拉格朗日中值定理及其应用

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1、3.3.1 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理定理定理3.3 (拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理)(1) 在闭区间在闭区间a, b上连续上连续;(2) 在开区间在开区间(a, b)内可导内可导;使得使得3.3 拉格朗日中值定理及其应用拉格朗日中值定理及其应用若函数若函数 f (x) 满足满足:几何解释几何解释:分析分析: 化为罗尔定理的结论形式化为罗尔定理的结论形式, 在曲线弧在曲线弧AB上至少上至少有一点有一点C, 在该点处的切在该点处的切线平行于弦线平行于弦AB.证证 作辅助函数作辅助函数拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式即即或或推论推论3.3 设设证证不妨设不妨设例例1 证明当证明当证证而而

2、故故例例2 证明证明证证 令令故故证证命题得证命题得证.例例3 证明当证明当推论推论3.4 设函数设函数单调递增单调递增;单调递减单调递减.3.3.2 函数的单调性函数的单调性在在(a, b)内可导内可导.证证 (1)由由拉格朗日定理拉格朗日定理在在a, b上上在在a, b上上解解例例4 讨论函数讨论函数 的单调性的单调性. 定义域为定义域为注注1: 推论推论3.4 对于开对于开、闭闭、有限或无穷区间都正确有限或无穷区间都正确.注注2: 区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如,函数的单调区间求法函数的单调区间求法:若函数在其定义域的某个区间内是

3、单调的若函数在其定义域的某个区间内是单调的,然后判定区间内导数然后判定区间内导数的符号的符号.的的分界点分界点则该区间称为函数的则该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点和不可导点导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间可能是单调区间解解 定义域为定义域为导数不存在导数不存在.例例5 讨论函数讨论函数 的单调性的单调性. 解解 定义域为定义域为例例6 讨论函数讨论函数 的单调性的单调性. 导数不存在导数不存在;由由零点定理零点定理：例例7 讨论方程讨论方程 在在 内的实根内的实根.解解原原方程在方程在 内至少有一实根内至少有一实根.综上所述综上所述, 原方程在原方程在 内有且仅有一个实根内有且仅有一个实根.因此因此, 原原方程在方程在 内至多有一实根内至多有一实根.