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1、第二节第二节第二节第二节自然坐标系自然坐标系自然坐标系自然坐标系切向加速度切向加速度切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度法向加速度法向加速度一、自然坐标系一、自然坐标系一、自然坐标系一、自然坐标系问题的提出：问题的提出： 在直角坐标系中，加速度公式无法看在直角坐标系中，加速度公式无法看出哪一部分是由出哪一部分是由速度大小变化速度大小变化产生的加速产生的加速度，哪一部分是由度，哪一部分是由速度方向变化速度方向变化产生的加产生的加速度，所以引入自然坐标系来描写。速度，所以引入自然坐标系来描写。1.自然坐标系自然坐标系 自然坐标系是建立在物体运动的轨自然坐标系是建立在物体运动的轨迹上的，有两个坐
2、标轴，迹上的，有两个坐标轴，切向坐标切向坐标和和法法向坐标向坐标。2切向加速度、法向加速度切向加速度、法向加速度/一、自然坐标系一、自然坐标系切向坐标切向坐标 沿运动沿运动轨迹的切线方向；轨迹的切线方向；法向坐标法向坐标 n 沿运动沿运动轨迹的法线方向。轨迹的法线方向。二、切向加速度、二、切向加速度、二、切向加速度、二、切向加速度、 法向加速度法向加速度法向加速度法向加速度物体沿平面作曲线运动，速度变化为物体沿平面作曲线运动，速度变化为 建立自然坐标系。建立自然坐标系。2切向加速度、法向加速度切向加速度、法向加速度/二、二、a 、an将将分解为分解为和和 其中其中切线方向的单位矢量；切线方向的
3、单位矢量；法线方向的单位矢量。法线方向的单位矢量。（1）为速度增量在切线方向的分量；为速度增量在切线方向的分量；为速度增量在法线方向的分量；为速度增量在法线方向的分量；ABvAvBvA2切向加速度、法向加速度切向加速度、法向加速度/二、二、a 、an有有即即其中：其中：由于速度由于速度大小大小变化产生的加速度；变化产生的加速度；由于速度由于速度方向方向变化产生的加速度。变化产生的加速度。将（将（1）式两边同除）式两边同除后取极限，后取极限，2切向加速度、法向加速度切向加速度、法向加速度/二、二、a 、an由加速度的定义有由加速度的定义有ABvAvBvAd dsPPd 对任意曲线，对任意曲线，有
4、：有：对于平面曲线运动对于平面曲线运动大小大小2切向加速度、法向加速度切向加速度、法向加速度/二、二、a 、an 为运动轨迹的曲率半径为运动轨迹的曲率半径。挑战：证明以上两式挑战：证明以上两式例：例：一质点作半径为一质点作半径为R的圆周运动，其速的圆周运动，其速率满足率满足 ， k为常数，求：切向加为常数，求：切向加速度、法向加速度和加速度的大小。速度、法向加速度和加速度的大小。 解：解： 切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度加速度加速度2切向加速度、法向加速度切向加速度、法向加速度/二、二、a 、an讨论下列几种运动情况：讨论下列几种运动情况：1.匀速直线运动；匀速直线运动；2.匀变速直
5、线运动；匀变速直线运动；3.匀速率圆周运动；匀速率圆周运动；4.变速曲线运动；变速曲线运动；2切向加速度、法向加速度切向加速度、法向加速度/二、二、a 、an解：解：例：手球运动员以初速度例：手球运动员以初速度v0与水平方向成与水平方向成0 角抛出一球，如图所示。当球到达角抛出一球，如图所示。当球到达M点处，点处，与水平线夹角为与水平线夹角为，求，求(1)球在球在M点速度的大点速度的大小；小；(2)球在球在M点处的切向加速度和法向加速点处的切向加速度和法向加速度大小；度大小；(3)M点处的曲率半径。点处的曲率半径。想一想：何处曲想一想：何处曲率半径最大？何率半径最大？何处最小？处最小？二二二二
6、. . 圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述oxy A：tB：t+ t 设质点在设质点在oxy平面内绕平面内绕o点、沿半径为点、沿半径为R的轨道作圆的轨道作圆周运动，如图。以周运动，如图。以ox轴为轴为参参考方向，则质点的考方向，则质点的角位置为角位置为 角位移为角位移为 规定反时针为规定反时针为正正平均角速度为平均角速度为角速度为角速度为角加速度角加速度为为为何不用为何不用矢量？矢量？角角 速速 度度 的的 单位：单位： 弧度弧度/秒秒(rad s-1) ；角角加加速速度度的的单单位位： 弧弧度度/平平方方秒秒(rad s-2) 。讨论：讨论： (1) 角
7、加速度角加速度 对对运动的影响：运动的影响： 等于零，质点作匀速圆周运动；等于零，质点作匀速圆周运动； 不不等等于于零零但但为为常常数数，质质点点作作匀匀变变速速圆圆周周运动；运动； 随时间变化，质点作一般的圆周运动。随时间变化，质点作一般的圆周运动。 (2) 质点作匀速或匀变速圆周运动时质点作匀速或匀变速圆周运动时的角速度、的角速度、角位移与角加速度的关系式为角位移与角加速度的关系式为与与匀变速直线运动的几个关系式匀变速直线运动的几个关系式比比较较知知：两两者者数数学学形形式式完完全全相相同同,说说明明用用角角量量描描述述,可可把把平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题平面圆周运动转化
8、为一维运动形式，从而简化问题。ROx三、三、三、三、 线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系 圆圆周周运运动动既既可可以以用用速速度度、加加速速度度描描述述，也也可可以以用用角速度、角加速度描述，二者应有一定的对应关系。角速度、角加速度描述，二者应有一定的对应关系。 + 0 0+t+ tBtA 图示图示 一质点作圆周运动：一质点作圆周运动：在在 t 时时间间内内，质质点点的的角角位位移移为为 ，则则A、B间间的的有有向向线线段段与弧将满足下面的关系与弧将满足下面的关系两边同除以两边同除以 t，得到速度与角速度之间的关系：得到速度与角速度之间的关系：将将
9、上上式式两两端端对对时时间间求求导导，得得到到切切向向加加速速度度与与角加速度之间的关系：角加速度之间的关系：将速度与角速度的关系代入法向加速度的定将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，得到法向加速度与角速度之间的关系：义式，得到法向加速度与角速度之间的关系：法向加速度也叫向心加速度。法向加速度也叫向心加速度。例题例题 计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。解：解：地球自转周期地球自转周期T=24 60 60 s，角速度大小为：角速度大小为： 如图，地面上纬度为如图，地面上纬度为 的的P点，在与赤道平行的点，在与赤道平行的平面内作圆周运动平面内作
10、圆周运动,其轨道其轨道的半径为的半径为R 赤道赤道rp P点速度的大小为点速度的大小为P点只有运动平面上的向心加速度，其大小为点只有运动平面上的向心加速度，其大小为方向：与过方向：与过P点运动平面上半径为点运动平面上半径为R的圆相切。的圆相切。P点加速度的方向在运动平面上由点加速度的方向在运动平面上由P指向地轴。指向地轴。 例如例如:已知北京、上海和广州三地的纬度分别已知北京、上海和广州三地的纬度分别是北纬是北纬39 57 、31 12 和和 23 00 ，则，则三地的三地的v 和和 an分别为：分别为：北京：北京：上海：上海：广州：广州：Ro 在在t 时时刻刻，质质点点运运动动到到位位置置
11、s 处。处。s s解解：先先作作图图如如右右，t = 0 时时，质点位于质点位于s = 0 的的p点处。点处。P （1） t 时刻质点的总加速度的大小；时刻质点的总加速度的大小； （2） t 为何值时，总加速度的大小为为何值时，总加速度的大小为b ； （3）当总加速度大小为当总加速度大小为b 时，质点沿圆周运行时，质点沿圆周运行了多少圈。了多少圈。例题例题 一质点沿半径为一质点沿半径为R的圆周按规律的圆周按规律 运动，运动，v0、b都是正的常量都是正的常量。求：求： （2）令）令a = b ，即，即Ros （1）t 时时刻刻切切向向加加速速度度、法法向向加加速速度度及及加加速速度度大大小小:（3）当当a = b 时，时，t = v0/b ，由此可求得质点历经由此可求得质点历经 的弧长为的弧长为 它与圆周长之比即为圈数：它与圆周长之比即为圈数：Ros得得
