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1、第四节一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的基本性质三、幂级数的基本性质 幂级数 四、泰勒级数及其应用四、泰勒级数及其应用一、一、 函数项级数的概念函数项级数的概念设设为定义在区间为定义在区间 I 上的上的函数项级数函数项级数 .对对若常数项级数若常数项级数敛点敛点,所有收敛点的全体称为其所有收敛点的全体称为其收敛域收敛域 ;若常数项级数若常数项级数为定义在区间为定义在区间 I 上的函数上的函数, 称称收敛收敛,发散发散 ,所有所有为其为其收收 为其为其发散点发散点, 发散点的全体称为其发散点的全体称为其发散域发散域 .在收敛域上在收敛
2、域上, 函数项级数的和是函数项级数的和是 x 的函数的函数 称它称它为级数的为级数的和函数和函数 , 并写成并写成若用若用表示函数项级数前表示函数项级数前 n 项的和项的和, 即即则在收敛域上有则在收敛域上有例如例如, 等比级数等比级数它的收敛域是它的收敛域是它的发散域是它的发散域是或写作或写作又如又如, 级数级数级数发散级数发散 ;所以级数的收敛域仅为所以级数的收敛域仅为有和函数有和函数 二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 形如形如的函数项级数称为的函数项级数称为幂级数幂级数, 其中数列其中数列下面着重讨论下面着重讨论例如例如, 幂级数幂级数为幂级数的为幂级数的系数系数 .即是此种情形
3、即是此种情形. .的情形的情形, 即即称称 定理定理 8.9 ( Abel定理定理 ) 若幂级数若幂级数则对满足不等式则对满足不等式的一切的一切 x 幂级数都绝对收敛幂级数都绝对收敛.反之反之, 若当若当的一切的一切 x , 该幂级数也发散该幂级数也发散 . 时该幂级数发散时该幂级数发散 , 则对满足不等式则对满足不等式幂级数在幂级数在 (, +) 收敛收敛 ;由由Abel 定理可以看出定理可以看出, 中心的区间中心的区间. 用用R 表示幂级数收敛与发散的分界点表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为的收敛域是以原点为则则R = 0 时时, 幂级数仅在幂级数仅在 x = 0 收敛收敛
4、;R = 时时,幂级数在幂级数在 (R , R ) 收敛收敛 ;(R , R ) 加上收敛的端点称为加上收敛的端点称为收敛域收敛域.R 称为称为收敛半径收敛半径 ， 在在R , R 可能收敛也可能发散可能收敛也可能发散 .外外发散发散; 在在(R , R ) 称为称为收敛区间收敛区间.发发 散散发发 散散收收 敛敛收敛收敛 发散发散定理定理8.10 若若的系数满足的系数满足证证:1) 若若 0,则根据比值审敛法可知则根据比值审敛法可知:当当原级数收敛原级数收敛;当当原级数发散原级数发散.即即时时,1) 当当 0 时时,2) 当当 0 时时,3) 当当 时时,即即时时,则则 2) 若若则根据比值
5、审敛法可知则根据比值审敛法可知,绝对收敛绝对收敛 ,3) 若若则对除则对除 x = 0 以外的一切以外的一切 x 原级发散原级发散 ,对任意对任意 x 原级数原级数因此因此因此因此 因此级数的收敛半径因此级数的收敛半径的收敛半径为的收敛半径为说明说明: :据此定理据此定理对端点对端点 x =1, 的收敛半径及收敛域的收敛半径及收敛域.解解:对端点对端点 x = 1, 级数为交错级数级数为交错级数收敛收敛; 级数为级数为发散发散 . 故收敛域为故收敛域为例例1.1.求幂级数求幂级数 例例2. 求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域 :解解: (1)所以收敛域为所以收敛域为(2)所以级数仅在所以
6、级数仅在 x = 0 处收敛处收敛 .规定规定: 0 ! = 1例例3.的收敛区间的收敛区间 .解解: 级数缺少奇次幂项级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理不能直接应用定理2,比较判别法求收敛半径比较判别法求收敛半径.时级数收敛时级数收敛时级数发散时级数发散 故收敛半径为故收敛半径为 故故直接由直接由例例4.的收敛域的收敛域.解解: 令令 级数变为级数变为当当 t = 2 时时, 级数为级数为此级数发散此级数发散;当当 t = 2 时时, 级数为级数为此级数条件收敛此级数条件收敛;因此级数的收敛域为因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为故原级数的收敛域为即即三、幂级数的基本性质三、幂级数的基本性质
7、定理定理 8.11定理定理8.12 若幂级数若幂级数的收敛半径的收敛半径则其和函则其和函在在收敛域上连续收敛域上连续, 且在收敛区间内可且在收敛区间内可逐项求导逐项求导与与逐项求积分逐项求积分, 运算前后收敛半径相同运算前后收敛半径相同: 注注: 逐项积分时逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变运算前后端点处的敛散性不变.例例5. 的和函数的和函数解解: 易求出幂级数的收敛半径为易求出幂级数的收敛半径为 1 , x1 时级数发时级数发散散,例例7. 求级数求级数的和函数的和函数解解: 易求出幂级数的收敛半径为易求出幂级数的收敛半径为 1 , 及及收敛收敛 , 因此由和函数的连续性得因此由和函
8、数的连续性得:而而四、泰勒级数及其应用四、泰勒级数及其应用求下列幂级数的和函数得求下列幂级数的和函数得就是说函数就是说函数 f (x) 在其收敛域内能展开成幂级数在其收敛域内能展开成幂级数. .问题问题: :3.3.展开式是否唯一展开式是否唯一? ?1.1.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数? ?等式反过来写即为等式反过来写即为为为f (x) 的的泰勒级数泰勒级数 . 则称则称当当x0 = 0 时时, 泰勒级数又称为泰勒级数又称为麦克劳林级数麦克劳林级数 .若函数若函数的某邻域内具有任意阶导数的某邻域内具有任意阶导数, 由定理由定理1 1知，若函数知，若函数f(xf(x)
9、 )能展成幂级数，则其幂级数展开式必为能展成幂级数，则其幂级数展开式必为泰勒级数泰勒级数定义定义1 1例例1 1 求的求的麦克劳林级数麦克劳林级数定理定理8.13逐项求导任意次逐项求导任意次, ,得得泰勒系数是唯一的泰勒系数是唯一的, ,函数展开成幂级数函数展开成幂级数 1. 直接展开法直接展开法由泰勒级数理论可知由泰勒级数理论可知, 第一步第一步 求函数及其各阶导数在求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值处的值 ;第二步第二步 写出麦克劳林级数写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径并求出其收敛半径 R ; 第三步第三步 判别在收敛区间判别在收敛区间(R, R) 内内是否为是否为骤如下骤如下
10、 :展开方法展开方法直接展开法直接展开法 利用泰勒公式利用泰勒公式间接展开法间接展开法 利用已知其级数展开式利用已知其级数展开式0. 的函数展开的函数展开例例3. 将函数将函数展开成展开成 x 的幂级数的幂级数. 解解: 其收敛半径为其收敛半径为 对任何有限数对任何有限数 x , 其余项满足其余项满足故故( 在在0与与x 之间之间)故得故得级数级数 例例4. 将将展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解: 得得级数级数:其收敛半径为其收敛半径为 对任何有限数对任何有限数 x , 其余项满足其余项满足2. 间接展开法间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质利用一些已知的函数展开式及幂
11、级数的运算性质, 例例5. 将函数将函数展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解: 因为因为把把 x 换成换成, 得得将所给函数展开成将所给函数展开成 幂级数幂级数. 间接展开法：间接展开法： 根据唯一性根据唯一性, , 利用常见展开式利用常见展开式, , 通过通过变量代换、变量代换、 四则运算、恒等变形、四则运算、恒等变形、 逐项求导、逐项求导、 逐逐项积分等方法，求展开式项积分等方法，求展开式. .例例6. 将函数将函数展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解: 从从 0 到到 x 积分积分, 得得定义且连续定义且连续, 区间为区间为上式右端的幂级数在上式右端的幂级数在 x 1 收敛收敛 ,所以展开式对所以展开式对 x 1 也是成立的也是成立的,于是收敛于是收敛例例7解解因为因为例例8. 将函数将函数展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解:例例9. 将将展开成展开成 x-2 的幂级数的幂级数.泰勒级数泰勒级数解:例例10解解作业 P287 15(1)(3)(11) 17 (1)(3);20 22(2)(4);
