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1、制造与设计 贾启芬Mechanical and Structural Vibration机械与构造振动机械与构造振动 5.1 5.1 瑞利瑞利瑞利瑞利(Rayleigh)(Rayleigh)能量法能量法能量法能量法 5.2 5.2 李李李李兹兹(Ritz)(Ritz)法法法法 5.3 5.3 邓邓克莱克莱克莱克莱(Dunkerley)(Dunkerley)法法法法 5.4 5.4 矩矩矩矩阵阵迭代法迭代法迭代法迭代法 5.5 5.5 子空子空子空子空间间迭代法迭代法迭代法迭代法 5.6 5.6 传传送矩送矩送矩送矩阵阵法法法法 Mechanical and Structural Vibrati
2、on 5.1 5.1 瑞利瑞利瑞利瑞利(Rayleigh)(Rayleigh)能量法能量法能量法能量法Mechanical and Structural Vibration 5.1 5.1 瑞利瑞利瑞利瑞利(Rayleigh)(Rayleigh)能量法能量法能量法能量法5.1.1瑞利第一商5.1.2瑞利第二商 Mechanical and Structural Vibration 5.1 5.1 瑞利瑞利瑞利瑞利(Rayleigh)(Rayleigh)能量法能量法能量法能量法5.1.1瑞利第一商设A为振型矢量，振型矢量，对于于简谐振振动，其最大，其最大动能和最大能和最大势能能为对于保守系于保守
3、系统，由能量守恒，那么有，由能量守恒，那么有假设A是系统的第i阶主振型A(i)，那么得相应的主频率的平方假假设A是恣意的是恣意的n维矢量，那么可得矢量，那么可得称称为瑞利商瑞利商为了区了区别用位移方程求得的用位移方程求得的值，又称之，又称之为瑞利第一商。瑞利第一商。 Mechanical and Structural Vibration 5.1 5.1 瑞利瑞利瑞利瑞利(Rayleigh)(Rayleigh)能量法能量法能量法能量法5.1.2瑞利第二商 瑞瑞利利商商的的平平方方根根是是基基频p1的的近近似似值。假假设振振型型越越接接近近于于真真实的的第第一一阶振振型型，那那么么结果果越越准准确
4、确。通通常常，以以系系统的的静静变形作形作为假假设振型，可以得到振型，可以得到较称心的称心的结果。果。 Mechanical and Structural Vibration用瑞利法求出的基用瑞利法求出的基频近似近似值大于大于实践的基践的基频p1 。这是是由于假由于假设振型偏离了第一振型偏离了第一阶振型，相当于振型，相当于给系系统添加了添加了约束，因此添加了束，因此添加了刚度，使求得的度，使求得的结果高于真果高于真实的的值。 由于 1 5.1 5.1 瑞利瑞利瑞利瑞利(Rayleigh)(Rayleigh)能量法能量法能量法能量法5.1.2瑞利第二商 假设采用位移方程描画系统的运动微分方程，即
5、假设采用位移方程描画系统的运动微分方程，即前乘以同理，假同理，假设A是恣意的是恣意的n矢量，那么有矢量，那么有称称为瑞利第二商瑞利第二商假设假设振型接近于第一阶主振型时，那么 是基频 的近似值 给出同出同样假假设振型的同一振振型的同一振动系系统，用瑞利第二商，用瑞利第二商计算算的的结果，要比用瑞利第一商果，要比用瑞利第一商计算的算的结果更准确一些。果更准确一些。 Mechanical and Structural Vibration 5.1 5.1 瑞利瑞利瑞利瑞利(Rayleigh)(Rayleigh)能量法能量法能量法能量法5.1.2瑞利第二商 例例5-1 用瑞利法求图示三自在度改动系统的
6、第一阶固有频率的估用瑞利法求图示三自在度改动系统的第一阶固有频率的估值。知值。知k1=k2=k3=k；I1=I2=I3=I。 解解：系系统的的质量量矩矩阵和和刚度度矩矩阵为逆矩阵计算得求第一求第一阶固有固有频率的估率的估值，取假，取假设振型振型Mechanical and Structural Vibration 5.1 5.1 瑞利瑞利瑞利瑞利(Rayleigh)(Rayleigh)能量法能量法能量法能量法5.1.2瑞利第二商 在上面的计算中，假设振型比较“粗糙，与该系统的第一阶固有频率 ，准确到第四位值的比较误差较大。Mechanical and Structural Vibration
7、5.1 5.1 瑞利瑞利瑞利瑞利(Rayleigh)(Rayleigh)能量法能量法能量法能量法5.1.2瑞利第二商 假假设进一步改良假一步改良假设振型，即以静振型，即以静变形曲形曲线为假假设振型，振型， 设显然，在工程上，假然，在工程上，假设以静以静变形曲形曲线作作为假假设振型，可以振型，可以得到很好的第一得到很好的第一阶固有固有频率的近似率的近似值。Mechanical and Structural Vibration 5.2 5.2 李李李李兹兹(Ritz)(Ritz)法法法法Mechanical and Structural Vibration 5.2 5.2 李李李李兹兹(Ritz)
8、(Ritz)法法法法用用瑞瑞利利法法估估算算的的基基频的的精精度度取取决决于于假假设的的振振型型对第第一一阶主主振型的近似程度，而且其振型的近似程度，而且其值总是准确是准确值的上限。的上限。李李兹法法对近近似似振振型型给出出更更合合理理的的假假设，从从而而使使算算出出的的基基频值进一一步步下下降降，并并且且还可可得得系系统较低低的的前前几几阶固固有有频率率及及相相应的主振型的主振型在李在李兹法中，系法中，系统的近似主振型假的近似主振型假设为是是选取的取的s个个线性独立的假性独立的假设振型振型矩阵s维待定系数Mechanical and Structural Vibration 5.2 5.2
9、李李李李兹兹(Ritz)(Ritz)法法法法由于 在系统的真实主振型处取驻值，这些驻值即相应的各阶固有频率的平方 ，所以a的各元素由下式确定Mechanical and Structural Vibration 5.2 5.2 李李李李兹兹(Ritz)(Ritz)法法法法n个自在度个自在度缩减至减至s 自在度。自在度。刚度矩度矩阵质量矩量矩阵Mechanical and Structural Vibration 5.2 5.2 李李李李兹兹(Ritz)(Ritz)法法法法李兹法是一种缩减系统自在度数的近似方法。李兹法是一种缩减系统自在度数的近似方法。频率方程率方程求出求出s个固有个固有频率，即
10、率，即n自在度系自在度系统的前的前s阶固有固有频率。率。解出其相解出其相应的特征矢量的特征矢量求出求出n自在度系自在度系统的前的前s阶主振型主振型正交性Mechanical and Structural Vibration 5.2 5.2 李李李李兹兹(Ritz)(Ritz)法法法法对于瑞利第二商于瑞利第二商利用利用驻值条件可得条件可得s个方程，将其写成矩个方程，将其写成矩阵方式方式特征方程特征方程求出求出s个固有个固有频率，即率，即n自在度系自在度系统的前的前s阶固有固有频率。率。解出其相解出其相应的特征矢量的特征矢量求出求出n自在度系自在度系统的前的前s阶主振型主振型Mechanical
11、and Structural Vibration 5.2 5.2 李李李李兹兹(Ritz)(Ritz)法法法法例例5-2 用李兹法求图示四自在度振动系统的前二阶固有频率及用李兹法求图示四自在度振动系统的前二阶固有频率及主振型。主振型。 解：由条件可求出系解：由条件可求出系统的的质量矩量矩阵、刚度矩度矩阵和柔度矩和柔度矩阵设振型Mechanical and Structural Vibration 5.2 5.2 李李李李兹兹(Ritz)(Ritz)法法法法求出求出2个固有频率，即4自在度系统的前4阶固有频率。Mechanical and Structural Vibration 5.2 5.2
12、 李李李李兹兹(Ritz)(Ritz)法法法法求出系统的前二阶主振型Mechanical and Structural Vibration 5.3 5.3 邓邓克莱克莱克莱克莱(Dunkerley)(Dunkerley)法法法法Mechanical and Structural Vibration 5.3 5.3 5.3 5.3 邓邓克莱克莱克莱克莱(Dunkerley)(Dunkerley)(Dunkerley)(Dunkerley)法法法法邓克克莱莱法法是是求求多多圆盘的的轴的的横横向向振振动系系统基基频近近似似值的的一一种种方方法法。当当其其它它各各阶频率率远远高高于于基基频时，利利用用
13、此此法法估估算算基基频较为方便。方便。由表示位移方程得到的由表示位移方程得到的频率方程，即率方程，即并展开得并展开得令根为式又可写成各因式式又可写成各因式连乘乘积的方式，即的方式，即展开得展开得Mechanical and Structural Vibration 5.3 5.3 5.3 5.3 邓邓克莱克莱克莱克莱(Dunkerley)(Dunkerley)(Dunkerley)(Dunkerley)法法法法比较，得到假假设基基频p1远低于高低于高阶频率，即率，即kii是第是第i个个质量量产生生单位位移位位移时，在第，在第i个个质量上所需加的力。量上所需加的力。 Mechanical and
14、 Structural Vibration 5.3 5.3 5.3 5.3 邓邓克莱克莱克莱克莱(Dunkerley)(Dunkerley)(Dunkerley)(Dunkerley)法法法法称称为邓克莱公式。由于略去了高克莱公式。由于略去了高阶频率的成分，所以求得的率的成分，所以求得的基基频总是低于准确是低于准确值。 pii表示只需表示只需mi存在存在时，系，系统的固有的固有频率。率。Mechanical and Structural Vibration 5.3 5.3 5.3 5.3 邓邓克莱克莱克莱克莱(Dunkerley)(Dunkerley)(Dunkerley)(Dunkerley
15、)法法法法例例5-3 用邓克莱公式计算例用邓克莱公式计算例5-1中的三圆盘转轴系统的基频。中的三圆盘转轴系统的基频。解：由例解：由例5-1所解可知所解可知显然用然用邓克莱法求基克莱法求基频非常方便，但非常方便，但误差差较大，故大，故仅适用于适用于初步估算。初步估算。Mechanical and Structural Vibration 5.4 5.4 矩矩矩矩阵阵迭代法迭代法迭代法迭代法Mechanical and Structural Vibration 5.4 5.4 5.4 5.4 矩矩矩矩阵阵迭代法迭代法迭代法迭代法5.4.1 求第一阶固有频率和主振型求第一阶固有频率和主振型5.4.2
16、 求较高阶的固有频率及主振型求较高阶的固有频率及主振型 Mechanical and Structural Vibration 5.4 5.4 5.4 5.4 矩矩矩矩阵阵迭代法迭代法迭代法迭代法5.4.1 求第一阶固有频率和主振型矩矩阵阵迭迭代代法法，亦亦称称振振型型迭迭代代法法是是采采用用逐逐渐渐逼逼近近的的方方法法来来确确定定系统的主振型和频率。系统的主振型和频率。系系统的的动力矩力矩阵求系求系统的基的基频时，矩，矩阵迭代法用的根本方程是由位移方程，即迭代法用的根本方程是由位移方程，即用用动力矩力矩阵D前乘以假前乘以假设振型振型A0 ，然后，然后归一化，可得一化，可得A1，即，即矩矩阵迭
17、代法的迭代法的过程是：程是：1选取某个取某个经过归一化的假一化的假设振型振型A0Mechanical and Structural Vibration 5.4 5.4 5.4 5.4 矩矩矩矩阵阵迭代法迭代法迭代法迭代法5.4.1 求第一阶固有频率和主振型2假设 ，就再以A1为假设振型进展迭代，并且归一化得到A2，3假设 ，那么继续反复上述迭代步骤，得直至 时停顿第一第一阶主振型主振型Mechanical and Structural Vibration 5.4 5.4 5.4 5.4 矩矩矩矩阵阵迭代法迭代法迭代法迭代法5.4.1 求第一阶固有频率和主振型可可以以看看出出：虽然然开开场假假设
18、的的振振型型不不理理想想，它它包包含含了了各各阶主主振振型型，而而且且第第一一阶主主振振型型在在其其中中所所占占的的分分量量不不是是很很大大。但但在在迭迭代代过程程中中，高高阶振振型型的的分分量量逐逐渐衰衰减减，低低阶振振型型的的分分量量逐逐渐加加强，最最终收收敛于于第第一一阶主主振振型型。假假设振振型型越越接接近近A(1)那那么么迭迭代代过程程快快；假假设振振型型与与A(1)相相差差较大大那那么么迭迭代代过程程收收敛的慢，但最的慢，但最终依然得到基依然得到基频和第一和第一阶主振型。主振型。假假设在在整整个个迭迭代代过程程中中，第第一一阶主主振振型型的的分分量量一一直直为零零，那那么么收收敛于
19、于第第二二阶主主振振型型；假假设前前s 阶主主振振型型的的分分量量为零零，那么收那么收敛于第于第s+1阶主振型。主振型。该当当指指出出，假假设用用作作用用力力方方程程进展展迭迭代代，那那么么收收敛于于最最高高固有固有频率和最高率和最高阶主振型。主振型。 Mechanical and Structural Vibration 5.4 5.4 5.4 5.4 矩矩矩矩阵阵迭代法迭代法迭代法迭代法5.4.1 求第一阶固有频率和主振型例例5-4 用矩阵迭代法求例用矩阵迭代法求例5-1所示系统的第一阶固有频率及振型。所示系统的第一阶固有频率及振型。 解：解： 由例由例5-1中中计算的算的结果可得到果可得
20、到动力矩力矩阵取初始假取初始假设振型振型进展迭代，展迭代，经过第一次迭代后，得第一次迭代后，得Mechanical and Structural Vibration 5.4 5.4 5.4 5.4 矩矩矩矩阵阵迭代法迭代法迭代法迭代法5.4.1 求第一阶固有频率和主振型第二次迭代第二次迭代继续迭代下去迭代下去Mechanical and Structural Vibration 5.4 5.4 5.4 5.4 矩矩矩矩阵阵迭代法迭代法迭代法迭代法5.4.1 求第一阶固有频率和主振型与之与之对应的第一的第一阶主振型主振型为Mechanical and Structural Vibration 5
21、.4 5.4 5.4 5.4 矩矩矩矩阵阵迭代法迭代法迭代法迭代法5.4.2 求较高阶的固有频率及主振型 当当需需用用矩矩阵迭迭代代法法求求第第二二阶、第第三三阶等等高高阶频率率及及振振型型时，其其关关键步步骤是是要要在在所所设振振型型中中消消去去较低低阶主主振振型的成分。由展开定理型的成分。由展开定理由正交性由正交性前乘Mechanical and Structural Vibration 5.4 5.4 5.4 5.4 矩矩矩矩阵阵迭代法迭代法迭代法迭代法5.4.2 求较高阶的固有频率及主振型 假设要在A中消去A(1)的成分，那么只需取假设振型为其中称称为前前P阶去除矩去除矩阵。运用。运用
22、QP A作作为假假设振型振型进展迭代，展迭代，将得到第将得到第P+1阶固有固有频率及主振型。率及主振型。 Mechanical and Structural Vibration 5.4 5.4 5.4 5.4 矩矩矩矩阵阵迭代法迭代法迭代法迭代法5.4.2 求较高阶的固有频率及主振型 该当当留留意意到到，在在运运算算中中不不可可防防止止地地存存在在舍舍入入误差差，即即在在迭迭代代过程程中中难免免会会引引入入一一些些低低阶主主振振型型分分量量，所所以以在在每每一一次次迭迭代代前前都都必必需需重重新新进展展去去除除运运算算。实践践上上，可可以以把把迭迭代代运运算算和和去去除除低低阶振振型型运运算算
23、合合并并在在一一同同，即即将将去去除除矩矩阵并并入入动力力矩矩阵D中中去去，并并入原理如下。入原理如下。所以所以由于由于从DA中去除A(1)，即Mechanical and Structural Vibration 5.4 5.4 5.4 5.4 矩矩矩矩阵阵迭代法迭代法迭代法迭代法5.4.2 求较高阶的固有频率及主振型 从DA中去除A(1)，即称之称之为已含去除矩已含去除矩阵的新的新动力矩力矩阵。用矩。用矩阵D*进展迭代将展迭代将得到第二得到第二阶主振型及第二主振型及第二阶固有固有频率。率。 因此，包含前因此，包含前P阶去除矩去除矩阵的的动力矩力矩阵为Mechanical and Struc
24、tural Vibration 5.4 5.4 5.4 5.4 矩矩矩矩阵阵迭代法迭代法迭代法迭代法5.4.2 求较高阶的固有频率及主振型 例例5-5 用用矩矩阵阵迭迭代代法法求求例例5-4系系统统中中的第二阶固有频率及主振型。的第二阶固有频率及主振型。解：在例解：在例5-4中，用矩中，用矩阵迭代法已求出系迭代法已求出系统的第一的第一阶固有固有频率和率和主振型主振型为于是，可于是，可计算出算出Mechanical and Structural Vibration 5.4 5.4 5.4 5.4 矩矩矩矩阵阵迭代法迭代法迭代法迭代法5.4.2 求较高阶的固有频率及主振型 得到含去除矩得到含去除矩
25、阵的的动力矩力矩阵选取初始假取初始假设振型振型现经过十二次迭代后，得到十二次迭代后，得到Mechanical and Structural Vibration 5.5 5.5 子空子空子空子空间间迭代法迭代法迭代法迭代法Mechanical and Structural Vibration 5.5 5.5 5.5 5.5 子空子空子空子空间间迭代法迭代法迭代法迭代法将将矩矩阵迭迭代代法法与与李李兹法法结合合起起来来，可可以以得得到到一一种种新的新的计算方法，即子空算方法，即子空间迭代法。迭代法。它它对求求解解自自在在度度数数较大大系系统的的较低低的的前前假假设干干阶固有固有频率及主振型非常有效
26、。率及主振型非常有效。Mechanical and Structural Vibration 5.5 5.5 5.5 5.5 子空子空子空子空间间迭代法迭代法迭代法迭代法计算系统的前P阶固有频率和主振型，按照李兹法，可假设s个振型且sP。将这些假设振型陈列成ns阶矩阵，即其中每个 都包含有前P阶振型的成分，也含有高阶振型的成分。Mechanical and Structural Vibration 5.5 5.5 5.5 5.5 子空子空子空子空间间迭代法迭代法迭代法迭代法为了提高李兹法求得的振型和频率的准确度，将A0代入动力矩阵中进展迭代，并对各列阵分别归一化后得 目的是使 比A0含有较强的
27、低阶振型成分，减少高阶成分。但假设继续用 进展迭代，一切各阶振型即 的各列都将趋于A(1)。 为了防止这一点，可以在迭代过程中进展振型的正交化。用李兹法进展振型正交化具有收敛快的特点。由于它是利用瑞利取驻值的条件，寻求s2个aij的系数，使得 的每一列都成为相对应振型A(i)的最正确近似。Mechanical and Structural Vibration 5.5 5.5 5.5 5.5 子空子空子空子空间间迭代法迭代法迭代法迭代法所以用 作为假设振型，再按李兹法求解，即设可求得广义质量矩阵和广义刚度矩阵ss阶待定系数方阵得到s个值 及对应的特征矢量 再由李兹法特征值问题，即求解方程从而求出
28、Mechanical and Structural Vibration 5.5 5.5 5.5 5.5 子空子空子空子空间间迭代法迭代法迭代法迭代法然后，以求出的 作为假设振型进展迭代，可求得与李兹法特征值问题，解出 。由李兹法，即不断地反复矩阵迭代和李兹法的过程，就可以得到所需精度的振型和固有频率。Mechanical and Structural Vibration迭代的功能是使这s个矢量的低阶成分不断地相对放大，即向 张成的子空间靠拢。 5.5 5.5 5.5 5.5 子空子空子空子空间间迭代法迭代法迭代法迭代法 子空间迭代法是对一组假设振型反复地运用迭代法和李兹法的运算。 从几何观念上
29、看，原n阶特征值系统有n个线性无关的特征矢量，它们之间是正交的，张成一个n维空间。而假设的s个线性无关的n维矢量 张成一个s 维子空间，Mechanical and Structural Vibration 假设只迭代不进展正交化，最后这s个矢量将指向同一方向，即A(1)的方向。 由于用李兹法作了正交处置，那么这些矢量不断旋转，最后分别指向前s个特征值的方向。 5.5 5.5 5.5 5.5 子空子空子空子空间间迭代法迭代法迭代法迭代法即由张成的一个s 维子空间，经反复地迭代正交化的旋转而逼近于由所张成的子空间。Mechanical and Structural Vibration 5.5 5
30、.5 5.5 5.5 子空子空子空子空间间迭代法迭代法迭代法迭代法 在实际中发现，最低的几阶振型普通收敛很快，经过二至三次迭代便已稳定在某一数值。 在以后的迭代中不能使这几个低阶振型值的精度进一步提高，只是随着迭代次数的添加，将有越来越多的低阶振型值稳定下来。 所以，在计算时要多取几个假设振型，假设所需求的是P个振型，那么假设振型个数s普通应在2P与2P+8之间取值。Mechanical and Structural Vibration 5.5 5.5 5.5 5.5 子空子空子空子空间间迭代法迭代法迭代法迭代法 子空间迭代法有很大的优点，它可以有效地抑制由于等固有频率或几个频率非常接近时收敛
31、速度慢的困难。 同时，在大型复杂构造的振动分析中，系统的自在度数目可达几百甚至上千，但是，实践需用的固有频率与主振型只是最低的三、四十个，通常对此系统要进展坐标缩聚。 与其它方法相比，子空间迭代法具有精度高和可靠的优点。因此，它已成为大型复杂构造振动分析的最有效的方法之一。 Mechanical and Structural Vibration 5.5 5.5 5.5 5.5 子空子空子空子空间间迭代迭代迭代迭代法法法法例5-6 用子空间迭代法求例5-2中所示系统的前二阶固有频率及振型。解：系统的质量矩阵、刚度矩阵和柔度矩阵已由前例求出。现取假设振型由动力矩阵迭代得到 5.5 5.5 5.5
32、5.5 子空子空子空子空间间迭代法迭代法迭代法迭代法将各列分别归一化得求得再由李兹法特征值问题为其中 Mechanical and Structural Vibration 5.5 5.5 5.5 5.5 子空子空子空子空间间迭代法迭代法迭代法迭代法由上述方程有非零解的条件，得频率方程为各列分别归一化后，得Mechanical and Structural Vibration 5.5 5.5 5.5 5.5 子空子空子空子空间间迭代法迭代法迭代法迭代法反复上述过程进展第二次迭代，由归一化后得那么有由Mechanical and Structural Vibration 5.5 5.5 5.5 5.5 子空子空子空子空间间迭代法迭代法迭代法迭代法解得得频率方程为由于 近似于单位矩阵，所以有Mechanical and Structural Vibration 5.5 5.5 5.5 5.5 子空子空子空子空间间迭代法迭代法迭代法迭代法由于 近似于单位矩阵，所以有终了迭代，求得系统的前二阶固有频率及相应的主振型为Mechanical and Structural Vibration
