离散数学代数系统

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1、第第5 5章章 代数系统代数系统离离 散散 数数 学学本章说明本章说明本章说明本章说明q本章的主要内容本章的主要内容一元和二元运算定义及其实例一元和二元运算定义及其实例二元运算的性质二元运算的性质代数系统定义及其实例代数系统定义及其实例子代数子代数q与后面各章的关系与后面各章的关系是后面典型代数系统的基础是后面典型代数系统的基础5.1 5.1 二元运算及其性质二元运算及其性质5.2 5.2 代数系统代数系统 本章小结本章小结 作作 业业本章内容本章内容本章内容本章内容5.1 5.1 二元运算及其性质二元运算及其性质二元运算及其性质二元运算及其性质定义定义5.1 5.1 设设S S为集合，函数为

2、集合，函数 f：SSS 称为称为S上上的二元运算的二元运算，简称为，简称为二元运算二元运算。举例举例 f:NNN:NNN，f(f()x + +y是自然数集合是自然数集合N N上的二元运算上的二元运算f:NNN:NNN，f(f()x - - y不是自然数集合不是自然数集合N N上的二元运算上的二元运算称称N N对减法对减法不封闭不封闭。说明说明验证一个运算是否为集合验证一个运算是否为集合S S上的二元运算主要考虑两点：上的二元运算主要考虑两点：qS S中任何两个元素都可以进行这种运算，且运算的结果中任何两个元素都可以进行这种运算，且运算的结果是唯一的。是唯一的。qS S中任何两个元素的运算结果都

3、属于中任何两个元素的运算结果都属于S S，即即S S对该运算是对该运算是封闭的。封闭的。（1 1）自然数集合）自然数集合N上的加法和乘法是上的加法和乘法是N上的二元上的二元运算，但减法和除法不是。运算，但减法和除法不是。（2 2）整数集合）整数集合Z Z上的加法、减法和乘法都是上的加法、减法和乘法都是Z上的上的二元运算，而除法不是。二元运算，而除法不是。（3 3）非零实数集）非零实数集R*上的乘法和除法都是上的乘法和除法都是R*上的二上的二元运算，加法、减法不是元运算，加法、减法不是。（4 4）设）设Sa1,a2,an，ai aj=ai为为S上二元运上二元运算。算。例例例例5.15.15.15

4、.1例例5.15.1（5）设设Mn(R)表示所有表示所有n阶阶(n2)实矩阵的集合，实矩阵的集合，即即则矩阵加法和乘法都是则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算上的二元运算。（6）S为任意集合，则为任意集合，则、 为为P(S)上的二元上的二元运算。运算。（7）SS为为S上的所有函数的集合，则合成运算上的所有函数的集合，则合成运算 为为SS上上的二元运算。的二元运算。一元运算一元运算定义定义5.25.2设设S为集合，函数为集合，函数f：SS称为称为S上的一上的一元运算元运算，简称为，简称为一元运算一元运算。例例5.3（1）求一个数的相反数求一个数的相反数是整数集合是整数集合Z、有理数有理数集

5、合集合Q和实数集合和实数集合R上的一元运算。上的一元运算。（2）求一个数的倒数求一个数的倒数是非零有理数集合是非零有理数集合Q*、非非零实数集合零实数集合R*上的一元运算。上的一元运算。（3）求一个复数的共轭复数求一个复数的共轭复数是复数集合是复数集合C上的上的一元运算。一元运算。（4 4）在幂集）在幂集P(S)上，如果规定全集为上，如果规定全集为S，则，则求求集合的绝对补集合的绝对补运算是运算是P(S)上的一元运算。上的一元运算。（5 5）设）设S为集合，令为集合，令A为为S上所有双射函数的上所有双射函数的集合，集合，A SS，求一个双射函数的反函数求一个双射函数的反函数为为A上的一元运算。

6、上的一元运算。（6 6）在）在n(n2)阶实矩阵的集合阶实矩阵的集合Mn(R)上上，求求一个矩阵的转置矩阵一个矩阵的转置矩阵是是Mn(R)上的一元运算。上的一元运算。一元运算举例一元运算举例一元运算举例一元运算举例q可以用可以用 、 、 、 、 等符号表示二元或一等符号表示二元或一元运算，称为元运算，称为算符算符。设设f:SSS是是S上的二元运算上的二元运算 ，对任意的对任意的x, yS，如果如果x与与y的运算结果为的运算结果为z，即即f()z，可以利用算可以利用算符符 简记为简记为x y =z。对一元运算对一元运算 ，x的运算结果记作的运算结果记作 x。例题例题设设R为实数集合，如下定义为实

7、数集合，如下定义R上的二元运算上的二元运算 x,yR，x y =x。那么那么3 4=3，0.5 ( 3)=0.5。二元与一元运算的算符二元与一元运算的算符二元与一元运算的算符二元与一元运算的算符q函数的解析公式函数的解析公式q运算表（表示有穷集上的一元和二元运算）运算表（表示有穷集上的一元和二元运算）二元运算的运算表二元运算的运算表an anan a2an a1ana2 ana2 a2a2 a1a2a1 ana1 a2a1 a1a1ana2a1 一元运算的运算表一元运算的运算表 anan a2a2 a1a1 aiai二元与一元运算的表示二元与一元运算的表示二元与一元运算的表示二元与一元运算的表

8、示例例5.45.4设设S=1,2，给出给出P(S)上的运算上的运算 和和的运的运算表算表，其中全集为，其中全集为S。 的的运算表运算表121,21,211,22221,2111,2211,221 的运算表的运算表1,212211,2aiai解答解答例例例例5.45.45.45.4例例5.55.5设设S=1,2,3,4，定义定义S上的二元运算上的二元运算 如下如下x y(xy)mod5， x, ,ySS 求运算求运算 的运算表。的运算表。解答解答例例例例5.55.55.55.5 1 12 23 34 41 11 12 23 34 42 22 24 41 13 33 33 31 14 42 24

9、44 43 32 21 1定定义义5.35.3 设设 为为S上上的的二二元元运运算算，如如果果对对于于任任意意的的x,yS都都有有x y=y x，则则称称运运算算 在在S上上满满足足交交换律换律。定定义义5.45.4 设设 为为S上上的的二二元元运运算算，如如果果对对于于任任意意的的x,y,zS都都有有(x y) z=x (y z)，则则称称运运算算 在在S上满足上满足结合律结合律。说说明明：若若+适适合合结结合合律律，则则有有 (x+y)+(u+v)x+y+u+v。二元运算的性质二元运算的性质二元运算的性质二元运算的性质二元运算的性质二元运算的性质定定义义5.55.5 设设 为为S上上的的二

10、二元元运运算算，如如果果对对于于任任意意的的xS有有x x=x，则则称称运运算算 在在S上上满满足足幂幂等等律律。如如果果S中中的的某某些些x满满足足x x=x，则则称称x为为运运算算 的的幂幂等等元元。举举例例：普普通通的的加加法法和和乘乘法法不不适适合合幂幂等等律律。但但0是是加加法的幂等元，法的幂等元，0和和1是乘法的幂等元。是乘法的幂等元。例题例题Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为为n阶实矩阵集合阶实矩阵集合,n 2；P(B)为幂集；为幂集；AA为从为从A到到A的函数集，的函数集，|A| 2。集合集合运算运算交换律交换律结合律结合律幂等律幂等

11、律Z,Q,R普通加法普通加法+ +普通乘法普通乘法 有有有有有有有有无无无无Mn(R)矩阵加法矩阵加法+ +矩阵乘法矩阵乘法 有有无无有有有有无无无无P(B)并并交交相对补相对补 对称差对称差 有有有有无无有有有有有有无无有有有有有有无无无无AA函数复合函数复合 无无有有无无定义定义5.65.6设设 和和 为为S上两个二元运算，如果对于上两个二元运算，如果对于任意的任意的x,y,zS，有有x (y z)(x y) (x z)（左分配律左分配律）(y z) x(y x) (z x)（右分配律右分配律）则称运算则称运算 对运算对运算 满足满足分配律分配律。说明：说明：若若* *对对 运算分配律成立

12、，则运算分配律成立，则*对对 运算广义运算广义分配律也成立。分配律也成立。x (y1 y2 yn)(x y1) (x y2) (x yn)(y1 y2 yn) x(y1 x) (y2 x) (yn x)二元运算的性质二元运算的性质二元运算的性质二元运算的性质定义定义5.75.7 设设 和和 为为S上两个可交换的二元运算，上两个可交换的二元运算，如果对于任意的如果对于任意的x,yS，都有，都有x (x y)xx (x y)x则称运算则称运算 和和 满足满足吸收律吸收律。二元运算的性质二元运算的性质二元运算的性质二元运算的性质Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；分别为整数、有理数、实数集；M

13、n(R)为为n阶实矩阵集阶实矩阵集合合，n 2；P(B)为幂集为幂集；AA为从为从A到到A的函数集的函数集，|A| 2。集合集合运算运算分配律分配律吸收律吸收律Z,Q,R普通加法普通加法+与乘法与乘法 对对+可分配可分配+对对 不分配不分配无无Mn(R)矩阵加法矩阵加法+与乘法与乘法 对对+可分配可分配+对对 不分配不分配无无P(B)并并与交与交对对可分配可分配对对可分配可分配有有交交与对称差与对称差 对对 可分配可分配无无例题例题例题例题定义定义5.85.8 设设 为为S上的二元运算，上的二元运算，q如如果果存存在在元元素素el（或或er） S，使使得得对对任任意意xS都有都有el x =x

14、 (或或x er =x)则则称称el (或或er)是是S中中关关于于 运运算算的的一一个个左左单单位位元元(或或右单位元右单位元)。q若若eS关关于于 运运算算既既是是左左单单位位元元又又是是右右单单位位元元，则则称称e为为S上上关关于于 运运算算的的单单位位元元。单单位位元元也也叫叫做做幺元幺元。q运算可以没有左单位元和右单位元。运算可以没有左单位元和右单位元。q运算可以只有左单位元。运算可以只有左单位元。q运算可以只有右单位元。运算可以只有右单位元。q运算可以既有左单位元，又有右单位元。运算可以既有左单位元，又有右单位元。 说明说明二元运算中的特异元素二元运算中的特异元素二元运算中的特异元

15、素二元运算中的特异元素单单单单位元位元位元位元二元运算中的特异元素二元运算中的特异元素零零元元定义定义5.95.9 设设 为为S上的二元运算，上的二元运算，q如果存在元素如果存在元素l（或或r）S，使得对任意使得对任意xS都有都有 l x =l(或或x r =r)，则称则称l (或或r)是是S上关于上关于 运算的运算的左零元左零元(或或右右零元零元)。q若若S关于关于 运算既是左零元又是右零元，则运算既是左零元又是右零元，则称称为为S上关于运算上关于运算 的的零元零元。 q运算可以没有左零元和右零元。运算可以没有左零元和右零元。q运算可以只有左零元。运算可以只有左零元。q运算可以只有右零元。运

16、算可以只有右零元。q运算可以既有左零元，又有右零元。运算可以既有左零元，又有右零元。 说明说明二元运算中的特异元素二元运算中的特异元素逆元逆元定义定义5.105.10 设设 为为S上的二元运算，上的二元运算，e S为为 运算的运算的单位元，对于单位元，对于xS，q如果存在如果存在yl（或或yr）S使得使得yl xe（或（或x yre）则称则称yl（或或yr）是是x的的左逆元左逆元（或（或右逆元右逆元）。q若若yS既是既是x的左逆元又是的左逆元又是x的右逆元，则称的右逆元，则称y为为x的的逆元逆元。q如果如果x的逆元存在，则称的逆元存在，则称x是是可逆的可逆的。q运算可以没有左逆元和右逆元。运算

17、可以没有左逆元和右逆元。q运算可以只有左逆元。运算可以只有左逆元。q运算可以只有右逆元。运算可以只有右逆元。q运算可以既有左逆元，又有右逆元。运算可以既有左逆元，又有右逆元。 说明说明特异元素的实例特异元素的实例集合集合运算运算单位元单位元零元零元逆元逆元Z,Q,R普通加法普通加法普通乘法普通乘法01无无0x的逆元的逆元 xx的逆元的逆元x 1Mn(R)矩阵加法矩阵加法矩阵乘法矩阵乘法n阶全阶全0矩阵矩阵n阶单位矩阵阶单位矩阵无无n阶全阶全0矩阵矩阵x逆元逆元 xx的逆元的逆元x 1（x可逆可逆）P(B)并并交交BB的逆元为的逆元为B的逆元为的逆元为B定理定理5.15.1定理定理5.15.1设

18、设 为为S上上的二元运算，的二元运算，el、er分别为分别为 运算运算的左单位元和右单位元，则有的左单位元和右单位元，则有 el =er =e 且且e为为S上关于上关于 运算的唯一的单位元。运算的唯一的单位元。 elel er(er为右单位元为右单位元)el erer(el为左单位元为左单位元)所以所以el =er，将这个单位元记作将这个单位元记作e。假设假设e 也是也是S中的单位元，则有中的单位元，则有e =e e =e所以，所以，e是是S中关于中关于 运算的唯一的单位元运算的唯一的单位元。证明证明定理定理5.25.2定理定理5.25.2 设设 为为S上的二元运算，上的二元运算， l和和 r

19、分别为分别为 运运算的左零元和右零元，则有算的左零元和右零元，则有 l = r = 且且 为为S上关于上关于 运算的唯一的零元。运算的唯一的零元。 l l r( r为左零元为左零元) l r r( l为右零元为右零元)所以所以 l = r，将这个零元记作将这个零元记作 。假设假设 也是也是S中的零元，则有中的零元，则有 = = 所以，所以， 是是S中关于中关于 运算的唯一的零元。运算的唯一的零元。证明证明定理定理5.35.3定理定理5.35.3 设设 为为S上的二元运算，上的二元运算，e和和 分别为分别为 运算运算的单位元和零元，如果的单位元和零元，如果S至少有两个元素，则至少有两个元素，则e

20、 。用反证法。用反证法。假设假设 e = ，则则 xS有有x x e x 这与这与S中至少含有两个元素矛盾。中至少含有两个元素矛盾。所以，假设不所以，假设不成立，即成立，即e 。证明证明定理定理5.45.4定理定理5.45.4设设 为为S上上可结合的可结合的二元运算，二元运算，e为该运算的单位元，对为该运算的单位元，对于于xS，如果存在左逆元如果存在左逆元yl和右逆元和右逆元yr，则有则有yl=yr=y且且y是是x的唯一的逆元。的唯一的逆元。由由yl x=e和和x yr=e，得得证明证明yl=yl e令令yl=yr=y，则则y是是x的逆元。的逆元。=yl (x yr) =(yl x) yr=e

21、 yr=yr假若假若yS也是也是x的逆元，则的逆元，则y =y e=y (x y)=(y x) y=e y =y所以所以y是是x唯一的逆元，记作唯一的逆元，记作x 1。消去律消去律定义定义5.115.11设设 为为S上的二元运算，如果对于任意上的二元运算，如果对于任意的的x,y,zS，满足以下条件：满足以下条件：（1）若）若x yx z且且x ，则则yz（左消去左消去律律）（2）若）若y xz x且且x ，则则yz（右消去右消去律律）则称则称 运算满足运算满足消去律消去律。例如：例如：整数集合上的加法和乘法都满足消去律。整数集合上的加法和乘法都满足消去律。幂集幂集P(S)上的并和交运算一般不满

22、足消去律。上的并和交运算一般不满足消去律。例例5.65.6例例5.65.6对于下面给定的集合和该集合上的二元运对于下面给定的集合和该集合上的二元运算，指出该运算的性质，并求出它的单位元、算，指出该运算的性质，并求出它的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。零元和所有可逆元素的逆元。（1）Z+， x,yZ+，x ylcm(x,y)，即求即求x和和y的最小公倍数。的最小公倍数。（2）Q， x,y Q，x y=x+y-xy解答解答（1） 运算可交换、可结合、是幂等的。运算可交换、可结合、是幂等的。 x Z+，x 1=x，1 x=x，1为单位元。为单位元。不存在零元。不存在零元。只有只有1有逆元，是它自己

23、，其他正整数无逆元。有逆元，是它自己，其他正整数无逆元。（2）Q， x,y Q，x y=x+y-xyq 运算满足交换律，因为运算满足交换律，因为 x,y Q，有有x y =x+y-xy = y+x-yx = y xq 运算满足结合律，因为运算满足结合律，因为 x,y,z Q，有有(x y) z=(x+y-xy) z=x+y-xy+z-(x+y-xy)z= x+y+z-xy-xz-yz+xyz x (y z)=x (y+z-yz)=x+(y+z-yz)-x(y+z-yz)=x+y+z-xy-xz-yz+xyzq 运算不满足幂等律，因为运算不满足幂等律，因为2 Q，但但2 2=2+2-2202 q

24、 运算满足消去律，因为运算满足消去律，因为 x,y,z Q，x1(1为零元为零元)，有有x y =x z x+y-xy=x+z-xz y-z=x(y-z) y=z 由于由于 是可交换的，所以右消去律成立。同理可是可交换的，所以右消去律成立。同理可证明左消去律成立，所以消去律成立。证明左消去律成立，所以消去律成立。例例5.65.6q0 0是是 运算的单位元，因为运算的单位元，因为 x Q，有有x 0=x+0-x0=x=0 xq1 1是是 运算的零元，因为运算的零元，因为 x Q，有有x 1=x+1-x1=1=1 xq x Q，欲使欲使x y=0和和y x=0成立，即成立，即x+y-xy = 0得

25、得所以，所以，例例5.75.7例例5.75.7设设A=a,b,c，A上的二元运算上的二元运算 、 、如表所示。如表所示。(1)说明说明 、 、运算是否满足交换律、结合律、消去律和幂等律。运算是否满足交换律、结合律、消去律和幂等律。(2)求出关于求出关于 、 、运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。abcaabcbbcaccab 运算满足交换律、结合律和消去律，不满足幂等律。单位运算满足交换律、结合律和消去律，不满足幂等律。单位元是元是a，没有零元，且，没有零元，且a-1=a，b-1=c，c-1=b。 运算满足交换律、结合律和幂等律，不满足消去律。单位运

26、算满足交换律、结合律和幂等律，不满足消去律。单位元是元是a，零元是，零元是b，只有只有a有逆元有逆元，a-1=a。运算满足结合律和幂等律，不满足交换律和消去律。没运算满足结合律和幂等律，不满足交换律和消去律。没有单位元，没有零元，没有可逆元。有单位元，没有零元，没有可逆元。解答解答abcaabcbbbbccbcabcaabcbabccabc复习复习分析分析5.2 5.2 代数系统代数系统 定义定义5.12 5.12 非空集合非空集合S和和S上上k个一元个一元或二元运算或二元运算f1,f2,fk组成的系统组成的系统称为一个称为一个代数系统代数系统，简称，简称代数代数，记，记做做。5.2 5.2

27、代数系统代数系统 实例：实例：q、都是代数都是代数系统，其中系统，其中+和和 分别表示普通加法和乘法。分别表示普通加法和乘法。q是代数系统，其中和是代数系统，其中和 分分别表示别表示n阶阶(n2)实矩阵的加法和乘法。实矩阵的加法和乘法。q是代数系统，其中是代数系统，其中和和为并为并和交，和交，为绝对补。为绝对补。q是代数系统，其中是代数系统，其中Zn0,1,2,n-1 和和 分别表示模分别表示模n n的加法和乘法。的加法和乘法。q集合集合（规定了参与运算的元素）（规定了参与运算的元素）q运算运算（只讨论有限个二元和一元运算）（只讨论有限个二元和一元运算）q代数常数代数常数在定义代数系统的时候，

28、如果把零元和单位元也作在定义代数系统的时候，如果把零元和单位元也作为系统的性质，称这些元素为该代数系统的为系统的性质，称这些元素为该代数系统的特异元特异元素素或或代数常数代数常数。有时为了强调某个代数系统是含有代数常数的系统，有时为了强调某个代数系统是含有代数常数的系统，也可以把这些代数常数列到系统的表达式中。也可以把这些代数常数列到系统的表达式中。 例如：代数系统例如：代数系统 ,+,0。代数系统的成分代数系统的成分代数系统的成分代数系统的成分 q列出所有的成分列出所有的成分：集合、运算、代数常数：集合、运算、代数常数(如如果存在果存在)例如例如，q列出集合和运算列出集合和运算，在规定系统性

29、质时不涉及，在规定系统性质时不涉及具有单位元的性质（无代数常数）具有单位元的性质（无代数常数）例如例如 ，q用集合名称简单标记代数系统用集合名称简单标记代数系统例如例如 在前面已经对代数系统作了说明的前提在前面已经对代数系统作了说明的前提下，上述两个代数系统可以简记为下，上述两个代数系统可以简记为Z,P(S)代数系统的表示代数系统的表示代数系统的表示代数系统的表示 定义定义5.13 5.13 如果两个代数系统中运算的如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且个数相同，对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同，则称这代数常数的个数也相同，则称这两个两个代数系统具有相同的构成成分代

30、数系统具有相同的构成成分，也称，也称它们是它们是同类型的代数系统同类型的代数系统。同类型的代数系统同类型的代数系统同类型的代数系统同类型的代数系统例如例如 V1=V2=qV1、V2是同类型的代数系统，因为它们都含有是同类型的代数系统，因为它们都含有2个二元运算，个二元运算，1个一元运算，个一元运算，2个代数常数。个代数常数。但是它们的运算性质不一样。但是它们的运算性质不一样。同类型的代数系统同类型的代数系统同类型的代数系统同类型的代数系统V1=V2=+和和可交换、可结合可交换、可结合对对+可分配可分配+和和不满足幂等律不满足幂等律+与与没有吸收律没有吸收律+和和满足消去律满足消去律和和可交换、

31、可结合可交换、可结合和和互相可分配互相可分配和和都有幂等律都有幂等律和和满足吸收律满足吸收律和和一般不满足消去律一般不满足消去律q在规定了一个代数系统的构成成分，即集合、运算以在规定了一个代数系统的构成成分，即集合、运算以及代数常数以后，如果在对这些性质所遵从的算律加及代数常数以后，如果在对这些性质所遵从的算律加以限制，那么满足这些条件的代数系统就具有完全相以限制，那么满足这些条件的代数系统就具有完全相同的性质，从而构成了一类特殊的代数系统。同的性质，从而构成了一类特殊的代数系统。例如：代数系统例如：代数系统V，如果如果*是可结合的，则称是可结合的，则称V为半群。如为半群。如、等都是半群。等都

32、是半群。q从代数系统的构成成分和遵从的算律出发，将代数系从代数系统的构成成分和遵从的算律出发，将代数系统分类，然后研究每一类代数系统的共同性质，并将统分类，然后研究每一类代数系统的共同性质，并将研究的结果运用到具体的代数系统中去。研究的结果运用到具体的代数系统中去。(抽象代数的抽象代数的基本方法基本方法)代数系统地说明代数系统地说明代数系统地说明代数系统地说明定义定义5.145.14设设V是代数系统，是代数系统，B S，如果如果B对对f1,f2,fk都是都是封闭封闭的，且的，且B和和S含有相同的代数常数含有相同的代数常数，则称，则称是是V的的子代数系统子代数系统，简称，简称子代数子代数。简记为

33、。简记为B。例如：例如：qN是是的子代数，的子代数，N也是也是的子代的子代数数qN 0是是的子代数，但不是的子代数，但不是的的子代数。子代数。q子代数和原代数具有相同的成分，运算性质也相同，是子代数和原代数具有相同的成分，运算性质也相同，是同类型的代数系统，在许多方面与原代数非常相似，不同类型的代数系统，在许多方面与原代数非常相似，不过可能小一些。过可能小一些。 q对于任何代数系统对于任何代数系统，其子代数一定存在。其子代数一定存在。说明说明子代数子代数子代数子代数 q最大的子代数最大的子代数：就是：就是V本身本身。q最小的子代数最小的子代数：如果令：如果令V中所有代数常数构成的中所有代数常数

34、构成的集合是集合是B，且且B对对V中所有的运算都是封闭的，中所有的运算都是封闭的，则则B就构成了就构成了V的最小的子代数。的最小的子代数。q平凡的子代数平凡的子代数：最大和最小的子代数称为：最大和最小的子代数称为V的平的平凡的子代数凡的子代数。q真子代数真子代数：若：若B是是S的真子集的真子集，则则B构成的子代构成的子代数称为数称为V的真子代数。的真子代数。子代数的相关概念子代数的相关概念子代数的相关概念子代数的相关概念 例例5.85.8设设V=，令令nZ=nz |z Z，n为自然数，为自然数，则则nZ是是V的子代数。的子代数。任取任取nZ中的两个元素中的两个元素nz1和和nz2(z1,z2

35、Z)，则则有有nz1+nz2 n(z1+z2 ) nZ即即nZ对对+运算是封闭的。又运算是封闭的。又0=n0 nZ所以，所以，nZ是是V的子代数。的子代数。证明证明q当当n=1和和0时，时，nZ是是V的平凡子代数，其他的都是的平凡子代数，其他的都是V的非平的非平凡的真子代数凡的真子代数。说明说明例例例例5.8 5.8 5.8 5.8 试讨论 的运算性质,有单位元例 在 中, 为有理数零元、逆元吗？解: 对任意集. 对设单位元为e设零元为逆元时设a的逆元为x单位元也是零元,问A是什么集合?例 * 为 上的二元运算,它的解: 设aA, 且a为A上*的单位元和零元,对任意xA, 有单位元零 元 必为

36、单元素集.即例 设 上 满足结合律,且对试证 对任意的自然数 , 有证明: 对 用归纳法由得当 时,得时成立时,结合所以对任意的 ,有5.3代数系统的同构与同态两个代数系统(0,1, )和(a,b,*)0 10 11 101*a ba bb bab0 a 1 b两个代数系统同构的条件两个代数系统同构的条件1.1.必须是同型代数系统必须是同型代数系统2.2.两个集合的元素个数应相等两个集合的元素个数应相等3.3.运算定义法则相同，即对应元素运算运算定义法则相同，即对应元素运算后的结果也对应后的结果也对应代数系统代数系统(0,1, )(0,1, )和和(a,b,*)(a,b,*)满足满足上述条件上

37、述条件, , 即同构即同构定义：定义：设设(X ,(X ,) )和和(Y ,*)(Y ,*)是两个相同类型的是两个相同类型的代数系统，其运算都是二元运算，如果存代数系统，其运算都是二元运算，如果存在一个一一对应的函数在一个一一对应的函数g g：X YX Y，使得使得g(xg(x1 1 x x2 2)= g(x)= g(x1 1) *g(x) *g(x2 2) x) x1 1 , x , x2 2XX则称则称g g 是一个从是一个从(X ,(X ,) )到到(Y ,*)(Y ,*)的同构函数的同构函数或者称或者称(X ,(X ,) )和和(Y ,*)(Y ,*)同构同构 可记为：可记为：(X ,

38、(X ,) ) (Y ,*) (Y ,*)(X ,(X ,) ) ( (Y Y ,*) ,*)X X1 1X X2 2x x1 1 x x2 2g(xg(x1 1) )g(xg(x2 2 ) )g(xg(x1 1) ) *g(x*g(x2 2) )看例题书定理：代数系统定理：代数系统(X ,(X ,) ) (Y ,*) (Y ,*)1.1.若若(X ,(X ,) ) 满足结合律满足结合律, ,则则(Y ,*)(Y ,*)也满足结合律也满足结合律2.2.若若(X ,(X ,) ) 满足交换律满足交换律, ,则则(Y ,*)(Y ,*)也满足交换律也满足交换律3.3.若若(X ,(X ,) ) 有

39、单位元有单位元1 1x, ,则则(Y ,*)(Y ,*)也有单位元也有单位元1 1y，且且1 1y = = g(g(1 1x) )4.4.若若(X ,(X ,) ) 对对xXxX都存在逆元素都存在逆元素x x-1-1，则，则(Y ,*)(Y ,*)也对也对yYyY都存在逆元素都存在逆元素y y-1 -1 , , 并且若并且若g(g(x x) =) =y y，则，则g(g(x x-1-1) =) =y y-1-15.5.若若(X ,(X ,) ) 有零元有零元0 0x, ,则则(Y ,*)(Y ,*)也有零元也有零元0 0y，且且0 0y = = g(g(0 0x) )定理：代数系统定理：代数系

40、统(X ,(X ,，*) *) (Y , (Y , ，) )若若(X ,(X ,，*) *) 满足分配律，则满足分配律，则(Y , (Y , ，) )也也满足分配律满足分配律定理：代数系统之间的同构关系是等价关定理：代数系统之间的同构关系是等价关系系一个代数系统和自身的同构称为自同构一个代数系统和自身的同构称为自同构定义定义：设设(X ,(X ,) )和和(Y ,*)(Y ,*)是两个相同类型的是两个相同类型的代数系统，其运算都是二元运算，如果存代数系统，其运算都是二元运算，如果存在一个一一对应的函数在一个一一对应的函数g g：X YX Y，使得使得g(x1 x2)= g(x1) *g(x2)

41、 x x1 1 , x , x2 2XX则称则称g g 是一个从是一个从(X ,(X ,) )到到(Y ,*)(Y ,*)的同构函数的同构函数或者称或者称(X ,(X ,) )和和(Y ,*)(Y ,*)同构同构 可记为：可记为：(X ,(X ,) ) (Y ,*) (Y ,*)单 射 映射 函数满(单、双)射满射定义：定义：设设(X ,(X ,) )和和(Y ,*)(Y ,*)是两个相同类型的代数系统，是两个相同类型的代数系统，其运算都是二元运算，如果存在一个函数其运算都是二元运算，如果存在一个函数g g：X YX Y，使使得得g(x1 x2)= g(x1) *g(x2) x x1 1 ,

42、x , x2 2XX则称则称g g 是一个从是一个从(X ,(X ,) )到到(Y ,*)(Y ,*)的同态映射的同态映射或者称或者称(X ,(X ,) )和和(Y ,*)(Y ,*)同态同态如函数为满函数，则如函数为满函数，则称称(X ,(X ,) )和和(Y ,*)(Y ,*)满满同态同态如函数为单射函数，则如函数为单射函数，则称称(X ,(X ,) )和和(Y ,*)(Y ,*)单单同态同态一个代数系统和自身的同态称为一个代数系统和自身的同态称为自同态自同态U= (I, +)V=(S, )是代数系统f: UV偶数0奇数1f是U到V的同态，不是满也不是单U= (I, +) V=(S, )是

43、代数系统f: UV偶数0奇数1f是U到V的满同态，不是单同态例题：U=(N,+)，V=(I,+)f: x2x是U到V的单同态，不是满同态例题：U=(I,+)，V=(2I,+)f: I2I定义为：x 2x是U到V的同构例题:则（T，*）是代数系统对U=（I，+）和V=（T，*） 讨论U和V的关系本章主本章主要内容要内容q构成代数系统的基本成分构成代数系统的基本成分非空集合非空集合 集合上若干个封闭的二元和一元运算集合上若干个封闭的二元和一元运算 代数常数代数常数 q二元运算性质和特异元素二元运算性质和特异元素q同类型的与同种的代数系统同类型的与同种的代数系统q子代数的定义与实例子代数的定义与实例

44、 本章学习要求本章学习要求q判断给定集合和运算能否构成代数系统。判断给定集合和运算能否构成代数系统。q判断给定二元运算的性质和特异元素。判断给定二元运算的性质和特异元素。q了解同类型和同种代数系统的概念。了解同类型和同种代数系统的概念。q了解子代数的基本概念了解子代数的基本概念 。作业作业习题：习题：运算的性质与特异元素运算的性质与特异元素二元运算二元运算f：SSS一元运算一元运算f：SS交换律交换律 x, ,ySS， x y y x结合律结合律 x, ,y, ,z SS，(x y) z x (y z)幂等律幂等律 xSS，x x x消去律消去律 x, ,ySS， x yx z且且x yzy

45、xz x且且x yz运算的性质与特异元素运算的性质与特异元素分配律分配律 x, ,y, ,z SS， x (y z)(x y) (x z)，(y z) x(y x) (z x)吸收律吸收律 x, ,ySS， x (x y)x，x (x y)x单位元单位元e xSS，x e e xx零元零元 xSS，x x 幂等元幂等元 x x x可逆元可逆元 x y y x e通过运算表判别运算性质的方法通过运算表判别运算性质的方法q交换律交换律的表沿主对角线对称。的表沿主对角线对称。q幂等律幂等律的表主对角线与每一行和每一的表主对角线与每一行和每一列元素相同。列元素相同。q如果在运算表中的某行或某列如果在运

46、算表中的某行或某列( (除了零除了零元所在的行或列之外元所在的行或列之外) )有两个相同的元有两个相同的元素，那么运算不满足素，那么运算不满足消去律消去律。q有有零元零元的表，当且仅当该元素所对应的表，当且仅当该元素所对应的行和列与该元素相同。的行和列与该元素相同。通过运算表判别运算性质的方法通过运算表判别运算性质的方法q有有单位元单位元的表，当且仅当该元素所对的表，当且仅当该元素所对应的行和列依次与运算表的行和列相应的行和列依次与运算表的行和列相同。同。qa a与与b b互互逆逆，当且仅当以这两个元素为，当且仅当以这两个元素为行和列的交点处为单位元。行和列的交点处为单位元。q如果元素如果元素x x在主对角线中排列的位置与在主对角线中排列的位置与表头中的位置一致，那么该元素是表头中的位置一致，那么该元素是幂幂等元等元。 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！