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1、 牛牛顿迭代法的收迭代法的收敛速度快，但是每一次速度快，但是每一次迭代，迭代，除需计算除需计算 的值外，还要计算的值外，还要计算的值。的值。如果如果 比较复杂，比较复杂，计算计算的工作量就的工作量就可能很大，尤其当可能很大，尤其当7 7 割线法割线法很小时，会产生很大的舍入误差。很小时，会产生很大的舍入误差。为避免计算为避免计算导数值，我们用插商来导数值，我们用插商来代替导数。代替导数。设经过设经过 k 次迭代后，欲求次迭代后，欲求 。两点两点的差商的差商用用 f (x) 在在来代替牛顿迭代公式中的导数来代替牛顿迭代公式中的导数 ，得到如下迭代公式：得到如下迭代公式：称为割线法，又称弦割法。称
2、为割线法，又称弦割法。计算时可用计算时可用的接近程度控制迭代终止，的接近程度控制迭代终止，也可用也可用结束迭代，结束迭代，是允许误差。是允许误差。公式的几何意公式的几何意义是：是：引一直线，则该直线与引一直线，则该直线与 x x 轴交点的横坐标为轴交点的横坐标为因此迭代公式可看成因此迭代公式可看成割线割线与与x轴交点的横坐标作为轴交点的横坐标作为 的新的近似值的新的近似值 ，设已知方程设已知方程经过点经过点 和和故故迭代公式又称为弦割法。迭代公式又称为弦割法。不如不如牛牛顿法，且需提供两个法，且需提供两个较好的初始近似根好的初始近似根 。弦割法的优点是避免了求弦割法的优点是避免了求导数。不足是
3、收敛速度导数。不足是收敛速度割线法收敛性见割线法收敛性见 p81-83。（如图）（如图）例例8 8 用弦割法求方程用弦割法求方程解：取初始近似根解：取初始近似根 ，割线公式为，割线公式为在区间在区间1，1.5内的一个根内的一个根,误差不超过误差不超过 。计算算结果列于下表果列于下表 k x k f (x k)0 01 12 23 34 45 56 61 11.51.51.2666671.2666671.3159621.3159621.3252141.3252141.3247141.3247141.3247181.324718-1-10.8750.875-0.234369-0.234369-0.
4、0370369-0.03703690.002116420.00211642-0.000016876-0.0000168760.0000001820.000000182因因为所求近似根为所求近似根为 8 8 单点割点割线法法在割线法在割线法中用固定点中用固定点 (x0, f (x0)代替代替就得到新的迭代公式就得到新的迭代公式称为单点割线法。称为单点割线法。单点割线法的收敛定理单点割线法的收敛定理定理定理9 设函数设函数 f (x)在区间在区间a，b上存在二阶上存在二阶 连续导数，且满足条件：连续导数，且满足条件：则单点割线法产生的序列则单点割线法产生的序列单调收敛于方程单调收敛于方程F (x)
5、=0在在a,b内唯一的根内唯一的根s,并且收敛速度是一阶的。并且收敛速度是一阶的。证明见书证明见书 p84-85例例9 用单点割线法求方程用单点割线法求方程在区间在区间(2，)内的根，要求内的根，要求解：设解：设满足满足所以，选所以，选由单点割线法由单点割线法产生的序列产生的序列必收敛于方程必收敛于方程在在2，4内的根内的根s。迭代结果见下表迭代结果见下表 k x k f (x k)0 01 12 23 34 45 56 67 78 84.0000000004.0000000002.0000000002.0000000003.0607884393.0607884393.1417387813.1
6、417387813.1459659363.1459659363.1461816373.1461816373.1461926303.1461926303.1461931913.1461931913.1461932193.146193219 0.613705638 0.613705638-0.693147180-0.693147180-0.057884103-0.057884103-0.003037617-0.003037617-0.000155040-0.000155040-0.000007902-0.000007902-0.000000402-0.000000402-0.000000020-0.000000020-0.000000001-0.000000001已满足精度要求，故方程的根为已满足精度要求，故方程的根为练习：练习：分别用双点弦割法和单点弦割法迭代分别用双点弦割法和单点弦割法迭代5次次在在 x=1.5附近的根，比较计算精度。附近的根，比较计算精度。求解方程求解方程
