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1、幂函数的性质与图象幂函数的性质与图象问题引入问题引入 (1) (1) 如果回收旧报纸每公斤元，某班每年卖旧报纸如果回收旧报纸每公斤元，某班每年卖旧报纸公斤，所得价钱是关于的函数公斤，所得价钱是关于的函数 (2) (2) 如果正方形的边长为，面积如果正方形的边长为，面积, ,这里是关于这里是关于的函数的函数; ; (3) (3) 如果正方体的边长为如果正方体的边长为, , 正方体的体积为正方体的体积为, , 这里是关于函数这里是关于函数; ;(4)(4)如果一个正方形场地的面积为如果一个正方形场地的面积为, , 这个正方形的这个正方形的边长为，这里是关于的函数边长为，这里是关于的函数; ;(5)
2、(5)如果某人秒内骑车行驶了如果某人秒内骑车行驶了, ,他骑车的平他骑车的平均速度是，这里是关于的函数均速度是，这里是关于的函数. . 我们先看几个具体问题我们先看几个具体问题: : ：以上各题目的函数关系分别是什么？以上各题目的函数关系分别是什么？ ：以上问题中的函数具有什么共同特征？以上问题中的函数具有什么共同特征？一、幂函数的定义一、幂函数的定义一般地，函数一般地，函数y = x叫做叫做幂函数幂函数，其中其中x是是自变量自变量，k是是常数常数。(kQ)注注 意意1 1、幂函数的解析式必须是、幂函数的解析式必须是y = y = 的形式，的形式， 其特征可归纳为其特征可归纳为“两个两个系数为
3、系数为，只有，只有项项2 2、定义域定义域与与k k的值有关系的值有关系. .例例1、下列函数中，哪几个函、下列函数中，哪几个函数是幂函数？数是幂函数？（1）y = （2）y=2x2（3）y=2x （4）y=1 (5) y=x2 +2 (6) y=-x3答案答案:(1)(4):(1)(4) (1)奇偶性奇偶性:定义域不关于原点对称定义域不关于原点对称, 为非奇非偶函数为非奇非偶函数.于是于是 即即f(x1)f(x2)0由不等式性质由不等式性质,得得(2)单调性单调性: 设任意设任意x1、x2(0,+),且且0x1x2,所以所以 在（在（0，+）上是减函数）上是减函数例例2研究幂函数的定义域、奇
4、偶性研究幂函数的定义域、奇偶性 和单调性，并作出图象和单调性，并作出图象解解:它的定义域是（，它的定义域是（，+）x 1/4 1/2 1234y 21.4 10.7 0.6 0.5探探 究究 与与 发发 现现例例3：讨论函数：讨论函数 的定义域、奇偶性的定义域、奇偶性, 作作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性、出它的图象，并根据图象说明函数的单调性、及值域。及值域。 定义域定义域:(,+)奇偶性奇偶性:偶函数偶函数x012468y011.6 2.5 3.3 4x012468y011.6 2.5 3.3 4x012468y011.6 2.5 3.3 4x012468y011.6 2.5 3.
5、3 4探探 究究 与与 发发 现现例：讨论函数例：讨论函数 的定义域，作出的定义域，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调它的图象，并根据图象说明函数的单调性、奇偶性及值域。性、奇偶性及值域。在在 上是增函数上是增函数定义域：定义域：在在 上是减函数上是减函数 值值 域：域：奇偶性：偶函数奇偶性：偶函数单调性：单调性：作出下列函数的图象: x-3-2-10123-3-2-101239410149 -27-8-10182701 -1/3 -1/2-111/2 1/3y=xy=x x-3 -2 -1 0 1 2 3y=x29410 1 4 9 x-3-2 -1 0 1 2 3y=x3-27 -8
6、-1 0 1 8 27 x 0 1 2 4 0 1 2x-3-2-1 1 23-1/3 -1/2 -1 1 1/2 1/3在第一象限内在第一象限内,函数图象的变化函数图象的变化趋势与指数有什趋势与指数有什么关系么关系?在第一象限内，在第一象限内，当当k0时，图象随时，图象随x增大而上升。增大而上升。当当k00时，图象随时，图象随x x增大而上升。增大而上升。当当k0k0时时,图象还都过点图象还都过点(0,0)点点幂函数的性质幂函数的性质: :.所有的幂函数在所有的幂函数在(0,+)(0,+)都有定义都有定义, ,并且函数图并且函数图象都通过点象都通过点(1,1(1,1);幂函数的定义域、奇偶性
7、、单调性，因函数式幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式中中k k的不同而各异的不同而各异. . .如果如果k0,k0,则幂函数的图象过点则幂函数的图象过点(1,1),(1,1),并在并在(0,+)(0,+)上为减函数上为减函数; ; K0,k0,则幂函数的图象过点则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)并在并在(0,+)(0,+)上为增函数上为增函数; ;k10k1练习练习:如果函数如果函数是是幂幂函函数数，且且在在区区间间（0，+）内内是是减减函函数数，求求满满足足条条件件的的实实数数m的集合。的集合。例例5. 利用单调性判断下列各值的大小。利用单调性判断下列各值的
8、大小。（1）5.20.8 与与 5.30.8 （2）0.20.3 与与 0.30.3 (3)解解:(1)y= x0.8在在(0,)内是增函数内是增函数, 5.25.3 5.20.8 5.30.8 (2)y=x0.3在在(0,)内是增函数内是增函数0.20.3 0.20.3 0.30.3(3)y=x-2/5在在(0,)内是减函数内是减函数2.52.7-2/5练习练习1）2）3）4）XyXy第第一一象象限限k0时时双曲线型双曲线型开口开口向右抛物线型向右抛物线型OOk10k0,k0,在在(0,+)(0,+)上为增函数上为增函数; ; k0,k0,在在(0,+)(0,+)上为减函数上为减函数 图象过定点图象过定点(1,1)小结小结1 1、幂函数的定义、幂函数的定义及图象特征及图象特征? ?2 2、幂函数的性质、幂函数的性质3、思想与方法、思想与方法运用函数性质解决问题时运用函数性质解决问题时,要想到数形结要想到数形结合的思想方法合的思想方法,寓数于形寓数于形,赋形于数赋形于数,互相利互相利用用,相得溢彰相得溢彰.作业作业:103页页3106页页1,3 成功始于方法成功始于方法巩固才能提高巩固才能提高个人观点供参考，欢迎讨论
