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1、第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院第二节第二节 知识要点知识要点p 掌握绘制根轨迹的八个规律掌握绘制根轨迹的八个规律p 掌握掌握0度根轨迹的手工绘制方法度根轨迹的手工绘制方法p 理解理解0度根轨迹与度根轨迹与180度根轨迹的区别度根轨迹的区别p 掌握参数根轨迹的手工绘制方法掌握参数根轨迹的手工绘制方法第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电
2、学院自动化学院西安邮电学院自动化学院一、根轨迹的根本规律一、根轨迹的根本规律1 1、根轨迹的起始点与终止点；、根轨迹的起始点与终止点；4 4、根轨迹的渐近线；、根轨迹的渐近线；2 2、根轨迹的连续性、对称性和分支数；、根轨迹的连续性、对称性和分支数；3 3、实轴上的根轨迹；、实轴上的根轨迹；5 5、根轨迹在实轴上的别离点和别离角；、根轨迹在实轴上的别离点和别离角；6 6、根轨迹的起始角和终止角、根轨迹的起始角和终止角( (复数零极点复数零极点) )；7 7、根轨迹与虚轴的交点；、根轨迹与虚轴的交点；8 8、根之和。、根之和。第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNI
3、VERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院特征方程可写为：规律一规律一 根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点根轨迹起始于开环极点。根轨迹起始于开环极点。根轨迹终止于开环零点。根轨迹终止于开环零点。根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院1 1当当m=nm=n时时，即即开开环环零零点点数数与与极极点点数数相相
4、同同时时，根根轨轨迹迹的的起起点点与与终点均为有限的值。终点均为有限的值。讨论：讨论：2 2当当mnmnmn时时，即即开开环环零零点点数数大大于于开开环环极极点点数数时时，除除有有n n条条根根轨轨迹迹起起始始于于开开环环极极点点( (称称为为有有限限极极点点) )外外，还还有有m-nm-n条条根根轨轨迹迹起起始始于无穷远点于无穷远点( (称为无限极点称为无限极点) )。参数根轨迹参数根轨迹第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院 根根轨轨迹迹起起始始
5、于于开开环环极极点点(K*0)(K*0)，终终止止于于开开环环零零点点(K*)(K*)；如如果果开开环环极极点点数数n n大大于于开开环环零零点点数数m m，那那么么有有n-mn-m条条根根轨轨迹迹终终止止于于s s平平面面的的无无穷穷远远处处，如如果果开开环环零零点点数数m m大大于于开开环环极极点点数数n n，那那么么有有m-nm-n条条根轨迹起始于根轨迹起始于s s平面的无穷远处。平面的无穷远处。结论：结论：第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学
6、院规律二规律二 根轨迹的连续性、对称性和分支数根轨迹的连续性、对称性和分支数 根根轨轨迹迹的的分分支支数数( (条条数数) )等等于于系系统统特特征征方方程程的的次次数数n n。( (根根轨轨迹描述特征根的变化规律迹描述特征根的变化规律) ) 根轨迹是连续的曲线。根轨迹是连续的曲线。(K*(K*是连续变化的是连续变化的) ) 根根轨轨迹迹总总是是对对称称于于实实轴轴。( (实实际际的的物物理理系系统统的的参参数数都都是是实实数数数学模型的系数是实数数学模型的系数是实数特征根不是实数就是共轭复数特征根不是实数就是共轭复数) ) 结结论论：根根轨轨迹迹是是连连续续且且对对称称于于实实轴轴的的曲曲线
7、线，其其分分支支数数等等于于系统特征方程的次数。系统特征方程的次数。第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院规律三规律三 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹设系统的开环传递函数设系统的开环传递函数其其中中p p1 1、p p2 2、p p3 3、z z1 1、z z2 2为为实实极极点点和和实实零零点点，p p3 3、p p4 4、z z3 3、z z4 4为共轭复数零、极点。为共轭复数零、极点。假假设设实实轴轴上上某某点点右右侧侧的的开开环环零零、极极点点
8、的的个个数数之之和和为为奇奇数数，那么该点在实轴的根轨迹上。那么该点在实轴的根轨迹上。第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院只有只有s s0 0点右侧实轴上的开环极点和开环零点的个数之点右侧实轴上的开环极点和开环零点的个数之和为奇数时，才满足相角条件。和为奇数时，才满足相角条件。 p1p2p3p5p4z1z2s0z4z3j0151424323S0点符合相角条件：每一对共轭复数形式的零极点对应的向量的相角之和为2；实轴上的零极点对应的向量的相角只有0和
9、两种情况。第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院规律四规律四 渐近线渐近线 当当开开环环极极点点数数n n大大于于开开环环零零点点数数m m时时，系系统统有有n-mn-m条条根根轨轨迹迹终终止止于于S S平平面面的的无无穷穷远远处处，反反响响n-mn-m条条根根轨轨迹迹变变化化趋趋向向的的直直线线叫叫做做根根轨轨迹迹的的渐渐近近线线，因因此此，渐渐近近线也有线也有n-mn-m条，且它们交于实轴上的一点条，且它们交于实轴上的一点( (对称性对称性) )
10、。渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴正方向的夹角：渐近线与实轴正方向的夹角： 第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院证明：思路：研究思路：研究s s值很大时根轨迹近似直线的表达方值很大时根轨迹近似直线的表达方式通过列写直线的方程。式通过列写直线的方程。第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院
11、多项式除法多项式除法第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院证明：研究研究s s值很大时根轨迹近似直线的表达方式通值很大时根轨迹近似直线的表达方式通过列写直线的方程。过列写直线的方程。第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院当当s s值非常大值非常大时，开环传递函数可以近似为：时，开环传递函数可以近似为：由特征
12、方程由特征方程G(s)H(s)=-1G(s)H(s)=-1得渐进线方程为：得渐进线方程为：第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院由二项式定理由二项式定理当当s s值非常大值非常大时，近似有时，近似有第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIV
13、ERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院令实部和虚局部别相等得：点点斜斜式式方方程程第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴正方向的夹角：渐近线与实轴正方向的夹角： 第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安
14、邮电学院自动化学院例例 系统开环传递函数如下，试画出该系统根轨迹的渐近线。系统开环传递函数如下，试画出该系统根轨迹的渐近线。 解解 该该系系统统n=4n=4，m=1m=1，n-m=3n-m=3；三三条条渐渐近近线线与与实实轴轴交交点点 为为它们与实轴正方向的夹角分别是它们与实轴正方向的夹角分别是第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线sj-4-3-2-10BCAas60-60300as180第二节第二节 根轨迹的基本绘制规
15、则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院四种情况下的渐近线四种情况下的渐近线第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院规律五规律五 根轨迹的别离点和别离角根轨迹的别离点和别离角 两条或两条以上根轨迹分支在两条或两条以上根轨迹分支在s s平面上相遇又立平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的别离点。即分开的点，称为根轨迹的别离点。 常常见见的的根根
16、轨轨迹迹别别离离点点位位于于实实轴轴上上。实实轴轴上上两两个个相相邻邻的的开开环环极极点点之之间间或或两两个个相相邻邻的的开开环环零零点点之之间间，至至少少有有一一个个别别离离点点。别别离离点点也也可可能能以以共共轭轭形形式式成成对对出出现在复平面上。现在复平面上。第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院 实轴上的别离点实轴上的别离点 复平面上的别离点复平面上的别离点 sj-4-3-2-10别离点sj4p3p1p2pA AB B0sd1d2C Cs别离
17、点，实质上就是系统特征方程的重实根实轴上的别离点别离点，实质上就是系统特征方程的重实根实轴上的别离点或重共轭复根复平面上的别离点。或重共轭复根复平面上的别离点。第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院 别离点的坐标别离点的坐标d d是以下方程的解：是以下方程的解：证明：证明：闭环特征方程有重根的条件为：闭环特征方程有重根的条件为：变换形式变换形式第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIVERSITY OF POSTS &
18、TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院1 1、当开环系统无有限零点时，应取、当开环系统无有限零点时，应取 别离点方程为别离点方程为 。 2 2、只只有有那那些些在在根根轨轨迹迹上上的的解解才才是是根根轨轨迹迹的的别别离离点点。别离点确实定需代入特征方程中验算。别离点确实定需代入特征方程中验算。3 3、只只有有当当开开环环零零、极极点点分分布布非非常常对对称称时时，才才会会出出
19、现现复平面上的别离点。复平面上的别离点。说明说明第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院例例 系统开环传函，试求出系统根轨迹别离点。系统开环传函，试求出系统根轨迹别离点。 解解 本系统无有限开环零点，所以本系统无有限开环零点，所以 d2=-2.58 d2=-2.58不在根轨迹上上，舍去。不在根轨迹上上，舍去。 d1=-1.42d1=-1.42是是实实轴轴根根轨轨迹迹上上的的点点，根根轨轨迹迹在在实实轴轴上上的的别别离离点。点。比照较复杂的方程比照较复杂
20、的方程( (次数大于次数大于2)2)，也可用试探法求解。，也可用试探法求解。第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院别离角：根轨迹进入别离点的切线方向和离开别离别离角：根轨迹进入别离点的切线方向和离开别离点的切线方向之间的夹角。点的切线方向之间的夹角。设设l l为进入别离点的根轨迹的条数，那么别离角为进入别离点的根轨迹的条数，那么别离角当当l=2l=2时，别离角为时，别离角为第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIVERS
21、ITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院起起始始角角pipi 根根轨轨迹迹离离开开开开环环复复数数极极点点处处的的切切线线方方向向与与实实轴轴正正方向的夹角。方向的夹角。 规律六规律六 起始角与终止角起始角与终止角 js3P2P1P0s1pq2pq终止角终止角zizi 根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角。1z2z第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院所以证明：证明：
22、设A为根轨迹上离极点pi很近的一点。A离pi很近A点满足相角条件同理得：代入代入：第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院进一步具体分析起始角与终止角的表示。进一步具体分析起始角与终止角的表示。例例 系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为 其其中中p1p1和和p2p2为为一一对对共共轭轭复复数数极极点点，各各零零级级点点在在s s平平面面上上的的分分布布如如下下图图。试试依依据据相相角角条条件件求求出出根根轨轨迹迹离开开环复数极点离开开环复数极点p1
23、p1的起始角的起始角p1p1。 sss sw w j j1 1z z1 1p p2 2p p0 0第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院解解 对于根轨迹上无限靠近对于根轨迹上无限靠近p p1 1的点的点A A，由相角条件可得，由相角条件可得 由于由于A A点无限靠近点无限靠近p p1 1点点 ssj1z1p2p3p)(31pp -)(21pp -)(11zp -01pqA角度替换后得：角度替换后得：第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规
24、则XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院规律七规律七 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点由此可得虚部方程和实部方程为由此可得虚部方程和实部方程为 根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴的的交交点点就就是是闭闭环环系系统统特特征征方方程程的的纯虚根实部为零。用纯虚根实部为零。用s=js=j代入特征方程可得代入特征方程可得第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院 解解虚虚部部方
25、方程程可可得得角角频频率率c c，即即根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴的的交交点点的的坐坐标标值值；用用c c代代入入实实部部方方程程，可可求求出出系系统统开开环环根根轨轨迹迹增增益益的的临临界界值值 。 对对如如何何选选择择合合适适的的系系统统参参数数、使使系系统统处处于于稳稳定定的的工工作作状状态态有重要意义。有重要意义。第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院例例 系统开环传函如下，试求出根轨迹与虚轴的交点系统开环传函如下，试求出根轨迹与虚轴的交点 及及
26、相应的开环根轨迹增益的临界值相应的开环根轨迹增益的临界值 。令令s=js=j并代入特征方程得并代入特征方程得其虚部和实部方程分别为其虚部和实部方程分别为解解 系统特征方程是系统特征方程是解方程组得：解方程组得：第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院 当当系系统统的的阶阶次次较较高高时时，解解特特征征方方程程将将会会遇遇到到困困难难，此此时时可可用用劳劳斯斯判判据据求求出出系系统统开开环环根根轨轨迹迹增增益益的的临界值和根轨迹与虚轴的交点。临界值和根轨
27、迹与虚轴的交点。第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院规律八规律八 根之和根之和 当n-m2时，闭环传函特征根之和等于开环传函所有极点之和(常数)。证明：证明：n-m2n-m2时，将开环传函表示的特征式展开后得：时，将开环传函表示的特征式展开后得：将闭环极点表示的特征式展开后得：将闭环极点表示的特征式展开后得：两式相等两式相等第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUN
28、ICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院p当当一一些些根根随随K*K*的的增增加加而而增增加加时时，必必有有另另一一些些根根随随K*K*的增加而减小。的增加而减小。p当当K*K*变变化化时时，随随K*K*变变化化的的n n个个闭闭环环特特征征根根的的和和具具有有常常数性。数性。p在在根根轨轨迹迹图图上上表表现现为为一一些些根根轨轨迹迹分分支支向向左左延延伸伸，另另外一些分支必向右延伸。外一些分支必向右延伸。( (根轨迹的自平衡性根轨迹的自平衡性) )结论结论第二节第二节 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECO
29、MUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院根根轨轨迹迹由由起起点点到到终终点点是是随随系系统统开开环环根根轨轨迹迹增增益益值值K K* *的的增增加加而而运运动动的的，要要用用箭箭头头标标示示根根轨轨迹迹运运动动的的方向。方向。要要标标出出一一些些特特殊殊点点的的K*K*值值，如如起起点点(K*0)(K*0)，终终点点(K*)(K*)；根根轨轨迹迹在在实实轴轴上上的的别别离离点点d(K*=Kd*)d(K*=Kd*)；与与虚虚轴轴的的交交点点(K*=Kr*)(K*=Kr*)。还还有有一一些些要要求求标标出出的的闭闭环环极极点点s s及及其其对对应应的的开开环环根根轨轨迹迹增
30、增益益K*K*，也也应应在在根轨迹图上标出，以便于进行系统的分析与综合。根轨迹图上标出，以便于进行系统的分析与综合。根根轨轨迹迹的的起起点点开开环环极极点点pi)pi)用用符符号号“标标示示；根轨迹的终点根轨迹的终点( (开环零点开环零点zj)zj)用符号用符号“o“o标示。标示。手工绘图时还需注意：手工绘图时还需注意：第三节第三节 广义根轨迹广义根轨迹XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院第三节 知识要点p了解广义根轨迹的概念了解广义根轨迹的概念p掌握参数根轨迹和零度根轨迹的绘制方法掌握参数根轨迹和零
31、度根轨迹的绘制方法p掌握绘制广义参数根轨迹时闭环传函的变形方法掌握绘制广义参数根轨迹时闭环传函的变形方法p掌握零度根轨迹和广义根轨迹的区别掌握零度根轨迹和广义根轨迹的区别第三节第三节 广义根轨迹广义根轨迹XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院根轨迹的分类根轨迹的分类p常规根轨迹：常规根轨迹：p 负反响系统中负反响系统中K*K*变化时的根轨迹变化时的根轨迹p广义根轨迹广义根轨迹p 根轨迹增益根轨迹增益K*K*以外，其它情形下的根轨迹以外，其它情形下的根轨迹p参数根轨迹参数根轨迹p零度根轨迹零度根轨迹第三节
32、第三节 广义根轨迹广义根轨迹XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院定定义义：以以非非根根轨轨迹迹增增益益( (比比方方比比例例微微分分环环节节或或惯惯性性环节的时间常数环节的时间常数 ) )为可变参数绘制的根轨迹。为可变参数绘制的根轨迹。闭环传函等效闭环系统其开环传函与常规根轨迹其开环传函与常规根轨迹的开环传函具有相同形式的开环传函具有相同形式变形参数根轨迹参数根轨迹绘制思路：绘制思路：解题关键解题关键：要将开环传函变形，将非开环增益的参要将开环传函变形，将非开环增益的参数变换到开环增益的地位数变换到开
33、环增益的地位第三节第三节 广义根轨迹广义根轨迹XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院 而且绘制根轨迹的相角、幅值条件和根本法那么均而且绘制根轨迹的相角、幅值条件和根本法那么均 是根据特征方程得到的。是根据特征方程得到的。2 2假设选其它参量为可变参数，可以利用等效传递函数假设选其它参量为可变参数，可以利用等效传递函数 构造一个新系统，使其特征方程与原系统的特征构造一个新系统，使其特征方程与原系统的特征 方程相同的概念，将系统特征方程也转化为上式方程相同的概念，将系统特征方程也转化为上式 的形式，以所选可
34、变参量的形式，以所选可变参量a a代替代替K1K1位置：位置： 1 1中选中选K1K1为可变参量时，特征方程为为可变参量时，特征方程为第三节第三节 广义根轨迹广义根轨迹XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院上一节的相角、幅值条件和绘制法那么都依然有效。上一节的相角、幅值条件和绘制法那么都依然有效。 第三节第三节 广义根轨迹广义根轨迹XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院(1)以比例一微分环节的时间常数为参量以比例
35、一微分环节的时间常数为参量例例 如下图系统，绘出以时间常数如下图系统，绘出以时间常数T T为参量为参量 的根轨迹。的根轨迹。第三节第三节 广义根轨迹广义根轨迹XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院解：系统的开环传递函数为：解：系统的开环传递函数为：闭环传递函数为：闭环传递函数为：分子分母同除以分子分母同除以 第三节第三节 广义根轨迹广义根轨迹XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院由闭环传函标准形式由闭环传函标准形
36、式知等效系统中知等效系统中等效系统为等效系统为第三节第三节 广义根轨迹广义根轨迹XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院绘制绘制T从从0变化时原系统的根轨迹如以下图：变化时原系统的根轨迹如以下图：由开环传函由开环传函第三节第三节 广义根轨迹广义根轨迹XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院p原系统和等效系统的开环传函不同，但它们原系统和等效系统的开环传函不同，但它们具有相具有相同的闭环传函。同的闭环传函。p绘出的根轨
37、迹是参数绘出的根轨迹是参数T T从从0 0到到变化时变化时原系统原系统闭环特闭环特征根的变化轨迹，因为等效系统与原系统的特征根征根的变化轨迹，因为等效系统与原系统的特征根是一样的。是一样的。说说 明明p等效变形时要化成闭环传函的标准形式等效变形时要化成闭环传函的标准形式( (分母中要出分母中要出现现“1+“1+的形式的形式) )。第三节第三节 广义根轨迹广义根轨迹XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院绘制步骤绘制步骤(1)(1)列出原系统的特征方程。列出原系统的特征方程。(2)(2)以特征方程中不含参量
38、的项去除特征方程，得到以特征方程中不含参量的项去除特征方程，得到等效系统的根轨迹方程，该方程中原系统的参量为等效系统的根轨迹方程，该方程中原系统的参量为等效系统的根轨迹增益。等效系统的根轨迹增益。(3)(3)绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参量根轨绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参量根轨迹。迹。第三节第三节 广义根轨迹广义根轨迹XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院(2)以惯性环节的惯性时间常数为参量以惯性环节的惯性时间常数为参量例例 如下图系统，绘出以时间常数如下图系统，绘出以时间常数T T 为为
39、 参量的根轨迹。参量的根轨迹。第三节第三节 广义根轨迹广义根轨迹XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院解：系统的开环传递函数为解：系统的开环传递函数为 ：闭环传递函数为闭环传递函数为 ：分子分母同除以分子分母同除以 第三节第三节 广义根轨迹广义根轨迹XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院由闭环传函标准形式由闭环传函标准形式知等效系统中知等效系统中所以等效系统为所以等效系统为第三节第三节 广义根轨迹广义根轨迹XIA
40、N UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院原原因因：闭闭环环特特征征式式等等于于开开环环传传函函的的分分子子多多项项式式和和分分母母多多项项式式的的和和，开开环环传传函函为为G(s)H(s)G(s)H(s)和和1/G(s)H(s)1/G(s)H(s)时时，系系统统的的特特征征多多项项式式相相同同。作作出出的的根根轨轨迹迹是是相相同同的的特特征征方方程程的的根根随随同同一一个个参参数变化的轨迹，因此，根轨迹的形状相同。数变化的轨迹，因此，根轨迹的形状相同。 对于开环传函对于开环传函分母的阶数小于分子的阶数，无法用分
41、母的阶数小于分子的阶数，无法用MATLBAMATLBA绘制根轨迹。绘制根轨迹。解决方法：绘制解决方法：绘制的根轨迹。的根轨迹。第三节第三节 广义根轨迹广义根轨迹XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院开环传函：开环传函：闭环传函：闭环传函：第三节第三节 广义根轨迹广义根轨迹XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院进一步说明进一步说明两系统的开环传函，分别绘制系统的根轨迹如下：两系统的开环传函，分别绘制系统的根轨迹如下
42、：第三节第三节 广义根轨迹广义根轨迹XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院绘制绘制T从从 0变化时原系统的根轨迹如以下图：变化时原系统的根轨迹如以下图：第三节第三节 广义根轨迹广义根轨迹XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院说说 明明 得得到到的的根根轨轨迹迹图图和和开开环环传传函函为为G(s)H(s)的根轨迹图相比：的根轨迹图相比：n形状上相同；形状上相同；n起点和终点相反起点和终点相反(零极点相反零极点相反)
43、；n根轨迹增益互为倒数根轨迹增益互为倒数。第三节第三节 广义根轨迹广义根轨迹XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院定义：如果负反响系统开环传递函数的分子、分定义：如果负反响系统开环传递函数的分子、分 母母中中s s最最高高次次幂幂系系数数不不同同号号，或或者者正正反反响系响系 统统开开环环传传函函的的分分子子、分分母母中中s s最最高高次次幂幂同同 号，系统根轨迹为零度根轨迹。号，系统根轨迹为零度根轨迹。零度根轨迹零度根轨迹第三节第三节 广义根轨迹广义根轨迹XIAN UNIVERSITY OF POST
44、S & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院m个零点n个极点nm幅值条件“+“+“-“-“1“1幅角条件（k =0, 1, 2, ） “ 2k2k”正反响系统的根轨迹正反响系统的根轨迹第三节第三节 广义根轨迹广义根轨迹XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院由根轨迹方程由根轨迹方程1-G(s)H(s)=01-G(s)H(s)=0推得相角条件为推得相角条件为所所以以，零零度度根根轨轨迹迹和和常常规规根根轨轨迹迹相相比比但但凡凡和和相相角角有有关系的规律都要发生变化。关
45、系的规律都要发生变化。第三节第三节 广义根轨迹广义根轨迹XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院p实轴上的根轨迹：假设实轴上某点右侧的开环零、极点的个实轴上的根轨迹：假设实轴上某点右侧的开环零、极点的个数之和为偶数，那么该点在实轴的根轨迹上。数之和为偶数，那么该点在实轴的根轨迹上。p渐进线与实轴的夹角为渐进线与实轴的夹角为 p根轨迹的起始角和终止角根轨迹的起始角和终止角 变化的规律变化的规律第三节第三节 广义根轨迹广义根轨迹XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATI
46、ON西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院根轨迹的分支数根轨迹的分支数 ( (相同相同) )根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点 ( (相同相同) )根轨迹的对称性根轨迹的对称性 ( (相同相同) )实铀上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧实铀上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧( (实轴上实轴上) )开开 环实零、极点数目之和相应为偶数环实零、极点数目之和相应为偶数(0(0也视为偶数也视为偶数) )。根轨迹的渐近线：根轨迹的渐近线：根轨迹渐近线与实袖的交点根轨迹渐近线与实袖的交点 ( (相同相同) )根轨迹渐近线与实轴正方向的夹角为根轨迹渐近线与实轴正方向的夹角为根轨迹的会合点和别离点根轨
47、迹的会合点和别离点 ( (相同相同) )根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角离开开环极点出射角离开开环极点出射角进入开环零点的入射角进入开环零点的入射角根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 ( (相同相同) )闭环极点的和与积闭环极点的和与积 ( (相同相同) )正反响系统的根轨迹的根本规那么正反响系统的根轨迹的根本规那么第三节第三节 广义根轨迹广义根轨迹XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院 单位正反响系统中单位正反响系统中 用用matlab绘制系统根轨迹图如下：绘制系统根轨迹图如下：第三节第三节 广义根轨迹广义根轨迹XIAN UNIVERSITY OF POSTS & TELECOMUNICATION西安邮电学院自动化学院西安邮电学院自动化学院本节根本要求本节根本要求 掌握参数根轨迹和零度根轨迹的概念掌握参数根轨迹和零度根轨迹的概念理解参数根轨迹的绘制方法理解参数根轨迹的绘制方法 掌握零度根轨迹的三大变换规律掌握零度根轨迹的三大变换规律
