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1、第八章第八章 向量代数与空间解析向量代数与空间解析几何几何 第一节空间直角坐标系与向量的概念第一节空间直角坐标系与向量的概念 第二节第二节 向量的点积和叉积向量的点积和叉积 第三节第三节 平面与直线平面与直线第四节第四节 曲面与空间曲线曲面与空间曲线 向量矢量）：向量矢量）： 既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .模长为模长为1 1的向量。的向量。零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小单位向量：单位向量：一、向量的概念一、向量的概念或或或或向量的记法：向量的记法：（方向任意）。（方向任意）。向量的表示：向量的表示：3/26就是线段就
2、是线段的距离的距离自由向量：自由向量： 不考虑起点位置的向量默认）不考虑起点位置的向量默认）. .相等的向量：相等的向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .平行的向量：平行的向量：4/261 加法：加法：（1平行四边形法则平行四边形法则特殊地：假设特殊地：假设 （2三角形法则三角形法则二、向量的线性运算二、向量的线性运算5/26考虑物理意义考虑物理意义向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1交换律：交换律：（2 2结合律：结合律：（3）2 减减法法6/263向量与数的乘法向量与数的
3、乘法:7/26数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1结合律：结合律：（2 2分配律：分配律：8/26例例1 1 化化简简解解9/26本例题利用了向量数乘的结合律和分配率横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴定点定点空间直角坐标系空间直角坐标系 若三个坐标轴的正方若三个坐标轴的正方向符合右手规则向符合右手规则右手右手系系最常用默认）最常用默认）.三、空间点的直角坐标三、空间点的直角坐标 另一种空间直角坐另一种空间直角坐标系标系左手系左手系.11/26面面面面面面空间直角坐标系共有三个坐标面、空间直角坐标系共有三个坐标面、八个卦限八个卦限12/26向径向径OM有序数组有序数组称
4、为称为(x, y, z)向径向径OM的坐标的坐标,点点M点点M的坐标。的坐标。xyz向量向量AB的坐标的坐标 =向径向径OM的坐标的坐标A(x1,y1,z1)B(x2,y2,z2)M(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)=AB的终点坐标的终点坐标(x2,y2,z2)- -起点坐标起点坐标(x1,y1,z1)(x1,y1,z1)=(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)13/26 按基本单位向量的分解式按基本单位向量的分解式.14/26五、五、 向量的模、方向角、投影向量的模、方向角、投影1. 1. 向量的模与两点间距离公式向量的模与两点间距离公式向量的模的坐标表达
5、式。向量的模的坐标表达式。17/26解解原结论成立原结论成立.18/26解解设设P点坐标为点坐标为所求点为所求点为19/262. 2. 方向角与方向余弦方向角与方向余弦类似地，定义向量与轴的夹角及两轴的夹角类似地，定义向量与轴的夹角及两轴的夹角. 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为向量的非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为向量的方向角，方向角，其余弦称为向量的其余弦称为向量的方向余弦方向余弦. .由由20/26当当 时，时，向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式由21/26解解例例7 723/26六、小结六、小结1、向量的概念、向量的概念（注意与标量的区别）（注意与标量的区别）2、
6、向量的线性运算、向量的线性运算3、空间点的坐标、向量的坐标、空间点的坐标、向量的坐标4、利用直角坐标作向量的线性运算、利用直角坐标作向量的线性运算5、向量的模、方向角、方向余弦、投影、向量的模、方向角、方向余弦、投影26/26第二节第二节 向量的点积和叉积向量的点积和叉积 一、向量的点积数量积）一、向量的点积数量积） 1 1引例引例 已知力已知力 与与 轴正向夹角为轴正向夹角为 , ,其大小为其大小为 ，在力，在力 的作用的作用下，一质点下，一质点 沿沿 轴由轴由 点点( )( )移动到移动到 点点( )( )(如图如图8-98-9），求力），求力 所做的功？所做的功？解解 力力 在水平方向的
7、分力大小为在水平方向的分力大小为 ，所以，力所以，力 使质点使质点 沿沿 轴方向轴方向( (从从 到到 ) )所所做的功为：做的功为： (1) (1)注意到注意到 ， ，所以，所以(1)(1)式可写成式可写成: : (2) (2)点积的定义点积的定义定义定义1 设向量设向量 与与 之间夹角为之间夹角为 （ ），则称实数），则称实数 为为 与与 的点积或数量积），并用记号的点积或数量积），并用记号 表示，即表示，即 = 特别，零向量与任何向量的点积显然为特别，零向量与任何向量的点积显然为0即为数零）。即为数零）。注意，我们约定两向量注意，我们约定两向量 与与 间的夹角的范围是间的夹角的范围是 于
8、是由定义于是由定义1即可得：即可得：3点积满足的运算规律点积满足的运算规律由点积的定义容易验证点积满足下列运算规律：由点积的定义容易验证点积满足下列运算规律： (1) （交换律）；（交换律）； （2） （分配律）；（3） （结合律）。显然 ， 且可得到以下结论定理1 两个非零向量 与 垂直记为 ）的充分必要条件为 。证明见书）。 由此定理可得到： , , ；另有 , , 。4点积的坐标表示式 那么 由此可得上述两非零向量垂直的充分必要条件又可表为：另外，由 ,可得两向量，夹角的余弦公式：例 试证向量 , 是互相垂直即正交的 证明证明 因为因为 ，所以由定理，所以由定理1知与互知与互相垂直。相垂
9、直。二、向量的叉积二、向量的叉积( (向量积向量积) )只做了解只做了解1 1引例引例设设 点为一杠杆的支点点为一杠杆的支点 , ,力力 作用于杠杆上点作用于杠杆上点 处，处，求力求力 对支点对支点 的力矩的力矩 . .解解 根据物理学知识，力根据物理学知识，力 对点对点 的力矩是向量的力矩是向量 , ,其大小为其大小为 ，其中，其中 为为支点支点 到到力力 的作用线的距离的作用线的距离, , 为矢量为矢量 与与 的夹角如图的夹角如图8-108-10）力矩力矩 的方向规定为：伸出右手，让四指与大拇指垂直，的方向规定为：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向并使四指先指向 方向方向 ，然后
10、让四指沿小于，然后让四指沿小于 的方向握的方向握拳转向力拳转向力 的方向，这时拇指的方向就是力矩的方向，这时拇指的方向就是力矩 的方向的方向因而，力矩因而，力矩 是一个与向量是一个与向量 和向量和向量 有关的向量，其大有关的向量，其大小为小为 ，其方向满足：，其方向满足：（1） 同时垂直于向量 和 ；（2向量 ， ， 依次符合右手螺旋法则2叉积的定义定义2 两个向量 和 的叉积也称为向量积是一个向量，记作 ，并规定如下： （1） ； （2） 的方向规定为： 既垂直于 又垂直于 ，并且按顺序 ， ， 符合右手螺旋法则如图8-11）若把 ， 的起点放在一起，并以 ， 为邻边作一平行四边形，则向量
11、与 的叉积的模 即为该平行四边形的面积如图8-12） 第三节第三节 平面与直线平面与直线一、平面的方程一、平面的方程1.1.平面的点法式方程平面的点法式方程（1 1）. .法向量法向量如如果果一一个个非非零零向向量量垂垂直直于于一一个个平平面面，则则称称此此向向量量为为该该平平面面的法线向量。的法线向量。（2 2）. .平面的点法式方程平面的点法式方程已知点已知点 为平面为平面 上一点，向量上一点，向量 为平面为平面 的法向量，求平面的法向量，求平面 的方程。的方程。设设点点为为 平平面面 上上任任意意一一点点，连连结结 成成向向量量 （见图（见图8-138-13）。）。 由于平面 的法向量
12、垂直于 上任一直线，故有 ，从而得到 ，即有 ，于是得方程为： （1）显然平面 上任一点满足方程1）；反之，假设点 不在平面 上，那么 不垂直 ，从而 ,即点 的坐标不满足方程1），故方程1）是平面 的方程。平面 是方程1的图形，我们称这种由平面 上一定点和其法向量所确定的平面方程为平面点法式方程2.2.平面的一般方程平面的一般方程由上面的讨论可以看出，任一平面方程都是三元一次方程。由上面的讨论可以看出，任一平面方程都是三元一次方程。反之，任一三元一次方程反之，任一三元一次方程 (2) (2)的图形必为平面。的图形必为平面。 这是因为任取满足方程这是因为任取满足方程2 2的一组数的一组数 ，有
13、，有: : （3 3）式式2 2）式）式3 3），得），得 , , 这是过点这是过点 且法向量且法向量 的平面方程，即任的平面方程，即任一三元一次方程的图形是一平面。我们称方程一三元一次方程的图形是一平面。我们称方程为平面的一般式方程，其中为平面的一般式方程，其中 。 下面研究几种特殊位置的平面方程：下面研究几种特殊位置的平面方程：（1 1假设假设 ，则平面一般方程变为，则平面一般方程变为 , ,由由 于点于点满足方程，故它表示通过原点的平面。满足方程，故它表示通过原点的平面。即 。在这里，我们规定两平面法向量间的夹角为两平面的夹角。例8 求两平面 与 的夹角 。解 知 ， ，故于是得夹角 。
14、二、直线的方程1.直线的点向式方程及参数式方程（1）.直线的方向向量如果一个非零向量平行于一条已知直线，则称这个向量为该直线的方向向量。（2）.直线的点向式方程标准式方程）已知向量 （ 不全为零和一定点 ，求经过点 且与平行的直线方程。设 是所求直线上的任意一点，由条件 ，而 ， （如图8-15），由二非零向量平行的充分必要条件得： (4) 方程组4称为直线的点向式方程也称为直线的标准式方程）。注意 因为 ，所以 不全为零。若其中有一个为零，例如 时，（4式应理解为 而当有两个为零时，例如 ,（4式应理解为 例9 求过两点 ， 的直线方程。解 所求直线的方向向量为：由直线的点向式方程得所求直线
15、方程为（3）。直线的参数式方程设一直线的点向式方程为： ， 于是有 ， ， ，即有（t为参数） (5)我们称方程组5为直线的参数式方程。2。直线的一般式方程空间直线也可看作两个平面的交线，所以可用这两个平面方程的联立方程组来表示直线的方程，即： (6)方程组6称为直线的一般式方程，也称为直线的面交式方程 。注意 只有两个平面不平行时才会有交线。 于是得所求直线方程为 。4。两直线的夹角两直线方向向量间的夹角称为两直线的夹角。例13 求直线 和 间的夹角。解 直线L1，L2的方向向量分别为 ， ，故两直线间的夹角 的余弦为： 所以 。第四节第四节 曲面与空间曲线曲面与空间曲线 一、曲面方程的概念
16、一、曲面方程的概念 定义定义 如果曲面上每一点的坐标都满足方程如果曲面上每一点的坐标都满足方程 ，而不在曲面而不在曲面 上的点的坐标都不满足这个方程，则称方程上的点的坐标都不满足这个方程，则称方程 为为曲曲面面 的的方方程程，而而称称曲曲面面 为为此此方方程的图程的图形。形。例例1 1 求与两定点求与两定点 ， 等距离的点的轨等距离的点的轨迹方程。迹方程。解解 设设 为轨迹上的点，按题意有：为轨迹上的点，按题意有： ， = = ，化简得：化简得： 因此在轨迹上的点的坐标满足上述方程，而不在轨迹上的点的坐标不满足该方程，所以它就是所求点的轨迹方程。该方程是 的一次方程，它表示一个平面。例2 求球
17、心在 ，半径为R的球面方程。解 设定点 的坐标为 ，则点 在以 为球心，以R为球半径的球面上的充要条件为 即 。 两边平方，得 显然，球面上的点的坐标满足方程，不在球面上的点的坐标不满足方程，所以方程就是以 球心，以R为球半径的球面方程。 时，则得球心在坐标原点的球面方程为： 二、母线平行于坐标轴的柱面1.定义 直线L沿定曲线C平行移动所形成的曲面称为柱面；定曲线C称为柱面的准线，动直线L称为柱面的母线（见图8-17）。2.柱面方程本节我们只讨论准线在坐标面上，而母线垂直于该坐标面的柱面，先看一个具体问题。设一个圆柱面的母线平行于z轴，准线C是 平面上以原点为圆心，R为半径的圆，即准线C的方程
18、为 ，试求。在圆柱面上任取一点 ，过点的母线与 平面的交点 一定在准线C上见图8-18），所以不论点M 的坐标中的 z 取什么值，它的横坐标 x 和纵坐标 y 必定满足方程 ;反之，不在圆柱面上的点，它的坐标不满足这个方程，于是所求柱面方程为 。注意 在平面直角坐标系中，方程 表示一个圆，而在空间直角坐标系中，方程 表示一个母线平行于z轴的圆柱面。 一般来说，如果柱面的准线是 面上的曲线C，它在平面直角坐标系中的方程为 ，那么，以C为准线，母线平行于z轴的柱面方程就是 。相仿地，方程 表示母线平行于 x 轴的柱面；方程 表示母线平行于y轴的柱面。于是，我们有结论：在空间直角坐标系 下，二元方程
19、必为柱面方程，且方程中缺哪个变量，该柱面的母线就平行于哪一个坐标轴。例如：方程 表示母线平行于轴的椭圆柱面，方程 表示母线平行于轴的双曲柱面，方程 表示母线平行于轴的抛物柱面，以上三个方程都是二次的，因此称其为二次柱面见图8-19、8-20、8-21）。三、旋转曲面1.定义 一平面曲线C 绕同一平面上的一条定直线L 旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面；其中曲线C 称为旋转曲面的母线，直线L称为旋转曲面的轴或称旋转轴）。.旋转曲面方程我们本节主要讨论母线在某个坐标面上，旋转轴是该坐标面上的一条坐标轴的旋转曲面。设在 平面上有一条已知曲线C，它方程是：求此曲线C 绕轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程见
20、图8-22）。 在旋转曲面上任取一点 ，设这点是由母线上点 绕轴旋转一定角度而得到。由图8-22可知，点 与z 轴的距离等于点与z轴的距离，且有同一竖坐标，即 , ,又因为点 在母线C 上， 所以 ，于是有： 。旋转曲面上的点都满足方程 ，而不在旋转曲面上的点都不满足该方程，故此方程是母线为 C ，旋转轴为z 轴的旋转曲面的方程。可见，只要在 坐标面上曲线C 的方程中，将 y 换成 ，就得到曲线C 绕轴旋转的旋转曲面方程。同理，曲线C 绕y 轴旋转所成的的旋转曲面方程为对于其它坐标面上的曲线，绕该坐标面上任何一条坐标轴旋转所生成的旋转曲面，其方程可以用上述类似方法求得。例3 求由 平面上的直线
21、 绕z轴旋转所生成的旋转曲面方程。解 在 中，把 y 换成 ，得所求方程为 ，即 ，此曲面为顶点在原点，对称轴为轴的圆锥面见图8-23）。四、二次曲面由上一节已知，在空间直角坐标系中，若方程 是一次方程，则它的图形必是一个平面。平面也称为一次曲面；若方程 是二次方程，则它的图形称为二次曲面。 对于空间曲面方程，我们一般地用一系列平行于坐标面的平面去截曲面，从而求得一系列的交线，对这些交线进行综合分析就可了解曲面的形状和特征，这种方法称为截痕法。下面我们就用截痕法研究几个常见的二次方程所表示的二次曲面的形状和特征。1.椭球面方程 所表示的曲面称为椭球面，其中a、b、c称为椭球面的半轴。由方程 可
22、知 ，即 由此可见，该曲面包含在 ， ， 这六个平面所围成的长方体内。现用截痕法来考察这个曲面。 用 坐标面 和平行于 坐标面的平面 去截曲面，其截痕分别为椭圆，且 由0逐渐增大到C时，椭圆由大变小，逐渐缩为一点。同样用 坐标面与平行于 坐标面的平面去截曲面和用 坐标面与平行于 坐标面的平面去截曲面，它们的交线与上述结果类同。综上我们可知方程 所表示的曲面形状如图8-25所示。当 时原方程化为 ，它是一个椭圆绕轴旋转而成的旋转椭球面。由方程 知 ，故曲面在 坐标面的上方。 用 坐标面去截曲面 ，截痕是一点 ，称为此椭圆抛物面的顶点。用平行于 坐标面的平面 截此曲面，其交线为 平面上的椭圆，且当 h 增大时，椭圆的半轴也随之增大。若用平面 或 截曲面，其交线分别为抛物线。综合上面的讨论可得椭圆抛物面的形状如图8-26所示。当 时，原方程化为 ，它是由抛物线绕 z 轴旋转而成，称为旋转抛物面。类似的讨论可得方程 和 所表示的图形。这里所表示的曲面称为单叶双曲面。其图形如图8-27所示；而方程 所表示的曲面称为双叶双曲面，其图形如图8-28所示。
