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1、二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分第四节第四节常义积分常义积分积分限有限积分限有限被积函数有界被积函数有界推广推广一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分反常积分反常积分 ( (广义积分广义积分) )反常积分反常积分一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分引例引例. 曲线曲线和直线和直线及及 x 轴所围成的开口曲轴所围成的开口曲边梯形的面积边梯形的面积 可记作记作其含义可理解为其含义可理解为 定义定义1. 设设若若存在存在 , 则称此极限为则称此极限为 f (x) 的无穷限的无穷限反常积分反常积分, 记作记作这时称反常积分这时称反常积分收敛收敛 ;如果上述极限不存在如果上述极限不存在
2、,就称反常积分就称反常积分发散发散 .类似地类似地 , 若若则定义则定义则定义则定义( c 为任意取定的常数为任意取定的常数 )只要有一个极限不存在只要有一个极限不存在 , 就称就称发散发散 .无穷限的反常积分也称为无穷限的反常积分也称为第一类反常积分第一类反常积分. 引入记号引入记号则有类似牛则有类似牛 莱公式的计算表达式莱公式的计算表达式 :解解 . 3.3.例题例题 例例1 计算广义积分计算广义积分 . 这个广义积分值的几这个广义积分值的几时，图时，图5 57 7中阴影部中阴影部其面积却有极限值其面积却有极限值1 1 .分向左无限延伸，但分向左无限延伸，但何意义是何意义是, ,当当图57
3、例例2.2. 计算反常积分计算反常积分解解:思考思考: 分析分析:原积分发散 !注意注意: 对反常积分对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零偶倍奇零” 的性质的性质, 否则会出现错误否则会出现错误 .解解 极限不存在极限不存在 是发散的是发散的 例例3 计算广义积分计算广义积分 . 若认为积分区间关于原点对称，被积函数为若认为积分区间关于原点对称，被积函数为奇函数，得出结果为零，奇函数，得出结果为零，计算就错了计算就错了.例例4.4. 证明第一类证明第一类 p 积积分分证证:当当 p =1 时有时有 当当 p 1 时有时有 当当 p 1 时收敛时收敛 ;
4、p1 时发散时发散 .因此因此, 当当 p 1 时时, 反常积分收敛反常积分收敛 , 其值其值为为当当 p1 时时, 反常积分发散反常积分发散 . 例例5.5. 计算反常积分计算反常积分解解:二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分引例引例:曲线曲线所围成的所围成的与与 x 轴轴, y 轴和直线轴和直线开口曲边梯形的面积开口曲边梯形的面积可记作可记作其含义可理解为其含义可理解为 定义定义2.2. 设设而在点而在点 a 的右邻域内无界的右邻域内无界,存在存在 ,这时称反常积分这时称反常积分收敛收敛 ; 如果上述极限不存在如果上述极限不存在,就称反常积分就称反常积分发散发散 .类似地类似地 ,
5、 若若而在而在 b 的左邻域内无界的左邻域内无界,若极限若极限数数 f (x) 在在 a , b 上的反常积分上的反常积分, 记记作作则定义则定义则称此极限为函则称此极限为函 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明: 而在点而在点 c 的的无界函数的积分又称作无界函数的积分又称作第二类反常积分第二类反常积分, 无界点常称无界点常称邻域内无界邻域内无界 ,为为瑕点瑕点(奇点奇点) .例如例如,间断点间断点,而不是反常积分而不是反常积分. 则本质上是常义积分则本质上是常义积分, 则定义则定义注意注意: 若瑕点若瑕点的计算表达式的计算表达式 : 则
6、也有类似牛则也有类似牛 莱公式莱公式的的若若 b 为瑕点为瑕点, 则则若若 a 为瑕点为瑕点, 则则若若 a , b 都为瑕点都为瑕点, 则则则则可相消吗可相消吗?下述解法是否正确: , 积分收敛例例1. 计算反常积分计算反常积分解解: 显然瑕点为显然瑕点为 a , 所以所以原式原式例例2. 讨论反常积分讨论反常积分的收敛性的收敛性 . 解解:所以反常积分所以反常积分发散发散 .例例3 3 计算广义积分计算广义积分 . 解解 因为因为 ，所以，所以 是瑕点是瑕点， 而而 ， 所以所以 发散发散. . 注注：若按定积分计算（不考虑若按定积分计算（不考虑 是瑕点是瑕点),),就会导致以下的错误就会
7、导致以下的错误. . 证证例例5 5 计算广义积分计算广义积分解解故原广义积分发散故原广义积分发散.例例6 6 计算广义积分计算广义积分解解瑕点瑕点例例7 7 考察广义积分考察广义积分 的敛散性的敛散性. . 解解 是瑕点，积分区间是无穷区间，是瑕点，积分区间是无穷区间， 当当 时收敛，当时收敛，当 时发散；时发散； 当当 时收敛，当时收敛，当 时发散时发散. . 则广义积分则广义积分 发散发散. . 内容小结内容小结 1. 反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限 2. 两个重要的反常积分说明说明: (1) 有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以互相转化 .例如 ,(2) 当一题同时含两类反常积分时, 应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.备用题备用题 试证, 并求其值 .解解:令
