《量子力学--第七章--近似方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《量子力学--第七章--近似方法（75页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七章 近似方法一、适用条件一、适用条件 求解定态薛定谔方程求解定态薛定谔方程 比较复杂，无法直接求解，若可将其分成两部分比较复杂，无法直接求解，若可将其分成两部分 7.1定态非简并微扰定态非简并微扰 方法方法的的本本征征值值和和本本征征函函数数可可以以求求出出，则则方方程程（1）就就可以通过可以通过逐步近似逐步近似的方法求解。的方法求解。二二. 各级近似方程各级近似方程1. 引入实参数引入实参数代入本征值方程：得到代入本征值方程：得到由此方程可见，由此方程可见，H的本征值及本征函数都与的本征值及本征函数都与有关。有关。因此令因此令 我们来求级我们来求级数形式的解数形式的解 上面我们称上面我们
2、称 及及 为零级近似能级和为零级近似能级和波函数。波函数。称称 及及 为能级及波函数的一级修为能级及波函数的一级修正。正。2. 各级近似方程各级近似方程将上面级数形式解的表示代入方程将上面级数形式解的表示代入方程要求等式两边要求等式两边的同次幂系数相等可得的同次幂系数相等可得零次幂相等得零级近零次幂相等得零级近似方程似方程一次幂相等得一级近一次幂相等得一级近似方程似方程二次幂相等得二级近二次幂相等得二级近似方程似方程三、零级近似的解三、零级近似的解因因 的本征值和本征函数可以全部求出：的本征值和本征函数可以全部求出：微扰论微扰论的前提的前提四四. 一级近似一级近似本节讨论能级是无简并的本节讨论
3、能级是无简并的,即零级近似能级与波函数是即零级近似能级与波函数是一一对应的一一对应的.方程方程1. 一级近似能级一级近似能级用用 左乘上面等式两边再积分左乘上面等式两边再积分由于由于H (0)是厄密是厄密算符所以等式左算符所以等式左边等于零边等于零.在一级近似下能级为在一级近似下能级为其中能级的一级修正是其中能级的一级修正是2. 一级近似波函数一级近似波函数注意到：若注意到：若 是一级方程的解，则是一级方程的解，则 （ 为任为任意数）亦是一级方程的解，换言之，上面展开系数中意数）亦是一级方程的解，换言之，上面展开系数中 不不可能由方程确定，它可以是任意的。因此我们规定可能由方程确定，它可以是任
4、意的。因此我们规定 。事实上。事实上 不同取值只不过相当于改变一个不同取值只不过相当于改变一个相因子。（见曾谨言相因子。（见曾谨言p299）代入一级方程代入一级方程我们得到我们得到 等式两边同时乘等式两边同时乘 再积分可得到再积分可得到上式右边第二项等于零，上式右边第二项等于零， 于是于是一级近似下的波函数应为一级近似下的波函数应为其中其中五五. 能级的二级近似能级的二级近似方程方程等式二边同时左乘等式二边同时左乘 再积分再积分 左边第一项和右边第一项可以约去左边第一项和右边第一项可以约去,再把再把 代入上式可以得到代入上式可以得到此项等于零此项等于零可以得到可以得到因为因为因为因为(13)、
5、(14)式成立式成立的条件（逐步近似法适用的条件）为的条件（逐步近似法适用的条件）为如果紧靠着如果紧靠着 存在别的存在别的 ，即使，即使 ，微扰论也不适用。微扰论也不适用。结果结果试用微扰论求能级的变化，并与精确解比较。试用微扰论求能级的变化，并与精确解比较。例例 带电量为带电量为e的一维谐振子，受到恒定弱电场的一维谐振子，受到恒定弱电场 的微扰的微扰作用作用解1的本征值和本征函数是的本征值和本征函数是能级的一级修正 就是在 中 的平均值很容易证明能级的一级修正为零很容易证明能级的一级修正为零.微扰论公式微扰论公式奇函数的对奇函数的对称区间积分称区间积分 为求能级的二级修正和波函数的一级修正，
6、需要计算为求能级的二级修正和波函数的一级修正，需要计算可利用公式可利用公式下面来证下面来证明此公式明此公式此即厄密多项式此即厄密多项式的递补推关系的递补推关系利用上面证明的公式可以得到利用上面证明的公式可以得到能级的二级修正为能级的二级修正为交叉项为交叉项为零零谐振子的能级有谐振子的能级有上式上式所以精确到二级所以精确到二级修正的能级为修正的能级为下面计算波函数下面计算波函数上面是微扰方法的解的结果上面是微扰方法的解的结果,得到了精确到二级修正的能得到了精确到二级修正的能级和一级修正的波函数。级和一级修正的波函数。此问题可以精确求解此问题可以精确求解,以便两者进行比较以便两者进行比较.其中其中
7、 由上可知体系仍是一个线性谐振子，每一个能级都比无电场由上可知体系仍是一个线性谐振子，每一个能级都比无电场时线谐振子相应能级低了时线谐振子相应能级低了 ，换一句话讲，平衡位置向右移动了换一句话讲，平衡位置向右移动了 考虑能级二级考虑能级二级修正与精确解修正与精确解相同相同.7.2 7.2 定态简并微扰方法定态简并微扰方法于于是是我我们们就就不不知知道道在在k k个个本本征征函函数数中中究究竟竟应应取取哪哪一一个个作作为为微微扰扰波波函函数数的的 0 0 级级近近似似。所所以以在在简简并并情情况况下下，首首先先要要解解决决的的问问题题是是如如何何选选取取 0 0 级级近近似似波波函函数数的的问问
8、题题，然然后后才才是是求求能能量和波函数的各级修正。量和波函数的各级修正。令零级近似波函数为令零级近似波函数为（一）简并微扰理论（一）简并微扰理论假设假设E En n(0)(0)是简并的，那末属于是简并的，那末属于 H H(0)(0)的本征值的本征值 E En n(0) (0) 有有 k k 个归一化本征函数个归一化本征函数根据这个条件，我根据这个条件，我们选取们选取 0 级近似波级近似波函数的最好方法是函数的最好方法是将其表示成将其表示成 k个波个波函数的线性组合，函数的线性组合，代入一级方程代入一级方程等式两边左乘等式两边左乘 再积分可得再积分可得 上式乘以上式乘以 ，考虑到，考虑到等式左
9、边等式左边为零为零上式中我们令：上式中我们令： 得：得：上上式式是是以以展展开开系系数数C Ck k为为未未知知数数的的齐齐次次线线性性方方程程组组，它有不为零解的条件是系数行列式为零，即它有不为零解的条件是系数行列式为零，即称为称为久期方程久期方程 为了简单，我们已经把为了简单，我们已经把 记作记作此是关于此是关于 的的 k 次方程，由代数定理，可以解得次方程，由代数定理，可以解得 k 个根记作个根记作它们可以有重根它们可以有重根于是我们得到一级近似下的能级：于是我们得到一级近似下的能级：讨论：讨论：（1）若个根各不同，原来的）若个根各不同，原来的k度简并在微扰的作用下，度简并在微扰的作用下
10、，分裂成分裂成k个能级，简并全部消除。个能级，简并全部消除。（2）若）若k个根有部分重根，则原来个根有部分重根，则原来k度简并的能级在微度简并的能级在微扰作用下，能级部分分裂，简并部分消除。扰作用下，能级部分分裂，简并部分消除。把把k个根分别代入原一级方程中，个根分别代入原一级方程中，就可以解得与就可以解得与 对应的对应的 k 组系数组系数 从而得到与从而得到与 对对应的零级波函数。应的零级波函数。（二）（二） 氢原子一级氢原子一级 Stark Stark 效应效应（1 1）Stark Stark 效应效应氢原子在外电场作用下产生谱线分裂现象称氢原子在外电场作用下产生谱线分裂现象称为为 Sta
11、rk 效应。效应。我我们们知知道道电电子子在在氢氢原原子子中中受受到到球球对对称称库库仑仑场场作作用用，造造成成第第n n 个个能能级级有有 n n2 2 度度简简并并。但但是是当当加加入入外外电电场场后后，由由于于势势场场对对称称性性受受到到破破坏坏，能能级级发发生生分分裂裂，简简并并部部分分被被消消除除。Stark Stark 效效应可以用简并情况下的微扰理论予以解释。应可以用简并情况下的微扰理论予以解释。（2 2）外电场下氢原子）外电场下氢原子 Hamilton Hamilton 量量取取外外电电场场沿沿 z z 正正向向。通通常常外外电电场场强强度度比比原原子子内内部部电电场场强强度度
12、小小得得多多，例例如如, , 强强电电场场 10107 7 伏伏/ /米米， 而而原原子子内内部部电电场场 10101111 伏伏/ /米米，二二者者相相差差 4 4个个量量级级。所所以以我我们们可可以以把把外外电电场场的的影影响响作作为为微微扰扰处理。处理。（3 3） H H0 0 的本征的本征值和本征函数和本征函数下面我下面我们只只讨论 n = 2 的情况，的情况，这时简并度并度 n2 = 4。属于属于该能能级的的4个个简并并态是：是：（4 4）求）求 H H 在各在各态中的矩中的矩阵元元由简并微扰理论知由简并微扰理论知, ,求解久期方程求解久期方程, ,须先计算出微须先计算出微扰扰Ham
13、ilton Hamilton 量量 H H 在以上各态的矩阵元。在以上各态的矩阵元。利用数学公式利用数学公式上面上面应用了球用了球谐函数正交函数正交归一性一性 矩矩阵元不等于零要求量子数必元不等于零要求量子数必须满足如下条件：足如下条件：因因为所以所以m = 0条件让我们只需考虑对角元和条件让我们只需考虑对角元和H12, H21而而 = 1条件又进一步排除了对角元。条件又进一步排除了对角元。（5 5）能量一）能量一级修正修正将将 H H 的矩的矩阵元代入久期阵元代入久期方程：方程：解得解得4 4个根：个根：由由此此可可见见，在在外外场场作作用用下下，原原来来 4 4 度度简简并并的的能能级级
14、E E2 2(0)(0)在在一一级级修修正正下下，被被分分裂裂成成 3 3 条条能能级级，简简并并部部分分消消除除。当当跃跃迁迁发发生生时时，原原来来的的一一条条谱谱线线就就变变成成了了 3 3 条条谱谱线线。其其频频率率一一条条与原来相同，另外两条中一条稍高于一条稍低于原来频率。与原来相同，另外两条中一条稍高于一条稍低于原来频率。 无外电场时无外电场时 在外电场中在外电场中（6 6）求）求 0 0 级近似波函数近似波函数分分别将将 E2(1) 的的 4 个个值代代入方程入方程组：得得 四四 元一次线性方程组元一次线性方程组E2(1) = E21 (1) = 3ea0 代入上面方程，得：代入上
15、面方程，得：所以相所以相应于能于能级 E2(0) + 3ea0 的的 0 级近似波函数近似波函数是：是： E2(1) = E22(1) = - 3ea0 代入上面方程，得：代入上面方程，得：所以相所以相应于能于能级 E(0)2 - 3ea0 的的 0 级近似波函数是：近似波函数是：因此相因此相应与与 E2(0) 的的 0 级近似波函数可以按如下近似波函数可以按如下方式构成方式构成：E2(1) = E23(1) = E24(1) = 0 ，代入上面方程，得：，代入上面方程，得：我我们不妨仍取原来的不妨仍取原来的0 0级波函数，即令：波函数，即令：微微扰法法求求解解问题的的条条件件是是体体系系的的
16、 Hamilton Hamilton 量量 H H可分可分为两部分两部分其其中中 H H0 0 的的本本征征值值本本征征函函数数已已知知有有精精确确解解析析解解，而而 HH很很小小。如如果果上上面面条条件件不不满满足足，微微扰扰法法就不适用。就不适用。这时我们可以采用另一种近似方法这时我们可以采用另一种近似方法变分法。变分法。7.3 7.3 变分法变分法设体系的设体系的 Hamilton Hamilton 量量 H H 的本征值由小到大顺序排列为：的本征值由小到大顺序排列为：E E0 0 E E1 1 E E2 2 . E . En n . . 0 0 , , 1 1 2 2 . . n n
17、.（一）能量的平均值（一）能量的平均值为为简简单单计计，假假定定H H本本征征值值是是分分立立的的，本本征征函函数数组组成正交归一完备系，成正交归一完备系，设设是任一归一化的波函数，在此态中体系能量平均值：是任一归一化的波函数，在此态中体系能量平均值：这这个个不不等等式式表表明明，用用任任意意波波函函数数计计算算出出的的平平均均值值 总总是是大大于于（或或等等于于）体体系系基基态态的的能能量量，而而仅仅当当该该波波函函数数等于体系基态波函数时，平均值等于体系基态波函数时，平均值 才等于基态能量。才等于基态能量。选取试探波函数后，我们就可以计算选取试探波函数后，我们就可以计算欲使欲使取最小值，则
18、要求：取最小值，则要求：上式就可定出试探波函数中的变分参量上式就可定出试探波函数中的变分参量取何值时取何值时 有最小值。可以作为基太能量的下限有最小值。可以作为基太能量的下限. .（二）变分方法（二）变分方法上面我上面我们已已经设波函数是波函数是归一化的一化的, ,若若 未未归一化，一化，则试探波函数的好坏直接关系到计算结果，但是如何选取试试探波函数的好坏直接关系到计算结果，但是如何选取试探波函数却没有一个固定可循的法则，通常是根据物理上探波函数却没有一个固定可循的法则，通常是根据物理上的知觉去猜测。的知觉去猜测。（1 1）根根据据体体系系 Hamilton Hamilton 量量的的形形式式
19、和和对对称称性性推推测测合合理理的的试探波函数；试探波函数；（2 2）试探波函数要满足问题的边界条件；）试探波函数要满足问题的边界条件；（3 3）为了有选择的灵活性，试探波函数应包含一个或）为了有选择的灵活性，试探波函数应包含一个或 多多个待调整的参数，这些参数称为变分参数；个待调整的参数，这些参数称为变分参数；（4 4）若体系）若体系 Hamilton Hamilton 量可以分成两部分量可以分成两部分 H = H H = H0 0 + H + H1 1，而，而 H H0 0 的本征函数已知有解析解，则该解析的本征函数已知有解析解，则该解析 解可作为体系的试探波函数。解可作为体系的试探波函数
20、。（三）如何选取试探波函数（三）如何选取试探波函数7.4 与时间有关的微扰理论与时间有关的微扰理论,跃迁几率跃迁几率 前面前面定态微扰理论讨论了定态薛定谔方程定态微扰理论讨论了定态薛定谔方程的近似求解的近似求解. . 本节中我们研究量子态的演化问题本节中我们研究量子态的演化问题,也就也就是已知初始时刻的状态是已知初始时刻的状态 求任意时刻的求任意时刻的状态状态 然是依据运动方程然是依据运动方程1、H不含时间的情况（事实上是势场不含时间）不含时间的情况（事实上是势场不含时间）这种情况态的演化问题将归结为求解定态薛定谔方程。这种情况态的演化问题将归结为求解定态薛定谔方程。若定谔方程的解已求解得若定
21、谔方程的解已求解得求求 归结归结为求上面的展为求上面的展开系数开系数令令:代入薛定谔方程得到代入薛定谔方程得到上式两边同时左乘上式两边同时左乘 ，再积分得，再积分得此方程很容易积分此方程很容易积分显然积分常数显然积分常数 其中其中 初始时刻的展开系数，即初始时刻的展开系数，即总结总结:2. Hamilton 2. Hamilton 算符含有与算符含有与时间有关的微有关的微扰含时微扰理论可以通过含时微扰理论可以通过 H H0 0 的定态波函数近的定态波函数近似地求出微扰存在情况下的波函数，从而可以计似地求出微扰存在情况下的波函数，从而可以计算无微扰体系在加入含时微扰后，体系由一个量算无微扰体系在
22、加入含时微扰后，体系由一个量子态到另一个量子态的跃迁几率。子态到另一个量子态的跃迁几率。讨论的条件是讨论的条件是:当当H0不含时间，且它的本征方程较易解不含时间，且它的本征方程较易解（1）薛定谔方程的另一种形式（）薛定谔方程的另一种形式（H0表象）表象）若的若的H0本征值方程已解得本征值方程已解得令令则显然有则显然有再令再令代入薛定谔方程：代入薛定谔方程： 上式左边第二项与右边第一项相等，于是有上式左边第二项与右边第一项相等，于是有以以m* 左乘上式后对全空间积分左乘上式后对全空间积分应当指出应当指出,这是薛定谔方程在这是薛定谔方程在H0表象中的表示表象中的表示.2）近似求解（逐次逼近法）近似
23、求解（逐次逼近法）条件是条件是H 远小于远小于H0设设 t=0 时体系处于时体系处于H0 某一本征态某一本征态k k，即，即或者或者零级近似：取零级近似：取 H(t)=0 由方程可以得到由方程可以得到一级近似：一级近似：把零级近似结果把零级近似结果 代入方程式右边代入方程式右边 一级近似公式一级近似公式把一级近似的结果代入方程的右边，可得到二级把一级近似的结果代入方程的右边，可得到二级近似的结果，逐级进行可以一直进行下去，不过近似的结果，逐级进行可以一直进行下去，不过实际上往往只计算到一级近似。实际上往往只计算到一级近似。t t 时刻发现体系处于时刻发现体系处于态态 发现体系处于发现体系处于m
24、 m 态的几率等于态的几率等于|a|am m(t)|(t)|2 2所以在所以在 时间内时间内, ,体系在微扰作用下由体系在微扰作用下由初态初态 k k 跃迁到末态跃迁到末态m m 的几率在一级近似的几率在一级近似下为：下为：二二. 跃迁几率跃迁几率设设 t=0 时体系处于时体系处于H0 某一本征态某一本征态k，7.5 常微扰，黄金规则常微扰，黄金规则一一. 常微扰常微扰（1 1）含时）含时 Hamilton Hamilton 量量设设 H H 在在 0 0 t t t t1 1 这段时间之内不为零，这段时间之内不为零，但与时间无关，即：但与时间无关，即：例如势场散射。例如势场散射。 （2 2）
25、一级微扰近似）一级微扰近似 a am m(1)(1)HHmk mk 与与 t t 无关无关 (0 (0 t t t t1 1) )（3 3）跃迁几率和跃迁速率）跃迁几率和跃迁速率数学公式：数学公式：则当则当t t 时时 上式右第二个分式有如下极限值：上式右第二个分式有如下极限值：跃迁速率：跃迁速率：于是：于是：（4 4）讨论）讨论1.1.上式表明，上式表明，对于常微扰，在作用时间相当长的情况下，跃对于常微扰，在作用时间相当长的情况下，跃迁速率将与时间无关，且仅在能量迁速率将与时间无关，且仅在能量m m k k ，即在初态能，即在初态能量的小范围内才有较显著的跃迁几率。量的小范围内才有较显著的跃
26、迁几率。 在在常常微微扰扰下下，体体系系将将跃跃迁迁到到与与初初态态能能量量相相同同的的末末态态，也也就就是是说末态是与初态不同的状态，但能量是相同的。说末态是与初态不同的状态，但能量是相同的。2. 2. 式中的式中的(m m -k k) ) 反映了跃迁过程的能量守恒。反映了跃迁过程的能量守恒。3. 3. 黄金定则黄金定则设体系在设体系在m m附近附近ddm m范围内的能态数目是范围内的能态数目是(m m)d)dm m，则则跃跃迁迁到到m m 附附近近一一系系列列可可能能末末态态的的跃跃迁速率为：迁速率为：这个公式在这个公式在讨论散射时讨论散射时非常有用非常有用.（1 1）微扰）微扰（2 2）
27、求）求 a am m(1)(1)(t)(t)7.6 周期微扰，共振吸收与共振发射周期微扰，共振吸收与共振发射公式是：公式是： 先来计算先来计算H(t)H(t)在在 H H0 0 的第的第 k k 个和第个和第 m m 个本征态个本征态 k k 和和 m m 之间的微扰矩阵元是：之间的微扰矩阵元是：一一. 周期微扰周期微扰其中：其中：代入上面代入上面am(t) 表示表示式可以得到式可以得到讨论：一般讲周期性微扰总是外界的光照，频率讨论：一般讲周期性微扰总是外界的光照，频率是很大的。例如黄绿光，是很大的。例如黄绿光，1) 当当 时，上式第二项分母很小，该项很时，上式第二项分母很小，该项很大，第一项
28、很小。求模平方，第一项和交叉项可大，第一项很小。求模平方，第一项和交叉项可以忽略，主要贡献来自于第二项。以忽略，主要贡献来自于第二项。2) 当当 时，同理，上式中第一项的贡献是时，同理，上式中第一项的贡献是主要的，其它项可以忽略。主要的，其它项可以忽略。3) 当当 时，所有各项都很小，都没有显著时，所有各项都很小，都没有显著的贡献，都可以忽略。的贡献，都可以忽略。当时，即，当时，即， 吸收跃迁吸收跃迁当当 时，即时，即 ，发射跃迁，发射跃迁（3 3）跃迁几率）跃迁几率当当 =m m k k 时时，略略去第一项，则去第一项，则此式与常微扰情况的表达式类似，只需作代换：此式与常微扰情况的表达式类似
29、，只需作代换：HHmkmk F Fmk mk , , mkmk mkmk-，常常微微扰扰的的结结果果就就可可直直接接引引用用，于于是是得得简简谐谐微微扰扰情情况况下下的的跃跃迁几率为：迁几率为：同理同理, ,对于对于 = - = -m k m k 有有二式合二式合记之：记之：上式中（上式中（+发射跃迁，发射跃迁，-吸收跃迁）吸收跃迁）（4 4）跃迁速率）跃迁速率或：或：（1 1）禁戒跃迁）禁戒跃迁从上面的讨论可知，原子从上面的讨论可知，原子 在光波作用下由在光波作用下由 k k 态跃态跃 迁到迁到 m m 态的几率：态的几率：禁戒跃迁：禁戒跃迁：当当 |r |rmkmk| |2 2 = 0 =
30、 0 时，在偶极近似下，时，在偶极近似下，跃迁几率等于零，即跃迁不能发生。我们称跃迁几率等于零，即跃迁不能发生。我们称这种不能实现的跃迁为禁戒跃迁。这种不能实现的跃迁为禁戒跃迁。显然，要实现显然，要实现 k k m m 的跃迁，必须满足的跃迁，必须满足|r|rmkmk| |2 2 0 0 的条件，或的条件，或|x|xmkmk|, |y|, |ymkmk|, |z|, |zmkmk| |不同时为零。不同时为零。 由此我们导出光谱线的选择定则。由此我们导出光谱线的选择定则。（2 2）选择定则）选择定则(I) (I) 波函数波函数 和和 r rmkmk在原子有心力场中在原子有心力场中 运动的电子波函
31、数运动的电子波函数二二. 选择定则选择定则为方便计，在球坐标下计算矢量为方便计，在球坐标下计算矢量 r r 的矩阵元。的矩阵元。其中其中利用数学公式利用数学公式讨论：讨论：（1） 不为零的条件不为零的条件 不为零的条件不为零的条件（2） 不同时为零的条件不同时为零的条件因为因为 和和 所以所以 不同时等于零的条件等价于不同时等于零的条件等价于 和和 不同时等于零不同时等于零.同样，利用数学公式，同样，利用数学公式， 不为零条件是：，不为零条件是：，同样可得到：同样可得到： 不为零条件是：不为零条件是： ，于是于是 不同时为零条件为：，不同时为零条件为：，综合综合(1)(1)、(2) (2) 两
32、点得偶极跃迁选择定则：两点得偶极跃迁选择定则：(3) (3) 选择定则选择定则 = =- - = =D D = =- - = =D D1,01mmmlll这就是电偶极辐射角量子数和磁量子数的选择定这就是电偶极辐射角量子数和磁量子数的选择定则，在量子力学建立之前，它是通过光谱分析中总结出则，在量子力学建立之前，它是通过光谱分析中总结出来的经验规则。来的经验规则。径径向向积积分分 nl| l 在在 n n、 nn取取任任何何数数值值时时均不为零，所以关于主量子数没有选择定则。均不为零，所以关于主量子数没有选择定则。（3 3）严格禁戒跃迁）严格禁戒跃迁若若偶偶极极跃跃迁迁几几率率为为零零，则则需需要
33、要计计算算比比偶偶极极近近似似更更高高级级的的近近似似。在在任任何何级级近近似似下下，跃跃迁迁几几率率都都为为零的跃迁称为严格禁戒跃迁。零的跃迁称为严格禁戒跃迁。（）（） 细致平衡细致平衡由于由于F是厄密算符是厄密算符即在周期性微扰下即在周期性微扰下, ,体系由体系由 m m k k 的跃迁速的跃迁速率等于由率等于由 k k m m 的跃迁速率。的跃迁速率。若若因为因为所以所以7.7原子的自发发射原子的自发发射 光的发射和吸收的问题的完全量子论讨论应光的发射和吸收的问题的完全量子论讨论应当考虑电磁场量子化当考虑电磁场量子化,是属于量子场论的研究范是属于量子场论的研究范围，我们在此只作半经典半量
34、子处理。围，我们在此只作半经典半量子处理。 即原子用量子力学来处理即原子用量子力学来处理,而把光看作经典而把光看作经典电磁场，这种处理方法可以计算受激发射和吸收电磁场，这种处理方法可以计算受激发射和吸收,但无法计算自发发射问题。自发发射问题只能但无法计算自发发射问题。自发发射问题只能借助统计力学方法来求出它与受激发射系数间的借助统计力学方法来求出它与受激发射系数间的关系关系,从而得到解决。从而得到解决。一一.爱因斯坦的发射和吸收系数爱因斯坦的发射和吸收系数二二.1. 系数系数 ， 和和 的定义的定义 （令（令 ）自发发射系数自发发射系数 ：单位时间，单位时间， 自发发射跃迁几率为自发发射跃迁几
35、率为受激发射系数受激发射系数 ：单位时间，单位时间， 受激发射跃迁几率为受激发射跃迁几率为受激吸收系数受激吸收系数 ：单位时间，单位时间， 受激吸收跃迁几率为受激吸收跃迁几率为式中式中 是频率为是频率为 的光波的能量密度。的光波的能量密度。2.上面三个系数间的关系上面三个系数间的关系3.当物质原子与辐射场达到平衡时有：当物质原子与辐射场达到平衡时有：其中其中 分别是处于分别是处于 的原子数目。的原子数目。达到平衡时有达到平衡时有 跃迁的原子数和跃迁的原子数和 跃迁的跃迁的原子数目相等。原子数目相等。上式可以写作上式可以写作由玻尔曼分布可得：由玻尔曼分布可得：代入上式可得代入上式可得另外，当辐射
36、场与物质达到平衡时，有普朗克公式另外，当辐射场与物质达到平衡时，有普朗克公式或者或者:比较两式可得比较两式可得二、用微扰论计算二、用微扰论计算 三个系数三个系数采用半经典半量子的方法：即把原子吸收发射光看作电子采用半经典半量子的方法：即把原子吸收发射光看作电子在经典电磁场中运动（非量子化电磁场）在经典电磁场中运动（非量子化电磁场）首先我们可以看到，电磁场对电子运动的作用，主要贡献首先我们可以看到，电磁场对电子运动的作用，主要贡献来自于电场来自于电场.电子在电磁场中运动受到磁场力为：电子在电磁场中运动受到磁场力为： 电子在电磁场中运动受到电场力为电子在电磁场中运动受到电场力为:因为对于平面电磁波
37、，采用因为对于平面电磁波，采用CGS制制, ， （见郭硕宏（见郭硕宏P126）原子中电子运动速度原子中电子运动速度 下面讨论中，先讨论简单单色偏振光，再讨论一般自然光。下面讨论中，先讨论简单单色偏振光，再讨论一般自然光。1.入射光波为单色平面偏振光入射光波为单色平面偏振光2.光沿光沿z轴传播轴传播,偏振面在偏振面在xy平面平面（1）电场的表示）电场的表示取原子中心为坐标原点：取原子中心为坐标原点：z的变化范围即原子尺度的变化范围即原子尺度可见光波长可见光波长 所以所以 ，可以略去。，可以略去。于是可以简单地写作于是可以简单地写作即在原子内部，电子运动范围内，光波的电场可看作与位即在原子内部，电
38、子运动范围内，光波的电场可看作与位置无关（光波波长很大，而原子太小了）置无关（光波波长很大，而原子太小了）（2 2）微扰微扰 Hamilton Hamilton 量量电子在上述子在上述电场中的中的电势能是能是（3 3）求）求 跃迁速率跃迁速率 kmkm(I) (I) 对光的吸收情况，对光的吸收情况，k k m m。单位时间由。单位时间由 k k 态跃迁到态跃迁到 m m 态的几率用下式给出：态的几率用下式给出：平均是平均是对一一个周期个周期进行行我们要将上式中电场强度我们要将上式中电场强度 变换成光的能量密度变换成光的能量密度 光光的强度事实上是电磁场的能量密度的平均值，的强度事实上是电磁场的
39、能量密度的平均值，根据电动力学，根据电动力学，光波能量密度光波能量密度(CGS)是是(II)(II) 跃迁速率跃迁速率（4 4）自然光情况）自然光情况（I I）去掉单色条件）去掉单色条件入射光为非单色的偏振光入射光为非单色的偏振光若入射光频率范围若入射光频率范围 ，偏振方向仍为，偏振方向仍为xy平面平面（IIII）去掉偏振光条件）去掉偏振光条件对各向同性的非偏振光，原子体系在单位时间内由对各向同性的非偏振光，原子体系在单位时间内由 k k m m 态的跃迁几率应该是上式对所有偏振方向态的跃迁几率应该是上式对所有偏振方向求平均，求平均，因为自然光是各向同性的，我们要对三个偏因为自然光是各向同性的，我们要对三个偏振方向求和振方向求和,即：即：其中其中:这是我们略去了光波中磁场的作用，并将电场近似地用这是我们略去了光波中磁场的作用，并将电场近似地用 E Ex x= E= E0 0cost cost 表示后得到的结果，这种近似称为偶极近表示后得到的结果，这种近似称为偶极近似。似。上式是吸收情况，对于受激发射情况，同理可得：上式是吸收情况，对于受激发射情况，同理可得：4、发射系数与吸收系数、发射系数与吸收系数由定义：由定义： 于是与上面的结果比较，我们于是与上面的结果比较，我们得到得到
