第四章常用概率分布PPT课件

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1、第四章第四章 常用概率分布常用概率分布 为了为了 便于读者理解统计分析的基本原理，便于读者理解统计分析的基本原理，正确掌握和应用以后各章所介绍的统计分析方正确掌握和应用以后各章所介绍的统计分析方法，本章在介绍概率论中最基本的两个概念法，本章在介绍概率论中最基本的两个概念事件、概率的基础上，重点介绍生物科学研事件、概率的基础上，重点介绍生物科学研究中常用的几种随机变量的概率分布究中常用的几种随机变量的概率分布正态正态分布、二项分布、波松分布以及样本平均数的分布、二项分布、波松分布以及样本平均数的抽样分布和抽样分布和t分布。分布。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第一节第一节

2、事件与概率事件与概率 一、事一、事 件件 （一）必然现象与随机现象（一）必然现象与随机现象 在自然界与生产实践和科学试验中，人在自然界与生产实践和科学试验中，人们会观察到各种各样的现象，把它们归纳起们会观察到各种各样的现象，把它们归纳起来，大体上分为两大类：来，大体上分为两大类： 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 一类是可预言其结果的，即在保持条件不一类是可预言其结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行试验，其结果总是确定变的情况下，重复进行试验，其结果总是确定的，必然发生（或必然不发生）。这类现象称的，必然发生（或必然不发生）。这类现象称为为必然现象必然现象（inevit

3、able phenomena）或或确定性现象确定性现象（definite phenomena）。）。 另一类是事前不可预言其结果的，即在保另一类是事前不可预言其结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行试验，其结果持条件不变的情况下，重复进行试验，其结果未必相同。这类在个别试验中其结果呈现偶然未必相同。这类在个别试验中其结果呈现偶然性、不确定性现象，称为性、不确定性现象，称为随机现象随机现象（random phenomena ） 或或 不不 确确 定定 性性 现现 象象（indefinite phenomena）。）。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 随机现象或不确定性现象

4、，有如下特点：随机现象或不确定性现象，有如下特点： 在一定的条件实现时，有多种可能的结果在一定的条件实现时，有多种可能的结果发生，事前人们不能预言将出现哪种结果；对发生，事前人们不能预言将出现哪种结果；对一次或少数几次观察或试验而言，其结果呈现一次或少数几次观察或试验而言，其结果呈现偶然性、不确定性；偶然性、不确定性； 但在相同条件下进行大量重复试验时，其但在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结果却呈现出某种固有的特定的规律性试验结果却呈现出某种固有的特定的规律性频率的稳定性频率的稳定性，通常称之为随机现象的统计，通常称之为随机现象的统计规律性。规律性。下一张下一张 主主 页页 退退 出出

5、上一张上一张 （二）随机试验与随机事件（二）随机试验与随机事件 1、随机试验、随机试验 通常我们把根据某一研究目通常我们把根据某一研究目的的 ， 在一定条件下对自然现象所进行的观察或在一定条件下对自然现象所进行的观察或试验统称为试验统称为试验试验（trial）。）。 而一个试验如果满而一个试验如果满足下述三个特性足下述三个特性 ， 则则 称称 其其 为为 一个一个 随机试验随机试验（random trial），），简称简称试验试验：下一张 主 页 退 出 上一张 （1 1）试验可以在相同条件下多次重复进行；）试验可以在相同条件下多次重复进行；）试验可以在相同条件下多次重复进行；）试验可以在相同

6、条件下多次重复进行； （2 2）每次试验的可能结果不止一个）每次试验的可能结果不止一个）每次试验的可能结果不止一个）每次试验的可能结果不止一个 ，并且事先知，并且事先知，并且事先知，并且事先知道会有哪些可能的结果；道会有哪些可能的结果；道会有哪些可能的结果；道会有哪些可能的结果； （3 3）每次）每次）每次）每次 试验总是恰好出现这些可能结果中的一试验总是恰好出现这些可能结果中的一试验总是恰好出现这些可能结果中的一试验总是恰好出现这些可能结果中的一个个个个 ，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪，但在

7、一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。一个结果。一个结果。一个结果。 例如在一定孵化条件下，孵化例如在一定孵化条件下，孵化例如在一定孵化条件下，孵化例如在一定孵化条件下，孵化6 6枚种蛋，观察其出枚种蛋，观察其出枚种蛋，观察其出枚种蛋，观察其出雏情况雏情况雏情况雏情况 ； 又如观察两头临产妊娠母牛所产犊牛的性别又如观察两头临产妊娠母牛所产犊牛的性别又如观察两头临产妊娠母牛所产犊牛的性别又如观察两头临产妊娠母牛所产犊牛的性别情况情况情况情况 ， 它们都具有随机试验的三个特征，因此都是随它们都具有随机试验的三个特征，因此都是随它们都具有随机试验的三个特征，因此都是随它们都具有随机试验的三

8、个特征，因此都是随机试验。机试验。机试验。机试验。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 2、随机事件、随机事件 随机试验的每一种可能结果，在一定条件下随机试验的每一种可能结果，在一定条件下可可 能能 发发 生生 ，也，也 可可 能能 不不 发生，称为发生，称为随机事件随机事件（random event），简称，简称 事事 件件(event），），通常用通常用A、B、C等来表示。等来表示。 （1）基本事件）基本事件 我我 们们 把把 不不 能能 再再 分的事件称为分的事件称为基本事件基本事件（elementary event） ， 也也 称称 为为 样本点样本点（sample p

9、oint）。）。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 例如，在编号为例如，在编号为例如，在编号为例如，在编号为1 1、2 2、3 3、10 10 的十头猪中的十头猪中的十头猪中的十头猪中随机抽取随机抽取随机抽取随机抽取1 1头，有头，有头，有头，有1010种不同的可能结果：种不同的可能结果：种不同的可能结果：种不同的可能结果： “ “ 取取取取 得得得得 一一一一 个个个个 编编编编 号号号号 是是是是 1” 1” 、 “ “ 取得一个编号取得一个编号取得一个编号取得一个编号是是是是2”2”、“ “取得一个编号是取得一个编号是取得一个编号是取得一个编号是10”10”，这，这，这

10、，这1010个事件都是个事件都是个事件都是个事件都是不可能再分的事件，它们都是基本事件。不可能再分的事件，它们都是基本事件。不可能再分的事件，它们都是基本事件。不可能再分的事件，它们都是基本事件。 由若干个基本事件组合而成的事件称为由若干个基本事件组合而成的事件称为由若干个基本事件组合而成的事件称为由若干个基本事件组合而成的事件称为 复合事件复合事件复合事件复合事件 （compound eventcompound event）。如。如。如。如 “ “取得一个编号是取得一个编号是取得一个编号是取得一个编号是 2 2的倍数的倍数的倍数的倍数” ”是一个复合事件，它由是一个复合事件，它由是一个复合事

11、件，它由是一个复合事件，它由 “ “ 取得一个编号是取得一个编号是取得一个编号是取得一个编号是2 2 ” ”、 “ “ 是是是是4”4”、“ “是是是是6 6、“ “是是是是8”8”、“ “是是是是10”510”5个基本事个基本事个基本事个基本事件组合而成。件组合而成。件组合而成。件组合而成。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 （2）必然事件）必然事件 我们把在一定条件下必然会发生的事件称我们把在一定条件下必然会发生的事件称为为必然事件必然事件（certain event），用），用表示。表示。 例如，在严格按妊娠期母猪饲养管理的要例如，在严格按妊娠期母猪饲养管理的要求饲养的

12、条件下，妊娠正常的母猪经求饲养的条件下，妊娠正常的母猪经114天左天左右产仔，就是一个必然事件。右产仔，就是一个必然事件。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 （3）不可能事件）不可能事件 我们把在一定条件下不可能发生的事件称我们把在一定条件下不可能发生的事件称为为不可能事件不可能事件（impossible event），用），用表示。表示。 例如，在满足一定孵化条件下，从石头孵例如，在满足一定孵化条件下，从石头孵化出雏鸡，就是一个不可能事件。化出雏鸡，就是一个不可能事件。 必然事件与不可能事件实际上是确定性现必然事件与不可能事件实际上是确定性现象，即它们不是随机事件，象，即它们

13、不是随机事件， 但但 是是 为了方便起为了方便起见，我们把它们看作为两个特殊的随机事件。见，我们把它们看作为两个特殊的随机事件。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 二二 、 概概 率率 （一）概率的统计定义（一）概率的统计定义 研究随机试验，仅知道可能发生哪些随机研究随机试验，仅知道可能发生哪些随机事件是不够的，还需了解各种随机事件发生的事件是不够的，还需了解各种随机事件发生的可能性大小，以揭示这些事件的内在的统计规可能性大小，以揭示这些事件的内在的统计规律性，从而指导实践。这就要求有一个能够律性，从而指导实践。这就要求有一个能够刻刻划事件发生可能性大小的数量指标划事件发生可能

14、性大小的数量指标，这指标应，这指标应该是事件本身所固有的，且不随人的主观意志该是事件本身所固有的，且不随人的主观意志而改变，人们而改变，人们称之为概率称之为概率（probability）。）。事件事件A的概率记为的概率记为P（A）。）。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 概率的统计定义概率的统计定义 在相同条件下进行在相同条件下进行n次重次重复试验，如果随机事件复试验，如果随机事件A发生的次数为发生的次数为m，那么那么m/n称为随机事件称为随机事件A的的频率频率（frequency）；）；当试验重复数当试验重复数n逐渐增大时，随机事件逐渐增大时，随机事件A的频率的频率越来越稳

15、定地接近某一数值越来越稳定地接近某一数值 p ， 那么那么 就就 把把 p称为随机事件称为随机事件A的的概率概率。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 这这 样样 定定 义义 的的 概概 率率 称称 为为 统统 计计 概概 率率（statistics probability），），或者称或者称后验概后验概率率（posterior probability）。）。 例如例如 为了确定抛掷一枚硬币发生正面朝上为了确定抛掷一枚硬币发生正面朝上这个事件的概率这个事件的概率 ，历史上有人作过成千上万次，历史上有人作过成千上万次抛掷硬币的试验。在表抛掷硬币的试验。在表41中列出了他们的试中列出

16、了他们的试验记录。验记录。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 表表41 抛掷一枚硬币发生正面朝上的抛掷一枚硬币发生正面朝上的 试验记录试验记录 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 从表从表4-1可看出，随着实验次数的增多，可看出，随着实验次数的增多，正面朝上这个事件发生的频率越来越稳定地接正面朝上这个事件发生的频率越来越稳定地接近近0.5，我们就把，我们就把0.5作为这个事件的概率。作为这个事件的概率。 在一般情况下，随机事件的概率在一般情况下，随机事件的概率p是不可能是不可能准确得到的。通常以试验次数准确得到的。通常以试验次数n充分大时随机事充分大时随机事件

17、件A的频率作为该随机事件概率的近似值。的频率作为该随机事件概率的近似值。 即即 P（A）=pm/n （n充分大）充分大）（4-14-1） 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 （二）概率的古典定义（二）概率的古典定义 对于某些随机事件，用不着进行多次重复试对于某些随机事件，用不着进行多次重复试验来确定其概率验来确定其概率 ， 而是根据随机事件本身的特而是根据随机事件本身的特性直接计算其概率。性直接计算其概率。 有很多随机试验具有以下特征：有很多随机试验具有以下特征： 1、试验的所有可能结果只有有限个，即样、试验的所有可能结果只有有限个，即样本空间中的基本事件只有有限个；本空间中的

18、基本事件只有有限个； 2、各、各 个个 试验的可能结果出现的可能性相试验的可能结果出现的可能性相等，即所有基本事件的发生是等可能的；等，即所有基本事件的发生是等可能的； 3、试验的所有可能结果两两互不相容。、试验的所有可能结果两两互不相容。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 具有上述特征的随机试验，称为具有上述特征的随机试验，称为古典概型古典概型（classical model）。）。对于古典概型，概率对于古典概型，概率的定义如下：的定义如下： 设样本空间由设样本空间由 n 个等可能的基本事件所构个等可能的基本事件所构成，其中事件成，其中事件A包含有包含有m个基本事件，则事件个

19、基本事件，则事件A的概率为的概率为m/n，即即 P（A）=m/n (4-2) 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 这样定义的概率称为这样定义的概率称为古典概率古典概率(classical probability)或或先验概率先验概率(prior probability)。 【例例4.1】在编号为在编号为1、2、3、10的十的十头猪中随机抽取头猪中随机抽取1头，求下列随机事件的概率。头，求下列随机事件的概率。 （1）A=“抽得一个编号抽得一个编号4”； （2）B=“抽得一个编号是抽得一个编号是2的倍数的倍数”。 因为该试验样本空间由因为该试验样本空间由10个等可能的基本个等可能的

20、基本事件构成，即事件构成，即n=10,而事件而事件A所包含的基本事所包含的基本事件有件有4个，即抽得编号为个，即抽得编号为1，2，3，4中的任何中的任何一个，事件一个，事件A便发生，于是便发生，于是mA=4，所以所以 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 P(A)=mA/n=4/10=0.4 同理，事件同理，事件B所包含的基本事件数所包含的基本事件数mB=5，即抽得编号为即抽得编号为2，4，6，8，10中的任何一个，中的任何一个，事件事件B便发生，故便发生，故 P(B)=mB/n=5/10=0.5。 【例例4.2】 在在N头奶牛中，有头奶牛中，有M头曾有流产头曾有流产史，从这群奶

21、牛中任意抽出史，从这群奶牛中任意抽出n头奶牛，试求头奶牛，试求:(1)其中恰有其中恰有m头有流产史奶牛的概率是多少？头有流产史奶牛的概率是多少？(2)若若N=30，M =8，n =10，m =2，其概其概率是多少？率是多少？ 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 我们把从有我们把从有M头奶牛曾有流产史的头奶牛曾有流产史的N头奶头奶牛中任意抽出牛中任意抽出n头奶牛头奶牛 ，其中恰有，其中恰有m头有流产头有流产史这一事件史这一事件 记为记为A ， 因为因为 从从 N 头头 奶奶 牛牛 中中 任任 意意 抽抽 出出 n 头头 奶牛奶牛的基本事件总数为的基本事件总数为 ； 事件事件A所包

22、含的基本事件数为所包含的基本事件数为 ； 因此所求事件因此所求事件A的概率为：的概率为： 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 将将N=30，M =8，n =10，m =2代入代入上式，得上式，得 = 0.0695 即在即在30头奶牛中有头奶牛中有8头曾有流产史，从这头曾有流产史，从这群奶牛随机抽出群奶牛随机抽出 10 头奶牛其中有头奶牛其中有2头曾有流产头曾有流产史的概率为史的概率为6.95%。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 （三）概率的性质（三）概率的性质 1、对于任何事件、对于任何事件A，有，有0P（A）1； 2、必然事件的概率为、必然事件的概率为1，

23、即，即P（）=1； 3、不可能事件的概率为、不可能事件的概率为0，即，即P（）=0。 三、小概率事件实际不可能性原理三、小概率事件实际不可能性原理 随机事件的概率表示了随机事件在一次试随机事件的概率表示了随机事件在一次试验中出现的可能性大小。若随机事件的概率很验中出现的可能性大小。若随机事件的概率很小，例如小于小，例如小于0.05、0.01、0.001，称之为，称之为小概率事件。小概率事件。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 小概率事件虽然不是不可能事件，但在一小概率事件虽然不是不可能事件，但在一次试验中出现的可能性很小，不出现的可能性次试验中出现的可能性很小，不出现的可能性

24、很很 大大 ，以，以 至于实际上可以看成是不可能发生至于实际上可以看成是不可能发生的。在统计学上，的。在统计学上，把小概率事件在一次试验中把小概率事件在一次试验中看成是实际不可能发生的事件称为小概率事件看成是实际不可能发生的事件称为小概率事件实际不可能性原理，亦称为小概率原理实际不可能性原理，亦称为小概率原理。小概。小概率事件实际不可能性原理是统计学上进行假设率事件实际不可能性原理是统计学上进行假设检验（显著性检验）的基本依据。检验（显著性检验）的基本依据。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第二节第二节 概率分布概率分布 事件的概率表示了一次试验某一个结果事件的概率表示了一

25、次试验某一个结果发生的可能性大小。若要全面了解试验，则发生的可能性大小。若要全面了解试验，则必须知道试验的全部可能结果及各种可能结必须知道试验的全部可能结果及各种可能结果发生的概率，即必须知道随机试验的概率果发生的概率，即必须知道随机试验的概率分布分布(probability distribution)。为了深为了深入研究随机试验入研究随机试验 ，我，我 们们 先引入随机变量先引入随机变量(random variable)的概念。的概念。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 一、随机变量一、随机变量 作一次试验，其结果有多种可能。每一种可作一次试验，其结果有多种可能。每一种可能结

26、果都可用一个数来表示，把这些数作为变量能结果都可用一个数来表示，把这些数作为变量x的取值范围，则试验结果可用变量的取值范围，则试验结果可用变量x来表示。来表示。 【例例4.3】 对对100头病畜用某种药物进行治头病畜用某种药物进行治疗，其可能结果是疗，其可能结果是“0头治愈头治愈”、 “1头治愈头治愈”、“2头治愈头治愈”、“”、“100头治愈头治愈”。若用。若用x表示治愈头数，则表示治愈头数，则x的取值为的取值为0、1、2、100。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 【例例4.4】 孵化一枚种蛋可能结果只有两孵化一枚种蛋可能结果只有两种，即种，即“孵出小鸡孵出小鸡”与与“未孵

27、出小鸡未孵出小鸡”。 若用若用变量变量x表示试验的两种结果，则可令表示试验的两种结果，则可令x=0表示表示“未孵出小鸡未孵出小鸡”，x=1表示表示“孵出小鸡孵出小鸡”。 【例例4.5】 测定某品种猪初生重测定某品种猪初生重 ，表示测，表示测定定 结结 果果 的的 变变 量量 x 所所 取的值为一个特定范围取的值为一个特定范围(a,b)，如，如0.51.5kg，x值可以是这个范围值可以是这个范围内的任何实数。内的任何实数。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 如果表示试验结果的变量如果表示试验结果的变量x，其可能取值其可能取值至多为可列个至多为可列个 ，且，且 以各种确定的概率取

28、这些以各种确定的概率取这些不同的值不同的值 ， 则则 称称 x 为为 离离 散散 型型 随随 机机 变变 量量 ( discrete random variable)； 如果表示试验结果的变量如果表示试验结果的变量x ，其可能取值，其可能取值为某范围内的任何数值为某范围内的任何数值 ，且，且x在其取值范围内在其取值范围内的任一区间中取值时，其概率是确定的，则称的任一区间中取值时，其概率是确定的，则称x为为 连续连续 型型 随随 机机 变变 量量 ( continuous random variable)。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 二、离散型随机变量的概率分布二、离散

29、型随机变量的概率分布 要了解离散型随机变量要了解离散型随机变量x的统计规律，就必的统计规律，就必须须 知知 道它的一切可能值道它的一切可能值xi及取每种可能值的概及取每种可能值的概率率pi。 如果我们将离散型随机变量如果我们将离散型随机变量x的一切可能取的一切可能取值值xi ( ( i i=1, 2 , )=1, 2 , )，及其对应的概率及其对应的概率pi，记作记作 P(x=xi)=pi i=1,2, (43)(43) 则称则称 （43）式为）式为离散型随机变量离散型随机变量x的概的概率分布或分布率分布或分布。常用。常用 分分 布布 列列 (distribution series)来表示离散

30、型随机变量：来表示离散型随机变量： 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 x1 x2 xn .p1 p2 pn 显然离散型随机变量的概率分布具有显然离散型随机变量的概率分布具有pi0和和pi=1这两个基本性质。这两个基本性质。 三、连续型随机变量的概率分布三、连续型随机变量的概率分布 连续型随机变量连续型随机变量 (如体长、体重、蛋重如体长、体重、蛋重)的的概率分布不能用分布列来表示，概率分布不能用分布列来表示， 因为其可能取因为其可能取的值是不可数的。我们改用随机变量的值是不可数的。我们改用随机变量x在某个区在某个区间内取值的概率间内取值的概率P(axb)来表示。来表示。 下面

31、通下面通过频率分布密度曲线予以说明。过频率分布密度曲线予以说明。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 由表由表27作作126头基础母羊体重资料的频头基础母羊体重资料的频率分布直方图率分布直方图 ，见图，见图41，图中纵座标取频率，图中纵座标取频率与组距的比值与组距的比值 。可以设想。可以设想 ，如果样本取得越来，如果样本取得越来越大越大(n+)，组分得越来越细组分得越来越细(i0)，某一某一范围内的频率将趋近于一个稳定值范围内的频率将趋近于一个稳定值 概率。概率。这时这时 ， 频率分布直方图各个直方上端中点的联频率分布直方图各个直方上端中点的联线线 频率分布折线将逐渐趋向于一条

32、曲线，频率分布折线将逐渐趋向于一条曲线，换句话说，当换句话说，当n+、i0时，时，频率分布折线频率分布折线下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 的极限是一条稳定的函数曲线的极限是一条稳定的函数曲线。 对于样本是取对于样本是取自连续型随机变量的情况自连续型随机变量的情况 ，这条函数曲线将是，这条函数曲线将是光滑的。光滑的。 这条曲线排除了抽样和测量的误差这条曲线排除了抽样和测量的误差 ， 完完 全全 反映了基础母羊体重的变动规律。反映了基础母羊体重的变动规律。 这条这条曲线叫曲线叫概率分布密度曲线概率分布密度曲线，相应的函数叫，相应的函数叫 概率概率分布密度函数分布密度函数 。下一

33、张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 (44) 式式 为为 连连 续续 型型 随机变量随机变量 x 在在 区区间间a,b）上取值概率的表达式。可见，连续型）上取值概率的表达式。可见，连续型随机变量的概率由概率分布密度函数确定。随机变量的概率由概率分布密度函数确定。 图图4-1 表表2-7资料的分布曲线资料的分布曲线 若记体若记体 重概率分布密度函数为重概率分布密度函数为f(x)，则，则x取值于区间取值于区间a,b）的概率为图中阴影部分的面）的概率为图中阴影部分的面积，即积，即 P(axb)= (4-4) 连续型随机变量概率分布的性质：连续型随机变量概率分布的性质： 1、分布密度函数总

34、是大于或等于、分布密度函数总是大于或等于0，即，即f(x)0； 2、当随机变量当随机变量x取某一特定值时，其概率取某一特定值时，其概率等于等于0；即；即 (c为任意实数为任意实数) 因而，对于连续型随机变量，仅研究其在因而，对于连续型随机变量，仅研究其在某一个区间内取值的概率，而不去讨论取某一某一个区间内取值的概率，而不去讨论取某一个值的概率。个值的概率。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 3、 在在 一次试验中一次试验中 随机变量随机变量x之取值之取值 必在必在 -x+范围内，为一必然事件。所以范围内，为一必然事件。所以 (4-5)(4-5) (45)式表示分布密度曲线下、

35、横轴上的全式表示分布密度曲线下、横轴上的全 部面积为部面积为1。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第三节第三节 正态分布正态分布 正态分布是一种很重要的连续型随机变量正态分布是一种很重要的连续型随机变量的概率分布。生物现象中有许多变量是服从或的概率分布。生物现象中有许多变量是服从或近似服从正态分布的。许多统计分析方法都是近似服从正态分布的。许多统计分析方法都是以正态分布为基础的。此外，还有不少随机变以正态分布为基础的。此外，还有不少随机变量的概率分布在一定条件下以正态分布为其极量的概率分布在一定条件下以正态分布为其极限分布。因此在统计学中，正态分布无论在理限分布。因此在统计

36、学中，正态分布无论在理论研究上还是实际应用中论研究上还是实际应用中 ， 均占有重要的地均占有重要的地位。位。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 一、正态分布的定义及其特征一、正态分布的定义及其特征 （一）（一） 正态分布的定义正态分布的定义 若连续型随机变量若连续型随机变量x的概率分布密度函数为的概率分布密度函数为 (4-6) 其中其中为平均数，为平均数，2为方差，则称随机变为方差，则称随机变量量x服从正态分布服从正态分布(normal distribution)， 记为记为xN(,2)。相应的概率分布函数为相应的概率分布函数为 (4-7) 下一张下一张 主主 页页 退退 出

37、出 上一张上一张 分布密度曲线如分布密度曲线如图图42所示。所示。 (二二) 正态分布的特征正态分布的特征 1、正态分布密度曲线是单峰、对称的悬钟、正态分布密度曲线是单峰、对称的悬钟形曲线，对称轴为形曲线，对称轴为x=； 2、f(x) 在在 x = 处达处达 到到 极极 大大 ， 极大极大值值 ； 3、f(x)是非负函数，以是非负函数，以x轴为渐近线，分轴为渐近线，分布从布从-至至+； 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 4、曲线在、曲线在x=处各有一个拐点，即曲处各有一个拐点，即曲线在线在(-,-)和和(+,+) 区间上是下凸的，区间上是下凸的，在在-,+区间内是上凸的；区间

38、内是上凸的； 5、正态分布有两个参数，即平均数、正态分布有两个参数，即平均数和标和标准差准差。 是位置参数，如是位置参数，如图图43所示。所示。 当当恒定恒定时，时，愈大，则曲线沿愈大，则曲线沿x轴愈向右移动；反之，轴愈向右移动；反之，愈小，曲线沿愈小，曲线沿x轴愈向左移动。轴愈向左移动。 是变异度参数，是变异度参数， 如如图图44所示所示 。 当当恒恒定时，定时， 愈大，表示愈大，表示 x 的取值愈分散，的取值愈分散， 曲线愈曲线愈“胖胖”；愈小，愈小，x的取值愈集中在的取值愈集中在附近，曲附近，曲线愈线愈“瘦瘦”。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 6、分布密度曲线与横轴所

39、夹的面积为、分布密度曲线与横轴所夹的面积为1，即：，即： 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 二、标准正态分布二、标准正态分布 由上述正态分布的特征可知由上述正态分布的特征可知 ，正态分，正态分布是依赖于参数布是依赖于参数和和2 (或或) 的一簇的一簇 分布分布 ， 正态曲线之位置及形态随正态曲线之位置及形态随和和2的不同的不同而不同而不同 。 这就给研究具体的正态总体带来这就给研究具体的正态总体带来困难，困难， 需将一般的需将一般的N(，2) 转转 换为换为 = 0,2=1的正态分布。的正态分布。 我们称我们称=0,2=1的正态分布为标准正态的正态分布为标准正态分布分布(st

40、andard normal distribution)。 标准正态分布的概率密度函数及分布函数分标准正态分布的概率密度函数及分布函数分别记作别记作(u)和和(u)，由由 (4-6)及及(4-7) 式得：式得： (4-8) (4-9) 随机变量随机变量u服从标准正态分布，记作服从标准正态分布，记作uN(0，1)，分布密度曲线如分布密度曲线如图图45所示。所示。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 对于任何一个服从正态分布对于任何一个服从正态分布N(,2)的随的随机变量机变量x，都可以通过标准化变换：都可以通过标准化变换： u=(x-) (4-10) 将将 其变换为服从标准正态分布

41、的随机变量其变换为服从标准正态分布的随机变量u。 u 称称 为为 标标 准准 正正 态变量或标准正态离差态变量或标准正态离差(standard normal deviate)。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 三、正态分布的概率计算三、正态分布的概率计算 （一）标准正态分布的概率计算（一）标准正态分布的概率计算 设设u服从标准正态分布，则服从标准正态分布，则 u 在在u1,u2 ）何内取值的概率为：何内取值的概率为： (u2)(u1) (4-11) 而而(u1)与与(u2)可由附表可由附表1查得。查得。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 例如，例如，u=1

42、.75 ，1.7放在第一列放在第一列0.05放放在第一行在第一行 。 在附表在附表1中中 ， 1.7所在行与所在行与 0.05 所在列相交处的数值为所在列相交处的数值为0.95994，即，即 (1.75)=0.95994 有有 时时 会会 遇遇 到到 给给 定定 (u) 值值 ， 例例 如如 (u)=0.284， 反过来查反过来查u值。这只要在附表值。这只要在附表1中找到与中找到与 0.284 最接近的值最接近的值0.2843，对应，对应行的第一列数行的第一列数 -0.5， 对应列的第一行数对应列的第一行数 值值 0.07 ，即相应的，即相应的u值为值为 u = - 0.57，即，即 (-0.

43、57)=0.284 如果要求更精确的如果要求更精确的u值，可用线性插值法计值，可用线性插值法计算。算。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 由由(4-11) 式及正态分布的对称性可推出式及正态分布的对称性可推出下列关系式，下列关系式， 再借助附表再借助附表1 ， 便能很方便地计便能很方便地计算有关概率：算有关概率： P(0uu1 1)(u1 1)-0.5 P(uu1 1) =(-u1 1) P(uu1 1)=2(-u1 1) (4-12) P(uu1 11-2(-u1 1) P(u1 1uu2 2)(u2 2)-(u1 1) 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张

44、【例例4.6】 已知已知uN(0，1)，试求：试求： (1) P(u-1.64)? (2) P (u2.58)=? (3) P (u2.56)=? (4) P(0.34u1.53) =? 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 利用利用利用利用(4-12)(4-12)式，查附表式，查附表式，查附表式，查附表1 1得：得：得：得： (1) (1) P P( (u u-1.64)=0.05050-1.64)=0.05050 (2) (2) P P ( (u u2.58)=(-2.58)=0.0249402.58)=(-2.58)=0.024940 (3) (3) P P ( (u u2

45、.56)2.56) =2(-2.56)=20.005234 =2(-2.56)=20.005234 =0.010468 =0.010468 (4) (4) P P (0.34 (0.34u u1.53)1.53) =(1.53)-(0.34) =(1.53)-(0.34) =0.93669-0.6331=0.30389 =0.93669-0.6331=0.30389下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 关于标准正态分布，以下几种概率应当熟记：关于标准正态分布，以下几种概率应当熟记： P（-1u1）=0.6826 P（-2u2）=0.9545 P（-3u3）=0.9973 P（-1

46、.96u1.96）=0.95P (-2.58u2.58)=0.99 图图46 标准正态分布的三个常用概率标准正态分布的三个常用概率下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 u u变量在上述区间以外取值的概率分别为：变量在上述区间以外取值的概率分别为：变量在上述区间以外取值的概率分别为：变量在上述区间以外取值的概率分别为： P P( (u u1)=2(-1)=1-1)=2(-1)=1- P P(-1(-1u u1) 1) =1-0.6826=0.3174 =1-0.6826=0.3174 P P( (u u2)=2(-2) 2)=2(-2) =1- =1- P P（-2-2u u2 2

47、） =1-0.9545=0.0455=1-0.9545=0.0455 P P( (u u3)=1-0.9973=0.00273)=1-0.9973=0.0027 P P( (u u1.96)=1-0.95=0.051.96)=1-0.95=0.05 P P( (u u2.58)=1-0.99=0.01 2.58)=1-0.99=0.01 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 （二）一般正态分布的概率计算（二）一般正态分布的概率计算 正正 态态 分分 布布 密度曲线和横轴围成的一个区密度曲线和横轴围成的一个区域，其面积为域，其面积为1，这实际上表明了，这实际上表明了“随机变量随机变

48、量x取值在取值在-与与+之间之间”是一个必然事件，其概是一个必然事件，其概率为率为1。 若随机变量若随机变量 x服从正态分布服从正态分布N(,2)，则，则x的取值落在任意区间的取值落在任意区间 x1, x2） 的概率的概率 ，记，记作作P(x1 x x2)，等于等于图图47 中阴影部分中阴影部分曲边梯形面积。即：曲边梯形面积。即：下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 (4-13) 对对 (4-13)式作变换式作变换u=(x-)，得，得dx=du，故有故有其中，其中，下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 这表明服从正态分布这表明服从正态分布N(,2)的随机变量的随机变

49、量x 在在 x1 ，x2 ）内取值的概率）内取值的概率 ， 等等 于服于服 从从 标标 准准 正正 态态 分分 布布 的的 随随 机机 变变 量量 u 在在(x1-)/, (x2-)/）内取值的概率内取值的概率 。 因此，计算一般正态分布的概率时，因此，计算一般正态分布的概率时， 只要只要将区间的上下限作适当变换将区间的上下限作适当变换(标准化标准化)， 就可用就可用查标准正态分布的概率表的方法求得概率了。查标准正态分布的概率表的方法求得概率了。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 【例例例例4.74.7】 设设设设x x服从服从服从服从=30.26,=30.26,2 2=5.

50、10=5.102 2的正态分布，的正态分布，的正态分布，的正态分布，试求试求试求试求P P(21.64(21.64x x32.98)32.98)。 令令令令 则则则则u u服从标准正态分布，故服从标准正态分布，故服从标准正态分布，故服从标准正态分布，故 =P P(-1.69(-1.69u u0.53)0.53) =(0.53)-(-1.69) =(0.53)-(-1.69) =0.7019-0.04551 =0.7019-0.04551 =0.6564 =0.6564 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 关于一般正态分布，以下几个概率关于一般正态分布，以下几个概率(即随即随机变

51、量机变量x落在落在加减不同倍数加减不同倍数区间的概率区间的概率)是是经常用到的。经常用到的。 P(-x+)=0.6826 P(-2x+2) =0.9545 P (-3x+3) =0.9973 P (-1.96x+1.96) =0.95 P (-2.58x+2.58)=0.99 上述关于正态分布的结论，可用一实例上述关于正态分布的结论，可用一实例来印证。来印证。 从从图图2-7可以看出可以看出 ，126头头 基础母羊基础母羊体重资料的次数分布接近正态分布体重资料的次数分布接近正态分布 ，现，现 根根据据 其其 平均数平均数 = 52.26 (kg) ，标，标 准准 差差S=5.10(kg) ，算

52、出平均数加减不同倍，算出平均数加减不同倍数标准差区间内数标准差区间内 所包括的次数与频率所包括的次数与频率 ，列，列于表于表42。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 表表42 126头基础母羊体重在头基础母羊体重在 kS 区间内所包括的次数与频率区间内所包括的次数与频率 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 由表由表42可见，实际频率与理论概率相当可见，实际频率与理论概率相当接近，说明接近，说明126 头基础母羊体重资料的频率分头基础母羊体重资料的频率分布接近正态分布布接近正态分布 ，从而可推断基础母羊体重这，从而可推断基础母羊体重这一随机变量很可能是服从正态分

53、布的。一随机变量很可能是服从正态分布的。 生物统计中，不仅注意随机变量生物统计中，不仅注意随机变量x落在平均落在平均数加减不同倍数标准差区间数加减不同倍数标准差区间(-k,+k)之之内的概率而且内的概率而且 也很也很 关心关心 x落在此区间之外的概落在此区间之外的概率。率。 我们把随机变量我们把随机变量x落在平均数落在平均数加减不同倍加减不同倍数标准差数标准差区间之外的概率称为区间之外的概率称为双侧概率双侧概率(两尾两尾概率概率)，记作记作。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 对应于双侧概率可以求得随机变量对应于双侧概率可以求得随机变量x小于小于-k或大于或大于+k的概率，称为

54、的概率，称为单侧概率单侧概率(一尾概一尾概率率),记作记作2。 例如，例如，x落在落在(-1.96,+1.96)之外之外的双侧概率为的双侧概率为0.05，而单侧概率为，而单侧概率为0.025。即。即 P P( (x x-1.96-1.96= P P( (x x+1.96)=0.025+1.96)=0.025 双侧概率或单侧概率如双侧概率或单侧概率如图图48所示。所示。 x落在落在(-2.58,+2.58)之外的双侧概之外的双侧概率为率为0.01，而单侧概率，而单侧概率 P P( (x x-2.58)=-2.58)= P P( (x x+2.58)=0.005 +2.58)=0.005 下一张下

55、一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 附表附表2给出了满足给出了满足P (u )=的的双侧分位双侧分位 的数值。因此，的数值。因此， 只要已知双侧概只要已知双侧概率率的值，由附表的值，由附表2就可直接查出对应的双侧分就可直接查出对应的双侧分位数位数 ，查法与附表，查法与附表1相同。相同。 例如，已知例如，已知uN(0,1)试求：试求： (1) P(u- )+P(u )=0.10的的 (2) P(- u =0.86的的 因为附表因为附表2中的中的值是：值是：下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 所以所以 （1) P(u- )+ P(u ) =1- P(- u =0.10=由附

56、表由附表2查得：查得： =1.644854 (2) P (- u ) =0.86 ， =1- P (- u )=1-0.86=0.14 由附表由附表2查得：查得： =1.475791 对于对于xN(,2)，只要将其转换为只要将其转换为uN(0,1),即可求得相应的双侧分位数。即可求得相应的双侧分位数。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 【例例4.8】 已知猪血红蛋白含量已知猪血红蛋白含量x服从正态服从正态分布分布 N ( 12.86，1.332 )， 若若 P (x ) =0.03, P(x )=0.03,求求 , 。 由题意可知，由题意可知，2=0.03,=0.06 又因为

57、又因为 P(x)= 故故 P(x )+ P(x ) = P(u- ) + P(u )下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 =1- P(- u )=0.06= 由附表由附表2查得：查得： =1.880794 , 所以所以 ( -12.86)/1.33=-1.880794 ( -12.86)/1.33=1.880794 即即 10.36， 15.36。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第四节第四节 二项分布二项分布 一、贝努利试验及其概率公式一、贝努利试验及其概率公式 将某随机试验重复进行将某随机试验重复进行n次，若各次试验结次，若各次试验结果互不影响果互不影响 ，

58、 即每次试验结果出现的概率都不即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这依赖于其它各次试验的结果，则称这n次试验是次试验是独立的独立的。 对于对于n次独立的试验次独立的试验 ， 如果每次试验结果如果每次试验结果出现且只出现对立事件出现且只出现对立事件A与与 之一，之一， 在每次试在每次试验中出现验中出现A的概率是常数的概率是常数p(0p1) ， 因而因而出现对立事件出现对立事件 的概率是的概率是1-p=q，则，则 称称 这一这一串重复的独立试验为串重复的独立试验为n重贝努利试验，简称贝努重贝努利试验，简称贝努利试验利试验(Bernoulli trials )。 下一张下一张

59、主主 页页 退退 出出 上一张上一张 在生物学研究中，我们经常碰到的一类离在生物学研究中，我们经常碰到的一类离散型随机变量，如入孵散型随机变量，如入孵n枚种蛋的出雏数、枚种蛋的出雏数、n头头病畜治疗后的治愈数、病畜治疗后的治愈数、n 尾鱼苗的成活数等，尾鱼苗的成活数等，可用贝努利试验来概括。可用贝努利试验来概括。 在在n重贝努利试验中，事件重贝努利试验中，事件 A 可能发生可能发生0，1，2，n次，现在我们来求事件次，现在我们来求事件 A 恰好恰好发生发生k(0kn)次的概率次的概率Pn n(k)。 先取先取n=4，k=2来讨论。在来讨论。在4次试验中，次试验中，事件事件A发生发生2次的方式有

60、以下次的方式有以下 种：种： 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 其中其中Ak(k=1,2,3,4)表示事件表示事件A在第在第k次试次试验发生；验发生； (k=1,2,3,4)表示事件表示事件A在第在第k次试次试验不发生。由于试验是独立的，按验不发生。由于试验是独立的，按概率的乘法概率的乘法法则法则，于是有，于是有 P( )=P( )= P( )= P( )P( )P( )P( )= 又由于以上各种方式中，任何二种方式都又由于以上各种方式中，任何二种方式都是互不相容的，按是互不相容的，按概率的加法法则概率的加法法则，在，在4 次试次试验中，事件验中，事件A恰好发生恰好发生2次的

61、概率为次的概率为 下一张 主 页 退 出 上一张 P P4 4(2) (2) = P P( ) + ( ) + P P( ) + ( ) + + + P P( )=( )= 一般，在一般，在一般，在一般，在n n重贝努利试验中，事件重贝努利试验中，事件重贝努利试验中，事件重贝努利试验中，事件AA恰好发生恰好发生恰好发生恰好发生k k(0(0k kn)n)次的概率为次的概率为次的概率为次的概率为 k k=0,1,2=0,1,2，n n (4-14) (4-14) 若把若把若把若把(4-14)(4-14)式与二项展开式式与二项展开式式与二项展开式式与二项展开式相比较就可以发现，在相比较就可以发现，

62、在相比较就可以发现，在相比较就可以发现，在n n重贝努利试验中，事件重贝努利试验中，事件重贝努利试验中，事件重贝努利试验中，事件AA发生发生发生发生k k次的概率恰好等于次的概率恰好等于次的概率恰好等于次的概率恰好等于 展开式中的第展开式中的第展开式中的第展开式中的第k k+1+1项，所以也把项，所以也把项，所以也把项，所以也把(4-14)(4-14)式称作式称作式称作式称作二项概率公式二项概率公式二项概率公式二项概率公式 。下一张 主 页 退 出 上一张 二、二项分布的意义及性质二、二项分布的意义及性质 二项分布定义如下：二项分布定义如下： 设随机变量设随机变量x所有可能取的值为零和正整数：

63、所有可能取的值为零和正整数：0,1,2,，n，且有且有 = k=0,1,2，n 其中其中p0，q0，p+q=1，则称则称随机变随机变量量x服从参数为服从参数为n和和p的二项分布的二项分布 (binomial distribution),记为记为 xB(n,p)。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 二二 项项 分布是一种离散型随机变量的概率分分布是一种离散型随机变量的概率分布。参数布。参数n称为离散参数称为离散参数 ， 只能取正整数；只能取正整数； p 是连续参数，它能取是连续参数，它能取0与与1之间的任何数值之间的任何数值(q由由p确定，故不是另一个独立参数确定，故不是另一个独

64、立参数)。 容易验证，二项分布具有概率分布的一切容易验证，二项分布具有概率分布的一切性质，即：性质，即： 1、P(x=k)= Pn(k) (k=0,1,，n) 2、二项分布的概率之和等于二项分布的概率之和等于1，即，即下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 3、 (4-15)4、 (4-16)5、 （mm1 1m1)， (df2） (4-27)(4-27) t分布密度曲线如分布密度曲线如图图4-13 所示，其特点是：所示，其特点是： 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 1 1、t t分布受自由度的制约，每一个自由度都有一分布受自由度的制约，每一个自由度都有一分布受自

65、由度的制约，每一个自由度都有一分布受自由度的制约，每一个自由度都有一条条条条t t分布密度曲线。分布密度曲线。分布密度曲线。分布密度曲线。 2 2、t t分布密度曲线以纵轴为对称轴，左右对称，分布密度曲线以纵轴为对称轴，左右对称，分布密度曲线以纵轴为对称轴，左右对称，分布密度曲线以纵轴为对称轴，左右对称，且在且在且在且在t t0 0时，分布密度函数取得最大值。时，分布密度函数取得最大值。时，分布密度函数取得最大值。时，分布密度函数取得最大值。 3 3、与标准正态分布曲线相比，、与标准正态分布曲线相比，、与标准正态分布曲线相比，、与标准正态分布曲线相比，t t分布曲线顶部略分布曲线顶部略分布曲线

66、顶部略分布曲线顶部略低，两尾部稍高而平。低，两尾部稍高而平。低，两尾部稍高而平。低，两尾部稍高而平。dfdf越小这种趋势越明显。越小这种趋势越明显。越小这种趋势越明显。越小这种趋势越明显。dfdf越越越越大，大，大，大，t t分布越趋近于标准正态分布。当分布越趋近于标准正态分布。当分布越趋近于标准正态分布。当分布越趋近于标准正态分布。当n n 3030时，时，时，时，t t分分分分布与标准正态分布的区别很小；布与标准正态分布的区别很小；布与标准正态分布的区别很小；布与标准正态分布的区别很小；n n 100100时，时，时，时，t t分布基分布基分布基分布基本与标准正态分布相同；本与标准正态分布

67、相同；本与标准正态分布相同；本与标准正态分布相同；n n时，时，时，时，t t 分布与标准正态分布与标准正态分布与标准正态分布与标准正态分布完全一致。分布完全一致。分布完全一致。分布完全一致。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 t分布的概率分布函数为：分布的概率分布函数为： (4-28) 因而因而t在区间（在区间（t1，+）取值的概率取值的概率右尾概率为右尾概率为1-F t (df)。由于由于t分布左右对称，分布左右对称，t在区间（在区间（-，-t1）取值的概率也为取值的概率也为1-F t df)。 于是于是 t 分布分布 曲线曲线 下由下由-到到- t 1和由和由t 1到到+

68、 两两 个个 相相 等等 的的 概概 率率 之和之和两尾概率为两尾概率为2(1-F t (df)。对于不同自由度下对于不同自由度下t分布的两尾分布的两尾概率及其对应的临界概率及其对应的临界t值已编制成附表值已编制成附表3，即，即t分分布表。布表。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 例如，当例如，当例如，当例如，当dfdf=15=15时，查附表时，查附表时，查附表时，查附表3 3得两尾概率等于得两尾概率等于得两尾概率等于得两尾概率等于0.050.05的临界的临界的临界的临界t t值为值为值为值为 =2.131=2.131，其意义是：，其意义是：，其意义是：，其意义是： P P(

69、-(-tt-2.131)=-2.131)= P P(2.131(2.131tt+)+) =0.025 =0.025； P P(-(-tt-2.131)+-2.131)+ (2.131(2.131tt+)+) =0.05 =0.05。 由附表由附表由附表由附表3 3可知，当可知，当可知，当可知，当dfdf一定时，概率一定时，概率一定时，概率一定时，概率P P越大，临界越大，临界越大，临界越大，临界t t值值值值越小；概率越小；概率越小；概率越小；概率P P越小，临界越小，临界越小，临界越小，临界t t值越大值越大值越大值越大 。 当当当当 概概概概 率率率率 P P 一定一定一定一定时，随着时，随着时，随着时，随着dfdf的增加，临界的增加，临界的增加，临界的增加，临界t t值在减小，当值在减小，当值在减小，当值在减小，当dfdf=时，临时，临时，临时，临界界界界t t值与标准正态分布的临界值与标准正态分布的临界值与标准正态分布的临界值与标准正态分布的临界u u值相等。值相等。值相等。值相等。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张