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1、第四节第四节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程一、二阶线性微分方程解的性质一、二阶线性微分方程解的性质 方程方程 y +p(x)y +q(x)y =f (x) (9-24) 称为称为二阶线性微分方程二阶线性微分方程(非齐次非齐次) 若非齐次项若非齐次项 f(x) 0, 则称为则称为齐次方程齐次方程. y +p(x)y +q(x)y =0 (9-25)定理定理9-1: 若若 y1(x), y2(x) 是二阶齐次线性微分方程的解是二阶齐次线性微分方程的解, 则则 y(x)=C1 y1(x)+C2 y2(x) 也是该方程的解也是该方程的解. 证证: y1(x), y2(x) 都是都是 (
2、9-25) 的解的解 y1 +p(x)y1 +q(x)y1=0 y2 +p(x)y2 +q(x)y2 =0 y(x)=C1 y1(x)+C2 y2(x) 代入方程的左端代入方程的左端, 得得: (C1 y1 +C2 y2 )+p(x)(C1 y1 +C2 y2 )+q(x)(C1 y1+C2 y2)=01 定理定理9-2 若若 y1(x), y2(x) 是二阶齐次线性微分方程是二阶齐次线性微分方程 (9-25)的的解解, 且且 不为常数不为常数, 则则 y=C1 y1(x)+C2 y2(x) 是该方程的是该方程的通通解。解。 证：由定理证：由定理9-1知知 y=C1 y1(x)+C2 y2(x
3、)是方程是方程(9-25)的解。的解。由由及及 不为常数不为常数,可知任意常数可知任意常数C1和和C2不能合并成一个不能合并成一个常数常数,即它们相互独立即它们相互独立,则则 y=C1 y1(x)+C2 y2(x) 是该方程的通是该方程的通解。解。 2 注意注意: 定理定理9-1和定理和定理9-2的区别。的区别。 当当 y1=ky2 时时, y=C1 y1+C2 y2=C1ky2+C2 y2(x)=(C1k+C2) y2=C y2其中，只含一个任意常数其中，只含一个任意常数C，故不是二阶齐次线性微分方，故不是二阶齐次线性微分方程（程（9-25）的通解。）的通解。 当两个函数的比值等于常数时当两
4、个函数的比值等于常数时, 称它们称它们线性相关线性相关, 否则它们否则它们线性无关线性无关. y1/y2k 例如：例如： ，容易验证，容易验证 和和是该方程的两个解，且是该方程的两个解，且故故 是方程是方程 的通解。的通解。3 定理定理9-3 若若 y*(x) 是非齐次线性微分方程的一个特解是非齐次线性微分方程的一个特解, Y(x)= C1 y1(x)+C2 y2(x) 是与它对应的齐次线性微分方程的是与它对应的齐次线性微分方程的通解通解, 则则 y(x)=Y(x)+y*(x) 是二阶非齐次线性方程是二阶非齐次线性方程 y +p(x)y +q(x)y =f (x) (9-24) 的通解的通解.
5、4定理定理9-4 若若 y1(x) 是非齐次方程是非齐次方程 y +p(x)y +q(x)y =f1(x) (9-26) 的解的解, y2(x) 是非齐次线性微分方程是非齐次线性微分方程 y +p(x)y +q(x)y =f2(x) (9-27) 的解的解, 则则 y(x)=y1(x)+y2(x) 是是 y +p(x)y +q(x)y =f1(x)+f2(x) (9-28) 的解的解.5二、二阶常系数齐次线性微分方程二、二阶常系数齐次线性微分方程 y +py +qy=0 （9-29）设方程的解为设方程的解为 y=erx , 则则 y =rerx , y =r2erx 代入方程中代入方程中: e
6、rx(r2+pr+q)=0特征方程特征方程: r2+pr+q=0 （9-30）(1) 当当 p2-4q0 时时, 特征方程特征方程 (9-30) 有实根有实根 r1 r2 方程方程 (9-29) 有特解：有特解：y1=er1x, y2=er2x, y1/y2=e(r1-r2)xk 方程的通解为方程的通解为6(2) 当当 p2-4q=0 时，特征方程时，特征方程(9-30)有一重根有一重根 r1,2 =-p/2方程方程 (9-29) 有特解：有特解：y1=erx设与设与 y1 线性无关解为线性无关解为 y2 , 令令 y2=u(x) erx y2 =u (x)erx +r u(x)erx=u (
7、x) +r u(x)erx y2 =u (x)+2r u (x)+r 2u(x)erx 代入方程整理得：代入方程整理得： y +py +qy =u (x)+(2r+p)u (x) +(r2+pr+q)u(x)erx=0 u (x)=0 u(x)=Ax+B u(x)=x 得方程通解：得方程通解： y=(C1+C2x)erx7(3) 当当 p2-4q0单根单根 r1 r2p2-4q=0重根重根 r1=r2=p/2 y =(C1+C2x)erxp2-4q0虚根虚根 r1,2= i y =e x(C1cos x+C2sin x)9例例9-18 求方程求方程 y -2y -8y=0 的通解的通解 解：特
8、征方程：解：特征方程：r2-2r-8=0 r1=-2, r2=4 得方程通解：得方程通解：y=C1e-2x+C2e4x例例9-19 求微分方程求微分方程 y +4y +4y=0 满足初始条件满足初始条件 y|x=0=0, y|x=0=1 的特解的特解 解：特征方程：解：特征方程：r2+4r+4=0 r1=r2=-2 y=(C1+C2x) e-2x, 由初始条件：由初始条件： C1=0 , y=C2e-2x -2C2x e-2x , C2=1 特解为：特解为： y=xe-2x10例例9-20 求微分方程求微分方程 y -4y +5y=0 的通解的通解解：特征方程：解：特征方程：r2-4r+5=0
9、 得共轭复根得共轭复根 r1,2= 2i 方程通解：方程通解：y=e2x(C1cosx+C2sinx)例例9-21 求方程求方程 y +25y=0满足初始条件满足初始条件 y|x=0=0, y|x=0=1 的特解的特解 解：特征方程解：特征方程r2+25=0 特征根为特征根为 r1,2=5i 方程的通解为方程的通解为 y=C1cos5x+C2sin5x 由初始条件由初始条件 C1=2, y=-10sin5x +5C2cos5x , C2=1 特解为：特解为： y=2cos5x+sin5x11n 阶常系数齐次线性微分方程特征方程的根特征方程的根微分方程通解中的对应项微分方程通解中的对应项单根单根
10、 rCer x k 重根重根 r(C1+C2x+C3x2+Ckxk-1) er x一对共轭复根一对共轭复根 i e x(C1cos x+C2sin x) k 重共轭复根重共轭复根 i e x(C1 +C2x+C3x2+Ckxk-1 )cos x +(C1 +C2x+C3x2+Ckxk-1 )sin x y(n)+p1y(n-1)+ p2 y(n-2)+ +pn-1y+ pny=0 特征方程：特征方程：rn+p1rn-1+ p2rn-2+ +pn-1r+ pn=012例例9-22 求微分方程求微分方程 y(5)-3y(4)+4y(3)+8y =0 的通解。的通解。解：解： 对应特征方程为：对应特
11、征方程为： r5-3r4+4r3+8r2=0 r2(r+1)(r2-2r+5)=0 得特征根得特征根 r1=r2=0, r3=-1, r4,5=22i 因此通解为：因此通解为： y =C1+C2x+C3e-x+e2x(C4cos2x+C5sin2x)13三、二阶常系数非齐次线性微分方程 f(x) 的形式的形式特解的特解的形式形式f(x)= e xPm(x)当当 不是特征方程的根时不是特征方程的根时, y*(x)= e xQm(x) Qm(x)=a0xm+a1xm-1+ +am-1x+am 待定多待定多项式式 y +py +qy=f(x) 特征方程特征方程: r2+pr+q=0非齐次方程的通解非
12、齐次方程的通解=齐次方程的通解齐次方程的通解+非齐次方程特解非齐次方程特解(一一) f(x)= e xPm(x) 其中其中 Pm(x) 为为 m 次多项式次多项式, 是常数是常数14 f(x) 的形式的形式特解的特解的形式形式f(x)= e xPm(x)当当 不是特征方程的根时不是特征方程的根时, y*(x)= e xQm(x)当当 是特征方程的单根时，是特征方程的单根时，y*=xe xQm(x)当当 是特征方程的重根时，是特征方程的重根时，y*=x2e xQm(x)15例9-23 求微分方程求微分方程 y -5y+6y =xe2x 的通解的通解解：解特征方程：解：解特征方程：r2-5r+6=
13、0 得特征根：得特征根： r1=2, r2=3, 得对应齐次方程的通解：得对应齐次方程的通解： Y(x)=C1e2x+C2e3x f(x)=xe2x, =2 是特征根是特征根 设非齐次方程的特解为设非齐次方程的特解为 y*(x)=x(a+bx)e2x=(ax+bx2)e2x y* = (a+2bx)e2x+2(ax+bx2)e2x= a+2(a+b)x+2bx2e2x y*= 2(2a+b)+4(a+2b)x+4bx2e2x 代入方程代入方程, 约去约去e2x 有有 -a+2b-2bx=x 解得解得: a= -1, b= -1/2 得特解：得特解：y*(x)=-1/2x(x+2)e2x 得通解
14、：得通解：y(x)=Y(x)+y*(x)=C1e2x+C2e3x-1/2x(x+2)e2x16(二二) f(x)=e xPm(x)cos x +Pn(x)sin xf(x)=e xPm(x)cos x +Pn(x)sin xMaxm, n=l当当 i 不是特征方程的根时，不是特征方程的根时， y*=e xQl(x)cos x+Rl(x)sin x当当 i 是特征方程的根时，是特征方程的根时， y*=xe xQl(x)cos x+Rl(x)sin xQ(x), R(x) 为为 l 次多项式次多项式17例例9-24 求微分方程求微分方程 y +y=ex+cos x 满足初始条件满足初始条件 y|x
15、=0=1, y|x=0=1 的特解的特解 解：特征方程：解：特征方程：r2+1=0 的根的根 r =i, 得齐次方程的通解：得齐次方程的通解：Y(x)=C1cosx+C2sinx f1(x)=ex, =1 不是特证根不是特证根, 设设 y1*=aex, f2(x)=cos x, i 是特征根是特征根, 设设 y2*=x(bcosx+csinx), y*= y1*+ y2*= aex +x(bcosx+csinx), y*=aex +bcosx-bxsinx+ccosx+cxcosx =aex +(b+cx)cosx+(c-bx)sinx y*=aex +(2c-bx)cosx -(2b+cx)
16、sinx 代入原方程代入原方程 aex+(2c-bx)cosx-(2b+cx)sinx+aex+x(bcosx+csinx)=ex+cosx 18 2a=1 比较系数比较系数, 得得 2c=1 -2b=0 解得解得: a=1/2, c=1/2, b=0 特解特解: y*= 1/2ex +1/2xsinx 通解通解: y=C1cosx+C2sinx+ 1/2ex +1/2xsinx 由由 y|x=0=0, C1=1/2 y=-1/2sinx+C2cosx +1/2ex +1/2sinx+1/2xcosx y|x=0=1 C2=1/2故方程的特解为故方程的特解为 y=1/2cosx+1/2sinx+ 1/2ex +1/2xsinx整理得整理得: 2aex +2ccosx+2bsinx= ex+cos x 19作业作业: : 习题九习题九, , 17, 18, 21, 22, 2320
