计量经济学第十一章联立方程组模型

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1、第十一章第十一章 联立方程组模型联立方程组模型联立方程组模型联立方程组模型第一节第一节 联立方程组模型及其假设联立方程组模型及其假设第二节第二节 联立方程组模型的识别问题联立方程组模型的识别问题第三节第三节 联立方程组模型的参数估计联立方程组模型的参数估计第一节第一节 联立方程组模型及其假设联立方程组模型及其假设一、为什么要分析联立方程组模型一、为什么要分析联立方程组模型二、联立方程组模型的基本概念二、联立方程组模型的基本概念三、联立方程组模型的假设三、联立方程组模型的假设一、为什么要分析联立方程组模型一、为什么要分析联立方程组模型 研究对象研究对象经济系统，而不是单个经济活动经济系统，而不是

2、单个经济活动 “系统系统”的相对性的相对性相互依存、互为因果，而不是单向因果关系相互依存、互为因果，而不是单向因果关系必须用一组方程才能描述清楚必须用一组方程才能描述清楚 一个简单的宏观经济系统一个简单的宏观经济系统n由国内生产总值由国内生产总值Y Y、居民消费总额居民消费总额C C、投资总投资总额额I I和政府消费额和政府消费额G G等变量构成简单的宏观经等变量构成简单的宏观经济系统。济系统。n将政府消费额将政府消费额G G由系统外部给定，其他内生。由系统外部给定，其他内生。 n在消费方程和投资方程中，在消费方程和投资方程中，国内生产总值决定居国内生产总值决定居民消费总额和投资总额；民消费总

3、额和投资总额；n在国内生产总值方程中，它又由居民消费总额和在国内生产总值方程中，它又由居民消费总额和投资总额所决定。投资总额所决定。3 3、如果用单方程损失信息、如果用单方程损失信息n1 1、损失变量信息问题、损失变量信息问题n如果用单方程模型的方法估计某一个方程，将损失如果用单方程模型的方法估计某一个方程，将损失变量信息。变量信息。n2 2、联立方程模型系统中每个随机方程之间往往存在、联立方程模型系统中每个随机方程之间往往存在某种相关性。某种相关性。n如果用单方程模型的方法估计某一个方程，将损失如果用单方程模型的方法估计某一个方程，将损失不同方程之间相关性信息。不同方程之间相关性信息。 结论

4、结论n必须发展新的估计方法估计联立方程计量经济学必须发展新的估计方法估计联立方程计量经济学模型，以尽可能避免出现这些问题。模型，以尽可能避免出现这些问题。n这就从计量经济学理论方法上提出了联立方程问这就从计量经济学理论方法上提出了联立方程问题。题。 二、联立方程组模型的基本概念二、联立方程组模型的基本概念n大型模型和小型模型大型模型和小型模型n宏观模型和微观模型宏观模型和微观模型n静态模型和动态模型静态模型和动态模型n行为方程式、会计恒等式、技术方程（生产行为方程式、会计恒等式、技术方程（生产函数等）函数等）n内生变量、外生变量内生变量、外生变量n前定变量前定变量外生变量和滞后内生变量外生变量

5、和滞后内生变量n结构式和简约式结构式和简约式内生变量内生变量 （Endogenous Variables）n对联立方程模型系统而言，已经不能用被解释变量与解释对联立方程模型系统而言，已经不能用被解释变量与解释变量来划分变量，而将变量分为内生变量和外生变量两大变量来划分变量，而将变量分为内生变量和外生变量两大类。类。n内生变量是具有某种概率分布的随机变量，它的参数是联内生变量是具有某种概率分布的随机变量，它的参数是联立方程系统估计的元素。立方程系统估计的元素。n内生变量是由模型系统决定的，同时也对模型系统产生影内生变量是由模型系统决定的，同时也对模型系统产生影响。响。n内生变量一般都是经济变量。

6、内生变量一般都是经济变量。n一般有几个方程就有几个内生变量。一般有几个方程就有几个内生变量。 n一般情况下，内生变量与随机项相关，即一般情况下，内生变量与随机项相关，即n在联立方程模型中，内生变量既作为被解释变量，在联立方程模型中，内生变量既作为被解释变量，又可以在不同的方程中作为解释变量。又可以在不同的方程中作为解释变量。外生变量外生变量 (Exogenous Variables)n外生变量一般是确定性变量，或者是具有临界概外生变量一般是确定性变量，或者是具有临界概率分布的随机变量，其参数不是模型系统研究的率分布的随机变量，其参数不是模型系统研究的元素。元素。n外生变量影响系统，但本身不受系

7、统的影响。外生变量影响系统，但本身不受系统的影响。n外生变量一般是经济变量、条件变量、政策变量、外生变量一般是经济变量、条件变量、政策变量、虚变量。虚变量。n一般情况下，外生变量与随机项不相关。一般情况下，外生变量与随机项不相关。 先决变量先决变量（Predetermined Variables）n外生变量与滞后内生变量外生变量与滞后内生变量(Lagged Endogenous Variables)统称为先决变量。统称为先决变量。n滞滞后后内内生生变变量量是是联联立立方方程程计计量量经经济济学学模模型型中中重重要要的的不不可可缺缺少少的的一一部部分分变变量量，用用以以反反映映经经济济系系统统的

8、的动态性与连续性。动态性与连续性。n先决变量只能作为解释变量。先决变量只能作为解释变量。 结构式和简化式结构式和简化式例：三方程供给需求的市场均衡模型例：三方程供给需求的市场均衡模型 市场均衡时市场均衡时 ，所以有，所以有变形后可以得到：变形后可以得到：其中其中简单起见仍写成：简单起见仍写成：上述都是结构式，其中上述都是结构式，其中 和和 是内生变量，是内生变量， 和和 分别为外生变量和滞后内生变量，从中我们分别为外生变量和滞后内生变量，从中我们可以看出所研究问题或经济系统的结构和各可以看出所研究问题或经济系统的结构和各种内在联系，经济意义明确。种内在联系，经济意义明确。线性变换后得到线性变换

9、后得到如果引入下述记法如果引入下述记法模型就化为：模型就化为：这是供求模型的这是供求模型的简约式简约式。简约式与结构式之间的差别简约式与结构式之间的差别：形式、意义形式、意义等。等。简约式的简约式的优势优势：求解内生变量数值和进行预测比较简单，：求解内生变量数值和进行预测比较简单，更重要的是可避免随机解释变量。更重要的是可避免随机解释变量。问题问题：两种形式、各自参数之间存在一一对应，可相互：两种形式、各自参数之间存在一一对应，可相互转换吗？一般由于内生变量个数等于方程个数，可以转换吗？一般由于内生变量个数等于方程个数，可以从结构式得到简约式。简约式参数只在一定的条件下从结构式得到简约式。简约

10、式参数只在一定的条件下可以转换为结构式参数。可以转换为结构式参数。三、联立方程组模型的假设三、联立方程组模型的假设模型的结构式一般表示为：模型的结构式一般表示为：变形后可得变形后可得引入向量和矩阵记法引入向量和矩阵记法模型可以表示为模型可以表示为联立方程组模型的基本假设：联立方程组模型的基本假设：n模型由上面的结构式线性方程组组成，也模型由上面的结构式线性方程组组成，也可以用向量方程表示。其中的有些系数，可以用向量方程表示。其中的有些系数，即即 和和 中的元素可以是中的元素可以是0， 中有些元素也中有些元素也可以是可以是0。n不等于不等于0的的 都满足单方程线性回归都满足单方程线性回归模型关于

11、误差项的假设（可包括正态性）模型关于误差项的假设（可包括正态性）n不同方程的同期误差可以是相关的，但它不同方程的同期误差可以是相关的，但它们之间的协方差们之间的协方差 与时间与时间 无关。无关。此外，不同方程的误差项也不能有跨期相此外，不同方程的误差项也不能有跨期相关性，即关性，即 ，当，当 且且 必须成立。必须成立。n外生变量是确定性变量。外生变量是确定性变量。n模型是可识别的模型是可识别的。GDP 社会总产值社会总产值 FC全社会物质生产部门固定资产原值全社会物质生产部门固定资产原值NL 物质生产部门职工人数物质生产部门职工人数 NI1 国民收入生产额国民收入生产额 FI 财政收入财政收入

12、EI 企业收入企业收入 HI 居民收入居民收入 INV 积累基金积累基金 CF 消费基金消费基金 NI2 国民收入使用额国民收入使用额 NE 净出口净出口第二节第二节 联立方程组模型的识别问题联立方程组模型的识别问题一、识别性问题的意义一、识别性问题的意义二、判断识别性的一般方法和条件二、判断识别性的一般方法和条件三、识别性的扩展讨论三、识别性的扩展讨论一、识别性问题的意义一、识别性问题的意义n由于联立方程组模型中有多个方程，内生变量的由于联立方程组模型中有多个方程，内生变量的水平是由多个方程的共同作用决定的，因此能否水平是由多个方程的共同作用决定的，因此能否根据所观测到的变量数据推测出生成它

13、们的各个根据所观测到的变量数据推测出生成它们的各个经济关系是值得怀疑的。经济关系是值得怀疑的。n联立方程组模型的识别性，就是研究联立方程组联立方程组模型的识别性，就是研究联立方程组模型中的函数关系是否可以明确辨别或唯一确定。模型中的函数关系是否可以明确辨别或唯一确定。n联立方程组模型的识别性，与结构式参数和简约联立方程组模型的识别性，与结构式参数和简约式参数之间的对应关系有关。式参数之间的对应关系有关。一、识别性问题的意义一、识别性问题的意义例：简单的供给需求均衡模型例：简单的供给需求均衡模型 供给函数供给函数 需求函数需求函数 也可以写成也可以写成 供给函数供给函数 需求函数需求函数模型的简

14、约式模型的简约式为：为：供求模型的识别问题供求模型的识别问题n因为根据数据无法确定究竟是哪两条供给、因为根据数据无法确定究竟是哪两条供给、需求曲线的均衡产生的数据，因此无法识需求曲线的均衡产生的数据，因此无法识别。别。n两个方程的线性组合可以产生很多形式，两个方程的线性组合可以产生很多形式，因此不可识别。因此不可识别。n结构式、简约式参数之间不能一一决定，结构式、简约式参数之间不能一一决定，因此不可识别。因此不可识别。n在需求函数中引入收入变量在需求函数中引入收入变量 来说明来说明 化为简约式为：化为简约式为： n供给函数可识别供给函数可识别结构式参数和简约式参数之间存在下列四个结构式参数和简

15、约式参数之间存在下列四个关系式关系式而结构式参数却有五个。所以而结构式参数却有五个。所以存在不可识别存在不可识别问题。但因为问题。但因为所以所以供给函数可识别，需求函数无法识别供给函数可识别，需求函数无法识别。n在供给函数中再引入一个变量，如在供给函数中再引入一个变量，如 。 它的简约式为：它的简约式为： 结构式系数和简约式系数的关系为结构式系数和简约式系数的关系为此时模型两个方程都可识别。此时模型两个方程都可识别。过度可识别问题过度可识别问题n再引入一个解释变量再引入一个解释变量 。模型的结构式为。模型的结构式为 模型的简约式为模型的简约式为 结构式和简约式之间的关系如下结构式和简约式之间的

16、关系如下参数存在约束，属于过度可识别参数存在约束，属于过度可识别。二、判断识别性的一般方法和条件二、判断识别性的一般方法和条件n识别性的两种等价定义：识别性的两种等价定义：（1）可通过简约式可通过简约式唯一确定结构式参数唯一确定结构式参数；（；（2）各个结构式方程各个结构式方程有唯一确定的形式有唯一确定的形式。n所考察的方程不能用其他方程的线性组合产生所考察的方程不能用其他方程的线性组合产生其他形式。其他形式。n推论：推论：如果一个方程包含模型中所有的变量，如果一个方程包含模型中所有的变量，肯定不可识别。肯定不可识别。秩条件秩条件 （用以判断结构方程是否识别用以判断结构方程是否识别）设有一个有

17、设有一个有g g个方程的联立方程组模型中间某个方程中有个方程的联立方程组模型中间某个方程中有M M个个变量，此外有变量，此外有N N个变量出现在模型的其他方程中，但没有出个变量出现在模型的其他方程中，但没有出现在所考察的这个方程中。现在所考察的这个方程中。S S为未包含在所考察模型中的为未包含在所考察模型中的N N个变量在其他个变量在其他g-1g-1个方程中的系个方程中的系数矩阵。数矩阵。如果如果 ，所考察的方程就是可识别的。，所考察的方程就是可识别的。如果如果 ，所考察的方程就是不可识别的。，所考察的方程就是不可识别的。阶条件阶条件（用以判断结构方程恰好识别或者过度用以判断结构方程恰好识别或

18、者过度识别识别）根据线性代数的有关知识可知，如果没有出现在所根据线性代数的有关知识可知，如果没有出现在所考察的方程中的变量的个数小于其余方程的个数，考察的方程中的变量的个数小于其余方程的个数，即即 ，那么其余，那么其余 个方程一定能通个方程一定能通过线性组合产生不包含考察方程中未出现的过线性组合产生不包含考察方程中未出现的N N个个变量的方程，那么该方程是不可识别的。变量的方程，那么该方程是不可识别的。 在可识别的情况下，若在可识别的情况下，若 ，为过度可识别；，为过度可识别；若若 则是恰好可识别。则是恰好可识别。例例11-1n讨论下述宏观经济模型的识别性问题讨论下述宏观经济模型的识别性问题

19、变形为：变形为： 特别：其中会计恒等式无识别性问题，因为无未特别：其中会计恒等式无识别性问题，因为无未知参数。知参数。n先讨论第一个方程的识别性。先讨论第一个方程的识别性。n这个方程中未出现的变量有这个方程中未出现的变量有n其余三个方程中这四个变量的系数写出其余三个方程中这四个变量的系数写出 矩阵：矩阵：n假设经过分析以后，认为模型的第三个方假设经过分析以后，认为模型的第三个方程可以删去，即可用模型：程可以删去，即可用模型： 现在现在 矩阵变为：矩阵变为：n用同样的方法，也可以分析第二个方程的用同样的方法，也可以分析第二个方程的识别性。识别性。 三、识别性的扩展讨论三、识别性的扩展讨论（一）误

20、差项协方差矩阵的约束和识别性（一）误差项协方差矩阵的约束和识别性（二）递归模型（二）递归模型（一）误差项协方差矩阵的约束和识别性（一）误差项协方差矩阵的约束和识别性n设模型为设模型为n通常第一个方程可识别，第二个方程不可通常第一个方程可识别，第二个方程不可识别。因为：识别。因为：假设该模型两个方程的误差项必须是不相关假设该模型两个方程的误差项必须是不相关的，则模型可识别。因为：的，则模型可识别。因为： 必须成立，也就是必须成立，也就是 、 必须与必须与 和和 相同。相同。（二）递归模型（二）递归模型“递归模型递归模型”如下：如下：按照阶条件和秩条件，该模型除了第一个方按照阶条件和秩条件，该模型

21、除了第一个方程可识别以外，其余两个方程都是不可识程可识别以外，其余两个方程都是不可识别的。别的。n如果该模型中的误差项的协方差矩阵为对角线如果该模型中的误差项的协方差矩阵为对角线矩阵，也就是不同方程的误差项之间不相关的矩阵，也就是不同方程的误差项之间不相关的约束条件。约束条件。 那么根据前面采用的同样分析方法，可说明第二、那么根据前面采用的同样分析方法，可说明第二、三个方程也是可识别的。三个方程也是可识别的。 递归模型的参数估计也有方便的地方。递归模型的参数估计也有方便的地方。第三节第三节 联立方程组的参数估计联立方程组的参数估计1 1、最小二乘估计及其问题、最小二乘估计及其问题2 2、间接最

22、小二乘估计、间接最小二乘估计3 3、工具变量法估计、工具变量法估计4 4、两阶段最小二乘估计、两阶段最小二乘估计 最小二乘估计及其问题最小二乘估计及其问题一、最小二乘估计的适用性一、最小二乘估计的适用性二、最小二乘估计的问题二、最小二乘估计的问题一、最小二乘估计的适用性一、最小二乘估计的适用性讨论联立方程组模型中最小二乘估计适用性的原因讨论联立方程组模型中最小二乘估计适用性的原因u通常至少部分方程存在模型内生变量作为解释变通常至少部分方程存在模型内生变量作为解释变量的情况，而内生变量都是随机变量；量的情况，而内生变量都是随机变量；u各个内生变量之间通常有不同程度的交互决定现各个内生变量之间通常

23、有不同程度的交互决定现象，所以作为解释变量的内生变量往往与误差项象，所以作为解释变量的内生变量往往与误差项有较强的相关性；有较强的相关性；所以大多数联立方程组模型都不能直接用最小二乘所以大多数联立方程组模型都不能直接用最小二乘法估计参数。法估计参数。例外：例外：(1)无内生解释变量的方程；无内生解释变量的方程；(2)递归模型递归模型二、最小二乘估计的问题二、最小二乘估计的问题以市场均衡模型为例以市场均衡模型为例(1)该方程组两方程都恰好可识别。模型有意该方程组两方程都恰好可识别。模型有意义。义。(2)两方程都有与误差项强相关的内生解释变两方程都有与误差项强相关的内生解释变量，因此普通最小二乘估

24、计非一致估计。量，因此普通最小二乘估计非一致估计。第二节第二节 间接最小二乘估计间接最小二乘估计一、思路一、思路二、简单的例子二、简单的例子一、思路一、思路n如果方程是恰好可识别的，通过变换把模如果方程是恰好可识别的，通过变换把模型化为各个内生变量决定于前定变量的简型化为各个内生变量决定于前定变量的简约式，那么结构式的参数与简约式的参数约式，那么结构式的参数与简约式的参数有一一对应关系。有一一对应关系。n由于简约式不存在内生解释变量问题，所由于简约式不存在内生解释变量问题，所以最小二乘估计应该是有效的。以最小二乘估计应该是有效的。n再利用简约式的参数估计节解出结构式参再利用简约式的参数估计节解

25、出结构式参数估计。称数估计。称“间接最小二乘估计法间接最小二乘估计法”二、简单的例子二、简单的例子简单的两方程宏观经济模型简单的两方程宏观经济模型变换为简约式变换为简约式第一个方程的最小二乘估计为第一个方程的最小二乘估计为根据根据得间接最小二乘估计得间接最小二乘估计 普通最小二乘估计普通最小二乘估计 工具变量法估计工具变量法估计设有一个联立方程组模型为设有一个联立方程组模型为不能直接用最小二乘法，因为不能直接用最小二乘法，因为 与与 肯定是相关性肯定是相关性较强的；较强的；不能用间接最小二乘法，因为不能用简约式的参数不能用间接最小二乘法，因为不能用简约式的参数估计直接解出结构式参数的估计（存在

26、过度识别估计直接解出结构式参数的估计（存在过度识别情况）。情况）。所以考虑利用工具变量法估计方程参数。所以考虑利用工具变量法估计方程参数。选择与选择与 相关性强，与相关性强，与 不相关的外生变量不相关的外生变量 作为估计第一个方程参数的工具变量。作为估计第一个方程参数的工具变量。工具变量估计为工具变量估计为两阶段最小二乘估计两阶段最小二乘估计思路思路:第一阶段第一阶段寻找用于工具变量法估计的工寻找用于工具变量法估计的工具变量具变量第二阶段第二阶段用第一个阶段找到的工具变量，用第一个阶段找到的工具变量，进行工具变量估计进行工具变量估计沿用例子沿用例子 简约式方程的回归方程是更好的工具变量。简约式

27、方程的回归方程是更好的工具变量。 为什么？为什么？先估计先估计 的简约式方程的简约式方程得到最小二乘估计回归方程得到最小二乘估计回归方程把把 作为工具变量，对第一个方程进行工具变量估作为工具变量，对第一个方程进行工具变量估计，可得到计，可得到 的两阶段最小二乘估计的两阶段最小二乘估计根据最后一个等号可知，这个两阶段最小二根据最后一个等号可知，这个两阶段最小二乘估计量与方程乘估计量与方程 中参数中参数 的的普通最小二乘估计是一样的。普通最小二乘估计是一样的。（这一点对更多内生解释变量一般模型也成这一点对更多内生解释变量一般模型也成立。立。 这对后面的一般公式很有用。这对后面的一般公式很有用。）该方程中的常数项该方程中的常数项 仍可用通常的方法进行仍可用通常的方法进行估计，即估计，即