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1、4-7 电子的有效质量 近自在近自在电子模型子模型把原子把原子实和和n-1电子的共同作用概括子的共同作用概括为周期周期势场的作用；的作用；用量子力学微用量子力学微扰论求解定求解定态问题。假假设资料料处在外在外场中中该如何如何处置置？用用类似牛似牛顿力学来力学来讨论非定非定态问题。Bloch电子子费米气模型米气模型把晶格把晶格场的影响的影响计入入m的的变化化视为半半经典粒典粒子。子。一一电子的速度子的速度自在自在电子波函数是平面波子波函数是平面波(5-99)它的它的动量本征量本征值为 5-100因此它的速度因此它的速度为(5-101)思索到自在思索到自在电子的能量子的能量为(5-102)可将自在
2、可将自在电子的速度写成子的速度写成(5-103)5-103式式是是一一个个非非常常重重要要的的公公式式。虽然然它它只只针对自自在在电子子作作了了证明明，但但实践践上上只只需需加加上上能能带指数指数n对固体中的布洛赫固体中的布洛赫电子也是成立的。子也是成立的。即即 (5-104) 该式阐明，布洛赫电子的运动速度和能量梯度成正比，方向与等能面法线方向一样。K 表示在K空间运算： 自变量为 Kx、Ky、Kz二电子的准动量二电子的准动量当有外当有外场时，布洛赫，布洛赫电子遭到外力的作用。子遭到外力的作用。dt时间内内电子子从从外外力力场获得得的的能能量量为仅思思索在一个能索在一个能带中的运中的运动，暂
3、略去能略去能带指数指数ndEF外外dt(5-105)单位位时间内得到的能量内得到的能量为(5-106)从数学上复合函数求导从数学上复合函数求导 (5-107)把把k和和F外外分分解解成成与与kEk平平行行的的分分量量下下标用用表示及垂直的分量下表示及垂直的分量下标用用表示：表示：(5-108)(5-109)比较比较5-106和和5-107两式，两式，可得：可得：(5-110)现实上也可以上也可以证明明也成立。因此有也成立。因此有(5-111)5-111式和式和经典力学的牛典力学的牛顿定律：定律：5-112相当，因此相当，因此有有动量的量量的量纲。但由于布洛赫波不是动量的本征但由于布洛赫波不是动
4、量的本征态，没有确定的动量，故称态，没有确定的动量，故称 为布洛赫电子的准动量为布洛赫电子的准动量. . 标量量B称称为零零阶张量量矢量矢量Ai1,2,3称称为一一阶张量量三晶体中电子的有效质量张量三晶体中电子的有效质量张量i,j1、2、3称称为二二阶张量量例如在各向异性的例如在各向异性的电介介质中中Dx不不仅与与Ex有关，有关，还与与Ey、Ez有关，有九个元素。有关，有九个元素。由由5-104式，可求得式，可求得Bloch电子的加速度电子的加速度由梯度的定义，由梯度的定义，Kx方向的加速度方向的加速度而而为为t的的复复合合函函数数Kx(t),Ky(t),Kz(t) 类似可得 写成矩阵方式：写
5、成矩阵方式： 由式由式5-111)(5-114 与牛顿定律与牛顿定律表示为表示为方式上类似，而且不出现不易丈量的方式上类似，而且不出现不易丈量的FL，把，把FL的困难并入的困难并入可由能带构造求出，可由能带构造求出，称为倒有效质量张量称为倒有效质量张量.称称为有效有效质量量张量量由于由于EK及其导数延续及其导数延续,所以混合偏导与次序无关所以混合偏导与次序无关(iji,j1、2、3)独立元素只剩六个独立元素只剩六个所以以上所以以上为对称称张量。量。问题：问题： 能否能否假设选择适宜的坐标系，可使倒有效质量张假设选择适宜的坐标系，可使倒有效质量张量对角化，那么有效质量张量也对角化了，量对角化，那
6、么有效质量张量也对角化了，在这种情况下在这种情况下即即方式上与方式上与牛顿方程类似牛顿方程类似讨论：讨论：1.Bloch电子在外场力作用下，运电子在外场力作用下，运动规律方式上遵守牛顿定律，只是动规律方式上遵守牛顿定律，只是把把m用有效质量用有效质量替代；替代；2有效质量 此此时时，Bloch电电子子的的加加速速度度与与外外场场力力方方向向可以不一致。例如：可以不一致。例如：设设F外外kxF外外kyF外外kz，但各，但各不等不等,那么那么不等。不等。为张量，为张量，普通情况下普通情况下在在k空间，当等能面为球面时介质各向同性空间，当等能面为球面时介质各向同性有效质量成为标量有效质量成为标量例如
7、：自在电子例如：自在电子等能面为球面3一维情况一维情况 为标量，但标量并不等于是常量，为标量，但标量并不等于是常量，m*也与能带构造有关。也与能带构造有关。 在能带上部极大值处在能带上部极大值处所以m*0Bloch电子的加速度与外力同向。电子的加速度与外力同向。留意：留意：能带底并不一定均在第一能带底并不一定均在第一B.Z的中间部分。的中间部分。4.仍以一仍以一维情况情况为例。例。设m:电子的子的惯性性质量量FL:电子所遭到的晶格子所遭到的晶格场力；力；F外外:电子所遭到晶体以外子所遭到晶体以外产生的生的场所施加的力。所施加的力。dv/dt1/mF1/mF外外FL与与dv/dt1/m*F外比外比较，可得，可得 即即m*与与m的区别来源于的区别来源于FL，m*除除了了反反映映电电子子的的惯惯性性之之外外，还还概概括括了了晶晶格格场场力力FL对电子的作用。对电子的作用。
