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1、高水平数学教学高水平数学教学到底该教什么？到底该教什么？ 李李 祎祎 福建师范大学福建师范大学一、数学教师应具备的素质一、数学教师应具备的素质（一）提高数学素养（一）提高数学素养（二）掌握教育理论（二）掌握教育理论二、数学教学二、数学教学“教什么教什么”（一）教学生学（一）教学生学“本质本质”（二）教学生学（二）教学生学“过程过程”（三）教学生学（三）教学生学“思想思想”（四）教学生学（四）教学生学“结构结构”一、数学教师应具备的素质一、数学教师应具备的素质庸庸师师：如如同同庸庸医医，不不仅仅不不能能教教好好学学，反反而而会会把把学学生越搅越糊涂，甚至会贻误学生终生。生越搅越糊涂，甚至会贻误学
2、生终生。教教书书匠匠：知知识识的的搬搬运运工工，把把自自己己会会的的东东西西简简单单的的搬搬运运给给学学生生，没没有有智智慧慧，没没有有思思维维火火花花，不不会会贻贻误学生一生，但也没有太大发展。误学生一生，但也没有太大发展。经经师师：不不仅仅能能教教给给学学生生知知识识和和技技能能，并并且且能能培培养养学生一定的能力，属于较高水平的教师。学生一定的能力，属于较高水平的教师。人人师师：不不仅仅给给学学生生知知识识和和能能力力，还还能能给给学学生生智智慧慧，更更能能在在思思想想上上、人人格格上上影影响响学学生生，使使学学生生在在获获得得知知识识、培培养养能能力力的的同同时时，还还产产生生了了智智
3、慧慧，形形成成了了健康人格。健康人格。深深入入深深出出型型，自自己己的的知知识识很很丰丰富富、很很深深奥奥，交交给给学生的知识也很深奥，学生听得不明所以然。学生的知识也很深奥，学生听得不明所以然。浅浅入入深深出出型型，自自己己的的知知识识很很贫贫乏乏，但但却却要要装装得得很很有学问，把本来浅显的问题讲得云山雾罩。有学问，把本来浅显的问题讲得云山雾罩。浅浅入入浅浅出出型型，自自己己懂懂得得并并不不多多，但但能能用用通通俗俗的的语语言言教教给给学学生生，虽虽说说学学生生不不会会有有太太多多提提高高，但但能能学学到一些知识。到一些知识。深深入入浅浅出出型型，自自己己的的学学问问很很深深，但但能能把把
4、晦晦涩涩难难懂懂的知识通俗化，学生听得懂、学得会。的知识通俗化，学生听得懂、学得会。如何做到如何做到“深入浅出深入浅出”呢？呢？教教师师的的知知识识结结构构：本本体体性性知知识识，条条件件性性知知识识，实实践性知识，一般文化知识。践性知识，一般文化知识。数数学学教教师师“两两手手抓抓，两两手手硬硬”：数数学学素素养养与与教教育育理论素养。理论素养。数学教学设计的关键：数学教学设计的关键：理解数学与稚化思维。理解数学与稚化思维。（一）提高数学素养（一）提高数学素养1.提高数学素养的六个维度提高数学素养的六个维度（1）从微观上对数学知识的准确、深刻理解）从微观上对数学知识的准确、深刻理解 （2）从
5、宏观上对数学知识整体结构的正确把握）从宏观上对数学知识整体结构的正确把握 （3）对显性知识背后隐性的思想方法的认识）对显性知识背后隐性的思想方法的认识 （4）对中小学数学中某些拓展性知识的认知）对中小学数学中某些拓展性知识的认知 （5）对数学知识）对数学知识 “来龙去脉来龙去脉”的过程性把握的过程性把握 （6）从高观点对中小学数学的居高临下的认识）从高观点对中小学数学的居高临下的认识通过通过“追问追问”提高数学素养：提高数学素养：（1）通过追问形成正确认识）通过追问形成正确认识指数函数中为什么要规定指数函数中为什么要规定a0？频率的极限是概率吗？频率的极限是概率吗？（2）通过追问获得深层理解）
6、通过追问获得深层理解为什么为什么0不能做除数？为什么先乘除后加减？不能做除数？为什么先乘除后加减？（3）通过追问拓展学科知识）通过追问拓展学科知识一元三次方程有求根公式吗？一元三次方程有求根公式吗？有等和数列与等积数列吗？是否存在正切定理？有等和数列与等积数列吗？是否存在正切定理？（4）通过追问获得较高观点）通过追问获得较高观点自然数的个数比偶数的个数多吗？自然数的个数比偶数的个数多吗？复数为什么不能比较大小？复数为什么不能比较大小？2.理解数学的五个视角理解数学的五个视角袁袁隆隆平平：“我我最最喜喜欢欢外外语语、地地理理、化化学学，最最不不喜喜欢欢数数学学，因因为为在在学学正正负负数数的的时
7、时候候，搞搞不不清清为为什什么么负负负负相相乘乘得得正正，就就去去问问老老师师，老老师师说说你你记记得得就就是是；学学几几何何时时，对对一一个个定定理理有有疑疑义义，去去问问，还还是是一一样样回回答答，我我由由此此得得出出结结论论，数数学学不不讲讲道道理理，于是不再理会，对数学兴趣不大，成绩不好于是不再理会，对数学兴趣不大，成绩不好”。数学原本就是这样？还是数学教师的教学使然？数学原本就是这样？还是数学教师的教学使然？知知名名华华人人数数学学家家、哈哈佛佛大大学学教教授授丘丘成成桐桐兴兴冲冲冲冲地地赶赶到到杭杭州州，去去与与一一群群刚刚在在高高考考中中取取得得好好成成绩绩的的数数学尖子见面。结
8、果却让他颇为失望：学尖子见面。结果却让他颇为失望：“大大多多数数学学生生对对数数学学根根本本没没有有清清晰晰的的概概念念，对对定定理理不不甚甚了了了了，只只是是做做习习题题的的机机器器。这这样样的的教教育育体体系，难以培养出什么数学人才系，难以培养出什么数学人才。”数学理解重于形式运算。数学理解重于形式运算。（1 1）厘清）厘清“是什么是什么”基本事件是相对的，还是绝对的？基本事件是相对的，还是绝对的？（2 2）追问）追问“为什么为什么”有了角度制，为什么还要引入弧度制？有了角度制，为什么还要引入弧度制？（3 3）建构内容联系）建构内容联系三角公式内在联系的建构三角公式内在联系的建构（4 4）
9、挖掘思想方法）挖掘思想方法“二分法二分法”教学中的逼近思想教学中的逼近思想（5 5）寻求多元表征）寻求多元表征直观表征，符号表征直观表征，符号表征（二）掌握教育理论（二）掌握教育理论1.建构性数学教学思想建构性数学教学思想2.理解性数学教学思想理解性数学教学思想3.过程性数学教学思想过程性数学教学思想4.启发式数学教学思想启发式数学教学思想5.问题式数学教学思想问题式数学教学思想6.情境式数学教学思想情境式数学教学思想7.主体性数学教学思想主体性数学教学思想8.生成性数学教学思想生成性数学教学思想9.有效性数学教学思想有效性数学教学思想教学的本质教学的本质教学：教学：就是就是“教学生学教学生学
10、”。学生：学生：学什么学什么；怎么学。；怎么学。教教师师：“教教什什么么”是是指指“教教学学生生学学什什么么”和和“教教学生怎么学学生怎么学” 。研研究究：“怎怎样样教教”是是指指“怎怎样样教教学学生生学学什什么么”和和“怎样教学生怎么学怎样教学生怎么学” 。二、数学教学二、数学教学“教什么教什么”“教教什什么么”始始终终比比“怎怎么么教教”重重要要。前前者者关关乎乎教教学学内内容容，后后者者关关乎乎教教学学形形式式。教教学学内内容容决决定定教教学学形形式式，教教学学形形式式服服务务于于教教学学内内容容。先先进进理理念念首首先先关乎教学内容，首先要关注关乎教学内容，首先要关注“教什么教什么”。
11、但但在在目目前前，一一提提到到教教师师培培训训、业业务务研研讨讨，想想到到的的都都是是数数学学教教学学理理念念，数数学学教教学学的的方方法法与与技技巧巧，而而数学学科知识本身则受到冷落。数学学科知识本身则受到冷落。人人们们对对教教学学方方法法研研究究情情有有独独钟钟。研研究究教教学学导导入入的的艺艺术术，研研究究指指导导探探究究的的艺艺术术，研研究究练练习习设设计计的的艺艺术术但但却却唯唯独独忘忘了了研研究究那那些些貌貌似似简简单单却却内内涵涵深深刻的中小学数学知识。刻的中小学数学知识。从从“教教什什么么”的的视视角角来来看看，数数学学教教师师的的教教学学水水平平的高低，首当其冲地体现在对教学
12、内容的把握上。的高低，首当其冲地体现在对教学内容的把握上。低低水水平平的的教教书书匠匠，只只会会照照本本宣宣科科，看看到到什什么么就就教教给学生什么，只是知识的搬运工；给学生什么，只是知识的搬运工；高高水水平平的的教教师师，能能透透过过现现象象看看到到本本质质，在在教教教教材材中中显显性性知知识识的的同同时时，能能挖挖掘掘出出其其后后的的隐隐性性知知识识，教到一些别人教不出来的内容教到一些别人教不出来的内容。这这些些不不易易教教到到的的隐隐性性知知识识是是什什么么呢呢？概概括括而而言言，是是数学的本质、过程、思想和结构数学的本质、过程、思想和结构等四个方面。等四个方面。（一）教学生学（一）教学
13、生学“本质本质” 1.数学概念的本质数学概念的本质概念是反映事物本质属性的思维产物概念是反映事物本质属性的思维产物. .数学：空间形式和数量关系数学：空间形式和数量关系. . 数学概念：反映数学对象的本质属性的思维产物数学概念：反映数学对象的本质属性的思维产物. .本质属性：共有性，特有性，整体性。本质属性：共有性，特有性，整体性。示例示例1：集合的本质：集合的本质幼儿园小孩子学集合幼儿园小孩子学集合示例示例2：复数的本质：复数的本质复复数数是是二二元元数数,实实数数是是一一元元数数.与与把把一一元元的的实实数数看看作作“单单纯纯的的数数”相相比比,二二元元的的复复数数不不仅仅数数量量意意义义
14、,而而且且还还有有方方向向意意义义,它它是是一一种种“有有方方向向的的数数”，“数量加方向数量加方向”是复数的本质属性。是复数的本质属性。用用几几何何形形式式表表示示：它它的的意意义义是是一一个个向向量量,其其本本质质特征是向量的长度和方向特征是向量的长度和方向;用用三三角角形形式式表表示示：在在z= r(cos+isin)中中, r表表示示复数向量的长度复数向量的长度,表示复数向量的方向表示复数向量的方向.用代数形式表示用代数形式表示:本质属性不是很明显本质属性不是很明显,需要揭示需要揭示.示例示例3：函数概念的本质：函数概念的本质数数学学概概念念的的本本质质属属性性，是是指指一一类类特特定
15、定数数学学对对象象在在一一定定范范围围内内保保持持不不变变的的性性质质，而而可可变变的的性性质质则则是是“非本质属性非本质属性”。设设A A、B B是是非非空空数数集集，如如果果按按照照某某种种确确定定的的对对应应关关系系f f，使使对对于于集集合合A A中中的的任任意意一一个个数数x x，在在B B中中都都有有唯唯一一确确定定的的数数f f（x x）和和它它对对应应，则则称称f f：ABAB为为从从集集合合A A到到集集合合B B的的一一个个函函数数，记记作作y=fy=f（x x），xAxA. .其其中中x x叫叫做做自自变变量量，x x的的取取值值范范围围A A叫叫做做函函数数的的定定义义
16、域域；与与x x的的值值相相对对应应的的y y值值叫叫做做函函数数值值，函函数数值值的的集集合合ff（x x）| |xAxA 叫叫做做函函数数的的值值域域。显显然，值域是集合然，值域是集合B B的子集的子集。“非空数集非空数集”是否为函数的本质属性？是否为函数的本质属性？“单值对应单值对应”是否为函数的本质属性？是否为函数的本质属性？“变量说变量说”的局限性的局限性：“对应说对应说”的局限性的局限性：“关系说关系说”定义函数定义函数：积集：积集 的子的子集集人教版函数定义指暇人教版函数定义指暇：B的困惑的困惑函数究竟是什么？函数究竟是什么？2.数学结论的本质数学结论的本质（1）人为约定的结论）
17、人为约定的结论数学知识不是数学知识不是“铁板一块铁板一块”示例示例4：集合的：集合的“三性三性”确定性，无序性，互异性确定性，无序性，互异性模糊集，有序集，多重集模糊集，有序集，多重集示例示例5：指数函数：指数函数y= ax (a0,a1)为什么要规定为什么要规定a0？（2）可以证明的结论）可以证明的结论什么是数学结论什么是数学结论:经常用到经常用到,推证不易推证不易,形式简单形式简单。示例示例6：等差数列的求和公式：等差数列的求和公式它有什么作用？它有什么作用？为什么它是成立的？为什么它是成立的？其他，比如：其他，比如：等比数列求和公式：等比数列求和公式：(1-q)(1+q+q2+qn-1)
18、=1-qn绝对值不等式：绝对值不等式：理解数学结论：功用，内容，证明，联系。理解数学结论：功用，内容，证明，联系。3.数学方法的本质数学方法的本质数数学学中中除除了了一一些些结结论论性性知知识识，还还有有大大量量的的方方法法性性知知识识，比比如如运运算算的的方方法法、度度量量的的方方法法、变变换换的的方方法、论证的方法等。法、论证的方法等。掌掌握握数数学学方方法法的的本本质质，不不仅仅要要掌掌握握“怎怎么么做做”，即即方方法法运运用用的的程程序序与与步步骤骤，还还要要掌掌握握“为为什什么么可可以以这这样样做做”，即即数数学学方方法法的的内内涵涵是是什什么么，不不同同数数学学方方法法使使用用的的
19、条条件件是是什什么么，适适用用的的范范围围是是什什么么，数学方法与问题特质具有怎样的关联性。数学方法与问题特质具有怎样的关联性。示例示例7 7：数的加、减运算：数的加、减运算必需抓住计数单位这一本质。必需抓住计数单位这一本质。自自然然数数以以“1”为为标标准准，“1”是是自自然然数数的的单单位位，所以任何两个自然数都可以直接相加减。所以任何两个自然数都可以直接相加减。同同分分母母分分数数，因因为为它它们们的的分分数数单单位位相相同同，所所以以能能直直接接相相加加减减；异异分分母母分分数数，因因为为它它们们的的单单位位不不同同，所以要把它们化成相同单位才可以相加减。所以要把它们化成相同单位才可以
20、相加减。小小数数的的加加减减运运算算中中，小小数数点点对对齐齐才才能能相相加加减减。因因为为只只要要小小数数点点对对齐齐，相相同同数数位位就就对对齐齐了了，相相同同计计数数单单位位也也就就同同样样能能相相加加减减了了，而而不不必必考考虑虑小小数数的的末位是不是一定对齐。末位是不是一定对齐。示例示例8 8：十字相乘法：十字相乘法不仅适用于二次三项式：不仅适用于二次三项式：axax2 2+bx+c=(a+bx+c=(a1 1x+cx+c1 1)(a)(a2 2x+cx+c2 2) )将任意代数式分成三项之和：将任意代数式分成三项之和：f(xf(x)=A+B+C)=A+B+C若若A=A=ab,Cab
21、,C= =cdcd, ,且且ad+bcad+bc=B,=B,即有下面的十字关系：即有下面的十字关系：则则f(xf(x)=()=(a+c)(b+da+c)(b+d) )abc d示例示例9 9：判别式法：判别式法对对于于题题目目 “求求 的的所所有有实实数数根根”的的求求解解，当当有有人人在在求求解解中中用用二二次次方方程程之之判判别别式式应应大大于于或或等等于于0时，即时，即 时，许多人对此提出时，许多人对此提出“更正更正”。产产生生这这一一错错误误认认识识的的根根本本原原因因，就就在在于于当当熟熟记记住住了了一一元元二二次次方方程程的的求求根根公公式式之之后后，许许多多人人忘忘记记了了判判别
22、别式式其其实实是是“配配方方法法的的结结果果”，想想当当然然地地认认为为只有对一元二次方程才能使用判别式非负的性质。只有对一元二次方程才能使用判别式非负的性质。省质检省质检：斜坐标系：斜坐标系示例示例10：点到线面距离公式的推导：点到线面距离公式的推导点到线的距离公式推导点到线的距离公式推导点到面的距离公式推导点到面的距离公式推导设设n n是是平平面面 的的法法向向量量，在在 内内取取一一点点B B，则则 A A到到 的距离：的距离：此外：此外：过程与结果的辩证关系：过程与结果的辩证关系：科学意义，教学意义科学意义，教学意义过程性是追求的目标：过程性是追求的目标：三个层次三个层次过程性作为目标
23、的意义：过程性作为目标的意义：本质，方法，能力本质，方法，能力过程性的完整含义：过程性的完整含义：知识的，思维的，活动的知识的，思维的，活动的“谁谁”的过程性：的过程性：教师，还是学生？教师，还是学生？怎样的该过程性：怎样的该过程性：结果的，还是过程的？结果的，还是过程的？过程性观下之审视：过程性观下之审视：预习、作业、备课预习、作业、备课（二）教学生学（二）教学生学“过程过程” 1.过程性中培养数学能力过程性中培养数学能力 示例示例11：函数的单调性：函数的单调性单调性教学设计大体从三个层次展开：单调性教学设计大体从三个层次展开：首首先先，观观察察图图像像，描描述述变变化化规规律律，如如上上
24、升升、下下降降，从几何直观角度加以认识；从几何直观角度加以认识；其其次次，结结合合图图、表表，用用自自然然语语言言描描述述，即即因因变变量量随自变量的增大而增大（或减小）；随自变量的增大而增大（或减小）；最最后后，用用数数学学符符号号语语言言描描述述变变化化规规律律，逐逐步步实实现现用精确的数学语言刻画函数的变化规律。用精确的数学语言刻画函数的变化规律。教教学学的的困困惑惑：从从图图像像上上不不难难获获得得图图像像“上上升升”或或“下下降降”的的直直观观特特征征，但但为为什什么么还还要要进进一一步步来来研研究它呢？究它呢？解解释释和和说说明明：“上上升升”“下下降降”是是一一种种日日常常语语言
25、言，用用日日常常语语言言描描述述“单单调调增增”“单单调调减减”这这样样的的数数学性质是学性质是不够准确的不够准确的。能能否否用用数数学学语语言言来来描描述述函函数数的的这这种种特特点点呢呢？如如果果可以的话，又该如何来描述呢？可以的话，又该如何来描述呢？这这时时结结合合图图像像的的特特点点，即即它它是是“函函数数”的的图图像像，从而根据函数的意义，自然过渡到第二个层次。从而根据函数的意义，自然过渡到第二个层次。教教学学的的难难点点：如如何何用用符符号号化化的的数数学学语语言言来来描描述述递递增增的特征，这其中有两个难点：的特征，这其中有两个难点：示例示例12：直线的方向向量与平面的法向量：直
26、线的方向向量与平面的法向量为什么要提出方向向量与法向量的概念？为什么要提出方向向量与法向量的概念？如何来刻画直线与平面的方向？如何来刻画直线与平面的方向？为什么要用方向向量来刻画直线的方向？为什么要用方向向量来刻画直线的方向？为什么要用法向量来刻画平面的方向？为什么要用法向量来刻画平面的方向？2.过程性中加强数学理解过程性中加强数学理解 示例示例13：导数：导数为什么要为什么要“淡化形式，注重实质淡化形式，注重实质”？导数概念的提出是分析问题与解决问题的过程导数概念的提出是分析问题与解决问题的过程导数的本质是瞬时变化率导数的本质是瞬时变化率导数概念的提出是辩证法的成功运用导数概念的提出是辩证法
27、的成功运用理解三层次：理解三层次：其然，所以然，何由以知其所以然其然，所以然，何由以知其所以然示例示例1414：直线的斜率：直线的斜率为为什什么么有有了了倾倾斜斜角角已已能能确确定定直直线线方方向向的的前前提提下下，还一定要将其代数化？还一定要将其代数化？变变量量(x(x，y)y)与与作作为为不不变变量量的的倾倾斜斜角角，不不能能直直接接建建立立起起关关系系，还还必必须须将将倾倾斜斜角角代代数数化化，变变量量(x(x，y)y)与不变量与不变量斜率斜率k k才能建立起关系。才能建立起关系。斜斜率率公公式式反反映映出出斜斜率率在在联联系系两两点点的的坐坐标标与与直直线线倾倾斜斜角角的的优优越越性性
28、；斜斜率率在在研研究究直直线线平平行行与与垂垂直直上上的的作用。作用。“率率”，是是指指两两个个相相关关数数的的比比值值，x x变变化化单单位位长长时时，看看y y变变化化了了多多少少，实实质质是是对对x x和和y y变变化化的的快快慢慢程程度度的的刻刻画画。角角越越大大，倾倾斜斜程程度度越越大大，该该特特定定比比值越大。值越大。教教学学难难点点：建建立立直直线线方方程程的的过过程程，是是寻寻求求其其不不变变量量k k，建建立立变变量量(x(x，y)y)与与不不变变量量k k的的数数量量关关系系的的过过程程。但但这这里里的的不不变变量量是是角角度度，而而不不是是距距离离。比比之之圆圆、椭椭圆圆
29、、双双曲曲线线、抛抛物物线线几几种种曲曲线线，尽尽管管直直线线是简单的图形，但其方程建立过程更显复杂。是简单的图形，但其方程建立过程更显复杂。为什么要用正切？为什么要用正切？首首先先与与“坡坡度度”概概念念一一致致。坡坡面面的的铅铅直直高高度度和和水水平长度的比。（垂直变化率）平长度的比。（垂直变化率）其其次次，不不管管是是锐锐角角变变化化，还还是是钝钝角角变变化化，反反映映的的都是倾斜角越大，斜率越大。都是倾斜角越大，斜率越大。第第三三，正正切切值值就就是是直直线线的的变变化化率率，这这样样，采采用用正正切值与导数保持了一致性。切值与导数保持了一致性。数数学学思思想想是是对对数数学学对对象象
30、的的本本质质认认识识，是是对对具具体体的的数数学学概概念念、命命题题、规规律律、方方法法等等的的认认识识过过程程中中概概括括的的基基本本观观点点。数数学学方方法法是是指指数数学学活活动动中中所采用的途径、方式、手段、策略等。所采用的途径、方式、手段、策略等。显显性性的的知知识识是是写写在在教教材材上上的的一一条条明明线线，隐隐性性的的思想思想是潜藏其中的一条暗线。是潜藏其中的一条暗线。“没没有有过过程程就就等等于于没没有有思思想想”，要要让让学学生生在在过过程中去逐步体会和理解。程中去逐步体会和理解。（三）教学生学（三）教学生学“思想思想” 米山国藏：米山国藏：学生所学的数学知识，在进入社会后
31、几乎学生所学的数学知识，在进入社会后几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在走出校门后不到一两年就忘数学，通常在走出校门后不到一两年就忘掉了。然而不管他们从事什么工作，唯有掉了。然而不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学思想和方法等随深深铭刻于头脑中的数学思想和方法等随时地发生作用，使他们受益终身。时地发生作用，使他们受益终身。真正的教育是什么？真正的教育是什么？1. 一法多用，体现迁移性一法多用，体现迁移性示例示例15：各种函数性质的研究：各种函数性质的研究通过图像研究函数的性质通过图像研究函数的性质数形结合思想数形结合思想；通通过过
32、具具体体函函数数的的性性质质归归纳纳出出一一般般函函数数的的性性质质从特殊到一般的归纳思想从特殊到一般的归纳思想；区分情况来讨论函数的性质区分情况来讨论函数的性质分类讨论思想分类讨论思想；通过对比来研究函数性质通过对比来研究函数性质类比的思想方法类比的思想方法；函数性质应用实例函数性质应用实例数学模型思想方法数学模型思想方法。例例如如:反反比比例例函函数数，单单调调性性，指指数数函函数数，对对数数函函数数这这些些思思想想方方法法，不不依依内内容容而而异异，呈呈现现出出某某种种相相通通性性。它它们们看看不不见见、摸摸不不着着，只只有有教教师师在在教教学学中中有有意意识识地地使使用用提提示示语语，
33、才才能能使使数数学学思思想想方方法法显显化化，从从而而使使思思想想方方法法的的学学习习和和掌掌握握，从从自自发发走走向向自自觉觉，从无意识默会走向有意识习得。从无意识默会走向有意识习得。常常言言道道“授授人人以以鱼鱼，不不如如授授人人以以渔渔”，思思想想方方法法之所重要，就在于其可迁移性。之所重要，就在于其可迁移性。2.多法归一，体现相通性多法归一，体现相通性示例示例16：正弦定理的各种证法：正弦定理的各种证法证法证法1：作高法：作高法证法证法2：面积法：面积法证法证法3：外接圆法：外接圆法证法证法4：角平分线法：角平分线法问问题题的的关关键键并并不不在在于于方方法法的的多多与与寡寡，而而更更
34、在在于于能能否否透透过过不不同同解解法法，挖挖掘掘与与提提炼炼出出更更一一般般的的思思想想方方法，即不变量思想和化归转化思想。法，即不变量思想和化归转化思想。多多法法归归一一归归出出的的“一一”不不变变量量思思想想与与化化归归转转化化思思想想，就就是是数数学学中中经经常常用用到到的的重重要要数数学学思思想想，前前者者在在建建立立等等量量关关系系时时用用到到，而而后后者者是是矛矛盾盾转转化化的基本方法。的基本方法。基础知识基础知识基本技能基本技能基本活动经验基本活动经验基本思想基本思想数学活动数学活动哲哲学学的的视视角角：形形式式与与内内容容；运运动动与与静静止止；偶偶然然与与必必然然 ；现现象
35、象与与本本质质 ；原原因因与与结结果果 ；整整体体与与局局部部；有限与无限；等。有限与无限；等。思思维维的的视视角角：观观察察与与实实验验；类类比比与与猜猜想想；归归纳纳与与演演绎绎 ；分分析析与与综综合合 ；抽抽象象与与概概括括 ；特特殊殊与与一一般般 ；比较与分类比较与分类 ；等。；等。数学的视角：数学的视角：1、全全局局性性的的方方法法：数数学学模模型型方方法法；关关系系映映射射反反演方法演方法 ；公理化方法；公理化方法 ；坐标方法；等。；坐标方法；等。2、技技巧巧性性的的方方法法：解解题题策策略略层层面面；解解题题方方法法层层面；解题技巧层面。面；解题技巧层面。高高考考考考试试说说明明
36、：函函数数与与方方程程思思想想；数数形形结结合合思思想想；分分类类与与整整合合思思想想；化化归归与与转转化化思思想想；特特殊殊与与一一般般思想；有限与无限思想；必然与或然思想。思想；有限与无限思想；必然与或然思想。数学抽象的思想数学抽象的思想派生出的有：派生出的有：分类的思想；分类的思想；集合的思想；集合的思想；数形结合的思想；数形结合的思想；变中有不变的思想；变中有不变的思想；符号表示的思想；符号表示的思想；对称的思想；对称的思想；对应的思想；对应的思想；有限与无限的思想等。有限与无限的思想等。数学推理的思想数学推理的思想派生出的有：派生出的有：归纳的思想；归纳的思想；演绎的思想；演绎的思想
37、；公理化思想；公理化思想；转换与化归的思想；转换与化归的思想；联想与类比的思想；联想与类比的思想；逐步逼近的思想；逐步逼近的思想；代换的思想；代换的思想；特殊与一般的思想等。特殊与一般的思想等。数学模型的思想数学模型的思想派生出的有：派生出的有：简化的思想；简化的思想；量化的思想；量化的思想；函数的思想；函数的思想；方程的思想；方程的思想；优化的思想；优化的思想；随机的思想；随机的思想；抽样统计的思想等。抽样统计的思想等。对对内内容容进进行行设设计计时时，不不能能“就就事事论论事事”，仅仅考考虑虑到这一到这一“点点”知识，这样可能会知识，这样可能会“见木不见林见木不见林”。在在对对教教材材进进
38、行行分分析析时时，要要树树立立“整整体体观观”，要要从从教教学学系系统统的的“宏宏观观视视野野”的的显显现现状状况况与与课课堂堂运运行行的的“微型框架微型框架”两方面进行结构化设计。两方面进行结构化设计。学学习习理理论论的的现现代代研研究究表表明明，组组织织良良好好的的知知识识是是围围绕绕核心概念或核心概念或“大观点大观点”组织的。组织的。（四）教学生学（四）教学生学“结构结构” 布布鲁鲁纳纳认认为为，学学习习的的实实质质是是一一个个人人把把同同类类事事物物联联系系起起来来，并并把把它它们们组组织织成成赋赋予予它它们们意意义义的的结结构构。学习就是学习就是认知结构的组织和重新组织认知结构的组织
39、和重新组织。知知识识的的学学习习就就是是在在学学生生的的头头脑脑中中形形成成各各学学科科的的知知识识结结构构。这这种种知知识识结结构构是是由由学学科科知知识识中中的的基基本本概概念、基本思想或基本原理组成的念、基本思想或基本原理组成的。 布布鲁鲁纳纳：学学习习知知识识就就是是学学习习事事物物是是怎怎样样相相互互关关联联的的。“不不论论我我们们选选教教什什么么学学科科，务务必必使使学学生生理理解解各门学科的基本结构各门学科的基本结构”。1.宏观结构与微观结构宏观结构与微观结构宏观结构宏观结构示例示例17：几何结构与代数结构：几何结构与代数结构直观几何：直观几何：对平面图形、立体图形的认识；对平面
40、图形、立体图形的认识；度量几何：度量几何：求长度、角度、面积、体积等问题；求长度、角度、面积、体积等问题；演绎几何：演绎几何：垂直、平行、全等、相似垂直、平行、全等、相似运动几何：运动几何：如平移、旋转和对称等；如平移、旋转和对称等；坐标几何。坐标几何。代数：代数：数式运算和方程求解。数式运算和方程求解。三种数：三种数：有理数，无理数，复数；有理数，无理数，复数；三种式：三种式：整式，分式，根式；整式，分式，根式；六种运算：六种运算：加，减，乘，除，乘方，开方；加，减，乘，除，乘方，开方；四四类类方方程程：整整式式方方程程，分分式式方方程程，根根式式方方程程，方方程组。程组。进进一一步步发发展
41、展：未未知知数数更更多多的的方方程程，次次数数更更高高的的方方程。程。从从代代数数式式（符符号号代代表表数数），到到方方程程（符符号号代代表表未未知知数数），到到函函数数（符符号号代代表表变变数数）（函函数数实实质质是是几何的代数化）几何的代数化）微观结构微观结构示例示例18：线面平行的判定定理与性质定理：线面平行的判定定理与性质定理线面平行判定定理：线面平行判定定理：平平面面外外一一条条直直线线与与此此平平面面内内的的一一条条直直线线平平行行，则则该直线与此平面平行。该直线与此平面平行。线面平行性质定理：线面平行性质定理：一一条条直直线线与与一一个个平平面面平平行行，则则过过这这条条直直线线
42、的的任任一一平面与此平面的交线与该直线平行。平面与此平面的交线与该直线平行。更好践行更好践行“用教材教，而不是教教材用教材教，而不是教教材”的理念。的理念。2.知识结构与方法结构知识结构与方法结构示例示例19：知识结构：知识结构圆与方程圆与方程结构结构理解理解联系联系:新新知知识识结结点点与与其其他他结结点点的的连连线线越越多多，该该结结点点的的入入口口就就越越多多，经经由由这这些些通通道道进进入入该该结结点点的的机机会会也也就就增多；增多；本本质质性性的的联联系系越越多多，准准确确性性越越强强，这这些些联联系系就就越越紧紧密密和和牢牢固固，这这样样，经经由由其其他他结结点点激激活活该该节节点
43、点的的可能性越大，可能性越大，回忆必然越方便越迅速。回忆必然越方便越迅速。示例示例20：方法结构：方法结构度量方法度量方法线线段段长长多多边边形形周周长长圆圆周周长长（多多边边形形周周长长的的极极限限值）值）弧长；弧长；两直线的两直线的夹角夹角线与面的夹角线与面的夹角面与面的夹角面与面的夹角单单位位正正方方形形面面积积长长方方形形与与正正方方形形面面积积其其他他多多边边形形面面积积圆圆面面积积（多多边边形形面面积积的的极极限限值值）多多面面体体表面积；表面积；单单位位正正方方体体体体积积长长方方体体与与正正方方体体体体积积圆圆柱柱体体积积圆锥体积。圆锥体积。逻辑结构逻辑结构: :定义几何量定义
44、几何量确定度量单位确定度量单位简化算法简化算法. .3.纵向联系形成结构纵向联系形成结构示例示例21：对称性：对称性小学数学：小学数学：二年级上二年级上“美丽的对称图形美丽的对称图形”（认识（认识并画出：画一画）；五年级并画出：画一画）；五年级“图形的变换图形的变换轴轴对称对称”（方格纸上研究轴对称的特征和性质：量（方格纸上研究轴对称的特征和性质：量一量，数一数）一量，数一数）初中数学：初中数学：初二上初二上“轴对称轴对称”（坐标系中研究轴（坐标系中研究轴对称的特征和性质）对称的特征和性质）高中数学：高中数学：函数的对称性函数的对称性奇偶性；方程曲线奇偶性；方程曲线的对称性的对称性函数图像的对
45、称性：函数图像的对称性：方程曲线的对称性：方程曲线的对称性：4.横向联系形成结构横向联系形成结构示例示例22：单调性、斜率与导数：单调性、斜率与导数(1)(1)单调性：单调性：(2)(2)斜率斜率直直线线是是线线性性的的，它它描描述述的的是是均均匀匀变变化化，是是最最简简单单的的变变化化。即即直直线线在在某某个个区区间间 上上的的平平均均变变化化率率 ，与与直直线线上上任任意意一一点点x0的的瞬瞬时时变变化化率率（导导数数） 是是相相同同的的，都都等等于于这这条条直直线线的斜率的斜率k。(3)(3)正切正切(4)(4)导数导数导导数数是是平平均均变变化化率率的的极极限限，即即表表示示瞬瞬时时变
46、变化化率率。其几何意义是切线的斜率。其几何意义是切线的斜率。 递增；递增； 递减。递减。融融汇汇贯贯通通的的过过程程，使使我我们们透透过过繁繁杂杂的的现现象象，抓抓住住了本质了本质，同时简化了记记。，同时简化了记记。更更重重要要的的是是接接触触到到一一种种崭崭新新的的认认识识问问题题的的方方法法，把个别的、离散的现象构造成浑然一体的系统。把个别的、离散的现象构造成浑然一体的系统。这这标标志志着着能能力力的的提提高高和和素素质质的的发发展展。以以这这种种提提高高和和发发展展，去去学学习习、去去解解题题，将将与与过过去去不不可可同同日日而而语语。因因为为解解题题的的过过程程的的本本质质，就就是是以
47、以敏敏锐锐的的观观察察、分分析析，去去发发现现和和建建立立已已知知条条件件和和结结论论之之间间的的联联系系。（等角定理等角定理）1.1.从从本本科科生生实实习习试试教教谈谈数数学学教教学学中中存存在在的的若若干干问问题题, ,数数学学通讯通讯，20102010年第年第7 7期期2.2.数数学学知知识识不不是是“铁铁板板一一块块”谈谈数数学学教教师师应应树树立立的的知知识观，识观，数学通报数学通报， 20112011年第年第1010期期 3.3.学学会会追追问问“数数学学”数数学学教教师师成成长长的的重重要要阶阶梯梯，数数学通讯学通讯，20112011年第年第1111期期 4.4.提提高高教教师
48、师数数学学素素养养的的“六六维维度度”，数数学学通通讯讯，20122012年第年第1010期期5.5.刍刍议议稚稚化化思思维维的的数数学学教教学学策策略略，数数学学通通报报，20132013年年第第1010期期6.6.函函数数概概念念的的本本质质与与定定义义方方式式探探究究，数数学学教教育育学学报报，20132013年第年第6 6期期7.7.刍议教师理解数学的几个维度，刍议教师理解数学的几个维度，数学通报数学通报即将刊出即将刊出8.8.高高水水平平数数学学教教学学到到底底该该教教什什么么，数数学学教教育育学学报报即将刊出即将刊出本本书书内内容容是是作作者者着着眼眼于于数数学学理理解解，对对数数
49、学学进进行行自自觉觉“追追问问”和和反反思思所所取取得得的的成成果果，目目的的在在于于澄澄清清数数学学中中的的模模糊糊认认识识,揭揭示示数数学学的的来来龙龙去去脉脉，洞洞察察数数学学知知识识的的本本质质，帮帮助助人人们们更更好好地地认认识识数数学学和和理理解解数数学学，以以克克服服和和解解决决数数学学教教学学中中存存在在的的“会会而而不不懂懂”现现象。象。全全书书内内容容分分别别从从微微观观和和宏宏观观两两个个层层面面展展开开。微微观观层层面面依依内内容容和和学学段段的的不不同同，分分为为“小小学学数数学学篇篇”、“初初中中数数学学篇篇”和和“高高中中数数学学篇篇”。宏宏观观层层面面着着眼眼于于内内在在联联系系和和学学科科整整体体，由由“学学科科视视野野篇篇”和和“思思想想方方法法篇篇”两部分构成。两部分构成。谢谢！谢谢！欢迎交流！欢迎交流！电话：电话：1345919242913459192429邮箱：邮箱：
