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1、函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值一一、知识回顾知识回顾： 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0及其附近有定义，及其附近有定义，如果如果f(xf(x0 0) )的值比的值比x x0 0附近所有各点的函数值都大，我们附近所有各点的函数值都大，我们就说就说f(xf(x0 0) )是函数的一个是函数的一个极大值极大值，记作，记作y y极大值极大值=f(x=f(x0 0) )，x x0 0是极大值点是极大值点。 如果如果f(xf(x0 0) )的值比的值比x x0 0附近所有各点的函数值都小，附近所有各点的函数值都小，我们就说我们就说f(xf(x0 0) )
2、是函数的一个是函数的一个极小值极小值。记作。记作y y极小值极小值=f(x=f(x0 0) )，x x0 0是极小值点是极小值点。 极大值与极小值极大值与极小值统称为统称为极值极值. . 1、函数极值的定义、函数极值的定义1 1、在在定定义义中中，取取得得极极值值的的点点称称为为极极值值点点，极极值值点点是是自自变变量量(x)(x)的的值值，极极值值指指的是的是函数值函数值(y)(y)。注意注意2 2、极值是一个、极值是一个局部局部概念，极值只是某个点概念，极值只是某个点的函数值与它的函数值与它附近点附近点的函数值比较是最大的函数值比较是最大或最小或最小, ,并并不意味不意味着它在函数的整个的
3、定义着它在函数的整个的定义域内最大或最小。域内最大或最小。3 3、函数的、函数的极值不是唯一极值不是唯一的即一个函数在某区间的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。4 4、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的个函数的极大值未必大于极小值极大值未必大于极小值，如下图所示，如下图所示， 是极大值点，是极大值点， 是极小值点，而是极小值点，而 (3)(3)用用函函数数的的导导数数为为0 0的的点点，顺顺次次将将函函数数的的定定义义区区间间分分成成若若干干小小开开区区间间，并并列列成成表表格格
4、. .检检查查f f(x)(x)在在方方程程根根左左右右的的值的符号，求出极大值和极小值值的符号，求出极大值和极小值. .2 2、求函数、求函数f(x)f(x)的极值的步骤的极值的步骤: :(1)(1)求导数求导数f f(x(x););(2)(2)求方程求方程f f(x)=0(x)=0的根；的根； (x(x为极值点为极值点.).)注意注意: : 如果可导函数如果可导函数f(x)f(x)在在x x0 0处取得极值处取得极值, ,就意味着就意味着二、新课讲授二、新课讲授1 1、最值的概念、最值的概念( (最大值与最小值最大值与最小值) ) 如果在函数定义域如果在函数定义域I内存在内存在x x0 0
5、, ,使得对任使得对任意的意的xxI, ,总有总有f(x)f(x)f(xf(x0 0),),则称则称f(xf(x0 0) )为函为函数数f(x)f(x)在定义域上的在定义域上的最大值最大值；最值是相对函数最值是相对函数定义域整体定义域整体而言的而言的. . 如果在函数定义域如果在函数定义域I内存在内存在x x0 0, ,使得对任使得对任意的意的xxI, ,总有总有f(x)f(x)f(xf(x0 0),),则称则称f(xf(x0 0) )为函为函数数f(x)f(x)在定义域上的在定义域上的最小值最小值. .1.1.在定义域内在定义域内, , 最值唯一最值唯一; ;极值不唯一极值不唯一; ;注意注
6、意: :2.2.最大值一定比最小值大最大值一定比最小值大. .2 2、如何求函数的最值、如何求函数的最值? ?(1)(1)利用函数的单调性利用函数的单调性; ;(2)(2)利用函数的图象利用函数的图象; ;(3)(3)利用函数的导数利用函数的导数; ;如如: :求求y=2x+1y=2x+1在区间在区间1,31,3上的最值上的最值. .如如: :求求y=(xy=(x2)2)2 2+3+3在区间在区间1,31,3上的最值上的最值. . (2)(2)将将y=y=f(xf(x) )的的各各极极值值与与f(af(a) )、 f(bf(b) )比比较较，其其中中最最大大的的一一个个为为最最大大值值，最最小
7、小的的一个为最小值一个为最小值 (1)(1)求求f(xf(x) )在区间在区间 a,ba,b 内极值；内极值； ( (极大值或极小值极大值或极小值) )3 3、利用导数求函数、利用导数求函数f(xf(x) )在区间在区间 a,ba,b 上最值上最值的步骤的步骤: :注意：注意：若函数若函数f(xf(x) )在区间在区间 a,ba,b 内只有一个极大内只有一个极大值值( (或极小值或极小值) )，则该极大值，则该极大值( (或极小值或极小值) )即为函数即为函数f(xf(x) )在区间在区间 a,ba,b 内的最大值内的最大值( (或最小值或最小值) ) 例例1 1、求函数求函数f(x)=xf(
8、x)=x2 2-4x+6-4x+6在区间在区间11，55内的最大值和最小值内的最大值和最小值 解解: : f f(x(x)=2x- 4)=2x- 4令令f f(x(x)=0)=0，即即2x2x4=04=0，得得x=2x=2x x1 1（1 1，2 2）2 2（2 2，5 5）5 5/ /0 0/ /- -+3 3112故故函函数数f(xf(x) )在在区区间间11，55内内的的最最大大值值为为1111，最小值为最小值为2 2 三、数学应用三、数学应用 函数函数 ，在，在1 1，1 1上的最小值为上的最小值为( )( )A.0 B.A.0 B.2 C.2 C.1 1D.13/12D.13/12A
9、 A练练 习习例例2 2、解：解：例4. 学习与评价87页 8，9四、课堂练习四、课堂练习课本课本课本课本 P P P P91919191 练习练习练习练习No.1No.1No.1No.1、2 2 2 2、3. 3. 3. 3. 五、课堂小结五、课堂小结1 1、最值的概念、最值的概念( (最大值与最小值最大值与最小值) ) 如果在函数定义域如果在函数定义域I内存在内存在x x0 0, ,使得对任使得对任意的意的xxI, ,总有总有f(x)f(x)f(xf(x0 0),),则称则称f(xf(x0 0) )为函为函数数f(x)f(x)在定义域上的在定义域上的最大值最大值；最值是相对函数最值是相对函
10、数定义域整体定义域整体而言的而言的. . 如果在函数定义域如果在函数定义域I内存在内存在x x0 0, ,使得对任使得对任意的意的xxI, ,总有总有f(x)f(x)f(xf(x0 0),),则称则称f(xf(x0 0) )为函为函数数f(x)f(x)在定义域上的在定义域上的最小值最小值. .1.1.在定义域内在定义域内, , 最值唯一最值唯一; ;极值不唯一极值不唯一; ;注意注意: :2.2.最大值一定比最小值大最大值一定比最小值大. .2 2、求函数最值的常用方法：、求函数最值的常用方法：(1)(1)利用函数的单调性利用函数的单调性; ;(2)(2)利用函数的图象利用函数的图象; ;(3
11、)(3)利用函数的导数利用函数的导数如如: :求求y=2x+1y=2x+1在区间在区间1,31,3上的最值上的最值. .如如: :求求y=(xy=(x2)2)2 2+3+3在区间在区间1,31,3上的最值上的最值. .3 3、用导数求函数、用导数求函数f(x)f(x)的最值的步骤的最值的步骤: : (2)(2)将将y=y=f(xf(x) )的的各各极极值值与与f(af(a) )、 f(bf(b) )比比较较，其其中中最最大大的的一一个个为为最最大大值值，最小的一个为最小值最小的一个为最小值 (1)(1)求求f(xf(x) )在区间在区间 a,ba,b 内极值内极值( (极大值或极小值极大值或极小值) )；注意：注意：若函数若函数f(xf(x) )在区间在区间 a,ba,b 内只有一个极大内只有一个极大值值( (或极小值或极小值) )，则该极大值，则该极大值( (或极小值或极小值) )即为函数即为函数f(xf(x) )在区间在区间 a,ba,b 内的最大值内的最大值( (或最小值或最小值) )
