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1、数字图象处理北京大学计算机研究所 陈晓鸥第二章数字图像处理基础2.1 图像运算算术运算逻辑运算2.2 空域变换几何变换非几何变换2.3 频域变换傅立叶变换导言傅立叶变换的特性快速傅立叶变换第第二二章章 数数字字图图象象处处理理基基础础第一节图象运算2.1.1 算术运算加法、减法乘法、除法2.1.2 逻辑运算求反异或、或与第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第一一节节图图象象运运算算2.1.1 图象运算：算术运算加法运算的定义C(x,y) = A(x,y) + B(x,y)主要应用举例去除“叠加性”噪音生成图象叠加效果第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第一一节节图图象象
2、运运算算2.1.1 图象运算：算术运算去除“叠加性”噪音对于原图象f(x,y),有一个噪音图象集 gi(x,y) i =1,2,.M其中：gi(x,y) = f(x,y) + h(x,y)iM个图象的均值定义为：g(x,y) = 1/M (g0(x,y)+g1(x,y)+ gM(x,y)当：噪音h(x,y)i为互不相关，且均值为0时，上述图象均值将降低噪音的影响。第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第一一节节图图象象运运算算2.1.1 图象运算：算术运算生成图象叠加效果对于两个图象f(x,y)和h(x,y)的均值有：g(x,y) = 1/2f(x,y) + 1/2h(x,y)会得到
3、二次暴光的效果。推广这个公式为：g(x,y) = f(x,y) + h(x,y)其中+= 1 我们可以得到各种图象合成的效果，也可以用于两张图片的衔接第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第一一节节图图象象运运算算2.1.1 图象运算：算术运算第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第一一节节图图象象运运算算2.1.1 图象运算：算术运算减法的定义C(x,y) = A(x,y) - B(x,y)主要应用举例去除不需要的叠加性图案检测同一场景两幅图象之间的变化计算物体边界的梯度第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第一一节节图图象象运运算算2.1.1 图象运算：算术运
4、算去除不需要的叠加性图案设：背景图象b(x,y)，前景背景混合图象f(x,y)g(x,y) = f(x,y) b(x,y)g(x,y) 为去除了背景的图象。电视制作的蓝屏技术就基于此第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第一一节节图图象象运运算算2.1.1 图象运算：算术运算检测同一场景两幅图象之间的变化设：时间1的图象为T1(x,y)，时间2的图象为T2(x,y) g(x,y) = T2 (x,y) - T1(x,y)= =- -第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第一一节节图图象象运运算算2.1.1 图象运算：算术运算计算物体边界的梯度在一个图象内，寻找边缘时，梯度幅
5、度（描绘变化陡峭程度的量）的近似计算 |Vf(x,y)| = max(f(x,y)f(x+1,y) ,f(x,y)f(x,y+1) 以后还会讲到第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第一一节节图图象象运运算算2.1.1 图象运算：算术运算第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第一一节节图图象象运运算算2.1.1 图象运算：算术运算乘法的定义C(x,y) = A(x,y) * B(x,y) 主要应用举例图象的局部显示用二值蒙板图象与原图象做乘法第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第一一节节图图象象运运算算2.1.1 图象运算：算术运算第第二二章章数数字字图图象象处
6、处理理基基础础 第第一一节节图图象象运运算算2.1.2 图象运算：逻辑运算2.1.2 逻辑运算求反异或、或与第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第一一节节图图象象运运算算2.1.1 图象运算：逻辑运算求反的定义g(x,y) = 255 - f(x,y)主要应用举例获得一个阴图象获得一个子图像的补图像绘制区别于背景的、可恢复的图形第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第一一节节图图象象运运算算2.1.1 图象运算：逻辑运算获得一个阴图象第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第一一节节图图象象运运算算2.1.1 图象运算：逻辑运算获得一个子图像的补图像255-第第二
7、二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第一一节节图图象象运运算算= =2.1.1 图象运算：逻辑运算绘制区别于背景的、可恢复的图形第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第一一节节图图象象运运算算原图原图求反画图求反画图求反恢复原图求反恢复原图2.1.1 图象运算：逻辑运算异或运算的定义g(x,y) = f(x,y) h(x,y)主要应用举例获得相交子图象绘制区别于背景的、可恢复的图形第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第一一节节图图象象运运算算2.1.1 图象运算：逻辑运算获得相交子图象第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第一一节节图图象象运运算算 = =
8、2.1.1 图象运算：逻辑运算绘制区别于背景的、可恢复的图形第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第一一节节图图象象运运算算原图原图异或画图异或画图异或恢复原图异或恢复原图2.1.1 图象运算：逻辑运算或运算的定义 g(x,y) = f(x,y) v h(x,y)主要应用举例合并子图像第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第一一节节图图象象运运算算 = =2.1.1 图象运算：逻辑运算与运算的定义 g(x,y) = f(x,y) h(x,y)主要应用举例求两个子图像的相交子图第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第一一节节图图象象运运算算 = =第二节空域变换2.
9、2.1 几何变换基本变换灰度级插值2.2.2 非几何变换模板运算灰度级变换直方图第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.1 几何变换: 基本变换基本几何变换的定义常用的基本几何变换平移变换旋转变换镜像变换：水平镜像、垂直镜像放缩变换拉伸变换离散几何变换的计算第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.1 几何变换: 基本变换基本几何变换的定义对于原图象f(x,y)，坐标变换函数x = a(x,y); y = b(x,y)唯一确定了几何变换：g(x,y) = f(a(x,y), b(x,y);（1）g(x,y)是
10、目标图象。表面看没有值的改变。第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.1 几何变换: 基本变换平移变换设: a(x,y) = x + x0; b(x,y) = y + y0; 用齐次矩阵表示：a(x,y)1 0 x0 xb(x,y)=0 1 y0 y 1 0 0 1 1第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.1 几何变换: 基本变换旋转变换:绕原点旋转 度设: a(x,y) = x * cos( ) - y * sin( ); b(x,y) = x * sin( ) + y * cos( ); 用齐次矩阵表
11、示：a(x,y)cos( ) 0x0 xb(x,y)=sin( ) 1 y0 y 1 0 0 1 1第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.1 几何变换: 基本变换0,0xy第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.1 几何变换: 基本变换水平镜像设: a(x,y) = -x; b(x,y) = y; 用齐次矩阵表示：a(x,y)-1 0 0 xb(x,y)=0 1 0 y 1 0 0 1 1第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.1 几何变换: 基本变换0,0xy
12、第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.1 几何变换: 基本变换垂直镜像设: a(x,y) = x; b(x,y) = -y; 用齐次矩阵表示：a(x,y)1 0 0 xb(x,y)=0 -1 0 y 1 0 0 1 1第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.1 几何变换: 基本变换0,0xy第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.1 几何变换: 基本变换放缩变换:x方向放缩c倍，y方向放缩d倍设: a(x,y) = x*c; b(x,y) = y*d; 用齐次矩
13、阵表示：a(x,y)c 0 0 xb(x,y)=0 d 0 y 1 0 0 1 1第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.1 几何变换: 基本变换拉伸变换FDCBAFDCAB第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.1 几何变换:基本变换离散几何变换的计算问题向前映射法向后映射法第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.1 几何变换:基本变换离散几何变换的计算问题旋转、放缩、拉伸变换的漏点问题第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换
14、2.2.1 几何变换:基本变换向前映射计算法g(x,y) = f(a(x,y), b(x,y);从原图象坐标计算出目标图象坐标镜像、平移变换使用这种计算方法第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.1 几何变换:基本变换向后映射计算法g(a(x,y), b(x,y) = f(x,y);从结果图象的坐标计算原图象的坐标旋转、拉伸、放缩可以使用解决了漏点的问题，出现了马赛克第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.1 几何变换:灰度级插值灰度级插值最邻近插值法双线性插值（一阶插值）高阶插值第第二二章章数数字字图图象
15、象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.1 几何变换:灰度级插值最邻近插值法就是最临近点重复第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.1 几何变换:灰度级插值双线性插值（一阶插值）已知正方形的4个顶点，求正方形内部的点，有双线性方程： f(x,y) = ax + by + cxy + d设4个顶点的坐标为：(x0,y0), (x1,y0), (x0,y1), (x1,y1)f(x, y0) = f(x0,y0)+xf(x1,y0)f(x0,y0) / (x1x0)f(x, y1) = f(x0,y1)+xf(x1,y1)f(x0,y1
16、) / (x1x0).f(x, y) = f(x, y0) + yf(x, y1) f(x, y0) / (y1 y0)第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.1 几何变换:灰度级插值双线性插值（一阶插值）第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.1 几何变换:灰度级插值高阶插值双线性插值的缺陷平滑作用使图象细节退化，尤其在放大时不连续性会产生不希望的结果高阶插值的实现用三次样条插值常用卷积来实现将大大增加计算量第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.2 非几何变换
17、2.2.2 非几何变换非几何变换的定义模板运算灰度级变换直方图第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.2 非几何变换：非几何变换的定义非几何变换的定义对于原图象f(x,y)，灰度值变换函数T(f(x,y)唯一确定了非几何变换：g(x,y) = T(f(x,y) （2）g(x,y)是目标图象没有几何位置的改变。第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.2 非几何变换：非几何变换的定义非几何变换的定义对于彩色原图象f(x,y)，颜色值变换函数Tr(f(x,y); Tg(f(x,y); Tb(f(x,y);唯一确定
18、了非几何变换： gr(x,y) = Tr(f(x,y) gg(x,y) = Tg(f(x,y) gb(x,y) = Tb(f(x,y) 第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.2 非几何变换:模板运算模板运算模板的定义模板大小模板系数模板运算的定义模板运算举例：均值变换第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.2 非几何变换:模板运算模板的定义所谓模板就是一个系数矩阵模板大小：经常是奇数，如：3x3 5x5 7x7模板系数: 矩阵的元素w1 w2 w3w4 w5 w6w7 w8 w9第第二二章章数数字字图图象
19、象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.2 非几何变换:模板运算模板运算的定义对于某图象的子图像：z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8 z9z5的模板运算公式为：R = w1z1 + w2z2 + . + w9z9第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.2 非几何变换:模板运算模板运算举例：均值变换模板系数：wi = 1/9计算公式： R = 1/9(w1z1 + w2z2 + . + w9z9)第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.2 非几何变换:灰度级变换灰度级变换灰度级变
20、换的定义灰度级变换的实现灰度级变换举例图象求反对比度拉伸动态范围压缩灰度级切片第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.2 非几何变换:灰度级变换灰度级变换（点运算）的定义(1)对于输入图象f(x,y)，灰度级变换T将产生一个输出图像g(x,y)，且g(x,y)的每一个像素值，都是由f(x,y)的对应输入像素点的值决定的。g(x,y) = T(f(x,y)第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.2 非几何变换：非几何变换的定义灰度级变换（点运算）的定义(2) 对于原图象f(x,y)，灰度值变换函数T(f(x,
21、y) 由于灰度值总是有限个如：0-255 非几何变换可定义为:R = T(r) 其中R,r在0-255之间取值第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.2 非几何变换：非几何变换的定义灰度级变换（点运算）的实现R = T(r) 定义了输入像素值与输出像素之间的映射关系，通常通过查表来实现。因此灰度级变换也被称为LUT（Look Up Table）变换。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 250 251 252 253 254 255 0 3 5 7 9 11 13 15 17 19 252 253 254 254 254 255第第二二章章数数字
22、字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.2 非几何变换:灰度级变换灰度级变换举例图象求反0255255第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.2 非几何变换:灰度级变换灰度级变换举例对比度拉伸第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.2 非几何变换:灰度级变换灰度级变换举例动态范围压缩0255255第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.2 非几何变换:灰度级变换灰度级变换举例灰度级切片0255255第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基
23、础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.2 非几何变换:直方图直方图图象直方图的定义直方图应用举例直方图均衡化直方图匹配第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.2 非几何变换:直方图图象直方图的定义（1） 一个灰度级别在范围0，L-1的数字图象的直方图是一个离散函数 p(rk)= nk/n n 是图象的像素总数 nk是图象中第k个灰度级的像素总数 rk 是第k个灰度级，k = 0,1,2,L-1第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.2 非几何变换:直方图图象直方图的定义举例 p(rk) Nk第第二二章
24、章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换0.1 0.2 0.3 0.4 31 15 7 23 2.2.2 非几何变换:直方图图象直方图的定义（2） 一个灰度级别在范围0，L-1的数字图象的直方图是一个离散函数 p(rk)= nk k = 0,1,2,L-1 由于rk的增量是1，直方图可表示为：p(k)= nk即，图象中不同灰度级像素出现的次数第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.2 非几何变换:直方图两种图象直方图定义的比较 p(rk)= nkp(rk)= nk/n使函数值正则化到0,1区间，成为实数函数函数值的范围与象素
25、的总数无关给出灰度级rk在图象中出现的概率密度统计第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.2 非几何变换:直方图较暗图象的直方图 p(rk) nk第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.2 非几何变换:直方图较亮图象的直方图 p(rk) nk第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.2 非几何变换:直方图对比度较低图象的直方图 p(rk) nk第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.2 非几何变换:直方图对比度较高图象的直
26、方图 p(rk) nk第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换2.2.2 非几何变换:直方图直方图应用举例直方图均衡化一种自动调节图象对比度质量的算法使用的方法是灰度级变换：s = T(r) 基本思想是通过灰度级r的概率密度函数p(rk )，求出灰度级变换T(r) ，建立等值像素出现的次数与结果图象像素值之间的关系。第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换请提问第第二二章章数数字字图图象象处处理理基基础础 第第二二节节 空空域域变变换换 刚才的发言，如刚才的发言，如有不当之处请多指有不当之处请多指正。谢谢大家！正。谢谢大家！72
