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1、1.等差数列的定义：等差数列的定义：2.通项公式：通项公式：3.重要性质重要性质:复习复习 高斯出生于一个工高斯出生于一个工匠家庭，幼时家境贫困，匠家庭，幼时家境贫困，但聪敏异常。上小学四但聪敏异常。上小学四年级时，一次老师布置年级时，一次老师布置了一道数学习题：了一道数学习题：“把把从从1 1到到100100的自然数加起的自然数加起来，和是多少？来，和是多少？”年仅年仅1010岁的小高斯略一思索岁的小高斯略一思索就得到答案就得到答案50505050，这使，这使老师非常吃惊。那么高老师非常吃惊。那么高斯是采用了什么方法来斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？巧妙地计算出来的呢？ 高斯（高斯（
2、1777-18551777-1855），）， 德国数学家、物理学家和天文学德国数学家、物理学家和天文学家。他和牛顿、阿基米德，被誉家。他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。有为有史以来的三大数学家。有“数学王子数学王子”之称。之称。 高斯高斯“神速求和神速求和”的故事的故事: :首项与末项的和：首项与末项的和：1100101，第第2项与倒数第项与倒数第2项的和：项的和：299=101，第第3项与倒数第项与倒数第3项的和：项的和：398101，第第50项与倒数第项与倒数第50项的和：项的和：5051101，于是所求的和是：于是所求的和是：求求 S=1+2+3+100=？你知道高斯是怎么
3、计算的吗？高斯算法：高斯算法：高斯算法用到了等差数列的什么性质？高斯算法用到了等差数列的什么性质？ 如图，是一堆钢管，自上而下每层钢管数为如图，是一堆钢管，自上而下每层钢管数为4 4、5 5、6 6、7 7、8 8、9 9、1010，求钢管总数。，求钢管总数。即求即求：S=4+5+6+7+8+9+10.高斯算法：高斯算法：S=（4+10) +（5+9）+（6+8）+7 = 143+7=49.还有其它算法吗？情景情景2S=10+9+8+7+6+5+4.S=4+5+6+7+8+9+10.相加得相加得：倒序相加法怎样求一般等差数列的前怎样求一般等差数列的前n项和呢？项和呢？新课新课等差数列的前n项和
4、公式公式1公式2公式记忆公式记忆 类比梯形面积公式记忆结论：知结论：知三三求求二二思考：(2)(2)在等差数列在等差数列在等差数列在等差数列 中，如果已知五个元素中，如果已知五个元素中，如果已知五个元素中，如果已知五个元素 中中中中的任意三个的任意三个的任意三个的任意三个, ,请问请问请问请问: :能否求出其能否求出其能否求出其能否求出其余两个量余两个量余两个量余两个量 ? ?(1)(1)两个求和公式有何异同点？两个求和公式有何异同点？两个求和公式有何异同点？两个求和公式有何异同点？例例1、注：本题体现了方程的思想注：本题体现了方程的思想.解：解：举例举例例2、解：又解：整体运算整体运算的思想
5、的思想! !变式训练：变式训练：解：等差数列前等差数列前n n项和公式的函数特征：项和公式的函数特征：(3)(3)项的个数的项的个数的“奇偶奇偶”性质性质. .aan n 为等差数列，公差为为等差数列，公差为d.d.若共有若共有2n2n项项, ,则则S S2n2n=n(a=n(an n+a+an+1n+1) )；若共有若共有2n+12n+1项，则项，则S S2n+12n+1=(2n+1)a=(2n+1)an+1n+1；S S偶偶-S-S奇奇= =a an+1n+1；(1)(1)“片段和片段和”性质性质. .若若aan n 为等差数列，前为等差数列，前k k项和为项和为S Sk k，则，则S S
6、k k，S S2k2k-S-Sk k，S S3k3kS S2k2k, ,构成公差为构成公差为k k2 2d d的等差数列的等差数列. .(2)(2)项数项数( (下标下标) )的的“等和等和”性质性质. .规律总结：规律总结：【解析解析】设数列设数列aan n 的公差为的公差为d d，则，则aan n=a=a1 1+(n-1)d=-60+(n-1)+(n-1)d=-60+(n-1)3=3n-63.3=3n-63.由由a an n0,0,得得3n-633n-630 0，即，即n n21.21.当当n=21n=21时，时，a a2121=0.=0.数列数列aan n 的前的前2020项是负数，第项
7、是负数，第2020项以后的项都为非负数项以后的项都为非负数. .设设S Sn n,S,Sn n分别表示数列分别表示数列aan n 和和|a|an n|的前的前n n项之和，项之和，当当n20n20时，时，S Sn n=|a=|a1 1|+|a|+|a2 2|+|+|a+|an n|=-a|=-a1 1-a-a2 2- -a-an n当当n n2020时，时，S Sn n=-S=-S2020+(S+(Sn n-S-S2020)=S)=Sn n-2S-2S2020数列数列|a|an n|的前的前n n项和项和变式训练：变式训练：等差数列等差数列an的前的前n项和项和 求数列求数列|an|的的前前n
8、项和项和Tn. 数列数列|a|an n|的前的前n n项和的四种类型及其求解策略项和的四种类型及其求解策略(1)(1)等差数列等差数列aan n 的各项都为非负数的各项都为非负数, ,这种情形中数列这种情形中数列|a|an n|就等于数列就等于数列aan n,可以直接求解可以直接求解. .(2)(2)等差数列等差数列aan n 中中,a,a1 10,d0,d0,这种数列只有前边有限项为非负数这种数列只有前边有限项为非负数, ,从某从某项开始其余所有项都为负数项开始其余所有项都为负数, ,可把数列可把数列aan n 分成两段处理分成两段处理. .(3)(3)等差数列等差数列aan n 中中,a,
9、a1 10,0,这种数列只有前边有限项为负数这种数列只有前边有限项为负数, ,其余都其余都为非负数为非负数, ,同样可以把数列分成两段处理同样可以把数列分成两段处理. .(4)(4)等差数列等差数列aan n 的各项均为负数，则的各项均为负数，则|a|an n|的前的前n n项和为项和为aan n 前前n n项和的项和的相反数相反数. .规律总结规律总结变式训练：课时作业十 41、用倒序相加法推导等差数列前、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式项和公式;小结小结3、应用公式求和、应用公式求和.“知三求二知三求二”，方程的思想，方程的思想.已知首项、末项用公式已知首项、末项用公式；已知首项、公差
10、用公式；已知首项、公差用公式.应用求和公式时一定弄清项数应用求和公式时一定弄清项数n.当已知条件不足以求出当已知条件不足以求出a1和和d时，要认真观察，时，要认真观察，灵活应用等差数列的性质，看能否用整体思想求灵活应用等差数列的性质，看能否用整体思想求a1+an的值的值. 等差数列前等差数列前n项和性质：项和性质：(等差数列等分若干段后等差数列等分若干段后,各段和依序成等差数列各段和依序成等差数列)等差数列奇，偶项和问题等差数列奇，偶项和问题求数列前求数列前n项和方法之一：项和方法之一：裂项相消法裂项相消法设设an是公差为是公差为d的等差数列，则有的等差数列，则有特别地，以下等式都是特别地，以
11、下等式都是式的具体应用：式的具体应用：(裂项相消法裂项相消法)；求求和和公公式式：所所给给数数列列的的通通项项是是关关于于n的的多多项项式式，此此时时求求和和可可采用公式法求和，常用的公式有：采用公式法求和，常用的公式有：求数列前求数列前n项和方法之二：项和方法之二：公式公式单利单利：银行利息按单利计算（利息没有利息利息没有利息）本利和=本金（1+利率存期）例如：存入10000元，利率为0.72%存期年初本金年末本利和（元）结果第一年1000010000（1+0.7251）10072第二年1000010000（1+0.7252）10144第三年1000010000（1+0.7253）10216第四年1000010000（1+0.7254）10288特点：每一项与前一项的差是同一个常数复利：复利：银行利息按复利计算（利滚利利滚利）本金和=本金（1+利率）存期存期年初本金年末本利和（元）第一年1000010000（1+1.98%）1第二年100001.019810000（1+1.98%）2第三年100001.0198210000（1+1.98%）3第四年100001.0198310000（1+1.98%）4例如：存入10000元，利率为1.98%特点：后一顶与前一项的比是同一个常数
