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1、绪绪 论论教学目的和要求 通过本章内容的教学，使学生对误差的概念通过本章内容的教学，使学生对误差的概念有一个感性的了解。要求学生清楚为什么所有一个感性的了解。要求学生清楚为什么所有的测量均存在误差有的测量均存在误差 , ,了解误差公理，明确了解误差公理，明确学习本课程的目的和意义。学习本课程的目的和意义。 主要内容主要内容 一、误差的概念二、误差公理三、研究误差理论的意义重点和难点误差定义及表达形式测量误差来源的分析测量误差按误差性质的分类处理有效数字定义及选取仪器仪表是工业生产的“倍增器”，是高新技术和科研的“催化剂”，在军事上体现的是“战斗力”。王大珩(1915-)研究误差的意义信息技术包
2、括测量技术、计算机技术和通信技术，测量技术是信息技术的关键和基础。钱学森(1911-2009)研究误差的意义门捷列夫捷列夫(1834-1907)科学始于测量,没有测量，便没有精密的科学。研究误差的意义当你能够测量你所关注的事物，而且能够用数量来描述他的时候，你就对其有所认识；当你不能测量他，也不能将其量化的时候，你对他的了解就是贫乏和不深入的。为了了纪念他在科学上的功念他在科学上的功绩，国，国际计量大会把量大会把热力学温力学温标（即（即绝对温温标）称）称为开开尔文（开氏）温文（开氏）温标，热力学温度以开力学温度以开尔文文为单位，是位，是现在在国国际单位制中七个基本位制中七个基本单位之一。位之一
3、。开开尔文文（1824-1907）研究误差的意义我们对自然界中所有的量进行实验和我们对自然界中所有的量进行实验和测量时，由于参与测量的五个要素：测量测量时，由于参与测量的五个要素：测量装置（或测量仪器）、测量人员、测量方装置（或测量仪器）、测量人员、测量方法、测量环境和被测对象自身都不能够做法、测量环境和被测对象自身都不能够做到完美无缺，使得对该量的测量结果与该到完美无缺，使得对该量的测量结果与该量的真实值之间就存在一个差异，这个差量的真实值之间就存在一个差异，这个差异反映在数学上就是测量误差。异反映在数学上就是测量误差。一、误差的概念例：用台式血例：用台式血压计测量人体血量人体血压，分析其，
4、分析其测量量误差：差：刻度误差容器比误差垂直性误差 温度误差温度误差 重力加速度误差重力加速度误差要求测量者听、看、要求测量者听、看、要求测量者听、看、要求测量者听、看、读三者同步，实际测量读三者同步，实际测量读三者同步，实际测量读三者同步，实际测量时无法做到。时无法做到。时无法做到。时无法做到。由于人眼的分辨率最多只能读由于人眼的分辨率最多只能读由于人眼的分辨率最多只能读由于人眼的分辨率最多只能读出分度值的出分度值的出分度值的出分度值的1 1 1 110101010（通常是（通常是（通常是（通常是1 1 1 15 5 5 5），而给测量血压带来一个），而给测量血压带来一个），而给测量血压带来
5、一个），而给测量血压带来一个测量人员的读数误差；测量人员的读数误差；测量人员的读数误差；测量人员的读数误差；被测量者的血压值不仅受患被测量者的血压值不仅受患被测量者的血压值不仅受患被测量者的血压值不仅受患者疾病因素的影响，同时还者疾病因素的影响，同时还者疾病因素的影响，同时还者疾病因素的影响，同时还受被测量者的情绪、运动程受被测量者的情绪、运动程受被测量者的情绪、运动程受被测量者的情绪、运动程度、测量时间等外界因素的度、测量时间等外界因素的度、测量时间等外界因素的度、测量时间等外界因素的影响，使被测量者的自身血影响，使被测量者的自身血影响，使被测量者的自身血影响，使被测量者的自身血压也在变化。
6、压也在变化。压也在变化。压也在变化。 误差公理：测量结果都具有误差，误差公理：测量结果都具有误差，误差自始至终存在于一切科学实验和测误差自始至终存在于一切科学实验和测量的过程之中。误差具有普遍性和必然量的过程之中。误差具有普遍性和必然性。性。二、误差公理二、误差公理第一章第一章 误差的基本概念误差的基本概念教学目的和要求 通过本章内容的教学，使学生对误通过本章内容的教学，使学生对误差的定义、表达方法、分类和误差来源等基差的定义、表达方法、分类和误差来源等基本概念有一个系统全面的了解，为后续内容本概念有一个系统全面的了解，为后续内容学习打下基础。要求学生理解真值的概念，学习打下基础。要求学生理解
7、真值的概念，掌握误差最常用的表达方式，了解误差来源掌握误差最常用的表达方式，了解误差来源的分析方法，正确使用近似数的修约准则。的分析方法，正确使用近似数的修约准则。主要内容主要内容一、测量的概念一、测量的概念二、误差的定义及基本概念二、误差的定义及基本概念三、测量误差的来源三、测量误差的来源四、误差的分类四、误差的分类五、近似数的修约与运算五、近似数的修约与运算定义：以确定量值为目的的一组操作。定义：以确定量值为目的的一组操作。 目的：确定被测量的值或获取测量结果。目的：确定被测量的值或获取测量结果。 第一节第一节 测量的概念测量的概念测量测量定义：实现单位统一、量值准确可靠的活动。定义：实现
8、单位统一、量值准确可靠的活动。 单位统一指的是计量单位的统一。计量单位的统一，单位统一指的是计量单位的统一。计量单位的统一，单位统一指的是计量单位的统一。计量单位的统一，单位统一指的是计量单位的统一。计量单位的统一，是量值统一的重要前提。是量值统一的重要前提。是量值统一的重要前提。是量值统一的重要前提。 量值准确可靠表征的是测量结果与被测量量的真值的量值准确可靠表征的是测量结果与被测量量的真值的量值准确可靠表征的是测量结果与被测量量的真值的量值准确可靠表征的是测量结果与被测量量的真值的接近程度，准的定量描述用误差或测量不确定度。接近程度，准的定量描述用误差或测量不确定度。接近程度，准的定量描述
9、用误差或测量不确定度。接近程度，准的定量描述用误差或测量不确定度。“ “准准准准” ”是计量的核心。是计量的核心。是计量的核心。是计量的核心。 计量计量1 1、测量是一个广义的概念，测量包括计量。、测量是一个广义的概念，测量包括计量。 2 2、计量是一种特殊的测量。、计量是一种特殊的测量。 计量仪器必须有计量检定合格证书。计量仪器必须有计量检定合格证书。计量仪器必须有计量检定合格证书。计量仪器必须有计量检定合格证书。 计量人员必须持证上岗。计量人员必须持证上岗。计量人员必须持证上岗。计量人员必须持证上岗。 计量环境必须满足国家技术规范的要求。计量环境必须满足国家技术规范的要求。计量环境必须满足
10、国家技术规范的要求。计量环境必须满足国家技术规范的要求。 计量方法必须按国家计量检定规程进行。计量方法必须按国家计量检定规程进行。计量方法必须按国家计量检定规程进行。计量方法必须按国家计量检定规程进行。 计量结果必须给出误差与测量不确定度的大小。计量结果必须给出误差与测量不确定度的大小。计量结果必须给出误差与测量不确定度的大小。计量结果必须给出误差与测量不确定度的大小。 3 3、计量是测量的基础，又是最高层次的测量。、计量是测量的基础，又是最高层次的测量。 测量与计量的关系测量与计量的关系测测量量直直直直接接接接测测测测量量量量间间间间接接接接测测测测量量量量工工工工程程程程测测测测量量量量精
11、精精精密密密密测测测测量量量量电电电电量量量量测测测测量量量量非非非非电电电电量量量量测测测测量量量量等等等等权权权权测测测测量量量量非非非非等等等等权权权权测测测测量量量量静静静静态态态态测测测测量量量量动动动动态态态态测测测测量量量量测量的分类测量的分类直接测量直接测量直接测量直接测量指通过直接测量与被测量有函数指通过直接测量与被测量有函数指通过直接测量与被测量有函数指通过直接测量与被测量有函数关系的量，通过函数关系求得被测关系的量，通过函数关系求得被测关系的量，通过函数关系求得被测关系的量，通过函数关系求得被测量值的测量方法。量值的测量方法。量值的测量方法。量值的测量方法。指被测量与该标
12、准量直接进行比较的指被测量与该标准量直接进行比较的指被测量与该标准量直接进行比较的指被测量与该标准量直接进行比较的测量，指该被测量的测量结果可以直接测量，指该被测量的测量结果可以直接测量，指该被测量的测量结果可以直接测量，指该被测量的测量结果可以直接由测量仪器输出得到，而不再需要经过由测量仪器输出得到，而不再需要经过由测量仪器输出得到，而不再需要经过由测量仪器输出得到，而不再需要经过量值的变换与计算量值的变换与计算量值的变换与计算量值的变换与计算。用游标卡尺测用游标卡尺测用游标卡尺测用游标卡尺测量小尺寸轴工量小尺寸轴工量小尺寸轴工量小尺寸轴工件的直径时，件的直径时，件的直径时，件的直径时，游标
13、卡尺的读游标卡尺的读游标卡尺的读游标卡尺的读数即是被测工数即是被测工数即是被测工数即是被测工件的直径件的直径件的直径件的直径间接测量间接测量间接测量间接测量用游标卡尺测大用游标卡尺测大用游标卡尺测大用游标卡尺测大尺寸轴工件的直尺寸轴工件的直尺寸轴工件的直尺寸轴工件的直径，因量程不够，径，因量程不够，径，因量程不够，径，因量程不够，采用测量弦长与采用测量弦长与采用测量弦长与采用测量弦长与矢高的方法，间矢高的方法，间矢高的方法，间矢高的方法，间接得到工件直径接得到工件直径接得到工件直径接得到工件直径按测量结果的获取方式分类按测量结果的获取方式分类指指指指在在在在测测测测量量量量过过过过程程程程中中
14、中中被被被被测测测测量量量量可可可可以以以以认认认认为为为为是是是是固固固固定定定定不不不不变变变变的的的的。因因因因此此此此，不不不不需需需需要要要要考考考考虑虑虑虑时间因素对测量的影响时间因素对测量的影响时间因素对测量的影响时间因素对测量的影响指被测量在测量期间随时间（或指被测量在测量期间随时间（或指被测量在测量期间随时间（或指被测量在测量期间随时间（或其他影响量）发生变化其他影响量）发生变化其他影响量）发生变化其他影响量）发生变化静态测量静态测量静态测量静态测量在日常测量中，大在日常测量中，大在日常测量中，大在日常测量中，大多接触的是静态测多接触的是静态测多接触的是静态测多接触的是静态测
15、量。对于这种测量，量。对于这种测量，量。对于这种测量，量。对于这种测量，被测量和测量误差被测量和测量误差被测量和测量误差被测量和测量误差可以当作一种随机可以当作一种随机可以当作一种随机可以当作一种随机变量来处理变量来处理变量来处理变量来处理动态测量动态测量动态测量动态测量弹道轨迹的测量、弹道轨迹的测量、弹道轨迹的测量、弹道轨迹的测量、环境噪声的测量等。环境噪声的测量等。环境噪声的测量等。环境噪声的测量等。对这类被测量的测对这类被测量的测对这类被测量的测对这类被测量的测量，需要当作一种量，需要当作一种量，需要当作一种量，需要当作一种随机过程的问题来随机过程的问题来随机过程的问题来随机过程的问题来
16、处理。处理。处理。处理。根据被测量对象在测量过程中根据被测量对象在测量过程中所处的状态分类所处的状态分类指指指指在在在在测测测测量量量量过过过过程程程程中中中中，测测测测量量量量仪仪仪仪器器器器、测测测测量量量量方方方方法法法法、测测测测量量量量条条条条件件件件和和和和操操操操作作作作人人人人员员员员都都都都保保保保持持持持不不不不变变变变。因因因因此此此此，对对对对同同同同一一一一被被被被测测测测量量量量进进进进行行行行的的的的多多多多次次次次测测测测量量量量结结结结果果果果可可可可认认认认为为为为具具具具有有有有相相相相同同同同的的的的信信信信赖赖赖赖程程程程度度度度，应应应应按同等原则对
17、待。按同等原则对待。按同等原则对待。按同等原则对待。指测量过程中测量仪器、测量方法、测量条件或指测量过程中测量仪器、测量方法、测量条件或指测量过程中测量仪器、测量方法、测量条件或指测量过程中测量仪器、测量方法、测量条件或操作人员某一因素或某几因素发生变化，使得测量结操作人员某一因素或某几因素发生变化，使得测量结操作人员某一因素或某几因素发生变化，使得测量结操作人员某一因素或某几因素发生变化，使得测量结果的信赖程度不同。对不等权测量的数据应按不等权果的信赖程度不同。对不等权测量的数据应按不等权果的信赖程度不同。对不等权测量的数据应按不等权果的信赖程度不同。对不等权测量的数据应按不等权原则进行处理
18、。原则进行处理。原则进行处理。原则进行处理。 等权测量等权测量等权测量等权测量不等权测量不等权测量不等权测量不等权测量根据测量条件是否发生变化分类根据测量条件是否发生变化分类x-a定义定义被测量被测量的真值的真值测量结果测量结果测量误差测量误差第二节第二节 测量误差的定义及基本概念测量误差的定义及基本概念一、测量误差一、测量误差测量结果测量结果x x的值是由测量所得到的赋予的值是由测量所得到的赋予被测量的值。被测量的值。广义上我们可以把测得值、测量值、广义上我们可以把测得值、测量值、检测值、实验值、示值、名义值、标称检测值、实验值、示值、名义值、标称值、预置值、给出值等均看作是测量结值、预置值
19、、给出值等均看作是测量结果。测量结果是我们要研究的对象。果。测量结果是我们要研究的对象。测量结果测量结果真值定义为与给定真值定义为与给定的特定量的定一致的特定量的定一致的值。的值。 理论真值理论真值一般只存在于纯理一般只存在于纯理论之中。论之中。 三角形内角之和恒为180一个整圆周角为360真真 值值亦称 指定值、约定指定值、约定指定值、约定指定值、约定值、参考值或值、参考值或值、参考值或值、参考值或最佳估计值最佳估计值最佳估计值最佳估计值是指对于给定用途具有适当不确是指对于给定用途具有适当不确是指对于给定用途具有适当不确是指对于给定用途具有适当不确定度的、赋予定度的、赋予定度的、赋予定度的、
20、赋予特定量的值。特定量的值。特定量的值。特定量的值。由国家建立的实物标准由国家建立的实物标准由国家建立的实物标准由国家建立的实物标准（或基准）所指定的千（或基准）所指定的千（或基准）所指定的千（或基准）所指定的千克副原器质量的约定真克副原器质量的约定真克副原器质量的约定真克副原器质量的约定真值为值为值为值为1 1 1 1kgkgkgkg，其复现的不确其复现的不确其复现的不确其复现的不确定度为定度为定度为定度为0.0080.0080.0080.008mgmgmgmg。七个七个七个七个SISISISI基本单位：基本单位：基本单位：基本单位：米、千克、安培、米、千克、安培、米、千克、安培、米、千克、
21、安培、秒、开尔文、堪秒、开尔文、堪秒、开尔文、堪秒、开尔文、堪德拉德拉德拉德拉 、摩尔、摩尔、摩尔、摩尔约定真值约定真值约定真值约定真值二、基本表示方法二、基本表示方法误差误差绝对绝对绝对绝对误差误差误差误差相对相对相对相对误差误差误差误差引用引用引用引用误差误差误差误差x-a特点：绝对误差是一个特点：绝对误差是一个特点：绝对误差是一个特点：绝对误差是一个具有确定的大小、符号具有确定的大小、符号具有确定的大小、符号具有确定的大小、符号及单位的量。单位给出及单位的量。单位给出及单位的量。单位给出及单位的量。单位给出了被测量的量纲，其单了被测量的量纲，其单了被测量的量纲，其单了被测量的量纲，其单位
22、与测得值相同。位与测得值相同。位与测得值相同。位与测得值相同。 适用于同一量级的适用于同一量级的适用于同一量级的适用于同一量级的同种量的测量结果同种量的测量结果同种量的测量结果同种量的测量结果的误差比较和单次的误差比较和单次的误差比较和单次的误差比较和单次测量结果的误差计测量结果的误差计测量结果的误差计测量结果的误差计算。算。算。算。 绝对误差绝对误差绝对误差绝对误差与误差绝对值相等、符号相反的与误差绝对值相等、符号相反的与误差绝对值相等、符号相反的与误差绝对值相等、符号相反的值，一般用值，一般用值，一般用值，一般用c c c c表示。表示。表示。表示。 在自动测量仪器中，可将修正值编成程序存
23、储在在自动测量仪器中，可将修正值编成程序存储在在自动测量仪器中，可将修正值编成程序存储在在自动测量仪器中，可将修正值编成程序存储在仪器中，仪器输出的是经过修正的测量结果。仪器中，仪器输出的是经过修正的测量结果。仪器中，仪器输出的是经过修正的测量结果。仪器中，仪器输出的是经过修正的测量结果。 修正结果修正结果 是将测得值加上修正值后的测量结果，是将测得值加上修正值后的测量结果，是将测得值加上修正值后的测量结果，是将测得值加上修正值后的测量结果，这样可提高测量准确度。这样可提高测量准确度。这样可提高测量准确度。这样可提高测量准确度。 在测量仪器中，修正值常以表格、曲线或公式的在测量仪器中，修正值常
24、以表格、曲线或公式的在测量仪器中，修正值常以表格、曲线或公式的在测量仪器中，修正值常以表格、曲线或公式的形式给出。形式给出。形式给出。形式给出。 修正值修正值修正值修正值真值真值真值真值绝对误差绝对误差绝对误差绝对误差用某电压表测量电压，电压表的示值为用某电压表测量电压，电压表的示值为用某电压表测量电压，电压表的示值为用某电压表测量电压，电压表的示值为226226226226V V V V，查该表的检定证书，得知该电压表在查该表的检定证书，得知该电压表在查该表的检定证书，得知该电压表在查该表的检定证书，得知该电压表在220220220220V V V V附近附近附近附近的误差为的误差为的误差为
25、的误差为5 5 5 5V V V V ，被测电压的修正值为被测电压的修正值为被测电压的修正值为被测电压的修正值为5 5 5 5V V V V ，则，则，则，则修正后的测量结果为修正后的测量结果为修正后的测量结果为修正后的测量结果为226+(226+(226+(226+(5 5 5 5V V V V )=221 )=221 )=221 )=221V V V V。 测得值测得值测得值测得值【例【例1-11-1】定义定义 特点特点相对误差只有相对误差只有相对误差只有相对误差只有大小和符号，而大小和符号，而大小和符号，而大小和符号，而无量纲，一般用无量纲，一般用无量纲，一般用无量纲，一般用百分数来表示
26、。百分数来表示。百分数来表示。百分数来表示。 相对误差相对误差相对误差相对误差常用来衡量常用来衡量常用来衡量常用来衡量测量的相对测量的相对测量的相对测量的相对准确程度。准确程度。准确程度。准确程度。 绝对误差绝对误差绝对误差绝对误差被测量的真值，常用约定被测量的真值，常用约定被测量的真值，常用约定被测量的真值，常用约定真值代替，也可以近似用真值代替，也可以近似用真值代替，也可以近似用真值代替，也可以近似用测量值测量值测量值测量值x x来代替来代替来代替来代替xx0 0相对误差相对误差相对误差相对误差 相对误差（相对误差（relative relative errorerror）用用用用1 1m
27、m测长仪测量测长仪测量测长仪测量测长仪测量0.010.01mm长的工件，其绝对误差长的工件，其绝对误差长的工件，其绝对误差长的工件，其绝对误差 = = = =0.00060.0006mm，但用来测量但用来测量但用来测量但用来测量1 1mm长的工件，其绝对误差为长的工件，其绝对误差为长的工件，其绝对误差为长的工件，其绝对误差为0.01050.0105mm。前者的相对误差为前者的相对误差为前者的相对误差为前者的相对误差为 后者的相对误差为后者的相对误差为后者的相对误差为后者的相对误差为用绝对误差不便于比较不同量值、不同单位、不同用绝对误差不便于比较不同量值、不同单位、不同用绝对误差不便于比较不同量
28、值、不同单位、不同用绝对误差不便于比较不同量值、不同单位、不同物理量等的准确度。物理量等的准确度。物理量等的准确度。物理量等的准确度。 绝对误差和相对误差的比较定义定义 引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是引引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是引引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是引引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是引用了特定值，即标称范围上限（或量程）得到的，用了特定值，即标称范围上限（或量程）得到的，用了特定值，即标称范围上限（或量程）得到的，用了特定值，即标称范围上限（或量程）得到的，故该误差又称为引用相对误差、满度误差。故该误差又称为引用相对误差、满度误差。故该误差又
29、称为引用相对误差、满度误差。故该误差又称为引用相对误差、满度误差。 仪器某标称范围（或量程）仪器某标称范围（或量程）仪器某标称范围（或量程）仪器某标称范围（或量程）内的最大绝对误差内的最大绝对误差内的最大绝对误差内的最大绝对误差 该标称范围（或量程）上限该标称范围（或量程）上限该标称范围（或量程）上限该标称范围（或量程）上限 引用误差引用误差引用误差引用误差 引用误差引用误差我国电工仪表、压力表的准确度等级（我国电工仪表、压力表的准确度等级（我国电工仪表、压力表的准确度等级（我国电工仪表、压力表的准确度等级（accuracy accuracy accuracy accuracy classcl
30、assclassclass）就是按照引用误差进行分级的。就是按照引用误差进行分级的。就是按照引用误差进行分级的。就是按照引用误差进行分级的。 当一个仪表的等级当一个仪表的等级当一个仪表的等级当一个仪表的等级s s s s选定后，用此表测量某一被选定后，用此表测量某一被选定后，用此表测量某一被选定后，用此表测量某一被测量时，所产生的最大绝对误差为测量时，所产生的最大绝对误差为测量时，所产生的最大绝对误差为测量时，所产生的最大绝对误差为 绝对误差的最大值与绝对误差的最大值与绝对误差的最大值与绝对误差的最大值与该仪表的标称范围该仪表的标称范围该仪表的标称范围该仪表的标称范围（或量程）上限（或量程）上
31、限（或量程）上限（或量程）上限x x x xm m m m成成成成正比正比正比正比电工仪表、压力表的准确度等级电工仪表、压力表的准确度等级 用用用用有一块测量范围为有一块测量范围为有一块测量范围为有一块测量范围为0.1MPa0.1MPa0.1MPa0.1MPa0.1MPa0.1MPa0.1MPa0.1MPa，2.52.52.52.5级的压力真空表，在进行计量校准时，各示值点上级的压力真空表，在进行计量校准时，各示值点上级的压力真空表，在进行计量校准时，各示值点上级的压力真空表，在进行计量校准时，各示值点上最大允许误差是多少？最大允许误差是多少？最大允许误差是多少？最大允许误差是多少？解：该压力
32、真空表在解：该压力真空表在解：该压力真空表在解：该压力真空表在0.1MPa0.1MPa0.1MPa0.1MPa0.1MPa0.1MPa0.1MPa0.1MPa范围内各范围内各范围内各范围内各示值点上的引用误差不应超过示值点上的引用误差不应超过示值点上的引用误差不应超过示值点上的引用误差不应超过2.52.52.52.5，则各示值点上，则各示值点上，则各示值点上，则各示值点上允许误差的最大示值误差应为：允许误差的最大示值误差应为：允许误差的最大示值误差应为：允许误差的最大示值误差应为： 2.5 2.5 2.5 2.50.10.10.10.1（0.10.10.10.1） 0.0050.0050.00
33、50.005（MPaMPaMPaMPa）引用误差专用于仪器仪表误差的描述。引用误差专用于仪器仪表误差的描述。引用误差专用于仪器仪表误差的描述。引用误差专用于仪器仪表误差的描述。【例【例1-1-2 2】为为为为了了了了减减减减小小小小测测测测量量量量误误误误差差差差，提提提提高高高高测测测测量量量量准准准准确确确确度度度度，就就就就必必必必须须须须了了了了解解解解误误误误差差差差来来来来源源源源。而而而而误误误误差差差差来来来来源源源源是是是是多多多多方方方方面面面面的的的的，在在在在测测测测量量量量过过过过程程程程中中中中，几几几几乎乎乎乎所所所所有有有有因素都将引入测量误差。因素都将引入测量
34、误差。因素都将引入测量误差。因素都将引入测量误差。 主要来源主要来源主要来源主要来源 测量设测量设测量设测量设备误差备误差备误差备误差 测量方测量方测量方测量方法误差法误差法误差法误差 测量环测量环测量环测量环境误差境误差境误差境误差 测量人测量人测量人测量人员误差员误差员误差员误差 被测对被测对被测对被测对象误差象误差象误差象误差 第三节第三节测量误差的来源测量误差的来源以固定形式复现标准量值的器具，以固定形式复现标准量值的器具，如标准电阻、标准量块、标准砝如标准电阻、标准量块、标准砝码等等，他们本身体现的量值，码等等，他们本身体现的量值，不可避免地存在误差。一般要求不可避免地存在误差。一般
35、要求标准器件的误差占总误差的标准器件的误差占总误差的1/31/31/101/10。 测量装置在制造过程中由于设计、制测量装置在制造过程中由于设计、制造、装配、检定等的不完善，以及在造、装配、检定等的不完善，以及在使用过程中，由于元器件的老化、机使用过程中，由于元器件的老化、机械部件磨损和疲劳等因素而使设备所械部件磨损和疲劳等因素而使设备所产生的误差。产生的误差。 测量仪器所测量仪器所带附件和附带附件和附属工具所带属工具所带来的误差。来的误差。 测量设备误差测量设备误差标准器误差标准器误差标准器误差标准器误差仪器仪表误差仪器仪表误差仪器仪表误差仪器仪表误差附件误差附件误差附件误差附件误差设计测量
36、装置设计测量装置时，由于采用时，由于采用近似原理所带近似原理所带来的工作原理来的工作原理误差误差 组成设备的组成设备的主要零部件主要零部件的制造误差的制造误差与设备的装与设备的装配误差配误差 设备出厂设备出厂时校准与时校准与定度所带定度所带来的误差来的误差 读数分辨读数分辨力有限而力有限而造成的读造成的读数误差数误差 数字式仪数字式仪器所特有器所特有的量化误的量化误差差 元器件老化、元器件老化、磨损、疲劳磨损、疲劳所造成的误所造成的误差差 指使用的指使用的测量方法不完善，或采用近似的量方法不完善，或采用近似的计算算公式等原因所引起的公式等原因所引起的误差差，又称，又称为理理论误差差测量方法误差
37、测量方法误差第一种情况：由于第一种情况：由于测量人量人员的知的知识不足或研究不充分以不足或研究不充分以致操作不合理，或致操作不合理，或对测量方法、量方法、测量程序量程序进行行错误的的简化等引起的方法化等引起的方法误差。差。第二种情况：分析第二种情况：分析处理数据理数据时引起的方法引起的方法误差。例如，差。例如，轴的周的周长可以通可以通过测量量轴的直径的直径d，然后由公式：，然后由公式：Ld计算得到。但是，在算得到。但是，在计算中只能取其近似算中只能取其近似值，因此，因此，计算所得的算所得的L也只能是近似也只能是近似值，从而引起周，从而引起周长L的的误差。差。测量方法误差测量方法误差指各种指各种
38、环境因素与要求条件不一致而造成的境因素与要求条件不一致而造成的误差。差。对于于电子子测量，量，环境境误差主要来源于差主要来源于环境温度、境温度、电源源电压和和电磁干磁干扰等等激光光波比激光光波比长测量中，空气的温度、湿度、量中，空气的温度、湿度、尘埃、埃、大气大气压力等会影响到空气折射率，因而影响激光力等会影响到空气折射率，因而影响激光波波长，产生生测量量误差。高精度的准直差。高精度的准直测量中，气量中，气流、振流、振动也有一定的影响也有一定的影响测量环境误差测量环境误差 测量人员的工作责任心、技术熟练程度、生测量人员的工作责任心、技术熟练程度、生测量人员的工作责任心、技术熟练程度、生测量人员
39、的工作责任心、技术熟练程度、生理感官与心理因素、测量习惯等的不同而引起的理感官与心理因素、测量习惯等的不同而引起的理感官与心理因素、测量习惯等的不同而引起的理感官与心理因素、测量习惯等的不同而引起的误差。误差。误差。误差。 为了减小测量人员误差，就要求测量人员要为了减小测量人员误差，就要求测量人员要为了减小测量人员误差，就要求测量人员要为了减小测量人员误差，就要求测量人员要认真了解测量仪器的特性和测量原理，熟练掌握认真了解测量仪器的特性和测量原理，熟练掌握认真了解测量仪器的特性和测量原理，熟练掌握认真了解测量仪器的特性和测量原理，熟练掌握测量规程，精心进行测量操作，并正确处理测量测量规程，精心
40、进行测量操作，并正确处理测量测量规程，精心进行测量操作，并正确处理测量测量规程，精心进行测量操作，并正确处理测量结果。结果。结果。结果。 测量人员误差测量人员误差用用用用工工工工具具具具显显显显微微微微镜镜镜镜测测测测量量量量圆圆圆圆的的的的直直直直径径径径。右右右右图图图图是是是是这这这这一一一一测测测测量量量量的的的的示示示示意意意意图图图图。测测测测量量量量时时时时，调调调调整整整整显显显显微微微微镜镜镜镜指指指指标标标标线线线线同同同同圆圆圆圆的的的的两两两两侧侧侧侧直直直直径径径径方方方方向向向向相相相相切切切切。理理理理论论论论上上上上要要要要求求求求指指指指标标标标线线线线调调调
41、调至至至至同同同同圆圆圆圆的的的的影影影影象象象象相相相相切切切切，指指指指标标标标线线线线压压压压住住住住或或或或脱脱脱脱离离离离影影影影象象象象均均均均会会会会产产产产生生生生测测测测量量量量误误误误差差差差。在在在在指指指指标标标标线线线线和和和和影影影影象象象象相相相相切切切切的的的的同同同同时时时时，估估估估计计计计读读读读取取取取指指指指标标标标线线线线在在在在刻刻刻刻度度度度尺尺尺尺的的的的位位位位置置置置a a和和和和b b，则则则则圆圆圆圆的的的的直直直直径径径径d db ba a。在在在在上上上上述述述述测测测测量量量量过过过过程程程程中中中中，用用用用人人人人眼眼眼眼二二
42、二二次次次次瞄瞄瞄瞄准准准准相相相相切切切切，二二二二次次次次估估估估计计计计读读读读数数数数均均均均受受受受到到到到人人人人眼眼眼眼最最最最小小小小分分分分辨辨辨辨能能能能力力力力的的的的限限限限制制制制。因因因因此此此此，在在在在该该该该测测测测量量量量过过过过程程程程中中中中，有有有有二二二二次次次次对对对对线线线线瞄瞄瞄瞄准准准准误误误误差差差差和和和和二二二二次估读误差。次估读误差。次估读误差。次估读误差。【例【例1-1-3 3】 被测对象在整个测量过程中处在不断地变化被测对象在整个测量过程中处在不断地变化被测对象在整个测量过程中处在不断地变化被测对象在整个测量过程中处在不断地变化中
43、。由于测量对象自身的变化而引起的测量误差中。由于测量对象自身的变化而引起的测量误差中。由于测量对象自身的变化而引起的测量误差中。由于测量对象自身的变化而引起的测量误差称为测量对象变化误差。称为测量对象变化误差。称为测量对象变化误差。称为测量对象变化误差。 例如，被测光度灯的光度，被测温度计的温例如，被测光度灯的光度，被测温度计的温例如，被测光度灯的光度，被测温度计的温例如，被测光度灯的光度，被测温度计的温度，被测线纹尺的长度，被测量块的尺寸等，在度，被测线纹尺的长度，被测量块的尺寸等，在度，被测线纹尺的长度，被测量块的尺寸等，在度，被测线纹尺的长度，被测量块的尺寸等，在测量过程中均处于不停地变
44、化中，由于它们的变测量过程中均处于不停地变化中，由于它们的变测量过程中均处于不停地变化中，由于它们的变测量过程中均处于不停地变化中，由于它们的变化，使测量不准而带来误差。下述的测量实例说化，使测量不准而带来误差。下述的测量实例说化，使测量不准而带来误差。下述的测量实例说化，使测量不准而带来误差。下述的测量实例说明了这一点。明了这一点。明了这一点。明了这一点。 被测对象变化误差被测对象变化误差全面全面分析分析不遗漏不重复重大避小分析误差来源注意事项分析误差来源注意事项误差误差系统误差粗大误差随机误差第四节第四节误差的分类误差的分类在重复性条件下，对同一被测量进行无在重复性条件下，对同一被测量进行
45、无在重复性条件下，对同一被测量进行无在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量限多次测量所得结果的平均值与被测量限多次测量所得结果的平均值与被测量限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。的真值之差。的真值之差。的真值之差。 定义定义特征特征 在相同条件下，多次测量同一量值时，在相同条件下，多次测量同一量值时，在相同条件下，多次测量同一量值时，在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保持不变，或该误差的绝对值和符号保持不变，或该误差的绝对值和符号保持不变，或该误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变者在条件改变时，按某一确定规律
46、变者在条件改变时，按某一确定规律变者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。化的误差。化的误差。化的误差。 系统误差（系统误差（systematic systematic errorerror）用天平计量物体质用天平计量物体质用天平计量物体质用天平计量物体质量时，砝码的质量量时，砝码的质量量时，砝码的质量量时，砝码的质量偏差偏差偏差偏差用千分表读数时，用千分表读数时，用千分表读数时，用千分表读数时，表盘安装偏心引起表盘安装偏心引起表盘安装偏心引起表盘安装偏心引起的示值误差的示值误差的示值误差的示值误差刻线尺的温度刻线尺的温度刻线尺的温度刻线尺的温度变化引起的示变化引起的示变化引起的示变化引起的
47、示值误差值误差值误差值误差 在实际估计测量器具示值的系统误差时，常常用适当次数在实际估计测量器具示值的系统误差时，常常用适当次数在实际估计测量器具示值的系统误差时，常常用适当次数在实际估计测量器具示值的系统误差时，常常用适当次数的重复测量的算术平均值减去约定真值来表示，又称其为测的重复测量的算术平均值减去约定真值来表示，又称其为测的重复测量的算术平均值减去约定真值来表示，又称其为测的重复测量的算术平均值减去约定真值来表示，又称其为测量器具的偏移或偏畸（量器具的偏移或偏畸（量器具的偏移或偏畸（量器具的偏移或偏畸（biasbiasbiasbias）。）。）。）。 由于系统误差具有一定的规律性，因此
48、可以根据其产生原由于系统误差具有一定的规律性，因此可以根据其产生原由于系统误差具有一定的规律性，因此可以根据其产生原由于系统误差具有一定的规律性，因此可以根据其产生原因，采取一定的技术措施，设法消除或减小；也可以在相同因，采取一定的技术措施，设法消除或减小；也可以在相同因，采取一定的技术措施，设法消除或减小；也可以在相同因，采取一定的技术措施，设法消除或减小；也可以在相同条件下对已知约定真值的标准器具进行多次重复测量的办法，条件下对已知约定真值的标准器具进行多次重复测量的办法，条件下对已知约定真值的标准器具进行多次重复测量的办法，条件下对已知约定真值的标准器具进行多次重复测量的办法，或者通过多
49、次变化条件下的重复测量的办法，设法找出其系或者通过多次变化条件下的重复测量的办法，设法找出其系或者通过多次变化条件下的重复测量的办法，设法找出其系或者通过多次变化条件下的重复测量的办法，设法找出其系统误差的规律后，对测量结果进行修正。统误差的规律后，对测量结果进行修正。统误差的规律后，对测量结果进行修正。统误差的规律后，对测量结果进行修正。 系统误差举例系统误差举例测得值与在重复性条件下对同一被测量进行无测得值与在重复性条件下对同一被测量进行无测得值与在重复性条件下对同一被测量进行无测得值与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值之差。又称为偶然误限多次测量结果的平均值之差。又称
50、为偶然误限多次测量结果的平均值之差。又称为偶然误限多次测量结果的平均值之差。又称为偶然误差。差。差。差。 定义定义定义定义特征特征特征特征 在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差。对值和符号以不可预定方式变化的误差。对值和符号以不可预定方式变化的误差。对值和符号以不可预定方式变化的误差。 产生原因产生原因产生原因产生原因实验条件的偶然性微小变化，如温度波动、噪实验条件的偶然性微小变化，如温度波动、噪实验条件的偶然性微小变化，如温度波动、噪实
51、验条件的偶然性微小变化，如温度波动、噪声干扰、电磁场微变、电源电压的随机起伏、声干扰、电磁场微变、电源电压的随机起伏、声干扰、电磁场微变、电源电压的随机起伏、声干扰、电磁场微变、电源电压的随机起伏、地面振动等。地面振动等。地面振动等。地面振动等。 随机误差（随机误差（random random errorerror）随机随机误差的最主要特征是具有随差的最主要特征是具有随机性，没有确定的机性，没有确定的规律。但象其律。但象其它随机它随机变量一量一样，对无限次无限次测量，量，随机随机误差服从差服从统计规律。律。随机误差的特征随机误差的特征指明显超出统计规律预期值的误差。又指明显超出统计规律预期值的
52、误差。又指明显超出统计规律预期值的误差。又指明显超出统计规律预期值的误差。又称为疏忽误差、过失误差或简称粗差。称为疏忽误差、过失误差或简称粗差。称为疏忽误差、过失误差或简称粗差。称为疏忽误差、过失误差或简称粗差。 定义定义产生原因产生原因产生原因产生原因某些偶尔突发性的异常因素或疏忽所致。某些偶尔突发性的异常因素或疏忽所致。某些偶尔突发性的异常因素或疏忽所致。某些偶尔突发性的异常因素或疏忽所致。 测量方法不当或错误，测量操作疏忽和失误（如未测量方法不当或错误，测量操作疏忽和失误（如未测量方法不当或错误，测量操作疏忽和失误（如未测量方法不当或错误，测量操作疏忽和失误（如未按规程操作、读错读数或单
53、位、记录或计算错误等）按规程操作、读错读数或单位、记录或计算错误等）按规程操作、读错读数或单位、记录或计算错误等）按规程操作、读错读数或单位、记录或计算错误等） 测量条件的突然变化（如电源电压突然增高或降低、测量条件的突然变化（如电源电压突然增高或降低、测量条件的突然变化（如电源电压突然增高或降低、测量条件的突然变化（如电源电压突然增高或降低、雷电干扰、机械冲击和振动等）。雷电干扰、机械冲击和振动等）。雷电干扰、机械冲击和振动等）。雷电干扰、机械冲击和振动等）。由于该误差很大，明显歪曲了测量结果。故应按照一定的准由于该误差很大，明显歪曲了测量结果。故应按照一定的准由于该误差很大，明显歪曲了测量
54、结果。故应按照一定的准由于该误差很大，明显歪曲了测量结果。故应按照一定的准则进行判别，将含有粗大误差的测量数据（称为坏值或异常值）则进行判别，将含有粗大误差的测量数据（称为坏值或异常值）则进行判别，将含有粗大误差的测量数据（称为坏值或异常值）则进行判别，将含有粗大误差的测量数据（称为坏值或异常值）予以剔除。具体见第四章。予以剔除。具体见第四章。予以剔除。具体见第四章。予以剔除。具体见第四章。 粗大误差（粗大误差（gross gross errorerror） 如一块电表，它的刻度误差在制造时可能是如一块电表，它的刻度误差在制造时可能是如一块电表，它的刻度误差在制造时可能是如一块电表，它的刻度误
55、差在制造时可能是随机的，但用此电表来校准一批其它电表时，随机的，但用此电表来校准一批其它电表时，随机的，但用此电表来校准一批其它电表时，随机的，但用此电表来校准一批其它电表时，该电表的刻度误差就会造成被校准的这一批电该电表的刻度误差就会造成被校准的这一批电该电表的刻度误差就会造成被校准的这一批电该电表的刻度误差就会造成被校准的这一批电表的系统误差。又如，由于电表刻度不准，用表的系统误差。又如，由于电表刻度不准，用表的系统误差。又如，由于电表刻度不准，用表的系统误差。又如，由于电表刻度不准，用它来测量某电源的电压时必带来系统误差，但它来测量某电源的电压时必带来系统误差，但它来测量某电源的电压时必
56、带来系统误差，但它来测量某电源的电压时必带来系统误差，但如果采用很多块电表测此电压，由于每一块电如果采用很多块电表测此电压，由于每一块电如果采用很多块电表测此电压，由于每一块电如果采用很多块电表测此电压，由于每一块电表的刻度误差有大有小，有正有负，就使得这表的刻度误差有大有小，有正有负，就使得这表的刻度误差有大有小，有正有负，就使得这表的刻度误差有大有小，有正有负，就使得这些测量误差具有随机性。些测量误差具有随机性。些测量误差具有随机性。些测量误差具有随机性。误差性质的相互转化误差性质的相互转化 1 1 1 1若舍去部分的数值大于保留末位的若舍去部分的数值大于保留末位的若舍去部分的数值大于保留
57、末位的若舍去部分的数值大于保留末位的0.50.50.50.5，则末位加，则末位加，则末位加，则末位加1 1 1 1，（大于，（大于，（大于，（大于5 5 5 5进）；进）；进）；进）； 2 2 2 2若舍去部分的数值小于保留末位的若舍去部分的数值小于保留末位的若舍去部分的数值小于保留末位的若舍去部分的数值小于保留末位的0.50.50.50.5，则末位不变，（小于则末位不变，（小于则末位不变，（小于则末位不变，（小于5 5 5 5舍）；舍）；舍）；舍）； 3 3 3 3若舍去部分的数值恰等于保留末位的若舍去部分的数值恰等于保留末位的若舍去部分的数值恰等于保留末位的若舍去部分的数值恰等于保留末位的
58、0.50.50.50.5，此时，此时，此时，此时，若末位是偶数；则末位不变，若末位是偶数；则末位不变，若末位是偶数；则末位不变，若末位是偶数；则末位不变，若末若末若末若末位是奇数，则末位加位是奇数，则末位加位是奇数，则末位加位是奇数，则末位加1 1 1 1，（等于，（等于，（等于，（等于5 5 5 5奇进偶不进）。奇进偶不进）。奇进偶不进）。奇进偶不进）。 第五节第五节近似数的修约与运算近似数的修约与运算近似数的基本修约规则近似数的基本修约规则 修约必须一次完成，不能连续修约，如：修约必须一次完成，不能连续修约，如：修约必须一次完成，不能连续修约，如：修约必须一次完成，不能连续修约，如：1.3
59、274651.327461.32751.3281.3274651.327461.32751.328（正确为：（正确为：（正确为：（正确为：1.3274651.3271.3274651.327） 若数字舍入恰巧发生在合格与否的边界数字上时，则要若数字舍入恰巧发生在合格与否的边界数字上时，则要若数字舍入恰巧发生在合格与否的边界数字上时，则要若数字舍入恰巧发生在合格与否的边界数字上时，则要用（）或（）分别补充表明它们的数值大小。如用（）或（）分别补充表明它们的数值大小。如用（）或（）分别补充表明它们的数值大小。如用（）或（）分别补充表明它们的数值大小。如1.291.31.291.3（），（），（），
60、（），13.21.313.21.3（）。（）。（）。（）。 误差或不确定度的舍入最好一律采用增大的方式，即只误差或不确定度的舍入最好一律采用增大的方式，即只误差或不确定度的舍入最好一律采用增大的方式，即只误差或不确定度的舍入最好一律采用增大的方式，即只进不舍。后面将提到的有效自由度的计算，则采用截断小进不舍。后面将提到的有效自由度的计算，则采用截断小进不舍。后面将提到的有效自由度的计算，则采用截断小进不舍。后面将提到的有效自由度的计算，则采用截断小数取整的只舍不进的算法。数取整的只舍不进的算法。数取整的只舍不进的算法。数取整的只舍不进的算法。 规则使用说明：规则使用说明：定义：是指经过修约后所
61、得的近似数从左边第一定义：是指经过修约后所得的近似数从左边第一定义：是指经过修约后所得的近似数从左边第一定义：是指经过修约后所得的近似数从左边第一 个不是零的数字起到末位上的所有数字。一个近个不是零的数字起到末位上的所有数字。一个近个不是零的数字起到末位上的所有数字。一个近个不是零的数字起到末位上的所有数字。一个近似数有似数有似数有似数有n n n n个有效数字，也称这个近似数为个有效数字，也称这个近似数为个有效数字，也称这个近似数为个有效数字，也称这个近似数为n n n n位有效位有效位有效位有效数。数。数。数。 意义：有效数字描述了近似数的近似程度。意义：有效数字描述了近似数的近似程度。意
62、义：有效数字描述了近似数的近似程度。意义：有效数字描述了近似数的近似程度。有效数字有效数字 1 1 1 1它可能是有效数字，也可能不是有效数字，这取决于它可能是有效数字，也可能不是有效数字，这取决于它可能是有效数字，也可能不是有效数字，这取决于它可能是有效数字，也可能不是有效数字，这取决于它处在近似数中的位置。当零处在第一个有效数字之前时，则零它处在近似数中的位置。当零处在第一个有效数字之前时，则零它处在近似数中的位置。当零处在第一个有效数字之前时，则零它处在近似数中的位置。当零处在第一个有效数字之前时，则零不算有效数字。例如，近似数不算有效数字。例如，近似数不算有效数字。例如，近似数不算有效
63、数字。例如，近似数0.003 860.003 860.003 860.003 86前面的三个前面的三个前面的三个前面的三个“ “0 0 0 0” ”，均不，均不，均不，均不是有效数字。当零处在第一个有效数字之后，则均为有效数字。是有效数字。当零处在第一个有效数字之后，则均为有效数字。是有效数字。当零处在第一个有效数字之后，则均为有效数字。是有效数字。当零处在第一个有效数字之后，则均为有效数字。例如，近似数例如，近似数例如，近似数例如，近似数110.00110.00110.00110.00和和和和200.030200.030200.030200.030中的所有中的所有中的所有中的所有“ “0 0
64、 0 0” ”均为有效数字。均为有效数字。均为有效数字。均为有效数字。 2 2 2 2小数点以后的零反映了近似数的误差，不能随意取小数点以后的零反映了近似数的误差，不能随意取小数点以后的零反映了近似数的误差，不能随意取小数点以后的零反映了近似数的误差，不能随意取舍。例如，近似数舍。例如，近似数舍。例如，近似数舍。例如，近似数100100100100，100.0100.0100.0100.0和和和和100.00100.00100.00100.00。这三个近似数在数值上。这三个近似数在数值上。这三个近似数在数值上。这三个近似数在数值上是相等的，但是它们的误差是各不相同的，由舍入误差原理知，是相等的
65、，但是它们的误差是各不相同的，由舍入误差原理知，是相等的，但是它们的误差是各不相同的，由舍入误差原理知，是相等的，但是它们的误差是各不相同的，由舍入误差原理知，这三个近似数的误差绝对值分别不超过这三个近似数的误差绝对值分别不超过这三个近似数的误差绝对值分别不超过这三个近似数的误差绝对值分别不超过0.50.50.50.5，0.050.050.050.05和和和和0.0050.0050.0050.005。 3 3 3 3在第一个有效数字之前的零则与误差无关。例如，在第一个有效数字之前的零则与误差无关。例如，在第一个有效数字之前的零则与误差无关。例如，在第一个有效数字之前的零则与误差无关。例如，近似
66、数近似数近似数近似数0.003 60.003 60.003 60.003 6的误差绝对值不超过的误差绝对值不超过的误差绝对值不超过的误差绝对值不超过 0.000 050.000 050.000 050.000 05，而近似数，而近似数，而近似数，而近似数 0.360.360.360.36101010102 2 2 2的误差绝对值也不超过的误差绝对值也不超过的误差绝对值也不超过的误差绝对值也不超过0.0050.0050.0050.005101010102 2 2 20.000 050.000 050.000 050.000 05。在判断有效数字时，对于零这个数字有三点说明：在判断有效数字时，对于
67、零这个数字有三点说明：在判断有效数字时，对于零这个数字有三点说明：在判断有效数字时，对于零这个数字有三点说明： 几个（不超过几个（不超过1010个）近似数相加或个）近似数相加或相减时，相减时， 小数位数较多的近似数，只须比小数位数较多的近似数，只须比小数位数最少的那个数多保留小数位数最少的那个数多保留1 1位。在计算位。在计算结果里，应保留的小数位数与原来小数位结果里，应保留的小数位数与原来小数位数最少的那个近似数相同数最少的那个近似数相同。近似数的加减运算近似数的加减运算求求求求近似数近似数近似数近似数 1648.01648.0，13.6513.65，0.00820.0082，1.6321.
68、632，86.8286.82，5.1355.135，316.34316.34，0.5450.545的和。的和。的和。的和。解：解：解：解：1648.01648.013.6513.650.00820.00821.6321.63286.8286.825.1355.135316.34316.340.5450.5451648.01648.013.6513.650.010.011.631.6386.8286.825.145.14316.34316.340.540.542072.132072.132072.12072.1【例【例1-1-4 4】在几个近似数相乘或相除时，有效数在几个近似数相乘或相除时，有效
69、数字较多的近似数，只须比有效数字最少的字较多的近似数，只须比有效数字最少的那个多保留那个多保留1位，其余均舍去。计算结果位，其余均舍去。计算结果应保留的有效数字的位数，与原来近似数应保留的有效数字的位数，与原来近似数里有效数字最少的那个相同。里有效数字最少的那个相同。近似数的乘除运算近似数的乘除运算求求求求 0.01211.368720.01211.36872的积。的积。的积。的积。解：解：解：解： 0.01211.368720.01211.368720.01211.3690.01211.3690.01656490.01656490.01660.0166【例【例1-1-5 5】 对于近似数的乘
70、方和开方运算对于近似数的乘方和开方运算可归纳为；在近似数乘方或者开方时，可归纳为；在近似数乘方或者开方时，计算结果应保留的有效数字与原来近计算结果应保留的有效数字与原来近似数的有效数字的位数相同。似数的有效数字的位数相同。近似数的乘方和开方运算近似数的乘方和开方运算乘方：乘方：乘方：乘方： 求近似数求近似数求近似数求近似数5.325.32的平方的平方的平方的平方解：解：解：解： 5.3225.32228.302428.328.302428.3开方：求开方：求开方：求开方：求 3.16433.1643的开方。的开方。的开方。的开方。解：解：解：解：1.7788479411.7781.778847
71、9411.7788 8【例【例1-1-6 6】第二章第二章 随机误差随机误差教学目的和要求 通过本章内容的教学，使学生对误差的概念有一个感通过本章内容的教学，使学生对误差的概念有一个感性的了解。要求学生清楚为什么所有的测量均存在误性的了解。要求学生清楚为什么所有的测量均存在误差差 , ,了解误差公理，明确学习本课程的目的和意义。了解误差公理，明确学习本课程的目的和意义。通过本章内容的教学，使学生对随机误差的产生原因、通过本章内容的教学，使学生对随机误差的产生原因、特点及处理方法有一个整体的认识。要求学生清楚随特点及处理方法有一个整体的认识。要求学生清楚随机误差的产生原因、特征，服从正态分布随机
72、误差的机误差的产生原因、特征，服从正态分布随机误差的特征；掌握随机误差特征；掌握随机误差 特征值的确定方法；了解随机特征值的确定方法；了解随机误差的分布；正确求解极限误差。误差的分布；正确求解极限误差。 重点和难点随机误差产生的原因随机误差的本质特征算术平均值贝塞尔公式试验标准差测量结果的最佳估计置信区间3-65 主要内容 产生原因、随机生原因、随机误差特性、差特性、随机随机误差差处理的基本原理的基本原则。随机随机误差的分布：差的分布：正正态分布、非正分布、非正态分布。分布。算算术平均平均值原理：原理：算算术平均平均值原理、原理、残余残余误差。差。测量的量的标准偏差：准偏差：单次次测量的量的标
73、准偏差、准偏差、贝塞塞尔公式、算公式、算术平均平均值的的标准偏差、准偏差、标准差的其准差的其它估它估计方法。方法。极限极限误差：极限差：极限误差的差的定定义、单次次测量的极限量的极限误差、算差、算术平均平均值的极的极限限误差。差。一、随机一、随机误差的差的定定义随随机机误误差差系系指指测测量量结结果果与与在在重重复复条条件件下下，对对同同一一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。随随机机误误差差等等于于误误差差减减去去系系统统误误差差。因因为为测测量量只只能能进进行行有有限限次次数数，故故可可能能确确定定的的只只是是随随机机误误差差的的估估计值
74、。计值。第一节随机误差概述第一节随机误差概述二二、随机、随机误差差产生的原因生的原因 随机误差是由人们不能掌握，不能控制，不能调节，更不能消除的微小因素造成。这些因素中，有的是尚未掌握其影响测量准确的规律；有的是在测量过程中对其难以完全控制的微小变化，而这些微小变化又给测量带来误差。 第一节随机误差概述第一节随机误差概述例 题举例：用测长机测量1m长的钢杆制件，测量温度的允许范围为（202）。为此，测量在恒温室内进行，恒温室温度控制能力达到（200.5），满足测量要求。但在测量时，恒温室的温度必然处在不断地变化中，围绕平均温度20有微小的波动，温度时高时低，变化速度时快时慢。温度的微小变化引起
75、钢杆制件长度和测量仪器示值的微小变化，且它们受温度的影响又不一致，有快慢之别，大小之分。这种影响又无法确定，因此造成随机误差。三三、随机、随机误差的本差的本质特征特征1、具有随机性：测量过程中误差的大小和符号以不可预知形式的形式出现。2、产生在测量过程之中：影响随机误差的因素在测量开始之后体现出来。3、与测量次数有关系：增加测量次数可以减小随机误差对测量结果的影响。四四、随机、随机误差的差的处理原理原则随机误差性质上属随机变量，其处理方法的理论依据是概率论与数理统计。具体参量可用随机变量的数学期望（算术平均值）、方差（标准偏差）和置信概率等三个特征量来描述。服从正态分布随机误差的特征3-72有
76、界性有界性随机误差总是有界限的，不可能出现无限大的随机误差。在一定测量条件下的有限次测量结果中，随机误差的绝对值不会超过某一界限。对称性称性在一定测量条件下的有限次测量结果，其绝对值相等的正误差与负误差出现的次数大致相等。抵抵偿性性由随机误差的对称性知，在有限次测量中，绝对值相同的正负误差出现的次数大致相同。因此，取这些误差的算术平均值时，绝对值相同的正负误差产生相互抵消现象，从而导致了随机误差的第三个特性抵偿性。单峰性峰性，即绝对值小的误差出现的次数多于绝对值大的误差出现的次数。第二节第二节 随机误差的分布随机误差的分布 一、正态分布随机误差概率分布密度函数表达式为： 图24数学期望 E（）
77、0方 差 D（）2标准偏差 均匀分布又称等概率分布，其概率密度函数为：当|a当|a它的数学期望为： E（） 0它的方差为：它的标准偏差为：二、均匀分布二、均匀分布三、三角分布三角分布的概率密度函数为：3-75 数学期望：E（） 0它的方差为：它的标准偏差为：四、反正弦分布它的概率密度为：数学期望： E（） 0 方差为：标准偏差为：3-76 五、2分布设设随随机机变变量量X1，X2，X相相互互独独立立，且且都都服服从从标准正态分布标准正态分布N（0，1），），则随机变量则随机变量 的概率密度为的概率密度为3-77 特征量为： 六、t分布设随机变量X与Y相互独立，X服从标准正态分布N（0，1），Y
78、服从自由度为的2分布，则随机变量的概率密度 t分布的主要分布特征量为： 3-78 （232） （233） 七、F分布设随机变量X与Y相互独立，分别服从自由度为与的2分布，则随机变量的概率密度为 3-79第三节第三节 算术平均值原理算术平均值原理在等权测量条件下，对某被测量进行多次重复测量，得到一系列测量值,常取算术平均值作为测量结果的最佳估计。一、算术平均值一、算术平均值算术平均值原理 若测量次数无限增多，且无系统误差下，由概率论的大数定律知，算术平均值以概率为1趋近于真值因为根据随机误差的抵偿性，当n充分大时，有 最佳估计的意义 若测量次数有限，由参数估计知，算术平均值是该测量总体期望的一个
79、最佳的估计量，即满足无偏性、有效性、一致性满足最小二乘原理在正态分布条件下，满足最大似然原理该所有测量值对其算术平均值之差的平方和达到最小该测量事件发生的概率最大二、残余误差3-83 由算术平均值原理可知，算术平均值是真值的最佳估计值，用算术平均值代替真值计算得到的误差称为残余误差。 在规定测量条件下，同一被测量的测量列x1，x2，xn有算术平均值： 则称为残余误差。残余误差可求，又称实用误差公式。残余误差具有两个重要特性。（一）残余误差具有低偿性残余误差代数和等于零（二）残余误差平方和为最小二、残余误差一、单次测量的标准偏差定理：同一被测量，在相同条件下，测量列xi（x1，2，n）中单次测量
80、的标准偏差（也称单次测量的标准不确定度）是表征同一被测量值n次测量所得结果的分散性参数，并按下式计算： 式中：n测量次数（充分大）； i测量结果xi的随机误差。第四节 测量的标准偏差 例题3-86单次测量的标准偏差3-870.2m二、标准偏差的基本估计贝塞尔公式定理：对同一被测量，在相同测量条件下，进行有限次测量得测量列xi （i1，2，n），则单次测量标准偏差的估计值为：3-88实验标准偏差s的标准差设在同一条件下，对被测量进行n1次等精度测量，得测量列xi（i1，2，n）。用贝塞尔公式即可求得单次测量标准偏差要s1。仍在该条件下，再进行n2次测量，同样又可得到单次测量标准偏差s2。我们发现
81、，无论两次的测量次数n1和n2是否相等，而s1和s2不一定相等，这说明由贝塞尔公式计算所得的测量标准偏差，也存在误差。 标准偏差s的标准偏差ss由下式确定，即3-89三、算术平均值标准偏差如果在相同条件下对同一量值作多组重复的系列测量，每一系列测量都有一个算术平均值，由于误差的存在，各个测量列的算术平均值也不相同，它们围绕着被测量的真值有一定的分散，此分散说明了算术平均值的不可靠性，而算术平均值的标准差则是表征同一被测量的各个独立测量列算术平均值分散性的参数，可作为算术平均值不可靠性的评定标准。3-90 最佳测量次数确定当n10以后， 已减少得非常缓慢。由于测量次数愈大，也愈难保证测量条件的恒
82、定，从而带来新的误差，因此一般情况下取n10以内较为适宜。总之，要提高测量精度，应采用适当精度的仪器，选取适当的测量次数。3-91例题已知测量的单次测量标准偏差s0.12（略去单位）。问在不改变测量条件的情况下，使被测量估计值的标准偏差达到0.04，需测量多少次？解：以算术平均值作为被测量的估计值，适当增加测量次数，以满足测量精密度的需要。可得：即测量次数：（次）即对被测量进行9次以上重复测量，它们的算术平均值的精密度便可达到要求。3-92四、标准差的其他估计方法3-931、极差法极差法若等精度多次测量测得值x1，x2，xn服从正态分布，在其中选取最大值xmax与最小值xmin，则两者之差称为
83、极差nxmaxxmin根据极差的分布函数，可求出极差的数学期望为： 标准差的其他估计方法3-94故可得s的无偏差估计值，若仍以s表示，则有 特点：极差法可简单迅速算出标准差，并具有一定精度，一般在n10时均可采用。因2 2、最大误差法、最大误差法测量误差服从正态分布时，估计标准差的计算公式 估算时的相对误差在已知被测量的真值的情形，多次独立测得的数据 的真误差，其中的绝对值最大在只进行一次性实验中，是唯一可用的方法标准差的其他估计方法3、最大残差法 在一般情况下，被测量的真值难以知道，无法应用最大误差法估计标准差 最大残余误差 估计标准差 最大残差法不适用于n=1的情形 标准差的其他估计方法第
84、五节 极限误差极限误差是指极端误差，是误差不应超过的界限，此时对被测量的测量结果（单次测量或测量列的算术平均值）的误差，不超过极端误差的置信概率为p，并使差值1pa可以忽略。此极端误差称为测量的极限误差，并以表示。极限误差的值可依据测量标准差、误差分布及要求的置信概率确定： 或 K称为置信因子，是误差分布、自由度和置信概率的函数，通常有表可查。3-97第三章第三章 系统误差系统误差教学目的和要求 通过本章内容的教学，使学生对系统误差的通过本章内容的教学，使学生对系统误差的产生原因、特征和消除方法，有一个整体的产生原因、特征和消除方法，有一个整体的 认识。要求学生清楚系统误差的产生原因、认识。要
85、求学生清楚系统误差的产生原因、特点和分类方法；了解系统误差处理的原则，特点和分类方法；了解系统误差处理的原则，了解系统误差的发现方法；初步掌握定值系了解系统误差的发现方法；初步掌握定值系统误差和变值系统误差的减弱和消除方法。统误差和变值系统误差的减弱和消除方法。 主要内容主要内容 系系统误差的定差的定义、产生原因、特点、分生原因、特点、分类。系系统误差差对测量量结果的影响：恒定系果的影响：恒定系统误差差对测量量结果的果的影响、影响、变值系系统误差差对测量量结果的影响。果的影响。系系统误差的差的发现方法：方法：实验对比法、残余比法、残余误差差观察法、察法、马列科夫列科夫准准则、计算数据比算数据比
86、较法、秩和法、秩和检验法、法、t检验法。法。4.系系统误差的一般差的一般处理方法：消除系理方法：消除系统误差的措施、恒定系差的措施、恒定系统误差的减弱和消除方法、差的减弱和消除方法、变值系系统误差的减弱和消除方法、系差的减弱和消除方法、系统误差的消除准差的消除准则。第一节第一节系统误差概系统误差概述述一、系统误差定义所所谓系系统误差是指差是指在重复性条件下，在重复性条件下，对同一被同一被测量量进行行无限多次无限多次测量所得量所得结果的平均果的平均值与被与被测量的真量的真值之差。之差。二、系统误差产生的原因二、系统误差产生的原因 系统误差是有固定不变的或按确定规律变化的因素造成，这些因素是可以掌
87、握的。 测量装置方面的因素 环境方面的因素 测量方法的因素 测量人员的因素计量校准后发现的偏差、仪器设计原理缺陷、仪器制造和安装的不正确等。测量时的实际温度对标准温度的偏差、测量过程中的温度、湿度按一定规律变化的误差等。采用近似的测量方法或计算公司引起的误差等。测量人员固有的测量习性引起的误差等。激光数字波面干涉仪的系统误差来源激光数字波面干涉仪的系统误差来源激光波长系统漂移标准镜面局部缺陷的固定电噪声干涉视场的系统噪声波差多项式模型误差三、系统误差的特征三、系统误差的特征具有确定规律性性：测量过程之中误差的大小和符号按确定规律变化：系统误差产生在测量之前：引起系统误差的原因在对该量测量之前就
88、已经产生，而在整个测量过程之中始终存在，并呈现其确定的规律性，与测量次数无关，多次测量不能减弱和消除它不具有抵偿性。四、系统误差的分类四、系统误差的分类 根据系统误差在测量过程中所具有的不同变化特性，将系统误差分为恒定系统误差和可变系统误差两大类。（一）恒定（一）恒定( (定值定值) )系统误差系统误差 恒定（定值）系统误差是指在整个测量过程中，误差的大小和符号始终是不变的。如千分尺或测长仪读数装置的调零误差，量块或其它标准件尺寸的偏差等，均为恒定系统误差。它对每一测量值的影响均为一个常量，属于最常见的一类系统误差。（二）变化系统误差（二）变化系统误差 变化系统误差指在整个测量过程中，误差的大
89、小和方向随测试的某一个或某几个因素按确定的函数规律而变化，其种类较多，又可分为以下几种： 四、系统误差的分类四、系统误差的分类 线性变化的系统误差：在整个测量过程中，随某因素而线性递增或递减的系统误差。周期变化的系统误差：在整个测量过程中，随某因素作周期变化的系统误差。 901802700e+-2四、系统误差的分类四、系统误差的分类复杂规律变化的系统误差：在整个测量过程中，随某因素变化，误差按确定的更为复杂的规律变化，称其为复杂规律变化的系统误差。如对于刻度盘或标尺的刻度误差，就全量程而言，属复杂规律性的系统误差。因为虽然对各刻度点的误差的大小和符号是确定的，但对整个量程的误差变化规律只能用实
90、验曲线表出，属复杂变化规律。各类特征系统误差图示曲线a是恒定系统误差，曲线b是线性变化系统误差，曲线c是非线性变化系统误差，曲线d是周期性变化系统误差，曲线e是复杂规律变化系统误差。已定系统误差和未定系统误差 指误差的大小和符号均已确切掌握了的，因此在处理和表征测量结果时，是属于可修正的系统误差。 指这类系统误差的大小和符号不能完全确切掌握的，因此在处理和表征测量结果时，是属于不可修正的系统误差。已定系已定系统误差差未定系未定系统误差差五、系统误差的特点具有确定具有确定规律性：律性：测量量过程中程中误差的差的大小和符号固定不大小和符号固定不变，或按照确定的，或按照确定的规律律变化。化。产生在生
91、在测量开始之量开始之前：影响系前：影响系统误差差的因素在的因素在测量开始量开始之前就已之前就已经确定。确定。与与测量次数无关：量次数无关：增加增加测量次数不能量次数不能减小系减小系统误差差对测量量结果的影响。果的影响。第二节 系统误差对测量结果的影响（一）定值系统误差的影响（一）定值系统误差的影响 设有一组常量测量数据 中分别存在定值系统误差 和随机误差 ，真值记为 。则这组测量数据的算术平均值为： 当子样定容n足够大时，随机误差 对 的影响可忽略不计，而定值系统误差 都完全反映在 之中，视 的符号而使有所增减。 由上式可看出， 不影响残差计算，因而也不影响标准误差的计算，即 并不引起随机误差
92、分布密度曲线的形状及其分布范围的变化，只引起分布密度曲线的位置变化（ 平移值）。第二节 系统误差对测量结果的影响（二）变化系统误差的影响（二）变化系统误差的影响 同样，计算一组测量数据的算术平均值： 上式中 为变化系统误差。当子样定容n足够大时，随机误差 对 的影响可忽略不计，而变化系统误差 则以算术平均值 反映在 之中，视 的符号而使有所增减。 由上式可看出，因 且其数值不易确定，故变值系统误差 直接影响残差 的数值，因此也必然要影响标准误差的计算，且其影响难于确定，即变值系统误差不仅使随机误差的分布密度曲线的形状和分布范围发生变化 ，也使曲线的位置产生平移。 第三节 系统误差的发现方法计量
93、检定法组内统计检验（残差统计法）组间系统误差检验在测量过程中形成系统误差的因素是复杂的，通常人们难于查明所有的系统误差，即使经过修正系统误差，也不可能全部消除系统误差的影响。但是，人们在实际测量的工作过程中，经过不断的探索与总结，还是有一些发现系统误差的行之有效的方法一、计量检定 在计量工作中，常用标准器具标准器具或标准物质作为检定工具，来检定某测量器具的标称值或测量值中是否含有显著的系统误差。标准器具所提供的标准量值的准确度应该比被检定测量器具的要高出12个等级或至少高几倍以上。 现对被检量重复测量 次，假设测量服从正态分布 在计量检定中，常设（标准器具量值），现对均值进行检定，判断其是否含
94、有系统误差。计量检定法步骤2、构造统计量3、在给定显著水平下，查 分布表的临界值4、作出决策。若 ，判定被检量算术平均值与期望的标准值之间存在显著的差异，即被检量含有恒定的系统误差。5、加修正值。对测得值 加一个修正值 ，即1、计算均值 ，按贝塞尔公式计算标准差某仪器测量过程控制图测量值检查时间序号 标定该仪器在不同时间段的测量值的变化，包括算术平均值和标准差，以核查该测量仪器在一个长的时期内的测量准确度,使之得到控制 二二 多台仪器间的比对测试多台仪器间的比对测试 缺少标准器具的检定手段时，可以考虑选择几个实验室之间进行比对测试，在严格规定比对测试的规范基础上，可以通过对几个参加实验室的测试
95、数据的汇总、统计分析，得出一些说明实验室之间测试结果是否有显著差异的结论。在检查仪器的测量稳定性试验中，需要对仪器的某标准测量值进行不同时间段的多次重复测量，得到多组数据组间t检验法组间F检验法三 其他检验方法说明1、各种检验方法可提供发现系统误差的信息。2、只能发现“有”，不能判断“无”。3、更不能给出系统误差的大小和产生原因第四节 系统误差一般处理方法一、消除系统误差的措施1从产生误差根源上消除系统误差2利用加修正值的方法消除系统误差3选择适当的测量方法消除系统误差1、从产生误差根源上消除、从产生误差根源上消除最理想的方法。它要求对产生系统误差的因素有全面而细致的了解，并在测试前就将它们消
96、除或减弱到可忽略的程度。视具体条件不同，有：（1）所用基、标准件（如量块、刻尺、光波波长等）是否准确可靠。（2）所用仪器是否经过检定，并有有效周期的检定证书。（3）仪器调整、测件安装定位和支承装卡是否正确合理。（4）所用测量方法和计算方法是否正确，有无理论误差。（5）测量场所的环境条件是否符合规定要求，如温度变化等（6）测量人员主观误差，如视差习惯等。关键：确定修正值或修正函数。对于某些事先通过分析或实验可以确知误差的大小和方向的恒定系统误差，可以利用对测量结果加修正值的方法来减弱或消除系统误差对测量结果的影响。修正值是这样的一个值；它的大小与定值系统误差的值相等但符号相反。为了求得修正值，最
97、常用的方法是对所使用的测量器具进行检定，确定该测量器具的示值相对计量标准器的差异，然后将这一数值给予相反的符号。量块的实际尺寸不等于公称尺寸，若按公称尺寸使用，就要产生系统误差。因此应按经过检定的实际尺寸（即将量块的公称尺寸加上修正量）使用，就可以避免此项系统误差的产生 2、利用加修正值的方法消除系统误差3、选择适当的测量方法消除系统误差在测量过程中，根据系统误差的性质，采取一定的技术措施，选择适当的测量方法，使测得值中的系统误差在测量过程中相互抵消而不带入测量结果之中，从而实现减弱或消除系统误差的目的。二、恒定系统误差的减弱和消除方法替代测量法异号测量法交换测量法替代法在测量装置上测量被测量
98、后不改变测量条件，立即用相应的标准量代替被测量，放到测量装置上再次进行测量，从而得到该标准量测量结果与已知标准量的差值，即系统误差，取其负值即可作为被测量测量结果的修正量。 等臂天平称重,先将被测量 放于天平一侧，标准砝码放于另一侧，调至天平平衡，则有 移去被测量 ，用标准砝码 代替，若该砝码不能使天平重新平衡，如能读出使天平平衡的差值 ，则有便消除了天平两臂不等造成的系统误差。由于（存在恒定统误差的缘故）恒定系统误差替代法举例根据误差产生原因，将某些条件交换，以消除系统误差。恒定系统误差交换法 等臂天平称重,先将被测量 放于天平一侧，标准砝码放于另一侧，调至天平平衡，则有 若将与交换位置，由
99、于（存在恒定统误差的缘故），天平将失去平衡 。原砝码P调整为砝码,才使天平再次平衡。于是有则有消除了天平两臂不等造成的系统误差。恒定系统误差异号法 进行两次反向测量，该两次测量读数时出现的系统误差大小相等，符号相反，即 取两次测值的平均，有 在使用直角尺检定某量仪导轨运动的垂直度时，可用它分别读数一次取算术平均值的方法，以使直角尺垂直误差得到补偿。在使用丝杠传动机构测量微小位移时，为消除测微丝杠与螺母间的配合间隙等因素引起的空回误差，往往采用往返两个方向的两次读数区算术平均值作为测得值，以补偿空回误差的影响三、变值系统误差的减弱和消除方法对称测量法半周期偶数测量法组合测量法对称测量法举例 测得
100、依赖因素t的5个读数 ，可取对称读数平均值 作为测得值，可有效消除该范围内的线性误差 机械式测微仪、光学比长仪等，都以零位中心对称刻度，一般都存在随示值而递增（减）的示值误差。采用对称测量法可消除这类示值误差 很多随时间变化的系统误差，在短时间内均可看作是线性的，即使并非线性的，只要是递增或递减的，如采用对称测量法，则可基本或部分消除 复杂规律变化的系统误差消除法复杂规律变化的系统误差消除法组合测量法组合测量法组合测量法是消除按复杂规律变化的系统误差的一种有效方法。所谓组合测量法就是对一组相互之间有依赖关系的被测量进行一系列不同组合的直接测量和间接测量，得到一组具有一定数学关系的方程组，求解其
101、方程组确定被测量的量值。在测量过程中，使得某些系统误差的出现规律转变为随机性，即把系统误差随机化，以减弱或消除系统误差对测量结果的影响。4-131第第4 4章：粗大误差章：粗大误差 教学目的和要求： 4-132通过本章内容的教学通过本章内容的教学,使学生能够掌握可疑使学生能够掌握可疑值处理的基本原则，正确合理的进行粗大误值处理的基本原则，正确合理的进行粗大误差的剔除。要求学生清楚粗大误差的产生原差的剔除。要求学生清楚粗大误差的产生原因和特征；掌握可疑值处理的基本原则；正因和特征；掌握可疑值处理的基本原则；正确使用统计学判别方法，剔除粗大误差。确使用统计学判别方法，剔除粗大误差。 主要内容：主要
102、内容： 4-133粗大误差的产生原因和特点：产生原因、主要特点。粗大误差的产生原因和特点：产生原因、主要特点。可可疑疑值值处处理理的的基基本本原原则则：直直观观判判断断、及及时时剔剔除除；增增加加测测量量次次数数、继继续续观观察察；用用统统计计法法判判别别；保保留留不不剔剔、确确保保安安全。全。粗粗大大误误差差的的统统计计学学判判别别方方法法：统统计计判判别别方方法法的的基基本本依依据据、常用的统计判别方法、判别粗大误差应注意的几个问题。常用的统计判别方法、判别粗大误差应注意的几个问题。 l客观外界条件的原因客观外界条件的原因l测量人员的主观原因测量人员的主观原因l测量仪器内部的突然故障测量仪
103、器内部的突然故障 第一节 粗大误差产生的原因粗大误差产生的原因4-134客观外界条件的原因客观外界条件的原因机械冲击、外界震动、电网供电电压突变、电机械冲击、外界震动、电网供电电压突变、电磁干扰等测量条件意外地改变磁干扰等测量条件意外地改变 ，引起仪器示值，引起仪器示值或被测对象位置的改变而产生粗大误差或被测对象位置的改变而产生粗大误差。4-135测量人员的主观原因测量人员的主观原因 测量者工作责任性不强，工作过于疲劳，对仪测量者工作责任性不强，工作过于疲劳，对仪器熟悉与掌握程度不够等原因，引起操作不当，器熟悉与掌握程度不够等原因，引起操作不当，或在测量过程中不小心、不耐心、不仔细等，或在测量
104、过程中不小心、不耐心、不仔细等，从而造成错误的读数或错误的记录。从而造成错误的读数或错误的记录。4-136测量仪器内部的突然故障测量仪器内部的突然故障 若不能确定粗大误差是由上述两个原因产生时，若不能确定粗大误差是由上述两个原因产生时，其原因可认为是测量仪器内部的突然故障。其原因可认为是测量仪器内部的突然故障。4-137第二节 可疑值处理的基本原则4-138l直观判断，及时剔除直观判断，及时剔除l增加测量次数，继续观察增加测量次数，继续观察l用统计方法进行判别用统计方法进行判别l保留不剔，确保安全保留不剔，确保安全直观判断，及时剔除若某可疑值经分析确认是由于错读、错记、错误操若某可疑值经分析确
105、认是由于错读、错记、错误操作以及确实为测量条件发生意外的突然变化而得到作以及确实为测量条件发生意外的突然变化而得到的测量值，可以随时将该次测量得到的数据从测量的测量值，可以随时将该次测量得到的数据从测量记录中剔除。但在剔除时必须注明原因，不注明原记录中剔除。但在剔除时必须注明原因，不注明原因而随意剔除可疑值是不正确的。这种方法称为物因而随意剔除可疑值是不正确的。这种方法称为物理判别法，也叫直观判别法。理判别法，也叫直观判别法。 4-1394-140如如果果在在测测量量过过程程中中，发发现现可可疑疑测测量量值值又又不不能能充充分分肯肯定定它它是是异异常常值值时时，可可以以在在维维持持等等精精密密
106、度度测测量量条条件件的的前前提提下下，多多增增加加一一些些测测量量次次数数。根根据据随随机机误误差差的的对对称称性性，以以后后的的测测量量很很可可能能出出现现与与上上述述结结果果绝绝对对值值相相近近仅仅符符号号相相反反的的另另一一测测量量值值，此时它们对测量结果的影响便会彼此近于抵消。此时它们对测量结果的影响便会彼此近于抵消。 增加测量次数，继续观察4-140在在测测量量完完毕毕后后，还还不不能能确确定定可可疑疑测测量量值值是是否否为为含含有有粗粗大大误误差差的的异异常常值值时时，可可按按照照依依据据统统计计学学方方法法导导出出的粗大误差判别准则进行判别、确定。的粗大误差判别准则进行判别、确定
107、。用统计方法进行判别4-141保留不剔，确保安全利用上述三种原则还不能充分肯定的可疑值，为利用上述三种原则还不能充分肯定的可疑值，为保险起见，一般以不剔除为好。保险起见，一般以不剔除为好。 4-142l建立粗大误差统计判别方法的基本依据建立粗大误差统计判别方法的基本依据l常用的统计判别方法常用的统计判别方法l判别粗大误差应注意的几个问题判别粗大误差应注意的几个问题第三节粗大误差的统计判别方法4-143建立粗大误差统计判别方法的基本依据依根测量准确度的要求，给定一置信概率（例如依根测量准确度的要求，给定一置信概率（例如99等），确定其随机误差的分布范围（等），确定其随机误差的分布范围（Ks，Ks
108、），凡超出这个范围的误差，就认为是不属于），凡超出这个范围的误差，就认为是不属于正常测量条件下测量值所含有的随机误差，而应视正常测量条件下测量值所含有的随机误差，而应视为粗大误差予以剔除。为粗大误差予以剔除。4-144常用统计判别方法莱因达（莱因达（3s3s）准则）准则格拉布斯（格拉布斯（GrubbsGrubbs）准则）准则狄克逊（狄克逊（DixonDixon）准则）准则4-145前提条件：测得值不含有系统误差；随机误差服前提条件：测得值不含有系统误差；随机误差服从正态分布。从正态分布。若对某物理量等精度重复测量若对某物理量等精度重复测量n次，得测得值次，得测得值x1，x2，xn。莱因达认为；
109、如果某测得值的残余误。莱因达认为；如果某测得值的残余误差的绝对值大于三倍的标准偏差时，即差的绝对值大于三倍的标准偏差时，即|vi|3s则认为该误差为粗大误差，该次测得值为异常值，则认为该误差为粗大误差，该次测得值为异常值，应剔除。应剔除。1、莱因达准则4-146莱因达准则是一个简便、保险但非常保守的判别准则，当测量次数n10时，即使存在粗大误差也判别不出来。因此，在测量次数较少时，几乎不适于使用。当测量次数为30次以上时较为适宜。4-147方法方法1：若对某物理量等精密度测量：若对某物理量等精密度测量n次，得测得值次，得测得值x1，x2，xn。将测得值按其大小，由小到大排列成顺序统计量。将测得
110、值按其大小，由小到大排列成顺序统计量x(i)： x(1)x(2)x(n)若认为若认为x(1)是可疑测量值，则有统计量是可疑测量值，则有统计量2、格拉布斯(Grubbs)准则 4-148若认为若认为x(n)是可疑测量值，则有统计量是可疑测量值，则有统计量当当g(i)g0（n，a）的时，则认为测得值）的时，则认为测得值xi含有粗大误含有粗大误差，应予以剔除。差，应予以剔除。 g0（n，a）为测量次数为）为测量次数为n显著度为显著度为a时的统计量临时的统计量临界值，可由表查取。界值，可由表查取。4-149例题例题格拉布斯准则还可以用残余误差的形式表达。若测格拉布斯准则还可以用残余误差的形式表达。若测
111、量列中的可疑值对应的残余误差量列中的可疑值对应的残余误差|vi|max满足满足|vi|maxg0(n,a)s则认为该可疑值则认为该可疑值xi是含有粗大误差的异常值，应剔是含有粗大误差的异常值，应剔除。除。表中的表中的g0(n,a)值是按值是按分布计算得出，其中分布计算得出，其中s 用贝塞用贝塞尔公式计算。尔公式计算。例题用格拉布斯准则判别下列一组等精密度测量所得的用格拉布斯准则判别下列一组等精密度测量所得的测得值中是否有异常值？测得值中是否有异常值？xi：55.2，54.6，56.1，55.4，55.5，54.9，56.8，55.0，54.6，58.34-151解：首先计算测量算术平均值和标准
112、偏差解：首先计算测量算术平均值和标准偏差vi：0.44，1.04，0.46，0.24，0.14， 0.74，1.16，0.64，1.04，2.66=55.64确定绝对值最大的残余误差确定绝对值最大的残余误差|vi|max和对应的可疑值和对应的可疑值|vi|max|v10|2.66可疑值可疑值x1058.3取取a0.01，由，由n10查表得查表得g（10，0.01）2.41利用格拉布斯准则判别利用格拉布斯准则判别g（10，0.01）s2.411.162.80|v10|2.66g（10，0.01）s2.80故故x10不是粗大误差，也不是异常值，应保留。不是粗大误差，也不是异常值，应保留。3、狄克逊
113、(Dixon)准则 4-154前面两种判别方法，均需求出算术平均值 、残余误差vi；和标准偏差s。在实际工作中，显得计算量大，使用麻烦。而狄克逊准则是直接根据测得值按其大小顺序重新排列后的顺序统计量来判别可疑测量值是否为异常值的，可免去反复计算的繁琐劳动。狄克逊（Dixon）准则若对物理量等精密度测量若对物理量等精密度测量n次，得测得值次，得测得值x1，x2，xn。将此测量列由小到大按顺序重新排列成将此测量列由小到大按顺序重新排列成x(1)x(2)x(n)4-155若狄克逊导出了顺序差统计量的分布及其在给定显狄克逊导出了顺序差统计量的分布及其在给定显著度著度a下的临界值下的临界值d0（n，a）
114、，）， 或 或 或 或 例题例题若若dijd0（n，a）则认为相应最大测得值或最小测得值为含有粗大则认为相应最大测得值或最小测得值为含有粗大误差的异常值，应剔除。误差的异常值，应剔除。狄克逊通过大量的实验认为：狄克逊通过大量的实验认为：当当n7时，使用时，使用d10效果好；效果好；当当8n10时，使用时，使用d11效果好；效果好；当当11n13时，使用时，使用d21效果好；效果好；当当n14时，使用时，使用d22效果好。效果好。准则应用4-158例题用狄克逊准则判别下列测得值中是否有异常值？测用狄克逊准则判别下列测得值中是否有异常值？测得值中不含有系统误差且服从正态分布。得值中不含有系统误差且
115、服从正态分布。 xi：5.29，5.30，5.31，5.30，5.32，5.29，5.28，5.27，5.31，5.284-159解：首先将测得值按大小顺序排列解：首先将测得值按大小顺序排列序号序号12345678910x（i）5.275.285.285.295.295.305.305.315.315.32由于由于n10应按应按d11计算统计量。计算统计量。首先检验首先检验x(10)是否是异常值是否是异常值=0.250若取若取a0.01查表得临界值查表得临界值d0（10，0.01）=0.597，有有d11=0.250d0（10，0.01）=0.597说明说明x（10）不是异常值。不是异常值。=
116、0.250d11=0.250d0（10，0.01）=0.597 说明x（1）也不是异常值。由此，我们可以得出结论，该测量列中没有异常值。准确找出可疑测量值准确找出可疑测量值合理选择判别准则合理选择判别准则查找产生粗大误差的原因查找产生粗大误差的原因判别准则的比较判别准则的比较全部测量数据的否定全部测量数据的否定4-163判别粗大误差应注意的几个问题判别粗大误差应注意的几个问题第第5 5章：测量不确定度章：测量不确定度 教学目的和要求：教学目的和要求： 通通过过本本章章内内容容的的教教学学，使使学学生生能能够够对对测测量量数数据据合合理理的的、正正确确进进行行测测量量不不确确定定度度的的评评定定
117、与与表表示示。要要求求学学生生清清楚楚测测量量不不确确定定度度的的概概念念，明明了了不不确确定定度度的的分分类类，掌掌握握标标准准不不确确定定度度A A类类和和B B类类评评定定方方法法、合合成成标标准准不不确确定定度度和和扩扩展展不不确定度的评定方法；正确进行测量不确确定度的评定方法；正确进行测量不确 定度的报告和表示。定度的报告和表示。 5-165主要内容 1.测测量量不不确确定定度度的的基基本本概概念念：产产生生背背景景、定定义义及及分分类类、测测量量误误差差与与测测量量不不确确定定度度、产产生生测测量量不不确确定定度度的的原原因因、测测量量过过程的数学模型的建立、测量不确定度传播规律。
118、程的数学模型的建立、测量不确定度传播规律。2.标标准准不不确确定定度度的的A类类评评定定：单单次次测测量量结结果果实实验验标标准准差差与与算算术术平平均均值值实实验验标标准准差差、测测量量过过程程的的合合并并样样本本标标准准差差、不不确确定度定度A类评定的独立性。类评定的独立性。3.标标准准不不确确定定度度的的B类类评评定定：B类类不不确确定定度度评评定定的的信信息息来来源源、B类类不不确确定定度度的的评评定定方方法法、B类类不不确确定定度度评评定定的的自自由由度度及及其其意意义、义、B类标准不确定度评定的流程。类标准不确定度评定的流程。5-166主要内容4.合合成成标标准准不不确确定定度度的
119、的评评定定：输输入入量量不不相相关关时时不不确确定定度度合合成成、输输入入量量相相关关时时不不确确定定度度合合成成、合合成成标标准准不不确确定定度度的的自自由由度度、合合成标准不确定度的计算流程。成标准不确定度的计算流程。5.扩扩展展不不确确定定度度的的评评定定：输输出出量量的的分分布布特特征征、扩扩展展不不确确定定度度的含义、包含因子的选择、评定流程。的含义、包含因子的选择、评定流程。6.测测量量不不确确定定度度的的报报告告与与表表示示：测测量量结结果果及及其其不不确确定定度度的的报报告、测量不确定度的报告方式、测量不确定度评定的总流程。告、测量不确定度的报告方式、测量不确定度评定的总流程。
120、5-167l 测量不确定度的产生背景测量不确定度的产生背景l 测量不确定度的定义及分类测量不确定度的定义及分类l 测量误差与测量不确定度测量误差与测量不确定度l 产生测量不确定度的原因产生测量不确定度的原因l 测量过程的数学模型的建立测量过程的数学模型的建立l 测量不确定度传播律测量不确定度传播律第一节 测量不确定度的基本概念5-1681、测量误差是一个理想化的概念，实际中难以准确定量确定。2、系统误差和随机误差在某些情况下界限不是十分清楚，使得同一被测量在相同条件下的测量结果因评定方法不同而不同，从而引起测量数据处理方法和测量结果的表达不统一，影响国际间交流。一、产生背景5-169 1980
121、年国际计量局（BIPM）起草了一份实验不确定度建议书INC1。 1981年，第七十届国际计量委员会（CIPM）批准了上述建议，并发布了一份CIPM建议书，即CI1981。 1986年，CIPM再次重申采用上述测量不确定度表示的统一方法，并发布了CIPM建议书CI1986。发展史5-170发展史1993年，GUM以7个国际组织的名义正式由国际标准化组织颁布实施，并在1995年又作了修订。我国由全国法制计量委员会委托中国计量科学研究院起草制定了国家计量技术规范测量不确定度评定与表示（JJF10591999）。该规范原则上等同GUM的基本内容，作为我国统一准则对测量结果及其质量进行评定、表示和比较。
122、5-171二、不确定度的定义二、不确定度的定义测量不确定度测量不确定度（uncertainty of measurement）测量不确定度定义为表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。此参数可以是标准差或其倍数，或说明了置信水准的区间的半宽度，其值恒为正值。 5-172不确定度评定方法的分类不确定度评定方法的分类 A A类评定类评定（type A evaluation of uncertainty）用对观测列进行统计分析的方法来评定的标准不确定度称为不确定度的A类评定，又称为A类不确定度评定，简称A 类不确定度。B B类评定类评定（type B evaluation of u
123、ncertainty）用不同于对观测列进行统计分析的方法来评定的标准不确定度称为不确定度B类评定，有时又称为B类不确定度评定，简称B类不确定度。5-173合成（标准）不确定度合成（标准）不确定度（combined standard uncertainty） 当测量结果是由若干个其它量的值求得时，按其它各量的方差或协方差算得的标准不确定度称为合成标准不确定度，用符号uc表示。 不确定度评定方法的分类不确定度评定方法的分类扩展不确定度扩展不确定度（expanded uncertainty）由于标准偏差所对应的置信水准（也称为置信概率）通常还不够高，在正态分布情况下仅为68.27，因此还规定测量不确
124、定度也可以用标准偏差的倍数k来表示。这种不确定度称为扩展不确定度，有时也称展伸不定度或范围不确定度，用符号U或UP表示。 5-174扩展不确定度扩展不确定度（expanded uncertainty） 规定了测量结果取值区间的半宽度，该区间包含了合理赋予被测量值的分布的大部分。用符号U或UP表示。 包含因子包含因子（coverage factor） 为获得扩展不确定度，对合成标准不确定度所乘的倍数因子。常用符号k或kP来表示。在国内，有的也其称为覆盖因子，其取值一般在2与3之间。 不确定度评定方法的分类不确定度评定方法的分类5-175不确定度评定方法的分类不确定度评定方法的分类绝对不确定度和相
125、对不确定度绝对不确定度和相对不确定度误差可以用绝对误差和相对误差两种形式来表示，不确定度也同样可以有绝对不确定度和相对不确定度两种形式。绝对形式表示的不确定度与被测量有相同的量纲。相对形式表示的不确定度，其量纲为1，或称为无量纲。被测量x的标准不确定度u（x）和相对标准不确定度urel（x）间的关系为：5-176三、测量误差与测量不确定度1、相同点、相同点测量误差和测量不确定度是误差理论中两个重要的概念，它们都是评价测量结果质量高低的重要指标。2、测量误差与测量不确定度的主要区别如、测量误差与测量不确定度的主要区别如下表。下表。5-177测量误差与测量不确定度的主要区别测量误差与测量不确定度的
126、主要区别序号内容测量误差测量不确定度1定义表明测量结果偏离真值，是一个确定的值。表明被测量之值的分散性，是一个区间。用标准偏差，标准偏差的倍数，或说明了置信水准的区间的半宽度来表示。2分类按出现于测量结果中的规律。分为随机误差和系统误差，它们都是无限多次测量的理想概念。按是否用统计方法求得，分为A类评定和B类评定。它们都以标准不确定度表示。在评定测量不确定度时，一般不必区分其性质。若需要区分时，应表述为“由随机效应引入的测量不确定度分量”和“由系统效应引入的不确定度分量”。3可操作性由于真值未知。往往不能得到测量误差的值。当用一约定真值代替真值时，可以得到测量误差的估计值。测量不确定度可以由人
127、们根据实验、资料、经验等信息进行评定，从而可以定量确定测量不确定度的值。5-178测量误差于测量不确定度的主要区别续测量误差于测量不确定度的主要区别续4数值符号非正即负（或零），不能用正负（）号表示。是一个无符号的参数，恒取正值。当由方差未得时，取其正平方根。5合成方法各误差分量的代数和。当各分量彼此独立时用方和根法合成，否则应考虑加入相关项。6结果修正已知系统误差的估计值时，可以对测量结果进行修正，得到已修正的测量结果。不能用测量不确定度对测量结果进行修正。对已修正测量结果进行不确定度评定时，应考虑修正不完善引入的不确定度分量。5-1795-180测量误差于测量不确定度的主要区别续测量误差于
128、测量不确定度的主要区别续7结果说明误差是客观存在纷不以人的认识程度而转移。误差属于给定的测量结果。相同的测量结果具有相同的误差，而与得到该测量结果的测量仪器和测量方法无关。测量不确定度与人们对被测量、影响量、以及测量过程的认识有关。合理赋予被测量的任一个值，均具有相同的测量不确定度。8实验标准差来源于给定的测量结果，它不表示被测量估计值的随机误差。来源于合理赋予的被测量之值，表示同一观测列中，任一个估计值的标准不确定度。9自由度不存在可作为不确定度评定可靠程度的指标。10置信概率不存在当了解分布时，可按置信概率给出置信区间。续3、误差与测量不确定度的关系、误差与测量不确定度的关系误差理论是测量
129、不确定度的基础。研究测量不确定度首先需要研究误差，只有对误差的性质、分布规律、相互联系及对测量结果的误差传递关系等有了充分的认识和了解，才能更好地估计各不确定度分量，正确得到测量结果的不确定度。测量不确定度是建立在误差理论基础的新概念，其理论体系是对经典误差理论的充实和完善。5-181四、产生测量不确定度的原因测量过程中的随机效应和系统效应均会导致测量不确定度，具体的测量不确定度因素与误差因素相同。5-182五、测量过程的数学模型的建立1、直接测量、直接测量YX（51）式中X为输入量，也是被测量，Y为输出量，也是被测量。式（51）称为直接测量过程的数学模型。5-1832、间接测量、间接测量间接
130、测量过程的数学模型在实际测量的很多情况下，被测量Y不能直接测得，而是先直接测量与之有关的其它量X1，X2，XN，然后通过函数关系式Yf（X1，X2，XN）（52）来确定。这种函数关系式就称为间接测量过程的数学模型，简称数学模型。5-184五、测量过程的数学模型的建立六、测量不确定度传播律（53）式（53）称为测量不确定度传播律，其中称为灵敏系数，u（xi）分别为输入量Xi的估计值xi的标准不确定度，u（xi，xj）为任意两输入量估计值的协方差函数。5-185l 单次测量结果实验标准差与平均值实单次测量结果实验标准差与平均值实验标准差验标准差l 测量过程的合并样本标准差测量过程的合并样本标准差l
131、 规范测量中的合并样本标准差规范测量中的合并样本标准差l 不确定度不确定度A A类评定的独立性类评定的独立性l 阿伦方差阿伦方差l A A类不确定度评定的自由度和评定流程类不确定度评定的自由度和评定流程第二节 标准不确定度A类评定一、单次测量结果实验标准差与平均值实验标准差1、单次测量结果实验标准差2、平均值的实验标准差，其值为5-187续3、当测量结果取其中的m次的平均值时，所对应的A类不确定度，和的自由度是相同的，都是5-188续4、当不确定度以绝对形式表示（如千分尺）时，通常选取整个量程最大检定点进行多次测量，计算实验标准差s（xi），用以代表整个量程各点。当不确定度以相对形式表示（如材
132、料试验机）时，通常选取整个量程最小点进行多次测量，计算相对实验标准差srel（xi），用以代表整个量程各点。5-189二、测量过程的合并样本标准差对于一个测量过程，若采用核查标准或控制图的方法使其处于统计控制状态，则该测量过程的合并样本标准差sp为式中si为每次核查时的样本标准差；k为核查次数。当每次核查，其自由度相同时，上式成立。5-190续合并样本标准差sp为测量过程长期的组内标准差的平方平均值的正平方根。在此情况下，由该测量过程对被测量X进行n次观测，以算术平均值作为测量结果时，其标准不确定度u（x）为5-191三、规范测量中的合并样本标准差所谓规范测量，指明确规定了程序、条件的测量，例
133、如按测量仪器检定规程进行的检定，按给定技术规范对样品某参数的测量。认定测量处于统计控制状态下时，可认为被测量X的单次测量结果xi 的标准差s（xi）相等。通过累积下来的测量结果，计算出自由度充分大的合并样本标准差sp（x），以用于每次测量结果的评定。 5-192三、规范测量中的合并样本标准差若m个被测量Xi在重复性条件下，均进行了n次独立观测，测值分别为xi，1，xi，2，xi，n，其平均值为，则可得合并样本标准差sp为 自由度为若 m个被测量重复的次数不完全相同，设各为 ni，Xi的标准差s(xi)的自由度分别为（ni1），通过m个si与可得sp为自由度为5-193四、不确定度A类评定的独立
134、性被测量是一批材料的某一特性，所有重复观测值来自同一样品，而取样又是测量程序的一部分，则观测值不具有独立性，必须把不同样本间可能存在的随机差异导致的不确定度分量考虑进去；测量仪器的调零是测量程序的一部分，重新调零应成为重复性的一部分；通过直径的测量计算圆的面积，在直径的重复测量中，应随机地选取不同的方向观测；5-194续当使用测量仪器的同一测量段进行重复测量时，测量结果均带有相同的这一测量段的误差，而降低了测量结果间的相互独立性；在一个气压表上重复多次读取示值，把气压表扰动一下，然后让它恢复到平衡状态再进行读数，因为即使大气压力并无变化，还可能存在示值和读数的方差。5-195五、阿伦方差设对被
135、测量频率进行m1次测量，每次测量的取样时间为，以每两次测量为一组，其测量值分别为yi和yi1，则由下式求得的方差称为阿伦方差。5-196对于A类评定，各种情况下的自由度为：1用贝塞尔公式计算实验标准差时，若测量次数为n，则自由度 n1。2当同时测量t个被测量时，自由度 nt。3对于合并样本标准差sp，其自由度为各组的自由度之和。例如，对于每组测量n次，共测量m组的情况，其自由度为m（n1）。 六、A类不确定度评定的自由度和评定流程5-197续4当用极差法估计实验标准差时，其自由度与测量次数n的关系见下表。5-198n234567891015200.91.82.73.64.55.36.06.87
136、.510.513.1A A类不确定度评定的流程图类不确定度评定的流程图xi的标准不准确度完A类评定开始对Xi 独立观测得 xi.1，xi.2，xi.n则Xi 的观测结果 B类评定方法获得不确定度，不是依赖于对样本数据的统计，他必然要设法利用与被测量有关的其他先验信息来进行估计。因此，如何获取有用的先验信息十分重要，而且如何利用好这些先验信息也很重要。第三节B类不确定度的评定一、B类不确定度评定的信息来源 以前的观测数据； 对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验； 生产部门提供的技术说明文件； 校准证书、检定证书或其他文件提供的数据、准确度的等别或级别，包括目前暂在使用的极限误差等； 手册或某
137、些资料给出的参考数据及其不确定度； 规定实验方法的国家标准或类似技术文件中给出的重复性限r或复现性限R。用这类方法得到的估计方差u2（xi），可简称为B类方差。5-201二、B类不确定度的评定方法1已知置信区间和包含因子已知置信区间和包含因子 根据经验和有关信息或资料，先分析或判断被测量值落入的区间a，a，并估计区间内被测量值的概率分布，再按置信水准p来估计包含因子k，则B类标准不确定度u（x） 式中：a置信区间半宽；k对应于置信水准的包含因子。5-2022已知扩展不确定度已知扩展不确定度U和包含因子和包含因子k 如估计值xi来源于制造部门的说明书、校准证书、手册或其他资料，其中同时还明确给出
138、了其扩展不确定度U（xi）是标准差s（xi）的k倍，指明了包含因子k的大小，则标准不确定度u（x）可取U（xi）k，而估计方差u2（xi）为其平方。5-2033已知扩展不确定度已知扩展不确定度Up和置信水准和置信水准p的正态分布的正态分布 如xi的扩展不确定度不是按标准差s（xi）的k倍给出，而是给出了置信水准p和置信区间的半宽Up，除非另有说明，一般按正态分布考虑评定其标准不确定度u（xi）。5-204 若xi的扩展不确定度不仅给出了扩展不确定度Up和置信水准p，而且给出了有效自由度或包含因子kp，这时必须按t分布处理。 这种情况提供给不确定度评定的信息比较齐全，常出现在标准仪器的校准证书上
139、。4已知扩展不确定度已知扩展不确定度Up以及置信水准以及置信水准p与有效自由度的与有效自由度的t分布分布5-2055其他几种常见的分布其他几种常见的分布分布类型P（）ku（xi）正态99.733a3三角100a梯形0.711002a2矩形（均匀）100a反正弦100a两点1001a5-206常用分布与k，u（xi）的关系 在输入量Xi可能值的下界a一和上界a相对于其最佳估计值xi不对称的情况下，即下界a一xi一b，上界axib，其中bb。这时由于xi不处于a一至a区间的中心，Xi的概率分布在此区间内不会是对称的，在缺乏用于准确判定其分布状态的信息时，按矩形分布处理可采用下列近似评定6界限不对称
140、的考虑界限不对称的考虑5-2077由重复性限或复现性限求不确定度由重复性限或复现性限求不确定度 在规定实验方法的国家标准或类似技术文件中，按规定的测量条件，当明确指出两次测量结果之差的重复性限r或复现性限R时，如无特殊说明，则测量结果标准不确定度为u（xi）r2.83或u（xi）R2.83 这里，重复性限r或复现性限R的置信水准为95，并作为正态分布处理。5-2088以以“等等”使用的仪器的不确定度计算使用的仪器的不确定度计算 当测量仪器检定证书上给出准确度等别时，可接检定系统或检定规程所规定的该等别的测量不确定度的大小，按上述第2或第3的方法计算标准不确定度分量。当检定证书既给出扩展不确定度
141、，又给出有效自由度时，按第4方法计算。 以“等”使用仪器的不确定度计算一般采用正态分布或t分布。5-2099以以“级级”使用仪器的不确定度计算使用仪器的不确定度计算 当测量仪器检定证书上给出准确度级别时，可按检定系统或检定规程所规定的该级别的最大允许误差进行评定。假定最大允许误差为A，一般采用均匀分布，得到示值允差引起的标准不确定度分量5-210三、B类不确定度评定的自由度及其意义B类不确定度分量的自由度与所得到的标准不确定度以u（xi）的相对标准不确定度u(xi)/u(xi)有关，其关系为： 式中，u(xi)是u(xi)的标准差，即u(xi)是标准差的标准差，不确定度的不确定度。5-211B
142、 B类不确定度的自由度类不确定度的自由度当不确定度的评定有严格的数字关系，如数显仪器量化误差和数据修约引起的不确定度计算，自由度为。当计算不确定度的数据来源于校准证书、检定证书或手册等比较可靠资料时，可取较高自由度。当不确定度的计算带有一定主观判断因素，如指示类仪器的读数误差引起的不确定度，可取较低的自由度。当不确定度的信息来源难以用有效的实验方法验证，如量块检定时标准量块和被检量块的温度差的不确定度，自由度可以非常低。5-212四、B类标准不确定度评定的流程5-213被测量被测量Y的估计值的估计值Y的标准不确定度，是由的标准不确定度，是由相应输入量相应输入量X1，X2，XN的标准不确定度的标
143、准不确定度适当合成求得，估计值适当合成求得，估计值Y的合成标准不确定度的合成标准不确定度记为记为UC（Y），它表征合理赋予被测量估计），它表征合理赋予被测量估计值值Y的分散性。的分散性。第四节合成标准不确定度的评定一、输入量不相关时不确定度的合成1. 当全部输入量Xi是彼此独立或不相关时，合成标准不确定度uc（y）为5-2152. 合成方差uc2（y）可视为伴随各项输入分量xi 的估计方差而引起输出估计值y的估计方差。因此上式可表示为5-2163如果函数关系不十分明确，或者需要进行验证，此时灵敏系数ci也可由实验测定，即通过变化第i个xi，而保持其余输入量不变，并测定Y随xi的改变量，从而计算
144、出ci。5-2174如果将被测量Yf（X1，X2，XN）对输入量Xi的标称值Xi,0，作一阶展开YY0c11c22cNN式中Y0f（X1,0，X2,0，XN,0）;，即Yf（X1，X2，XN）在XiXi,0求导；iXiXi,0为了分析不确定度，常将Xi变换到i，从而使被测量近似地为线性函数。5-2185Xi彼此独立的条件下，如果函数f的形式表现为 Yf（X1，X2，XN）式中，系数c并非灵敏系数，指数pi可以是正数、负数或分数，设pi的不确定度u（pi）可忽略不计，则合成方差为如果，指数pi只是l或1，）就进一步简化为5-219二、输入量相关时不确定度的合成（一）输入量相关时的不确定度传播律当
145、输入量相关时，测量结果的合成方差uc2（y）应表示为如下的不确定度传播律式中xi，xj；Xi，Xj的估计；u（xi，xj）xi，xj的估计协方差，且u（xi，xj）u（xj，xi）。5-220 xi，xj的相关程度可按估计相关系数r（xi，xj）表示为5-221（二）相关系数的求法（二）相关系数的求法两输入量X，Y的估计相关系数以r（X，Y）表示，取值范围是lr（X，Y）1。r（X，Y）可用以下公式计算。1统计法5-222续2物理（实验）判断法对于r（X，Y）0，即X，Y不相关，有下面几种情况：（1）X，Y不相关；（2）X，Y属于不同体系的分量，如人员引起的不确定度分量与温度影响的不确定度分量
146、；（3）r（X，Y）在-1，1上对称分布，取r（X，Y）0；（4）X，Y弱相关，近似取r（X，Y）0。5-223续对于r（X，Y）1即两分量完全正相关，有下面几种情况：（1）X，Y呈线性或近似线性关系；（2）X，Y属于同一体系的分量，如用一米基线尺测两个lm的长度，则各米分量之间完全正相关；（3）一分量增大或减小，引起另一分量增大或减小；（4）若知X，Y相关，可近似取r（X，Y）1。5-224续当yf（x1，x2，xN），所有的输入估计值相关，且相关系数r（xi，xj）1，则合成标准不确定度uc（y）为5-225例题测量环路正弦交变电位差幅值V，电流幅值I，测量次数n5，这5次测量结果如下相关
147、系数对阻抗 ，求最佳值及其合成标准不确定度。5-226i电位差幅值VV电流幅值ImA15.00719.66324.99419.63935.00519.64044.99019.68554.99919.675=4.999V=19.660mAs()=0.0032Vs()=0.0092mA解答由不确定度传播律式得所以，阻抗R的相对合成标准不确定度为0.9103。5-227三、合成标准不确定度的自由度合成标准不确定度uc（y）的自由度称为有效自由度，可由韦尔奇一萨特思韦特（WelchSatter一thwaite）公式计算也可用于相对标准不确定度的合成5-228四、合成标准不确定度的计算流程5-229第五
148、节扩展不确定度一、扩展不确定度的含义扩展不确定度的两种方法表示扩展不确定度的两种方法表示 在传统场合多用合成标准不确定度 来表示测量结果的分散性，但在许多领域，常要求用扩展不确定度来表示 合成标准不确定度乘以包含因子 给定的置信概率或置信水平5-231二、包含因子的确定方法 如果uc（y）的自由度较小，并要求区间具有规定的置信水准p，当按中心极限定理估计接近正态分布时，kp采用 t分布临界值。如果可以确定Y可能值的分布不是正态分布，而是接近于其他某种分布，则绝不应按k23或kptp（ ）计算U或Up。5-232续当y和uc（y）所表征的概率分布近似为正态分布，且uc（y）的有效自由度较大时，在
149、合成标准不确定度uc（y）确定后，乘以一个包含因子k，即Uk uc（y）。可以期望在yU至yU的区间包含了测量结果可能值的较大部分。k值一般取23，在大多数情况下取k2，当取其他值时，应说明其来源。5-233三、扩展不确定度评定的流程第六节测量不确定度的报告与表示一个完整的测量结果 被测量的最佳估计值，一般由算术平均值给出 有关测量不确定度的信息5-235测量不确定度用合成标准不确定度表示测量不确定度用合成标准不确定度表示合成标准不确定度 自由度 测量不确定度用扩展不确定度表示测量不确定度用扩展不确定度表示扩展不确定度U合成标准不确定度 自由度 包含因子置信水平一、测量结果报告的基本内容一、测
150、量结果报告的基本内容 5-236二、测量不确定度的报告方式报告测量不确定度有两种方式。一类是直接用（未扩展的）合成标准不确定度，另一类是使用扩展不确定度。5-237 某标准砝码的质量，其测量的估计值合成标准不确定度，自由度 (1)，或，(2)(3)括号内的数值按标准差给出，其末位与测量结果的最低位对齐括号内的数值按标准差给出，单位同测量结果一样1使用合成标准不确定度5-238 某标准砝码的质量，其测量的估计值合成标准不确定度，自由度包含因子，扩展不确定度 或或或2使用扩展不确定度5-239包含因子或或扩展不确定度使用扩展不确定度5-240四、测量不确定度评定的总流程6-242第六章第六章 直接
151、测量不确定度评定直接测量不确定度评定6-243直接测量就是用测量仪器直接获得被测量的量值直接测量就是用测量仪器直接获得被测量的量值的方法，直接测量法分为的方法，直接测量法分为（1）等精度（或等权）直接测量）等精度（或等权）直接测量（2）不等精度（或不等权）直接测量）不等精度（或不等权）直接测量（3）只有一组测量值）只有一组测量值这些评定属于这些评定属于A类评定。类评定。教学目的和要求教学目的和要求6-244通通过过本本章章内内容容的的教教学学，使使学学生生掌掌握握等等精精度度直直接接测测量量和和不不等等精精度度直直接接测测量量不不确确定定度度的的评评定定方方法法与与步步骤骤。要要求求学学生生清
152、清楚楚等等精精度度测测量量、不不等等精精度度测测量量、权权的的概概念念；掌掌握握等等精精度度直直接接测测量量不不确确定定度度的的评评定定方方法法与与步步骤骤；掌掌握握不不等等精精度度直直接接测测量量不不确确定定度度的的评评定定方方法与步骤。法与步骤。主要内容：主要内容： 6-2451.等精度直接测量不确定度的评定：概述、评定等精度直接测量不确定度的评定：概述、评定方法与步骤、实例。方法与步骤、实例。2.不等精度直接测量不确定度的评定：概述、权不等精度直接测量不确定度的评定：概述、权的概念及其确定、已知标准差时不确定度的评的概念及其确定、已知标准差时不确定度的评定、已知测量值权时不确定度评定。定
153、、已知测量值权时不确定度评定。第一节第一节 等精度直接测量不确定度评定等精度直接测量不确定度评定 l等精度测量的定义等精度测量的定义l等精度直接测量不确定度评定等精度直接测量不确定度评定方法与步骤方法与步骤6-246等精度测量的定义等精度测量的定义6-2471.定义：等精度测量是指参与测量的五个要素均不发生变化定义：等精度测量是指参与测量的五个要素均不发生变化的条件下的多次重复测量。又可称为重复性测量等标准差的条件下的多次重复测量。又可称为重复性测量等标准差测量测量。2.特点：特点：等精度测量是一个理想的概念。等精度测量是一个理想的概念。等精度测量准确度一般等精度测量准确度一般只有一组测量值只
154、有一组测量值常用于重复性定量表示常用于重复性定量表示l测量数据的预处理测量数据的预处理l测量不确定度的评定测量不确定度的评定6-248等精度直接测量不确定度评定方法与步骤（一）测量数据的预处理（一）测量数据的预处理6-2491系统误差的消除系统误差的消除（1）找出产生系统误差的因素，从产生系统误差的根）找出产生系统误差的因素，从产生系统误差的根源上消除系统误差对测量的影响，使得到测量列中不源上消除系统误差对测量的影响，使得到测量列中不含系统误差。含系统误差。（2）针对产生系统误差的不同因素，设计测量方法，）针对产生系统误差的不同因素，设计测量方法，消除系统误差对测量结果的影响。消除系统误差对测
155、量结果的影响。（3）找出定值系统误差的大小，利用加修正值的方法，）找出定值系统误差的大小，利用加修正值的方法，使测量结果不含定值系统误差。使测量结果不含定值系统误差。6-2502判断粗大误差并将其剔除判断粗大误差并将其剔除利用第四章中叙述的粗大误差判别准则，判别测量列利用第四章中叙述的粗大误差判别准则，判别测量列中是否存在含有粗大误差的异常值，若发现异常值，中是否存在含有粗大误差的异常值，若发现异常值，应将其剔除，直到测量列中不包含异常值为止。应将其剔除，直到测量列中不包含异常值为止。（二）测量不确定度的评定（二）测量不确定度的评定6-251对于仅含有系统效应和随机效应所致不确定度的测量列，其
156、测量不确定度属A类不确定度，其评定方法和步骤如下：（二）测量不确定度的评定（二）测量不确定度的评定6-2521计算测量列算术平均值，即为测量结果的最佳估计值2计算残余误差vi，即（二）测量不确定度的评定（二）测量不确定度的评定6-2533计算的标准不确定度，即6-2544确定包含因子kp 包含因子k与测量列的分布特征、自由度和置信水准p有关。 置信水准p值一般采用99和95，多数采用95； 自由度n1； 测量列的分布在没有其它非正态的明显特征，原则上采用t分布。其kp值采用t分布临界值。而当自由度充分大而被测量可能值又接近正态分布时，可以近似认为k952，k993。当测量列非正态分布特征明显时
157、，按具体的分布查得k值。（二）测量不确定度的评定（二）测量不确定度的评定（二）测量不确定度的评定（二）测量不确定度的评定6-2555计算扩展不确定度U，即6测量结果的表达l 不等精度测量的概念不等精度测量的概念l 权的概念及其确定权的概念及其确定l 已知标准差时不确定度的评定已知标准差时不确定度的评定l 已知测量值权的不确定度评定已知测量值权的不确定度评定第二节不等精度直接测量不确定度的评定6-256不等精度测量的概念不等精度测量的概念1、定义：不等精度测量是指在测量过程中，参与测量的五个要素除被测对象不能改变外，其它四个要素发生改变所进行的测量。又称为不等标准差性测量。2、特点：l测量准确度
158、高l可靠性好l常用于高准确度的测量问题。l常用于复现性的定量表示6-2576-258一、权的概念一、权的概念 在等精度测量中，各测量结果的可靠程度可用一数值来表示，这个数值即称为该测量结果的“权”，记为w。测量结果的权可理解为：当它与另一些测量结果比较时，对该测量结果所给予的信赖程度。权的概念及其确定权的概念及其确定6-259二、二、权的确定权的确定 设被测量的一组不等权测量结果xi（i1，2，m），其方差分别为si2（i1，2，m），则它们的权wi与各自的方差成反比，即（i1，2，m） 显然，由上式知测量结果的权wi0。且知，具有相同方差s2的等精度测量列，它们的权相等。因此，等精度测量也是
159、等权测量。它是不等精度测量的特例。权的概念及其确定权的概念及其确定6-260三、有关权的几个公式三、有关权的几个公式1w1:w2:wn w1:w2:wnkw1:kw2:kwn 2对被测量进行m组等精度测量，wini （i1，2，m）权的概念及其确定权的概念及其确定四、单位权及其方差四、单位权及其方差1、定义：在不等精度测量中，称权w01为单位权，它所对应的方差为单位权方差，以s02表示。2、单位权方差：权等于1对应的方差为单位权方差，单位权方差是“单次测量方差”。3、单位权及其方差的作用通过单位权及其方差的概念，可以把不等精度测量的数据处理“看作是”等精度测量来处理。6-261权的概念及其确定
160、权的概念及其确定6-2621计算xi的权2计算xi最佳估计值已知标准差时不确定度的评定已知标准差时不确定度的评定6-2633计算的标准不确定度已知标准差时不确定度的评定已知标准差时不确定度的评定6-2644计算的扩展不确定度5测量结果报告 ， ，p；或， ，k。已知标准差时不确定度的评定已知标准差时不确定度的评定 例题例题6-265 利用四台测角仪测量同一工件的角度，所得数据及其标准差如下：x1384706，s10.2x2384711，s20.5x3384709，s30.4x4384708，s40.4求测量结果（p95）6-266 计算测量值计算测量值xi的权的权wi 令s24，得w1100，
161、w216，w3w425解答解答6-267 计算最佳估计值计算最佳估计值 38477.23解答解答6-268计算计算 的标准差的标准差 。 0.16解答解答6-269计算的扩展不确定度计算的扩展不确定度U k以自由度 4-13，p0.95查t分布表得k3.18所以U3.180.160.51解答解答6-270 测量结果报告测量结果报告 384707.20.5， 3，p0.95。解答解答已知测量值权的不确定度评定已知测量值权的不确定度评定 6-2711最佳估计值的确定6-2722 的标准不确定度评定（1）计算单位权方差s2（2） 的标准差 。已知测量值权的不确定度评定已知测量值权的不确定度评定 6-
162、2733 的扩展不确定度评定4测量结果报告 ， ，p已知测量值权的不确定度评定已知测量值权的不确定度评定 例题例题6-274对某物理量进行6次不等精度测量，测量数据见下表。求测量结果（p 0.95）序号123456xi/mV10.110.210.110.510.410.3wi23124517wixi20.230.610.121.041.651.5175vi-0.19-0.09-0.190.210.110.01wivi20.07220.02430.03610.08820.04840.00050.2697si0.160.130.230.160.120.106-275解：解：计算最佳估计值计算最佳估
163、计值 计算单位权方差要计算单位权方差要s2解答解答6-276 计算的标准差计算的标准差 计算的扩展不确定度计算的扩展不确定度U U =2.570.060.15mV解答解答6-277 测量结果报告测量结果报告 （10.30.2）mV， 5，p0.95解答解答第七章第七章间接测量不确定度的评定间接测量不确定度的评定 教学目的和要求：通通过过本本章章内内容容的的教教学学，使使学学生生掌掌握握等等精精度度直直接接测测量量和和不不等等精精度度直直接接测测量量不不确确定定度度的的评评定定方方法法与与步步骤骤。要要求求学学生生清清楚楚等等精精度度测测量量、不不等等精精度度测测量量、权权的的概概念念；掌掌握握
164、等等精精度度直直接接测测量量不不确确定定度度的的评评定定方方法法与与步步骤骤；掌掌握握不不等等精精度度直直接接测测量量不不确确定定度度的的评定方法与步骤。评定方法与步骤。主要内容：主要内容：间接测量不确定度评定研究的内容间接测量不确定度评定研究的内容1、间接测量不确定度的（合成）评定，、间接测量不确定度的（合成）评定，2、间接测量不确定度的分配、合成以及最佳测量、间接测量不确定度的分配、合成以及最佳测量方案的选择等问题加以讨论。方案的选择等问题加以讨论。3、间接测量不确定度的最佳测量方案的选择、间接测量不确定度的最佳测量方案的选择第一节第一节间接测量不确定度的评定间接测量不确定度的评定 间接测
165、量的概念间接测量的概念间接测量是通过直接测量与被测量之间有一定的函数间接测量是通过直接测量与被测量之间有一定的函数关系的其他量，再按照一定的函数关系计算出被测关系的其他量，再按照一定的函数关系计算出被测量的测量方法。因此，间接测量的量是直接测量所量的测量方法。因此，间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的函数。而间接测量的不确定度得到的各个测量值的函数。而间接测量的不确定度则是各个直接测量不确定度的合成不确定度。则是各个直接测量不确定度的合成不确定度。 一、间接测量标准不确定度评定的基本公式一、间接测量标准不确定度评定的基本公式1 1、间接测量的数学模型、间接测量的数学模型 与被测量有函数关
166、系的各个直接测与被测量有函数关系的各个直接测量值及其其他非测量值，又称输入量量值及其其他非测量值，又称输入量 间接测量值，又称输出量间接测量值，又称输出量 2、函数系统误差的计算公式、函数系统误差的计算公式 为各个输入量在该测量为各个输入量在该测量点点 处的误差传播系数处的误差传播系数 和和的量纲或单位相同，则的量纲或单位相同，则起到误差放大或缩小的作用起到误差放大或缩小的作用和和的量纲或单位不相同，则的量纲或单位不相同，则起到误差单位换算的作用起到误差单位换算的作用间接测量标准不确定度评定的基本公式间接测量标准不确定度评定的基本公式（1 1）线性函数）线性函数（2 2）三角函数形式）三角函数
167、形式系统误差公式系统误差公式当当当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测量值系统误差之和量值系统误差之和 （3）形如下式的函数）形如下式的函数例题例题用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高 ，弦长，工厂检验部门又用高准确度等级的卡尺量得弓高 ，弦长 试问车间工人测量该工件直径的系统误差，并求修正后的测量结果。 【解】【解】建立间接测量大工件直径的函数模型不考虑测量值的系统误差，可求出在处的直径测量值 车间工人测量弓高车间工人测量弓高、弦长的系统误差弦长的系统误差直径的系统误差直径的系统误差 故修正后的测量结果
168、故修正后的测量结果 计算结果误差传播系数为误差传播系数为 3 3、函数随机误差计算、函数随机误差计算变量中有随机误差，即变量中有随机误差，即泰勒展开，并取其一阶项作为近似值，可得泰勒展开，并取其一阶项作为近似值，可得 函数的一般形式函数的一般形式 得到得到 (1) (1) 函数标准差计算函数标准差计算 或或 第第i i个直接测得量个直接测得量 的标准差的标准差 第第i i个测量值和第个测量值和第j j个测量值之间的相关系数个测量值之间的相关系数 第第i i个测量值和第个测量值和第j j个测量值之间的协方差个测量值之间的协方差 第第i i个直接测得量个直接测得量 对间接量对间接量 在该测量点在该
169、测量点 处的误差传播系数处的误差传播系数 或(2)(2)相互独立的函数标准差计算相互独立的函数标准差计算 若各测量值的随机误差是相互独立相互独立的，相关项 令(3)三角形式的函数随机误差公式三角形式的函数随机误差公式函数形式为 函数随机误差公式为 例题例题用弓高弦长法间接测量大工件直径。车间工人用一把卡尺量得弓高，弦长，工厂检验部门又用高准确度等级的卡尺量得弓高，弦长。已知车间工人测量该工件弓高的标准差，弦长的标准差，试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的测量结果。 【解】【解】有故修正后的测量结果(4) (4) 相关系数估计相关系数估计a.a.相关系数对函数误差的影响相关系数对函数误差的影
170、响 反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误差的影响 函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的传播关系 函数随机误差公式当相关系数当相关系数b.相关系数的确定直接判断法可判断可判断 的情形的情形 断定断定 与与 两分量之间没有相互依赖关系的两分量之间没有相互依赖关系的影响影响 当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正负交替变化，反之亦然正负交替变化，反之亦然 与与 属于完全不相干的两类体系分量，属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作引起的误差分量与环境湿度引起如人员操作引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量的误差分量 与与 虽相互有影响，但其
171、影响甚微，视为虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不计的弱相关可忽略不计的弱相关 可判断 或 的情形 断定 与 两分量间近似呈现正的线性关系或负的线性关系 当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或减小，反之亦然 与 属于同一体系的分量，如用1m基准尺测2m尺，则各米分量间完全正相关 c.相关系数的统计计算公式根据 的多组测量的对应值 ，按如下统计公式计算相关系数 、 分别为 、 的算术平均值 二、评定方法与步骤二、评定方法与步骤1、间接测量最佳估计值的计算 2、合成标准不确定度的评定 （1）计算各标准不确定度分量ui（2）确定各标准不确定度分量ui的自由度；（3）若存在相关关系，则应设
172、法确定相关系数ij的值；（4）按式（715）计算合成标准不确定度uc，即3、扩展不确定度评定 （1）扩展不确定度由合成标准不确定度uc乘以包含因子k得到，记为U。即Ukuc用扩展不确定度作为测量不确定度，则测量结果表示为 ，k（2）当概率分布是正态分布时，包含因子kp由t分布的临界值tp（ ）确定。即kptp（ ）则扩展不确定度由合成标准不确定度uc乘以包含因子kptp（ ）得到，记为Up。即Upkpuc那末，用扩展不确定度作为测量不确定度，测量结果表示为 上式中，是合成标准不确定度uc的自由度，我们称之为有效自由度。记为 。 4、给出测量不确定度报告对间接测量不确定度进行评定后，应该给出测量
173、不确定度的最后报告。测量不确定度的最后报告的形式为，即 ，k或 例题例题体积测量的不确定度计算1、测量方法直接测量圆柱体的直径D和高度h，由函数关系式计算出圆柱体的体积由分度值为0.01mm的测微仪重复6次测量直径D和高度h，测得数据如下计算直径D和高度h的测量平均值得： mm， mm，则体积V的测量结果估计值为2、不确定度评定下面分别计算各主要因素引起的不确定度分量。（1）直径D的测量重复性引起的不确定度分量u1（2）高度h的测量重复性引起的不确定度分量u2（3）测微仪示值误差引起的不确定度分量u33、不确定度合成4、扩展不确定度 U0.95k0.95uc2.021.3mm32.6 mm35
174、、不确定度报告（1）用合成标准不确定度评定体积测量的不确定度，则测量结果为（2）用扩展不确定度评定体积测量的不确定度，则测量结果为 第二节第二节合成标准不确定度的分配合成标准不确定度的分配不确定度的合成不确定度的合成正问题正问题正问题正问题合成合成-对对已有的测控系统已有的测控系统进行的。进行的。直接测量不确定度评定直接测量不确定度评定间接测量不确定度评定间接测量不确定度评定不确定度的分配不确定度的分配逆问题逆问题逆问题逆问题分配分配-对对待设计的测控系统待设计的测控系统进行的。进行的。复杂对象及原有系统优化复杂对象及原有系统优化不确定度分配总体要求不确定度分配总体要求对于给定的系统的测量不确
175、定度对于给定的系统的测量不确定度uc，要求合，要求合理的确定各不确定度分量理的确定各不确定度分量ui（i=1,2,n）的）的值，且分配后的各分量值应满足，值，且分配后的各分量值应满足，分配实质分配实质合成标准不确定度合成标准不确定度: :u uc c( (合成不确定度合成不确定度) )， 从数学上看，已知量从数学上看，已知量未知量为未知量为m m 个，个， 不确定度不确定度不确定度不确定度u ui i uc(y)分配实质分配实质分配实质分配实质：不确定度传播律的：不确定度传播律的逆问题逆问题逆问题逆问题，即如何根据，即如何根据给定的给定的y y 的不确的不确定度，分配各直接被测量的不确定分量。
176、定度，分配各直接被测量的不确定分量。分析分析分析分析：测量模型：测量模型： 无法求解！无法求解！如何分配如何分配? ?横向横向同一层次同一层次等作用原则等作用原则纵向纵向不同层次不同层次微小误差准则微小误差准则横向等作用原则横向横向按按等作用原则等作用原则分配合成标准不确定度分配合成标准不确定度 所所谓谓等等作作用用原原则则，就就是是认认为为各各个个不不确确定定度度分分量量对对合合成成标准不确定度的标准不确定度的贡献贡献是相等的。是相等的。 若间接测量的函数关系为若间接测量的函数关系为 yf（x1，x2，xn）设各不确定度分量互不相关，即相关系数设各不确定度分量互不相关，即相关系数ij0u1u
177、2un横向等作用原则等作用原则分配的不合理性等作用原则分配的不合理性(1)当各分量分配的测量不确定度相等时，相应测量值的当各分量分配的测量不确定度相等时，相应测量值的实实验标准差并不相等验标准差并不相等，它与其传播系数成反比。有时可能相，它与其传播系数成反比。有时可能相差较大。差较大。(2)因此，对各分量不确定度因此，对各分量不确定度平均分配平均分配的结果，会造成对部的结果，会造成对部分测量的实现颇感容易，而对令一些测量的要求难以达到。分测量的实现颇感容易，而对令一些测量的要求难以达到。这样，势必需要用昂贵的高准确度等级的仪器，或者以增这样，势必需要用昂贵的高准确度等级的仪器，或者以增加测量次
178、数及测量成本为代价。加测量次数及测量成本为代价。因此，需要根据因此，需要根据可能性可能性对等作用原则分配结果进行调整。对等作用原则分配结果进行调整。按可能性调整分配后的不确定度按可能性调整分配后的不确定度调整的原则是：调整的原则是：（1）扩扩大大难难于于实实现现测测量量过过程程的的不不确确定定度度分分量量，降低降低其精度要求；其精度要求；（2）缩缩小小易易于于实实现现测测量量过过程程的的不不确确定定度度分分量量，提高提高其精度要求；其精度要求；（3）对其余的不确定度分量不予调整，保持）对其余的不确定度分量不予调整，保持其精度要求。其精度要求。 了解了解物理量的不确定度水平物理量的不确定度水平可
179、能性-热工计量基准基准目录基准目录基准名称基准名称测量范围测量范围测量不确定度测量不确定度13.8033K273.16K温度基准装置温度基准装置13.8033K273.16K0.22mK1.6mK(P=0.99)273.15K1234.93K(ITS-90)温度计量基准温度计量基准装置装置273.15K1234.93KUtp=0.22mKk=2.72;USn=1.3mKk=3.11;UZn=1.6mKk=2.98;UAl=2.6mKk=2.88;UAg=4.1mKk=2.921234.93K2473K温度基准装置温度基准装置1234.93K2473K0.120.65,（P=0.99）(0.11
180、0)MPa压力基准装置压力基准装置(0.110)MPa2.110-5(k=3)（02500）Pa压力基准装置压力基准装置（02500）Pa0.13Pa（0.02160）m3/h水流量基准装置水流量基准装置(0.02160)m3/h0.05%(k=2)(0.3120)m3/h气体流量基准装置气体流量基准装置(0.3120)m3/h0.2%(k=2)(0.11300)m3/hPVTt法气体流量基准装置法气体流量基准装置(0.11300)m3/h0.05%(k=2)可能性-热工计量标准标准目录标准目录标准装置名称标准装置名称测量范围测量范围不确定度不确定度温度灯工作基准装置温度灯工作基准装置(800
181、2200)(0.71.6)铂电阻温度计工作基准装置铂电阻温度计工作基准装置(0419.527)U(Rtp):0.4mk(k=2.7)Usn=4.0mk(k=2.65)Uzn=5.8mk(k=2.63)活塞式压力计工作基准装置活塞式压力计工作基准装置(-0.160）MPa510-5(k=3)长杆铂电阻温度计工作基准装置长杆铂电阻温度计工作基准装置(83.8058273.16)K分度点的扩展不确定度分度点的扩展不确定度(置信水平置信水平99%)水三相点水三相点:0.4mK;汞三相点汞三相点1.2mK;氩三相点氩三相点:1.2mK皂膜气体流量标准装置皂膜气体流量标准装置(01000)mL0.5%1%
182、一等补偿式微压计标准装置一等补偿式微压计标准装置(02500)Pa(01500)Pa0.4Pa;(15002500)Pa0.5Pa膨胀法真空工作基准装置膨胀法真空工作基准装置(810-41105)Pa2%0.3%光电高温计标准装置光电高温计标准装置(8003200)(1.15.9)音速喷嘴法气体流量标准装置音速喷嘴法气体流量标准装置(101300)m3/h0.2%中温一等铂电阻温度计标准装置中温一等铂电阻温度计标准装置(0419.527)扩展不确定度扩展不确定度:U(Rtp):2.0mK(k=2.7);Uzn:5.8mK(k=2.63);sn:4.0mK(k=2.65)玻璃膨胀法真空标准装置玻
183、璃膨胀法真空标准装置(10-3103)Pa5%一等活塞式压力真空计标准装置一等活塞式压力真空计标准装置(-0.1-0.01)MPa,(0.010.25)MPa0.02%二等液体压力计标准装置二等液体压力计标准装置(010)kPa0.05%一等活塞式压力计标准装置一等活塞式压力计标准装置(0.4250）MPa210-4铂铑铂铑10-铂热电偶固定点检定装置铂热电偶固定点检定装置(419.5271084.62)U=0.1(k=2.85)铜康铜热电偶标准装置铜康铜热电偶标准装置(-195.806+100）0.3一等气体活塞压力计标准装置一等气体活塞压力计标准装置(2350)kPa0.015%辐射温度计
184、检定装置辐射温度计检定装置（-501050）（1.56.6）真空漏率标准装置真空漏率标准装置(510-9210-4)pam3/s9%1%(k=3)验算调整后的不确定度验算调整后的不确定度不确定度分配调整以后，应先进行验算不确定度分配调整以后，应先进行验算若不满足要求若不满足要求，即计算所得的合成标准不确定度超出了给定的，即计算所得的合成标准不确定度超出了给定的合成标准不确定度允许范围，则应选择可能缩小的不确定度分合成标准不确定度允许范围，则应选择可能缩小的不确定度分量再予缩小，进一步量再予缩小，进一步提高提高其精度要求。其精度要求。若计算所得的合成标准不确定度较小若计算所得的合成标准不确定度较
185、小，可适当扩大难于实现测，可适当扩大难于实现测量过程的不确定度分量，进一步量过程的不确定度分量，进一步降低降低其精度要求。其精度要求。获得获得最佳的最佳的性价比。性价比。例题例例73按公式按公式WI2Rt测量电能，要求测量电能，要求W的相对合成标准不的相对合成标准不确定度确定度ucre11%，电流表最高准确度为电流表最高准确度为0.2级级，电阻和时间的，电阻和时间的测量使用具有较高准确度的仪器。试确定测量使用具有较高准确度的仪器。试确定I、R、t的相对标准的相对标准不确定度。不确定度。解：解：（1）确定灵敏系数）确定灵敏系数I的灵敏系数的灵敏系数c12；R的灵敏系数的灵敏系数c21；t的灵敏系
186、数的灵敏系数c31。（2 2）按等作用原则分配合成标准不确定度）按等作用原则分配合成标准不确定度 ucre1只有三个不确定度分量，它们是只有三个不确定度分量，它们是uIre1、uRre1、utre1。相相应的相对标准差为应的相对标准差为sIre1、sRre1、utre1，n3。等作用原则分配给各分量相对标准不确定度等作用原则分配给各分量相对标准不确定度0.20.2级级电流表的相对标准不确定度实际值为：电流表的相对标准不确定度实际值为： 按等作用原则分配按等作用原则分配不能满足不能满足测量要求，对电阻和测量要求，对电阻和时间测量分配的不确定度进行时间测量分配的不确定度进行缩小缩小调整调整所以相对
187、合成标准不确定度的分配结果所以相对合成标准不确定度的分配结果sIre10.6%、sRre10.56%、stre10.56%是合理的。是合理的。 纵向分配纵向分配微小误差准则微小误差准则微小误差：微小误差： 并不是指误差的绝对大小，并不是指误差的绝对大小，而是而是根据误差相对比较得出的根据误差相对比较得出的根据误差相对比较得出的根据误差相对比较得出的概念概念概念概念，如果一个直接被测量的，如果一个直接被测量的测量误差与总误差（合成）相测量误差与总误差（合成）相比，已小到可以忽略的程度，比，已小到可以忽略的程度，则称该误差为微小误差。则称该误差为微小误差。根据误差传递定律根据误差传递定律, ,有有
188、 忽略微小误差忽略微小误差后，有后，有 即：即： 考虑测量不确定度为考虑测量不确定度为 1 1 位有效数字位有效数字情况，情况， 应有应有 ( (a)a)( (b)b)由（由（a a）、（）、（b b）式可得，）式可得， 代入（代入（c c）式）式 ，uk微小误差。微小误差。( (a)a)( (b)b)( (c)c)，uc合成（总）误差。合成（总）误差。(1)当测量不确定度的当测量不确定度的有效数字取有效数字取1位位时，在此情况下若某个分量时，在此情况下若某个分量Uk(1/3)Uc，则，则Uk可视为微小分量。可视为微小分量。(2)当测量不确定度的当测量不确定度的有效数字取有效数字取2位位，在此
189、情况下若某个分量，在此情况下若某个分量Uk(1/10)Uc，则，则Uk可视为微小分量。可视为微小分量。333意义：意义：选择高一级精度的选择高一级精度的标准仪表标准仪表；在检定装置的配置时也是根据微小误差取舍准则，进行各部分误差的分配；使最后得到的装置的扩展不确定度(k一般取3)为被检表允许误差的1/31/10。测控系统设计；测控系统设计；系统系统纵向不确定度的分配简化不确定度计算过程。简化不确定度计算过程。忽略某些不确定度分量值例如：某一压力测量系统，构成如下图所示，设计一个相对测量不例如：某一压力测量系统，构成如下图所示，设计一个相对测量不确定度为确定度为0.5%0.5%的测量系统。的测量
190、系统。解：解：结论：方案一、二均符合设计要求结论：方案一、二均符合设计要求 而方案二的成本高！而方案二的成本高！ 设计水平不高！设计水平不高！原因：准确度原因：准确度0.2%0.2%的压力变送成本高于的压力变送成本高于0.5%0.5%的变送器。的变送器。取不确定度为0.5%的变送器，A/D精度为0.15%（相对于传感器可忽略），取10位A/D,1/1024的精度；单片机的计算精度高于0.05%（相对于A/D可忽略）方案一方案一方案二方案二变送器0.2%，A/D取8位，1/256=0.4%，忽略软件不确定度，则合成不确定度为：用涡街流量计测量管道中的空气质量流量不确定度1% 。,设计合成测量模型
191、分析分析已知已知: :综合举例求：求：权重权重: :同理同理: :在传感器层次上，如，按等作用原则等作用原则等作用原则等作用原则处理：综合举例：用涡街流量计测量管道中的空气的质量流量,不确定度1% 。测量模型 最佳分配：根据实际可能性，调整分配结果：最佳分配：根据实际可能性，调整分配结果：最佳分配：根据实际可能性，调整分配结果：最佳分配：根据实际可能性，调整分配结果：验算在硬件层面上， 是频率信号，可认为没有误差；取12位 A/D 转换器误差:1/4096=0.025%， 根据微小误差准则微小误差准则设计A/D综合举例：用涡街流量计测量管道中的空气质量流量,不确定度1% 。测量模型A/D误差：
192、相对于变送器层面的误差，认为可以忽略。软件测量层面上用浮点运算，可忽略误差。综上，能够实现1%的设计目标，且成本不高。合成标准不确定度的分配正问题正问题正问题正问题逆问题逆问题逆问题逆问题第三节 最佳测量方案的确定若间接测量的函数关系为yf（x1，x2，xn）一、最佳测量函数公式的选择 在间接测量中，如果可由不同的函数公式来表示间接测量量则应选取直接测量量的数目最少的函数公式。若不同的函数公式包含的直接测量量的数目相同，则应选择不确定度较小的直接测量量的函数公式。 例题测量某箱体零件的轴心距L，试选择最佳测量方案。根据图示，测量轴心距有三种方法： 例题（1）测量两轴直径d1、d1和外尺寸L1，
193、其函数式为（2）测量两轴直径d1、d1和内尺寸L2，其函数式为（3）测量外尺寸L1和内尺寸L2，其函数式为若已知测量的实验标准差分别为sd15m，sd27m sL18m，sL210m由式（714）可知上述三种方法的合成标准不确定度分别为第一种方法 第二种方法 第三种方法 二、灵敏系数最小选择 例题用弓高弦长法测量直径D，已知其函数关系式为 试确定最佳测量方案。测量直径的合成标准不确定度uc为 要使测量直径的合成标准不确定度uc为最小，必须1、使灵敏系数 或为最小 2、使灵敏系数 4-348第八章第八章线性参数的最小二乘法处理线性参数的最小二乘法处理 教学目的和要求：通通过过本本章章内内容容的的
194、教教学学，使使学学生生对对间间接接测测量量不不确确定定度度的的评评定定、合合成成标标准准不不确确定定度度的的分分配配和和最最佳佳测测量量方方案案的的设设计计有有一一个个系系统统和和全全面面的的了了解解。要要求求学学生生能能够够熟熟练练的的进进行行间间接接测测量量数数据据的的不不确确定定度度评评定定；掌掌握握合合成成标标准准不不确确定定度度分分配配的的基基本本原原则则；初初步步掌掌握最佳测量方案设计的方法握最佳测量方案设计的方法。主要内容：1 1间接测量不确定度的评定：评定的基本公式、间接测量不确定度的评定：评定的基本公式、评定方法与步骤、实例。评定方法与步骤、实例。2 2合成标准不确定度的分配
195、：按等作用原则分配合成标准不确定度的分配：按等作用原则分配合成标准不确定度、按可能性调整分配后的不合成标准不确定度、按可能性调整分配后的不确定度、验算调整后的不确定度。确定度、验算调整后的不确定度。3. 3. 最最佳佳测测量量方方案案的的设设计计：最最佳佳测测量量函函数数公公式式的的选选择择、灵敏系数最小选择。灵敏系数最小选择。第一节最小二乘法原理第一节最小二乘法原理 最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻找最可信赖值的问题。找最可信赖值的问题。 对某量进行测量，得到一组数据对某量进行测量，得到一组数据 , ,不存不存在系统误差和粗大误差，相互独立
196、，且服从正态在系统误差和粗大误差，相互独立，且服从正态分布分布, ,其标准差为其标准差为 测得值落入的概率测得值落入的概率 测得值测得值 同时出现的概率为同时出现的概率为 最可信赖值满足最可信赖值满足 权因子权因子 虽然是在正态分布下导出最小二乘法，实际上，虽然是在正态分布下导出最小二乘法，实际上，按误差或残差平方和为最小进行统计推断已形成按误差或残差平方和为最小进行统计推断已形成一种准则。一种准则。第一节最小二乘法原理第一节最小二乘法原理线性参数的最小二乘法处理一般地，线性函数的数学模型为一般地，线性函数的数学模型为Yf（X，a）那么，线性函数的测量方程为那么，线性函数的测量方程为(8-1)
197、其相应的估计量为8-2相应的残余误差方程为 8-3第二节正规方程组合测量基本概念如为精密测定如为精密测定1 1号、号、2 2号和号和3 3号电容器的电容量号电容器的电容量 测得值待解的数学模型 待求量为了获得更可靠的结果，测量次数总要多于未知参数的数目组合测量，指直接测量一组被测量的不同组合值，组合测量，指直接测量一组被测量的不同组合值，从它们相互所依赖的若干函数关系中，确定出各被从它们相互所依赖的若干函数关系中，确定出各被测量的最佳估计值。测量的最佳估计值。 一、等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程 线性参数的残余误差方程为线性参数的残余误差方程为正规方程组可写为正规方程组可写为 矩阵
198、形式矩阵形式 例例81在不同温度下测定铜棒的长度如下表，试估计在不同温度下测定铜棒的长度如下表，试估计0时的铜棒长度时的铜棒长度y0和铜的线膨胀系数和铜的线膨胀系数a。i123456ti102025304045li2000.362000.722000.802001.072001.482001.60解 测量铜棒长度的数学模型是yy0（1at）由此列出测量方程yiy0（1ati） （i1，2，6）可得残余误差方程viliy0（1ati） （i1，2，6）其中 li在温度ti下铜棒长度的测量值； a铜的线膨胀系数。令y0a，ay0b为待估计的两个参数，则残余误差方程可写为vili（atib） （i1
199、，2，6）为了方便计算，将数据列表如下ititi22limmti li（mm）11010020003620003.622040020007240014.432562520008050020.043090020010760032.1540160020014880059.2645202520016090072.0170565012006.03340201.3根据残余误差方程，按式（根据残余误差方程，按式（8 82222）写出正规方程）写出正规方程将表中计算出的正规方程的系数和常数代入正规方程，则有解之解之a1999.97（mm）b0.03654（mm）即即 y01999.97（mm）若按矩阵形式计
200、算，则有若按矩阵形式计算，则有CC1AT L于是可得于是可得 所以a1999.97（mm）b0.03654（mm）即y01999.97（mm） 因此，铜棒长度因此，铜棒长度y随温度随温度t的线性变化的规律为的线性变化的规律为y1999.97（10.0000183t）mm二、不等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程二、不等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程不等精度测量时线性参数的残余误差方程与等精度相同，不同之处在于进行不等精度测量线性参数最小二乘法处理时，要取加权残余误差平方和为最小，即 不等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程不等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程 线性测
201、量方程组线性测量方程组线性测量方程组的一般形式为 测量残差方程组 含有随机误差矩阵形式最小二乘法原理式最小二乘法原理式 求导求导正规方程组正规方程组 正规方程组解正规方程组解 不等权不等权正规方程组 不等精度测量线性参数最小二乘法处理时，要取加权残余误差平方和为最小，即为简化表达式，不妨令 将加权残余误差的平方和分别对各x1，x2，xt求偏导数，并令其等于零，即上列各式的二阶偏导数恒正，即由此可知，加权残余误差的平方和的极小值存在。而由一阶偏导数等于零所构成的线性方程组为（828）线性方程组（线性方程组（828）称为不等精度测量线性参数最小二）称为不等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程。
202、这是一个乘法处理的正规方程。这是一个t元线性方程组，在其系数元线性方程组，在其系数行列式不等于零时，有唯一确定的解。这一确定的解满足最行列式不等于零时，有唯一确定的解。这一确定的解满足最小二乘法原理式（小二乘法原理式（87）、是未知参数的最佳估计量。）、是未知参数的最佳估计量。线性方程组（线性方程组（828）在形式上有如下特征）在形式上有如下特征：1沿方程组主对角线上分布的项的系数（j1，2，t） 都是正数；2以主对角线为轴对称分布的项的系数相等，如若不等精度测量数据若不等精度测量数据l1，l2，ln的权分别为的权分别为w1，w2，wn，将不等精度测量的正规方程式（，将不等精度测量的正规方程式
203、（828）单位权化，单位权化，即令即令于是，不等精度测量的正规方程式（828）转化为（829）显然，正规方程式（829）在形式上与等精度测量的正规方程式（822）完全一样。把不等精度测量的正规方程（828）各式分别展开，整理后可得 与式（823）类似的结果三、非线性参数最小二乘法处理的正规方程三、非线性参数最小二乘法处理的正规方程 一一般般情情况况下下，若若测测量量方方程程 Yf（X1，X2，Xn）为为非非线性函数，则测量的残余误差方程线性函数，则测量的残余误差方程 可以按线性参数的情形列出正规方程并解出可以按线性参数的情形列出正规方程并解出r（r1，2，t），），进而求得相应的估计量进而求得
204、相应的估计量xr（r1，2，t）。）。四、最小二乘原理与算术平均值原理的关系四、最小二乘原理与算术平均值原理的关系最小二乘法原理与算术平均值原理是一致的，算术最小二乘法原理与算术平均值原理是一致的，算术平均值原理可看成最小二乘法原理的特例平均值原理可看成最小二乘法原理的特例 第三节 不确定度评定一、测量数据的不确定度评定一、测量数据的不确定度评定 （一）等精度测量数据的不确定度评定（一）等精度测量数据的不确定度评定 根据根据2分布的性质，有分布的性质，有 （二）不等精度测量数据的不确定度评定（二）不等精度测量数据的不确定度评定 测量数据的单位权方差的无偏估计为单位权实验方差测量数据的单位权方差
205、的无偏估计为单位权实验方差二、最小二乘估计量的不确定度评定设有正规方程设有正规方程 1 2 对不等精度测量可参照此步骤进行对不等精度测量可参照此步骤进行第四节 组合测量数据的最小二乘法处理组合测量是通过直接测量待测参数的估计量（一般采用等精组合测量是通过直接测量待测参数的估计量（一般采用等精度测量），然后对这些数据进行处理，从而求得待测参数的度测量），然后对这些数据进行处理，从而求得待测参数的估计量，并给出其不确定度。一般地，组合测量数据用最小估计量，并给出其不确定度。一般地，组合测量数据用最小二乘法进行处理，这是最小二乘法在精密测量中的一种重要二乘法进行处理，这是最小二乘法在精密测量中的一种
206、重要应用。应用。 要求检定丝纹尺要求检定丝纹尺0 0，1 1，2 2，3 3刻线间的距离刻线间的距离。已知用组合测量法测得图所示刻线间隙的各种组。已知用组合测量法测得图所示刻线间隙的各种组合量。试用最小二乘法求及其标准偏差。合量。试用最小二乘法求及其标准偏差。 例题计算步骤【解】【解】列出测量残差方程组列出测量残差方程组 解出即计算结果计算结果代入残差方程组可得 估计的标准差估计的标准差估计的标准差 组合测量的概念：组合测量的概念：组合测量是指直接测量各被测量的组合量，将组合量的测得组合测量是指直接测量各被测量的组合量，将组合量的测得值和对应的组合量一一列出方程，然后通过解测量方程组得值和对应
207、的组合量一一列出方程，然后通过解测量方程组得到各被测量的量值，并给出其不确定度。到各被测量的量值，并给出其不确定度。组合测量数据用最小二乘法进行处理，这是最小二乘法在精组合测量数据用最小二乘法进行处理，这是最小二乘法在精密测量中的一种重要应用。密测量中的一种重要应用。组合测量既可提高测量的准确度，又可减少测量的工作量，组合测量既可提高测量的准确度，又可减少测量的工作量，常用于精密测试和计量检定之中常用于精密测试和计量检定之中用组合测量检定三段刻线间距，求检定结果用组合测量检定三段刻线间距，求检定结果。如图如图81所示，要求检定所示，要求检定A、B、C、D间的距离间的距离x1、x2、x3。x3A
208、BCDx1x2l3l1l2l6l4l5图81图82直接测量刻线间距的各种组合量（见图82），得到如下测量数据：l11.015mml20.985mml31.020mml42.016mml51.981mml63.032mm列出残差方程则正规方程为iai1ai2ai3liai12ai1 ai2ai1 ai3ai1 liai22ai2 ai3ai2 liai32ai3 li11001.0151001.0150000020100.9850000100.9850030011.020000000011.02041102.0161102.016102.0160050111.9810000111.98111.9
209、8161113.0321113.032113.03213.0323216.063428.01436.033将表中正规方程的系数与常数代入得将表中正规方程的系数与常数代入得解正规方程得解正规方程得这就是刻线间距这就是刻线间距AB、BC、CD的最佳估计量。的最佳估计量。 计算残余误差于是于是直接测量数据实验标准差设不定乘数设不定乘数不定乘数的方程组不定乘数的方程组解得解得d110.5，d220.5，d330.5。估计量估计量x1、x2、x3的标准不确定度的标准不确定度 ；。4-409第第9 9章章 回归分析回归分析 教学目的和要求：通通过过本本章章内内容容的的教教学学，使使学学生生掌掌握握一一元元
210、线线性性回回归归方方程程的的求求法法、回回归归方方程程的的方方差差分分析析与与显显著著性性检检验验方方法法；了了解解一一元元非非线线性性回回归归方方程程的的求求解解思思路路及及回回归归曲曲线线效效果果和和不不确确定定度度评评定定；了了解解多多元元线线性性回回归归方程的求法和显著性检验与不确定度评定方法。方程的求法和显著性检验与不确定度评定方法。 主要内容：主要内容：1 1 回归分析的基本概念：概念、回归分析的主要内容。回归分析的基本概念：概念、回归分析的主要内容。2 2 一一元元线线性性回回归归：一一元元线线性性回回归归方方程程的的求求法法、回回归归方方程程的的方方差差分分析析与与显显著著性性
211、检检验验、重重复复实实验验判判断断回回归归方方程程拟拟合合性性、回回归归直线的简便求法。直线的简便求法。3 3 一一元元非非线线性性回回归归：回回归归曲曲线线类类型型的的选选取取和和检检验验、化化非非线线性性回归为线性回归、回归曲线效果与不确定度评定。回归为线性回归、回归曲线效果与不确定度评定。4 4 多多元元线线性性回回归归：二二元元线线性性回回归归方方程程的的求求法法、多多元元线线性性回回归归、多元线性回归的显著性检验与不确定度评定。多元线性回归的显著性检验与不确定度评定。5. 5. 线性递推回归：回归系数的递推计算公式、计算步骤。线性递推回归：回归系数的递推计算公式、计算步骤。 第一节基
212、本概念基本概念 变量间的关系可分为函数关系和相关关系。本节介绍这两种关系，并对回归分析的一些基本概念作一个简要的介绍。变量间的函数关系 1、是一一对应的确定关系2、设有两个变量x 和y，变量x 随变量y 一起变化，并完全依赖于x ，当变量x 取某个数值时, y 依确定的关系取相应的值，则称y 是x 的函数，记为y =f(x)，其中x 称为自变量，称y 为因变量v如以速度v作匀速运动的物体，走过的距离s与时间t之间，有如下的函数关系 s=vt 变量间的相关关系变量间的相关关系 1 1、变量间关系不能用函数关系精确表达、变量间关系不能用函数关系精确表达3 3、当变量、当变量x取某个数值时，变量取某
213、个数值时，变量y的值可能有几个的值可能有几个2 2、一个变量的取值不能由另一个变量惟一确定、一个变量的取值不能由另一个变量惟一确定v如人的如人的身高身高( (y) )与体重与体重( (x ) )之间的关系之间的关系 什么是回归分析？什么是回归分析？v3 3、利用所求的关系式，根据一个或几个变量的值，、利用所求的关系式，根据一个或几个变量的值，预测或控制另一个变量的值，并要知道这种预测或预测或控制另一个变量的值，并要知道这种预测或控制可达到的精密度。控制可达到的精密度。 一种处理变量间相关关系的数理统计方法。一种处理变量间相关关系的数理统计方法。他主要解决以下几个问题他主要解决以下几个问题v1
214、1、从从一一组组样样本本数数据据出出发发，确确定定变变量量之之间间的的数数学学关关系式系式v2 2、对对这这些些关关系系式式的的可可信信程程度度进进行行各各种种统统计计检检验验，并并从从影影响响某某一一特特定定变变量量的的诸诸多多变变量量中中找找出出哪哪些些变变量量的影响显著，哪些不显著的影响显著，哪些不显著回归模型的类型回归模型回归模型一元回归一元回归线性线性回归回归非线性非线性回归回归线性线性回归回归非线性非线性回归回归多元回归多元回归一个自一个自变量变量两个及两个两个及两个以上自变量以上自变量回归模型1、回答“变量之间是什么样的关系？”2、方程中运用q1个数字的因变量q1个或多个数字的或
215、分类的因变量3、主要用于预测或估计第二节第二节一元线性回归一元线性回归一元线性回归模型概念一元线性回归模型概念1、当只涉及一个自变量时称为一元回归，若因变量与自变量之间为线性关系时称为一元线性回归3、描述因变量如何依赖于自变量和误差项的方程称为回归模型。2、对于具有线性关系的两个变量，可以用一个线性方程来表示它们之间的关系由实验获得两个变量和的一组样本数据，构造如下一元线性回归模型 一元线性回归模型概念一元线性回归模型概念 v模型中，是的线性函数部分加上误差项v线性部分反映了由于的变化而引起的变化v误差项是随机变量反映了除和之间的线性关系之外的随机因素对的影响是不能由和之间的线性关系所解释的变
216、异性v和称为模型的参数1、误差项是一个期望值为的随机变量，即。对于一个给定的值，的期望值为2、对所有的值，的方差都相同3、误差项是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。即独立性意味着对于一个特定的值，它所对应的与其它值所对应的不相关对于一个特定的值，它所对应的值与其它值所对应的不相关一元线性回归模型基本假定一元线性回归模型基本假定 1、描述的平均值或期望值如何依赖于的方程称为回归方程2、简单线性回归方程的形式如下方程的图示是一条直线，因此也称为直线回归方程是回归直线在轴上的截距，是当时的期望值是直线的斜率，表示当每变动一个单位时，的平均变动值回归方程概念要点1、总体回归参数和是未知的，必须利
217、用样本数据去估计他们2、用样本统计量和代替回归方程中的未知参数和，这时就得到了经验的回归方程3、一元线性回归的经验的回归方程是回归直线在轴上的截距是直线的斜率，它表示对于给定的的值，是的估计值，也表示当每变动一个单位时，的平均变动值经验的回归方程式中根据最小二乘法的要求，可得和的计算公式和的计算公式二、回归效果二、回归效果F F检验检验偏差平方和的分解偏差平方和的分解测量值之间的差异来源于两个方面由于自变量取值的不同造成的除以外的其它因素(如对的非线性影响、测量误差等)的影响 对一个具体的观测值来说，变异的大小可以通过该实际观测值与其均值之差来表示偏差平方和的分解图示偏差平方和的分解图示两端平
218、方后求和得到总偏差平方和回归平方和 残余平方和 三个平方和的关系三个平方和的关系自由度计算公式在总的偏离中除了对线性影响之外的其它因素而引起变化的大小 在总的偏差中因和的线性关系而引起变化的大小 总偏差平方和回归平方和 残余平方和 意义反映因变量的n个观测值与其均值的总偏差三个平方和的意义三个平方和的意义回归方程的显著性检验1、检验自变量和因变量之间的线性关系是否显著2、具体方法是将回归平方和和残余平方和加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著如果是显著的，两个变量之间存在线性关系如果不显著，两个变量之间不存在线性关系2、计算检验统计量 3、在给定显著性水平 下，由分布表查得临界值 。
219、4、作出决策。若，拒绝，则认为该回归效果显著。反之，则不显著。即检验步骤1、提出假设线性关系不显著估计残余标准误差4、残余标准差的计算公式 1、表征除了与线性关系之外其它因素影响值偏离的大小 2、反映实际观测值在回归直线周围的分散状况3、从另一个角度说明了回归直线的拟合程度偏离回归残余总和平方和自由度标准差 统计量置信限 0.10.05 0.01显著否显著否 显著否方差分析表三、回归系数的不确定度与回归三、回归系数的不确定度与回归方程的稳定性方程的稳定性回归系数的不确定度回归系数的不确定度1、回归系数的不确定度是描述回归系数的分散性2、回归系数和的标准不确定度的计算公式3、回归系数和的协方差的
220、计算公式式中，是残余标准差回归方程的稳定性回归方程的稳定性1、回归值的波动大小，波动愈小，回归方程的稳定性愈好。 2、回归值的波动大小的计算公式标准不确定度来表示。回归值的波动大回归值的波动大小不仅与剩余标小不仅与剩余标准差准差s s有关，而且有关，而且还取决于试验次还取决于试验次数数n n及自变量取值及自变量取值范围。范围。 提高回归方程中各估计量稳定性的方法提高回归方程中各估计量稳定性的方法(1) 提高观察数据本身的准确度(2) 尽可能增大观测数据中自变量的取值范围 (3) 增加观测次数 (4) 减小残余误差，即拟定合适回归方程使其尽可能合乎实际数据的变化规律 四、回归预测值及其不四、回归
221、预测值及其不确定度确定度回归预测值回归预测值及其不确定度及其不确定度、利用估计的回归方程，对于自变量的一个给定值，求出因变量的一个估计值，就是回归的预测值的标准不确定度来表述的扩展不确定度来表述2、预测值与实际值之间存在偏差，因此给出预测值时，还必须给出其不确定度。有以下两种表示方式例题例题试对下表所列实验数据做直线拟合，并作方差分析和预测。 1802001451651231101912051041001411351511801902201341351441601101301531451411251901901081101551602042351902101581301771851501701
222、61145107115177205121125165195180240143160151135154150127135147155116100115120【解】直线拟合计算故有直线拟合方差分析 偏离回归残余总和平方和自由度标准差 统计量置信限 0.01高度显著41037905750094323316.8145.07.50预测 对于，查分布表得 故有回归直线及预测区间回归直线及预测区间第三节第三节 一元非线性回归一元非线性回归非线性回归分析5、 比较不同模型拟合所得的原剩余平方和，选最小者即为所求。 2、选择回归模型。根据实验数据散点图分布的特点以及所掌握的物理规律，选择可线化函数的模型。3、作
223、线性化变量变换后，按一元线性回归问题计算待定的系数、原的剩余平方和。、如果对拟合结果不满意，再选择其它模型，重复以上步骤 。1、因变量与自变量之间不是线性关系几种常见的非线性模型几种常见的非线性模型指数函数指数函数1、基本形式：2、线性化方法两端取对数得令、图像几种常见的非线性模型几种常见的非线性模型指数函数指数函数1、基本形式：2、线性化方法两端取对数得令、图像几种常见的非线性模型几种常见的非线性模型幂函数幂函数1、基本形式：2、线性化方法两端取对数得令、图像几种常见的非线性模型几种常见的非线性模型双曲线函数双曲线函数1、基本形式：2、线性化方法令、图像几种常见的非线性模型几种常见的非线性模
224、型S型曲线型曲线1、基本形式：2、线性化方法令、图像几种常见的非线性模型几种常见的非线性模型对数函数对数函数1、基本形式：2、线性化方法令、图像第四节第四节多元线性回归多元线性回归一、多元线性回归方程一、多元线性回归方程多元线性回归模型概念要点1、一个因变量与两个及两个以上自变量之间的回归2、描述因变量如何依赖于自变量和误差项的方程称为多元线性回归模型3、涉及个自变量的多元线性回归模型可表示为是参数是被称为误差项的随机变量是的线性函数加上误差项说明了包含在里面但并不能被个自变量的线性关系所解释的变异性多元线性回归模型概念要点对于组实际观测数据，多元线性回归模型可表示为式中多元线性回归模型基本假
225、定多元线性回归模型基本假定1、自变量是确定性变量，不是随机变量2、随机误差项的期望值为，且方差都相同3、误差项是一个服从正态分布的随机变量，即，且相互独立多元线性回归方程概念要点多元线性回归方程概念要点1、描述的平均值或期望值如何依赖于的方程称为多元线性回归方程2、多元线性回归方程的形式为称为偏回归系数表示假定其他变量不变，当每变动一个单位时，的平均变动值多元线性回归的估计多元线性回归的估计(经验经验)方程方程1、总体回归参数是未知的，利用样本数据去估计2、用样本统计量代替回归方程的未知数，即得到估计的回归方程是的估计值是的估计值参数的最小二乘估计计算过程计算过程 二、线性回归效果检验二、线性
226、回归效果检验回归方程的显著性检验回归方程的显著性检验1、检验因变量和所有的自变量之间的是否存在一个显著的线性关系，也被称为总体的显著性检验2、具体方法是将回归平方和和残余平方和加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著如果是显著的，因变量与自变量之间存在线性关系如果不显著，因变量与自变量之间不存在线性关系检验的检验的步骤步骤2、计算检验统计量 1、提出假设线性关系不显著至少有一个不等于 3、在给定显著性水平 下，由分布表查得临界值 4、作出决策。若，拒绝，则认为该回归效果显著。反之，则不显著。偏离回归残余总和平方和自由度标准差统计量置信限 显著否方差分析表方差分析表 三、每个自变量在多元
227、回归中所三、每个自变量在多元回归中所起的作用起的作用 1、一个多元线性回归方程是显著的，并不意味着每个自变量 对因变量的影响都是重要的,可能其中有某些变量的作用很小。 2、用偏回归平方和来考察每个特定因素在总回归中所起的作用偏回归平方和偏回归平方和回归平方和，反映了所有 个回归自变量对因变量 的总影响 舍弃某，其余个回归自变量可拟合出元线性回归方程，其相应的回归平方和，它反映了其余个回归自变量所起的总作用。 表示出单独对回归因变量的影响 偏回归平方和的实用计算公式偏回归平方和的实用计算公式 原元回归的正规方程系数矩阵L的逆矩阵 中的第列元素 回归方程的回归系数1、直接利用定义式计算偏回归平方和
228、非常繁杂2、可利用实用公式计算分析步骤分析步骤(1) 计算每个自变量的偏回归平方和(2) 凡是偏回归平方和大的变量，一定是对有重要影响的因素。可用残余平方和对它进行检验。计算统计量当时，则认为变量对的影响在水平上显著 (3) 偏回归平方和小的变量，不一定不显著。但偏回归平方和最小的那个变量，肯定是所有变量中对作用最小的一个，假如此时变量检验结果又不显著，那可以将该变量剔除。剔除一个变量后，得重新建立元新回归方程，计算回归系数和偏回归平方和。 在对的多元回归中，当取消一个变量后，个变量新的回归系数（），与原来的回归系数之间有如下关系 新老回归系数间的关系，原元回归的正规方程系数矩阵L的逆矩阵 中
229、的元素 第五节第五节 线性递推回归线性递推回归一、回归系数的递推计算公式一、回归系数的递推计算公式 设回归模型为yb0b1x1bMxM系数矩阵引理：设A、C和A+BCD为非奇异方阵，则下列等式成立（A+BCD）-1A-1A-1B（C-1DA-1B）-1DA-1将XN+1的展开式代人CN+1BN+1=N+1将CN+1、BN+1的展开式代入bN+1bN+1CN+1BN+1=CNBNCNZ(1ZTCNZ)-1ZTCNBNCNZyN+1CNZ(1ZTCNZ)-1ZTCNZyN+1将上式后两项归并整理CNZ（1+ZTCNZ）-1（1+ZTCNZ）ZTCNZyN+1CNZ（1+ZTCNZ）-1yN+1将上
230、式代人bN+1bN+1CNBNCNZ（1ZTCNZ）-1（yN+1ZTCNBN)bNCNZ（1+ZTCNZ）-1（yN+1ZTbN）令 kN+1（1ZTCNZ）-1 CNZ 则 bN+1bNkN+1（yN+1ZTbN）将kN+1代入CN+1CN+1CNkN+1ZTCN此即回归系数递推解的计算公式 二、计算步骤二、计算步骤1、计算b和C的初始值bN、CN2、计算kN+13、计算回归系数矩阵bN+14、重复2至3步，直至数据采样本结束，这样把每增加一组数据后的回归方程系数全部解算出来。 例题例题自动补偿的水准仪居中误差与温度和湿度的变化量呈线性相关关系，测量时仪器对上述原因产生的误差自动修正，修正模型的计算采用递推回归方法，表中的数据为一个样本，现进行递推回归计算。 1、计算b、C的初始值bN、CN设回归模型为yb0b1x1b2x2取前4组数据计算bN、CN ,即：N4，M2初始的回归方程为y0.52861.5143x10.7143x22、计算k5 k5（1+ZTC4Z）-1 C4Z3、计算回归系数矩阵b5和C5 b5b4b C5 C4C4、计算第二次新增数据后的回归系数 第二次新增加的数据为y65.0 ZT（165.8）计算k6k6（1ZTC5Z）-1 C5Z计算回归系数矩阵b6b6b5b第二次新增测量数据后的回归方程为y0.373671.02468x10.25046x2
