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1、光学信息技光学信息技术原理及运用原理及运用抽抽样定理定理四抽抽样定理的由来和意定理的由来和意义实践践的的宏宏观物物理理过程程都都是是延延续变化化的的，物物理理量量的的空空间分分布布也也是是延延续变化的。化的。 在在今今天天的的数数字字时代代，延延续变化化的的物物理理量量要要用用它它的的一一些些离离散散分分布布的的采采样值来表示，而且来表示，而且这些采些采样值的表达方式也是离散的的表达方式也是离散的 这些些离离散散的的数数字字表表示示的的物物理理量量的的含含义或或者者说包包含含的的信信息息量量与与原原先先的延的延续变化的物理量能否一化的物理量能否一样？ 能否可以由能否可以由这些抽些抽样值准确恢复
2、一个延准确恢复一个延续的原函数？的原函数？ 本本书用用的的是是惠惠特特克克香香农Whittaker-ShannonWhittaker-Shannon抽抽样定定理理的的二二维方式方式 函数的抽函数的抽样 最最简单的抽的抽样方法是用二方法是用二维梳状函数与被抽梳状函数与被抽样的函数相乘的函数相乘 假假设被抽被抽样的函数的函数为 ，抽，抽样函数可表示函数可表示为 梳状函数是梳状函数是 函数的集合，它与任何函数的乘函数的集合，它与任何函数的乘积就是无数分布在就是无数分布在平面平面 上在上在 ， 两方向上两方向上间距距为 和和 的的 函数函数 与与该函函数的乘数的乘积任何函数与任何函数与 函数相乘的函数
3、相乘的结果依然是果依然是 函数，只是函数，只是 函数的函数的“大小大小要被要被该函数在函数在 函数位置上的函数函数位置上的函数值所所调制。制。换句句话说，每个，每个 函数下的体函数下的体积正比于正比于该点函数的数点函数的数值 抽抽样函数函数抽抽样函数的函数的频谱 利用卷利用卷积定理和梳状函数的傅里叶定理和梳状函数的傅里叶变换，可，可计算抽算抽样函数的函数的频谱 抽抽样函数的原函数的复原函数的原函数的复原图奈奎斯特奈奎斯特NyquistNyquist抽抽样间隔隔 假假设函数函数 是限是限带函数，即它的函数，即它的频谱仅在在频率平面上一个率平面上一个有限区域内不有限区域内不为零零 假假设包包围该区
4、域的最小矩形在区域的最小矩形在 和和 方向上的方向上的宽度分度分别为 和和 欲使欲使图中周期性复中周期性复现的函数的函数频谱不会相互混叠，必需使不会相互混叠，必需使 或者或者说抽抽样间隔必需隔必需满足足 式中表示的两方向上的最大抽式中表示的两方向上的最大抽样间距和通常称作奈奎斯特距和通常称作奈奎斯特NyquistNyquist抽抽样间隔隔 原函数原函数频谱的复原的复原 要原函数的复原首先要恢复其要原函数的复原首先要恢复其频谱 在在满足足奈奈奎奎斯斯特特抽抽样间隔隔的的情情况况下下，只只需需用用宽度度 和和 , ,位位于于原原点点的的矩矩形形函函数数去去乘乘抽抽样函函数数的的频谱就就可可得得到到
5、原原来来函函数数的的频谱。在在频率率域域进展展的的这种种操操作作去去掉掉了了部部分分频谱成成份份，经常常称称作作“滤波波 用用频域中域中宽度度 和和 的位于原点的矩形函数的位于原点的矩形函数为 滤波波过程可写作程可写作 原函数的复原原函数的复原1 1做反做反变换就可直接得到原函数就可直接得到原函数根据卷根据卷积定理，在空定理，在空间域得到域得到对上式左上式左边两个因子分两个因子分别进展化展化简有有 结果得到无数果得到无数 函数与函数与SINCSINC函数的卷函数的卷积和和原函数的复原原函数的复原2 2最后卷最后卷积的的结果果,愿函数愿函数为假假设取最大允取最大允许的抽的抽样间隔，即隔，即 ，并
6、且，并且 ，那么，那么可可见用用SINC函数做函数做为插插值函数可以准确恢复原函数当然要函数可以准确恢复原函数当然要满足必要的足必要的条件条件 抽抽样定理的意定理的意义抽抽样定理公式就是由抽定理公式就是由抽样点函数点函数值计算在抽算在抽样点之点之间所不知道的非抽所不知道的非抽样点函数点函数值，在数学上就是插，在数学上就是插值公式公式抽抽样定理的重要意定理的重要意义在于它在于它阐明，准确的插明，准确的插值是存在的。也就是是存在的。也就是说，由插由插值准确恢复原函数可以在一定条件下准确恢复原函数可以在一定条件下实现一个延一个延续的限的限带函数可以由其离散的抽函数可以由其离散的抽样序列替代，而不序列
7、替代，而不丧失任何信失任何信息息因此抽因此抽样定理是数字化社会的根底，其重要意定理是数字化社会的根底，其重要意义怎怎样讲也不也不过分分 抽抽样定理定理证明明图解解1 1抽抽样定理定理证明明图解解2 2空空间带宽积 假假设限限带函函数数 在在频域域中中 , , 以以外外恒恒为零零，根根据抽据抽样定理，函数在空域中的范定理，函数在空域中的范围内抽内抽样数至少数至少为 式式中中 表表示示函函数数在在空空域域覆覆盖盖的的面面积, , 表表示示函函数数在在频域域中中覆覆盖盖的的面面积。在。在该区域的函数可由数目区域的函数可由数目为 的抽的抽样值来近似表示。来近似表示。问题：为什么是近似？抽什么是近似？抽
8、样定理不是准确的定理不是准确的吗？ 空空间带宽积 就定就定义为函数在空域和函数在空域和频域中所占有的面域中所占有的面积之之积： 空空间带宽积的意的意义空空间带宽积描画空描画空间信号如信号如图象，象，场分布的信息量，也可用来分布的信息量，也可用来描画成象系描画成象系统、光信息、光信息处置系置系统的信息容量，即的信息容量，即传送与送与处置信息置信息的才干。的才干。空空间带宽积决决议了了图象最低必需分辨的象素数，如数象最低必需分辨的象素数，如数码相机的技相机的技术目的目的空空间带宽积表达表达图象的自在度或自在参数数象的自在度或自在参数数 图象是象是实函数，每一个抽函数，每一个抽样值为一个一个实数，自
9、在度数，自在度为当当图象是复函数，每一个抽象是复函数，每一个抽样值为一个复数，要由两个一个复数，要由两个实数表示。数表示。自在度增大一倍，自在度增大一倍， 抽抽样定理例定理例题1 1假假设二二维不不变线性系性系统的的输入是入是“线脉冲脉冲 ，系，系统对线脉冲的脉冲的输出呼出呼应称称为线呼呼应 。假。假设系系统的的传送函数送函数为 ，求，求证：线呼呼应的一的一维傅里傅里叶叶变换等于系等于系统传送函数沿送函数沿 轴的截面分布的截面分布 。 抽抽样定理例定理例题1 1解解证明：明：线脉冲本脉冲本质上也是二上也是二维的函数，只是沿的函数，只是沿 方向函数方向函数值不不变，是常，是常数数1 1。系系统对
10、线脉冲的脉冲的输出呼出呼应，即，即线呼呼应也是二也是二维的函数，可表示的函数，可表示为线呼呼应的一的一维傅里叶傅里叶变换那么那么为这就是系就是系统传送函数沿送函数沿 轴的截面分布的截面分布证毕。 抽抽样定理例定理例题1 1解解续这里要留意的一点是里要留意的一点是 这是二是二维傅里叶傅里叶变换的特点，另一个的特点，另一个变量是量是隐含着的。含着的。从从这一一题中中我我们还要要引引伸伸出出一一个个重重要要的的概概念念，即即二二维传送送函函数数丈丈量量可可以以经过一一维线呼呼应，即即线分分散散函函数数来来丈丈量量和和计算算。由由于于两两维的的丈丈量量在在过去去没没有有图像像传感感器器时是是相相当当困困难的的，而而转换成成一一维信信号就可以用全部光能号就可以用全部光能积分随分随时间变化的化的线呼呼应来来实现了。了。线呼呼应函数和函数和传送函数的关系送函数的关系习题 教科教科书P22P22习题1.21.2，1.51.5，1.61.6
