工学第7章正弦稳态分析

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1、第7章 正弦稳态分析 正弦电路中，当电路进入稳态后，电路中任意电压或电流均随时间按与激励同频率的正弦规律变化。处于正弦稳态的电路称正弦稳态电路，分析和求解正弦稳态电路的响应称为正弦稳态分析。 在微分方程中，稳态就是微分电路方程的特解。这里介绍另一种方法求特解，就是相量法求解。 7.1 正弦量 正弦量的三要素。正弦量可以用正弦函数表示，也可以用余弦函数表示。这里采用用余弦函数来表示正弦量。 在选定参考方向和计时起点后，正弦量的瞬时值表达式为： 式中Fm为振幅，为角频率，为初相位，称为相位。 初相位（简称初相）的大小不大于。 正弦量是周期性函数。正弦量完成一次循环的时间称为周期，用T表示，单位是秒

2、。周期的倒数就是频率，即1秒种时间内所完成循环的次数，单位是赫兹（Hz）。角频率是1秒时间里所转过的角度，它与频率、周期满足下面式子。 也就是说，只知道振幅、初相、频率或周期或角频率，就可写出正弦量的表达式。这三个量，称为正弦量的三要素。 正弦量f(t)的波形如图7-1所示。 例7-1 试求正弦量 的振幅Fm、初相和频率f。 解：先将其化为标准式 即振幅Fm100，初相是，角频率是100，即频率是f=50Hz。 正弦量的相位差 设两个正弦量： 其相位差为： 注意相位差要满足： 若，说明u1(t)超前u2(t)。，说明u1(t)与u2(t)同相。，说明u1(t)滞后u2(t)。，说明u1(t)、

3、 u2(t)反相。，说明u1(t)、u2(t)正交。 例7-2 已知正弦电压 正弦电流 试求各正弦量间的相位差。 解： 电压u1和u2相位差为： 说明电压1超前电压2。 电压u1与电流i3之间的相位差： 说明电压1滞后电流，二者正交。 电压u2与电流i3之间的相位差： 注意到相位差的取值，实际上是 电压超前电流。 正弦量的有效值。 周期信号的有效值是根据其本身的热效应来确定。对于正弦交流电流，将其流过某电阻R，在某段时间内产生热量与通过该电阻的直流电流I在相同的时间里产生的热量相同，我们说这个交流电的有效值就是I。 下面以一个周期T产生热量进行计算。 设正弦交流电为：，则其有效值为： 同时交流

4、电压的有效值与幅值之间也满足上面的关系。 交流电压、电流的瞬时表达式可以写成： 7.2 正弦量的相量表示法 对一个复数A，其表达形式有以下4种。 分别是直角坐标形式、三角形式、指数形式、极坐标形式。 其中称为模， 称为幅角。 对于含时的复数 ，其三角形式为： 可见，正弦量 与复数有关， 它是上面复数的实部。记为： 其中，也是一个复数，它反映正弦量的模和初相位。 通常在频率已知的情况下，若求出振幅、初相位，就能得到正弦量的瞬时表达式。我们将从正弦交流电中得到的复数称为相量。反映复数的平面我们称为复平面；反映相量的平面称为相平面。如图7-3、图7-4所示。 复数的模为1, 它与时间有关，我们称之为

5、单位旋转相量。 相量乘以旋转相量，它就可在相量图中旋转起来。如图7-5所示。 相量只是反映正弦交流电的振幅（或有效值）、初相位的关系，并不等于正弦量，它们之间只是一种对应关系。 例7-3 已知正弦电流和电压分别为： 试写出它们对应的相量，并画出相量图。 解：先将它们化为标准的正弦量表达式，然后才写出它们对应的相量。 所以其对应的相量为： 所以，其对应的相量为： 相量图如图7-6所示。 例7-4 已知同频正弦电压相量为： 频率f=50Hz。写出它们对应的瞬时值表达式。 解：先将其化为极坐标形式。 所以，它们对应的瞬时值表达式为： 7.3 正弦稳态电路的相量模型 基尔霍夫定律的相量形式 对于KCL

6、，其表达式为： 在正弦交流电路中，基尔霍夫定律也是成立的。 上式可改写为： 即有： 同样对KVL，我们也可得到其相量形式有表达式： 例7-5 如图7-7(a)所示电路节点上有： 试求电流i3(t)，并作出电流相量图。 解：利用相量法求解。 利用相量形式下的KCL，有： 其瞬时值表达式为： 其相量图如图(b)所示：例7-6 如图7-8所示电路中，已知：， 。 求电压u(t)。 解：利用相量法求解。 所以其瞬时电压表达式为： 电路元件的伏安关系的相量形式 设： 则有： 即： 电容元件的VCR的相量形式 对于图7-10所示的电容元件有： 设： 则： 即有： 注意 说明： 对比电阻的欧姆定律， 称为容

7、抗，单位也是欧姆。 容抗的倒数称为容纳。用BC表示。 电容的相量形式电路如图所示：电感元件伏安特性的相量形式 电感的伏安特性为： 在正弦稳态交流电路中，电感的电压与电流可设为： 则： 即： 上式可表示为： 同样称为感抗，用XL表示； 其感纳为 电感相量形式的电路图如图所示：例7-7 在图7-12所示正弦稳态电路中，已知 试求电感两端的电压u(t)。 解： 所以： 例7-8 在图7-13所示正弦稳态电路中，已知 L10mH，C50F。试求电流i(t)。 解： 利用R、L、C元件的VCR的相量形式，可得各支路的电流相量。 由KCL的相量形式可得： 电流i(t)为：7.4 阻抗与导纳 图7-14(a

8、)所示，N0为正弦稳态电路中的无源二端网络，其端口电压如图所示，则端口的电压相量与电流相量之比为一个阻抗，我们用Z或Y来表示。 显然Z和Y都是复数，单位分别是和S，称为（复）阻抗和复导纳。定义： 其中R是等效电阻，X称为电抗；G是导纳，B是电纳。 复阻抗的表示形式与复数一样，都有四种形式，常用的有代数形式和极坐标形式。阻抗的大小、电阻、电抗组成一个直角三角形。对复导纳也有相同的结论。 对于复导纳有： 电阻与导纳、电抗与电纳的关系： 例7-9 在图7-15(a)所示电路中，已知端口的电压与电流分别为： 求该端口的输入阻抗、导纳及其等效电路。 解： 相当于一个4电阻，串联一个感抗为3的电感，电感的

9、大小为0.03H 相同于一个0.16S的电导（电阻等于6.25），并联一个导纳为0.12的电感（电感大小为0.083H）。 对于R、L、C串联电路，如图7-16(a)所示。 其相量形式电路如图(b)所示。其阻抗为： 当XLXC0时，我们说电路是感性电路，电压相位超前电流；若XLXC0，电路为容性电路，电压相位滞后电流；等于0时，电路为纯电阻电路，电压与电流同相。 由于： 电压三角形与阻抗三角形是相似三角形。 例7-10 在图7-18(a)所示RLC串联电路中，已知R100，L20mH，C1F，端电压 试求电路中的电流和各元件的电压。 解：先画出其相量形式下的电路图。 电流和各电压的瞬时量表达式

10、为： 例7-12 电路如图7-19所示，已知R18，XC16，R23，XL24，R35，XL310。求电路的输入阻抗Zab。 解：先写各部分的阻抗。 阻抗的计算与电阻的计算形式相同。 7.5 正弦稳态电路的相量分析法 对于正弦稳电路的分析，由于采用了相量法，使得电路变成线性电路，只不过这是在复平面运算。前面直流电路的方法、定理同样适用于正弦稳态相量形式下的电路。 例7-13 在图7-20(a)所示电路中，已知 求电感电流和电容电压。 解：首先将电路图变成相量形式的电路，如图(b)所示。利用网孔电流法求解。 例7-14 电路如图7-21所示，试求电压。 解：采用节点电压法求解。选择如图参考点。

11、所以： 例7-15 电路如图7-22(a)所示，试求电流相量。 解：利用戴维南定理求解。 开路电压的求解，电路如图(b)所示。 求等效阻抗时，采用电路图（c）。 所以： 回到图(d)，求得： 例7-16 在图7-23所示的电路相量模型中，N0为R、L和C组成的无源线性网络。已知如图7-23(a)，当 ， 端开路时， ；现如图7-23(b)所示， 又将 的电流源接于 ，试求电压相量 。 解：对于图(b)，可用叠加定理求，当电流源单独作用的电压，然后再叠加。 作用时，产生的电压为 ；当 单独作用时， 利用互易定理及线性网络的齐次性，有： 所以该电压相量为： 7.6 正弦稳态电路的功率 正弦稳态电路

12、中，无源二端网络如图7-24(a)所示，其端口电压和电流参考方向为关联方向。 则该网络吸收的瞬时功率为： 平均功率是我们讨论的，其值等于： 实际上，电阻、电容、电感这三种元件，只有电阻才是消耗功率的，其他两种分别储备电场能和磁场能。 例7-17 图7-26所示电路是三表法测量实际电感线圈的电感与电阻参数值。已知外加正弦电压的频率为50Hz，电压表读数为100V，电流表读数为1A，瓦特表读数为80W。试求R和L的值。 解 对于一般的二端网络，可等效为一个电阻R和一个电抗X串联。故二端网络吸收的瞬时功率（平均功率）应等于等效阻抗中电阻和电抗吸收的瞬时功率（平均功率）的和。电阻R吸收的平均功率为：

13、这部分功率是做功的，称为有功功率用P表示，单位为瓦特（W）。 电抗吸收的瞬时功率为： 电抗吸收的平均功率为0。由于电抗瞬时功率的最大值是 这部分功率是电抗占用的，并不做功，我们定义这个功率为无功功率，用Q表示，单位为乏（Var）。 而端口电压与电流的积定义为视在功率，用S表示，即SUI。视在功率又称铭牌功率或设备的容量。 于是有： 定义功率因数（PF或pf，用表示）： 复功率 复功率的定义为： 从上式我们看出，在电路中，有功功率可以相加，无功功率也可以相加。 例7-18 电路相量模型如图7-28所示，已知端口电压的有效值U100V。 试求该二端网络的P、Q、S、 和PF。 解：设 二端网络端口

14、的等效阻抗为： 因此： 所以P800W，Q600Var。S1000VA。电路为容性电路。 例7-19 如图7-29所示，已知一感性负载接在电压U220V、频率f=50Hz的交流电源上，其平均功率P1.1kW，功率因数PF0.5。现欲并联电容使功率因数提高到0.8（滞后），求需接多大的电容C？ 解：设 并联电容前端口电流为I 由功率因数PF0.5，可知感性负载的阻抗角为 此时电流为： 并联电容后，端口电流的大小为： 此时，端口等效阻抗的阻抗角为： 电容的电流大小为： 电容器的大小为： 例7-20 电路如图7-30所示，试求两负载吸收的总复功率，并求输入总电流和总功率因数。 解：分别计算两负载的无

15、功功率，注意电容的无功为负，电感的无功为正。 总有功功率为P25kW 总无功功率为Q12500Var 复功率为： 总视在功率 总功率因数 （滞后，感性负载） 最大功率传输 正弦稳态电路的最大功率传输与直流电路不同。对于图7-31电路，利用相量计算其电流。 负载吸收的平均功率为： 当时，有： 这个式与直流电路中最大功率传输定理相同，当 时，负载 可获得最大功率。最大功率为： 这种当 的方式，称共轭匹配。 例7-21 在图7-32(a)所示电路中，已知ZL为可变负载，试求ZL为何值时可获得最大功率？最大功率为多少？ 解：利相量形式戴维南定理将电路ab左侧电路作等效。 该单口的等效阻抗为： 即：当 时，可获得最大功率。最大功率为：