这种情况下用动态误差系数法求取稳态误差就不太适宜了。3.11 减小和消除减小和消除稳态误差的方法差的方法当控制系统在输入信号或干扰信号作用下的稳态误差不能满足设计要求时，要设法减小或消除稳态误差。3.11.1 增大开增大开环放大倍数放大倍数1减小输入信号作用下的稳态误差0型系统的开环放大倍数静态位置误差系数I型系统的开环放大倍数静态速度误差系数II型系统的开环放大倍数静态

51、加速度误差系数知识要点回想增大开环放大倍数 可以减小0型系统在阶跃输入作用下的稳态误差；减小I型系统在斜坡输入作用下的稳态误差；减小II型系统在加速度输入作用下的稳态误差。注注释增大开环放大倍数只能减小某种输入信号下的稳态误差值；增大开环放大倍数不能改动稳态误差的性质。对于稳态误差为0或 的情形，放大倍数不能改动这种情况，增大开环趋向于 的进程。但是可以延缓例例3-23 单位反响系统的开环传送函数为在 和 两种情况下，分别求输入信号为时的稳态误差。2减小干扰信号作用下的稳态误差+-增大 ，可以减小 ；增大 ，对 无影响。结论用增大开环放大倍数来减小干扰引起的稳态误差时，应留意正确地选取增大放大

52、倍数的部位；假设能增大 ，同时减小 ，那么可以在总的开环放大倍数不变的情况下，有效地抑制干扰引起的误差；必需在保证闭环系统稳定和满足动态性能目的的前提下，适当地增大开环放大倍数。3.11.2 添加串添加串联积分分环节在开环传送函数中参与串联的积分环节，系统的型别，可以提高用这种方法可以改动稳态误差的性质，从而有效地减小稳态误差。1减小或消除输入信号作用下的稳态误差采用PI或PID控制是参与串联积分环节的常用方法。PI比例+积分PID比例+积分+微分PI控制器+-PI控制器的传送函数为：PID控制器+-+PID控制器的传送函数为：都会在系统的开环传送函数中添加一个串联积分环节，上述两种控制器的共

53、同点：使系统的型别提高一级。从而2减小或消除干扰信号作用下的稳态误差+-在干扰信号作用点以前参与一个串联积分环节，可以使系统对干扰信号的稳态误差提高一级型别。在干扰信号作用点以后参与一个串联积分环节，干扰信号引起的稳态误差没有影响。3.11.3 顺馈控制控制顺馈控制又称为前馈控制。是把系统的外部作用信号输入或干扰经过另外一条支路引入控制系统，包括稳态误差。消除误差，利用补偿原理来减小或1减小或消除输入信号作用下的稳态误差+-系统的输入-偏向传送函数为假设取那么有即在输入信号作用下完全没有误差。但是实现这种关系 是很困难的，由于有时会出现分子阶次高于分母的景象，这种传送函数在工程上是难于实现的。

54、假设取 为一阶微分或二阶微分方式，那么可以提高系统对稳态误差的型别。例例3-24如下图，+-在没有顺馈控制的情况下，系统为I型，假设参与顺馈控制，如何选取 ，的无差度提高为2？使系统例例3-25采用顺馈的单位反响控制系统如图所示，要求该系统在 输入作用下，稳态误差为零。求参数 和 。+-结论顺馈控制是由顺馈通道给控制系统引入另外一个输入信号，不改动原闭环系统的稳定性。2减小或消除干扰信号作用下的稳态误差假设干扰信号可以丈量，那么可以在原系统中参与顺馈通道，如下图。利用补偿原理来减小或消除干扰引起的稳态误差。+-+所谓顺馈补偿，是指干扰信号经过顺馈通道对系统的作用，可以抵销干扰信号对原系统输出信

55、号的作用。在没有顺馈的情况下，干扰信号 引起的输出为：引入顺馈通道以后， 干扰信号 引起的输出为：假设取那么干扰引起的输出信号为零，即，干扰对输出不产生影响，实现了完全补偿。例例3-26如下图，+-+其中，试确定顺馈通道的传送函数 ，使干扰信号对输出不产生影响。结论顺馈控制既可以减小或消除输入引起的稳态误差，又可以减小或消除干扰引起的稳态误差。顺馈控制的最大优点是不影响原闭环系统的稳定性。顺馈控制的最大缺陷是要用到输入信号和干扰信号的微分或高阶微分， 工程中有时难以实现。本次本次课内容内容总结动态误差系数动态误差系数动态误差系数与静态误差系数的关系动态误差系数与静态误差系数的关系减小和消除减小和消除稳态误差的方法差的方法增大开增大开环放大倍数；放大倍数；添加串添加串联积分分环节；顺馈控制。控制。