《材料力学》压杆稳定

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1、压杆稳定压杆稳定构件的承载能力：强度刚度稳定性工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全可靠地工作。9.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念稳定平衡与不稳定平衡稳定平衡与不稳定平衡 ：1.不稳定平衡2.稳定平衡压杆失稳试验图P1PcrP2=Pcr(1)在杆端加P1小于某个临界值Pcr,钢条能保持直线位置平衡状态。加干扰：用手指横向推动杆端，这时钢条弯了，但手指一离开，钢条就来回摆动，最后回到原来的直线位置保持平衡。我们说，杆件在P1的作用下处于稳定的平衡状态，此时的平衡具有抗干扰性。P1Pcr(2)当P2等于某个临界值Pcr时，只要一加干扰，杆件将弯曲，干扰去掉后，杆件保持在微弯状态下的平

2、衡，不再回到原来的直线平衡形式，我们说杆原来的直线平衡状态是不稳定的。P2=Pcr由稳定的平衡状态过渡到不稳定的平衡状态称为失稳失稳失稳失稳。压杆失稳压杆失稳压杆失稳压杆失稳直线平衡状态改变为微弯平衡状态。PPcr压杆处于稳定平衡P=Pcr压杆失稳Pcr临界压力临界力工程实际中的压杆不允许失稳。对于稳定问题，关键是求出临界压力Pcr，这样，只要工作压力小于临界压力，就不会发生失稳问题。9.2.1 两端简支细长杆的临界压力两端简支细长杆的临界压力如前所述，临界压力Pcr是这样一个值：当PPcr，杆能保持直线平衡状态；当P=Pcr，杆处于微弯平衡状态；Pcr是杆件维持微弯平衡状态的最小压力。9.2

3、 细长压杆的临界力细长压杆的临界力求临界压力的思路：求临界压力的思路：求临界压力的思路：求临界压力的思路：假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，从挠曲线入手，求此时的临界力。假定：杆件已发生微小弯曲变形(如图示)，yPcrPcrLx代入挠曲线近似微分方程，EIv=M=PcrvEIv+Pcrv=0二阶常系数齐次线性微分方程由平衡条件，易得： M(x)=Pcrv(x)v+k2v=0PcrxMxyvPcrLyxPcrPcr通解：v=C1sinkx+C2coskx边界条件：x=L：v(L)=0v(0)=C1sin(k0)+C2cos(k0)=C2=0 v=C1sinkx v(L)=C1sinkL=

4、0x=0v(0)=0LyxPcrPcrC10否则v0与假设矛盾sinkL=0有：kL=nn=0，1，2，LyxPcrPcr临界压力为维持微弯平衡状态的最小轴向压力欧拉公式杆件失稳由直线变成曲线(0xl)半个正弦波9.2.2 常见各种常见各种杆端约束下细长杆的临界杆端约束下细长杆的临界压力欧拉公式压力欧拉公式 压杆的长度系数压杆的长度系数例求一端固定，一端自由细长杆的临界压力。由平衡条件M(x)=Pcr(v)代入挠曲线近似微分方程EIv=M(x)=Pcr( v)MPcrLxxvyPcrEIv+Pcrv=Pcrv+k2v=k2通解为v = C1sinkx + C2coskx + 边界条件:x=0：

5、v (0)=0x=L：v (L )=v(0) = C1sin(k0) + C2cos(k0) + = 0x=0：v (0)=0LxxvyPcrC2+ = 0 C2=v (0) = kC1cos(k0) kC2sin(k0) = 0kC1=0v (x)=kC1coskx kC2sinkx C1=0v(x)= (1 coskx)LxxvyPcrv(l)= (1coskL)=n=0，1，2，n=0，1，2，(0xL)v(L)=0LxxvyPcrALB半个正弦波MA=MB=0MA=MA =0相当长为2L的两端简支杆对比：AALL个正弦波图形比拟：失稳时挠曲线上拐点处的弯矩为0，故可设想此处有一铰，而将

6、压杆在挠曲线上两个拐点间的一段看成为两端铰支的杆，利用两端铰支的临界压力公式，就可得到原支承条件下的临界压力公式。两拐点间的长度L 称为原压杆的相相相相当当当当长长长长度度度度，即相当L 这么长的两端铰支杆。两端固定L0.5LPcr一端固定，一端铰支两端固定PcrL0.7LPcrL0.5L不同约束情况下，细长杆的临界压力欧拉公式可统一写成： ：长度系数：长度系数：长度系数：长度系数 L L：相当长度相当长度相当长度相当长度 两端铰支=1一端固定，一端自由=2一端固定，一端铰支两端固定常见约束压杆长度系数及临界压力常见约束压杆长度系数及临界压力 Pcr =2 PcrL0.7L 0.7PcrL0.

7、5L =0.5L =1 LPcr问题：问题：压杆为空间实体，在轴向力作用下如果失稳，它朝哪个方向弯？y=f (x)yzxz=f (x)yxxz平面内弯xy平面内弯z绕z轴转动截面绕y轴转动临界压力公式中的I是对哪根轴的I？Pcr维持微弯平衡状态最小的压力各方向约束情况相同时：为常数，IImin最小形心主惯性矩各方向约束情况不同时：使Pcr最小的方向为实际弯曲方向，I为挠曲时横截面对其中性轴的惯性矩。朝哪个方向弯 临界应力临界应力 柔度柔度欧拉公式：柔度，长细比对细长杆9.3 欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围 临界应力总图临界应力总图 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围crp欧拉公式成立的

8、条件：欧拉公式适用范围pQ235钢，E=206GPap=200MPa 临界应力总图临界应力总图0s称为小柔度杆，cr=ssp称为中柔度杆，cr=a-bBCAcrDcr=abcr=sspsPO表表9-1 常用材料的常用材料的a、b和和 p值值材料a(MPa)b(MPa)pA3钢s=235MPa3041.12102优质碳s=306MPa4612.56895铸铁332.21.45470木材28.70.19080py 如果木柱失稳，将在垂直于屏幕平面内绕z 轴失稳。zp应采用欧拉公式计算(b)Pl=7mh=200h=200b=120yzxy92图示托架中杆AB的直径d=40mm，长度l=800mm，两

9、端可视为球铰链约束，材料为Q235钢，试：求托架的临界载荷FPcr。解：解：(图(a) (a)CBDqABFPF 中柔度杆d=40mm，l=800mm，两端球铰，材料为Q235钢1.1.压杆稳定计算压杆稳定计算 稳定安全系数法稳定安全系数法考虑一定的安全储备，稳定条件为：P：工作压力Pcr：临界压力nst：额定安全系数nst：额定安全系数9.4 压杆的稳定计算压杆的稳定计算 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施稳定条件也可用安全系数表达为：稳定许用应力稳定许用应力：式中式中nst为为稳定安全系数稳定安全系数。注：注：1. 通常通常nst随着柔度随着柔度 的增大而增大的增大而增大。2.稳定安

10、全系数一般比强度安全系数要大些稳定安全系数一般比强度安全系数要大些。例如对。例如对于一般钢构件，其强度安全系数规定为，而稳定安于一般钢构件，其强度安全系数规定为，而稳定安全系数规定为，甚至更大。全系数规定为，甚至更大。 3.截面的局部削弱对整个杆件的稳定性影响不大，因截面的局部削弱对整个杆件的稳定性影响不大，因此此在稳定计算中横截面面积在稳定计算中横截面面积一一般取毛面积计算般取毛面积计算。 稳定计算的一般步骤：分别计算各个弯曲平面内的柔度y、z，从而得到max；计算s、p，根据max确定计算压杆临界压力的公式，小柔度杆cr=s，中柔度杆cr=ab，大柔度杆计算Pcr=crA，利用稳定条件进行

11、稳定计算。BCAcrDcr=abcr=sspsPOF3mCB3.5m2mADp=200MPa，s=240MPa，E=206GPa，稳定安全系数为nst=3。试求容许荷截F。例例例例9 9 3 3 图示结构，立柱CD为外径D=100mm，内径d=80mm的钢管，其材料为Q235钢，解：由杆ACB的平衡条件易求得外力F与CD杆轴向压力的关系为：XAACNFBYA3m2m例例例例9 9 3 3 图示结构，立柱CD为外径D=100mm，内径d=80mm的钢管，其材料为Q235钢，p=200MPa，s=240MPa，E=206GPa，稳定安全系数为nst=3。试求容许荷截F。F3mCB3.5m2mAD立

12、柱CD为外径D=100mm，内径d=80mm的钢管F3mCB3.5m2mAD两端铰支=1p材料为Q235钢,p=200MPa，s=240MPa，E=206GPa。F3mCB3.5m2mAD可用欧拉公式由稳定条件F3mCB3.5m2mAD2.2.压杆稳定计算压杆稳定计算 折减系数折减系数法法工程中为了简便起见，对压杆的稳定计算还常采用折减系数法。即将材料的压缩许用应力乘上一个小于1的折减系数作为压杆的许用临界应力，即：cr= 1，称为折减系数P：工作压力； ： 折减系数； A： 横截面面积； ：材料抗压许用值。根据稳定条件注意：压杆的注意：压杆的折减系数折减系数 （或柔度（或柔度 ）受截面形状和

13、尺寸）受截面形状和尺寸的影响的影响，通常采用，通常采用试算法试算法求解。求解。表表15-2 压杆杆的的稳定系定系数数=L/i3号钢16Mn钢铸铁木材010201.0000.9950.9811.0000.9930.9731.000.970.911.000.990.9730400.9580.9270.9400.8950.810.690.930.8750600.8880.8420.8400.7760.570.440.800.7170800.7890.7310.7050.6270.340.260.600.48901000.6690.6040.5460.4620.200.160.380.31110120

14、0.5360.4660.3840.3250.260.221301400.4010.3490.2790.2420.180.161501600.3060.2720.2130.1880.140.121701800.2430.2180.1680.1510.110.101902000.1970.1800.1360.1240.090.08例例例例9 9 4 4 图示千斤顶，已知丝杆长度l，ldP直径为d，材料为Q235钢 ， 强 度 许 用 应 力=160MPa，符合钢结构设计规范(GBJ1788)中b类杆件要求，最大起重量为P=80kN，试校核该丝杆的稳定性。解：首先计算该压杆柔度，该丝杆可简化为图示下

15、端固定，上端自由的压杆。查表124，故此千斤顶稳定性足够。Pl=0.375m例题例题 95 图示两端铰支的钢柱，已知长度图示两端铰支的钢柱，已知长度l=2m，承受轴向压力承受轴向压力F=500kN，试选择工字钢截面，材料，试选择工字钢截面，材料的许用应力的许用应力=160MPa。 例题例题94图图yzxFlz解：由稳定条件不能同时确定两个未知量解：由稳定条件不能同时确定两个未知量A与与 ，因此必须采用，因此必须采用试算法试算法。（1）第一次试算：）第一次试算：假设假设 ，由稳定条，由稳定条件有：件有：查型钢表，试选查型钢表，试选28b号工字钢，其横截面号工字钢，其横截面面积为面积为 ，最小惯性

16、半径为，最小惯性半径为 ，于是，于是查折减系数表得查折减系数表得 ，由于由于 与与 相差较大相差较大，因此必须进行第二次试算因此必须进行第二次试算。yzxFlz根据稳定条件有：根据稳定条件有： （2）第二次试算：）第二次试算：假设假设再选再选25a号工字钢，其横截面面积为号工字钢，其横截面面积为 ， 最小惯性半径为最小惯性半径为 ，于是：，于是：查折减系数表并插值查折减系数表并插值由于由于 与与 仍相差较大仍相差较大，故还需进行第三次试算故还需进行第三次试算。yzxFlz根据稳定条件有：根据稳定条件有： （3）第三次试算：）第三次试算：假设假设再选再选22b号工字钢，其横截面面积为号工字钢，其

17、横截面面积为 ，最小惯性半径为最小惯性半径为 ，于是：，于是：yzxFlz此时此时 与与 已经相差不大已经相差不大，可以进行稳定校核可以进行稳定校核。最后最后选定定22b号工字号工字钢。 例题例题96 图示托架中的图示托架中的AB杆为杆为16号工字钢，号工字钢，CD杆由杆由两根两根506等边角钢组成。已知等边角钢组成。已知l=2m，h，材料为，材料为Q235钢，其许用应力钢，其许用应力 = 160 MPa，试求该托架的，试求该托架的许用荷载许用荷载F。 DCFlhABl/2解：首先考虑解：首先考虑AB杆的平衡（图杆的平衡（图a）图(a)ABCFFCD1. 由由CD杆的稳定性确定许用荷载杆的稳定

18、性确定许用荷载图(b)M图Fl/2+2F图(c)FN图由此可得：由此可得：2. 由由AB杆的强度确定许用荷载杆的强度确定许用荷载 AB杆杆为为拉拉弯弯组组合合受受力力状状态态，其其弯弯矩矩图图和和轴轴力力图图分分别别如如图图b和和图图c所所示示。可可见见C左左侧侧截截面面为为危危险险截截面，由此可以建立强度条件。面，由此可以建立强度条件。 通过比较通过比较1和和2可知，该托架的许用荷载为可知，该托架的许用荷载为F。其中，约束加强，L支座数目，i截面惯性矩I 思路分析：思路分析：因此，为了提高压杆的稳定性可从三各方面着手：(1)选择合理的截面形状； (2)减小压杆的自由长度； (3)改善杆端的约

19、束情况及合理选用材料。合理截面是使压杆的临界压力尽可能大的截面。从横截面的角度，要使小，只有i增大，即截面I大。在面积不变的情况下，尽可能使I 增大；尽可能使各方向值相等。选择合理的截面形状选择合理的截面形状当压杆两端的约束在各个方向相同时，要使各方向值相等，即y= z，应使截面两个形心主惯性矩具有Iy= Iz，较为合理。 当压杆两端的约束在各个方向不同时，合理截面应该是IyIz ，以保证有y= z。 当多根压杆串连时，要求即整体与分支具有相同的稳定性。减小压杆的自由长度减小压杆的自由长度PcrL2PcrL /2L /2改善杆端的约束情况及合理选用材料改善杆端的约束情况及合理选用材料 *杆端约

20、束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度就越 低, 临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,可使压 杆的稳定性得到提高。 Pcr*合理的选用材料对提高压杆的稳定性也能起到一作用PcrPcr一、概一、概 述述几何法：几何法：应应 力力应应 变变变变 形形外外 力力物理方程物理方程平衡方程平衡方程几何方程几何方程（变形协调方程）（变形协调方程）能量法出发点：能量法出发点： 能量守恒与转换原理。能量守恒与转换原理。弹性体承载时，加力点发生位移弹性体承载时，加力点发生位移荷载做功，荷载做功，W弹性体变形弹性体变形储存变形能（应变能），储存变形能（应变能）， U略去在该过程中的微量能量损耗，则由能

21、量守恒略去在该过程中的微量能量损耗，则由能量守恒与转换原理，得：与转换原理，得：外力功外力功 = 变形能变形能 W = U由能量的观点出发建立荷载与变形间关系的方法由能量的观点出发建立荷载与变形间关系的方法称为称为能量方法。能量方法。二、变形能的计算二、变形能的计算静载：静载：荷载：荷载：0P缓慢缓慢加力点加力点B的位移：的位移：B= L0L缓慢缓慢PABLL变力做功：变力做功：此处为线弹性材料。此处为线弹性材料。对于线弹性材料，变形能为：对于线弹性材料，变形能为：用外力功表示用外力功表示用用“内力内力”表示表示用用“变形变形”表示表示PABLL（1）弹性应变只与力）弹性应变只与力或位移的终值

22、有关，与或位移的终值有关，与加载过程和次序无关。加载过程和次序无关。LlpPpOPLdwd(l)（2）在杆长范围内）在杆长范围内N、A不是常数时，一般的，有：不是常数时，一般的，有：如图：如图：LlpPpd(l)dwW(L)OPABLLx（3）单位体积的变形能称为比能：）单位体积的变形能称为比能：d( *) * dww( )O z x y zz y（4）变形能不能叠加。）变形能不能叠加。 从数学观点看：从数学观点看：U不是不是P或者或者L的线性函数，所以的线性函数，所以不能叠加。不能叠加。从力学观点看：从力学观点看：例：例：P1LL1EAP2LL2EA所以，变形能不能叠加。所以，变形能不能叠加

23、。P=P1+P2LL2EAP1LL1EAP2LL2EA加载过程中加载过程中P1在在P2产生产生的位移上做的功的位移上做的功加载过程中加载过程中P2在在P1产生的位移上做的功产生的位移上做的功P=P1+P2LL2EA变形能不能叠加的力学本质变形能不能叠加的力学本质变形能不能叠加的力学本质变形能不能叠加的力学本质：一种荷载在另一种荷载引起的位移上做了功。一种荷载在另一种荷载引起的位移上做了功。对于线弹性材料，变形能为：对于线弹性材料，变形能为：用外力功表示用外力功表示用用“内力内力”表示表示用用“变形变形”表表示示TOT11M0L同样，对于扭转的一般情形，有：同样，对于扭转的一般情形，有：M0LT

24、OT11 x y z zd( *) * dww( )O（1）纯弯曲）纯弯曲MML MOM对于线弹性材料，对于线弹性材料，变形能为：变形能为：用外力功表示用外力功表示用用“变形变形”表表示示用用“内力内力”表示表示MML MOM（2）横力弯曲）横力弯曲M(x)dx总变形能总变形能=剪切变形能剪切变形能+弯曲变形能弯曲变形能一般情况下剪切变形能很小，可以忽略不计：一般情况下剪切变形能很小，可以忽略不计：综合轴向拉伸（压缩）、扭转、弯曲变形，对于线弹综合轴向拉伸（压缩）、扭转、弯曲变形，对于线弹性材料，一般地有：性材料，一般地有：U广义力广义力 广义位移广义位移 U 可表成可表成P 的二次函数或的二

25、次函数或的二次函数的二次函数 ，这也揭示，这也揭示了应变能不能叠加。了应变能不能叠加。如果构件上有二种荷载，但其中任一种荷载在另一如果构件上有二种荷载，但其中任一种荷载在另一种荷载产生的位移上不做功，则这两种荷载单独作用时种荷载产生的位移上不做功，则这两种荷载单独作用时产生的变形能之和等于共同作用时产生的变形能。产生的变形能之和等于共同作用时产生的变形能。MdxNTMNT在材料为线弹性的特殊情况下，在材料为线弹性的特殊情况下，这就是用这就是用“内力内力”表示的变形能的普遍表达式（即：表示的变形能的普遍表达式（即：克拉贝依隆原理）。克拉贝依隆原理）。注意：式中注意：式中M、T、N为所有外力为所有

26、外力P1、P2、P3共同作共同作用引起的内力。用引起的内力。MLNTMNT在材料为线弹性的特殊情况下，在材料为线弹性的特殊情况下， 如图，无刚性位移的线弹性结如图，无刚性位移的线弹性结构体，承受荷载构体，承受荷载P1、P2、P3 设想采用比例加载：设想采用比例加载：P1、P2、P3缓慢的按相同的比例增加，缓慢的按相同的比例增加，弹性体始终保持平衡，而且各外弹性体始终保持平衡，而且各外力作用点的位移力作用点的位移1、2、3也将按也将按与外力相同的比例增加。与外力相同的比例增加。P1P2P3123于是得到用于是得到用“外力功外力功”表示的变形能的普遍表达式：表示的变形能的普遍表达式：注意：式中注意

27、：式中1、2、3为所有外力为所有外力P1、P2、P3共同共同作用引起的位移。作用引起的位移。在线弹性特殊情况下，有在线弹性特殊情况下，有例例1 求图示简支梁中点的挠度求图示简支梁中点的挠度 fC解：解：PEIL/2L/2xABC正号表示正号表示 fC 的方向与外力的方向与外力P的指向相同。的指向相同。三、余三、余 能能定义：余功定义：余功O*lp*PpWCdp*W余功无物理意义余功无物理意义PLLEA定义：余能定义：余能定义：比余能定义：比余能对于线弹性材料，显然有：对于线弹性材料，显然有：数值相同，概念不同数值相同，概念不同一般地，应变能总能表为位移的一般地，应变能总能表为位移的函数，余能总

28、能表为荷载的函数。函数，余能总能表为荷载的函数。lP*PPWCOdP*W * uCOd * *u四、卡氏定理四、卡氏定理1.卡氏第一定理（应变能法）卡氏第一定理（应变能法）当仅发生微小增量，其余位移无增量时：另一方面，当仅另一方面，当仅 i 发生增量发生增量d i时，时，Pi将做功，从而导致将做功，从而导致应变能发生增量：应变能发生增量：（常力做功）（常力做功）即即卡氏第一定理卡氏第一定理：弹性结构的应变能对某一位：弹性结构的应变能对某一位移的偏导数，等于与此位移相应的外力。移的偏导数，等于与此位移相应的外力。（1）卡氏第一定理既适用于线性弹性，也适用）卡氏第一定理既适用于线性弹性，也适用于非

29、线性弹性。于非线性弹性。（2）“相应相应”的意义：的意义：为集中力，则为集中力，则 为与之同方向的线位移。为与之同方向的线位移。为集中力偶，则为集中力偶，则 为与之同转向的角位移。为与之同转向的角位移。与与 位置相同。位置相同。例例2 图图示示结结构构，AB杆杆与与BC杆杆的的横横截截面面积积均均为为A。应应力力-应应变关系为：变关系为： ，试求试求AB杆和杆和BC杆的轴力。杆的轴力。解：节点解：节点B有两个未知位移：有两个未知位移：水平位移：水平位移：1垂直位移：垂直位移：2计算应变能：计算应变能：CBAPL4512B也即，将应变能表为位移的函数：也即，将应变能表为位移的函数：BABD1DB

30、EC4521B均匀变形：均匀变形：由卡氏第一定理：由卡氏第一定理：联立以上两式，求解可得：联立以上两式，求解可得：（拉伸）（拉伸）（压缩）（压缩）（拉）（拉）（压）（压）（拉）（拉）（压）（压）当仅有当仅有Pi有增量有增量dPi ，其余荷载不发生变，其余荷载不发生变化时：化时： （即每个荷载是独立变化的）（即每个荷载是独立变化的） 。P1P2P3123另一方面，因为另一方面，因为dPi，余功的增，余功的增量为：量为：余能定理余能定理对于线弹性结构：对于线弹性结构：所以对于线弹性结构，有：所以对于线弹性结构，有：卡氏第二定理卡氏第二定理：对于线弹性体，应变能对某一外：对于线弹性体，应变能对某一外

31、力的偏导数，等于与此外力相应的位移。力的偏导数，等于与此外力相应的位移。卡氏第二定理卡氏第二定理卡氏第一、二定理的另一推导方法卡氏第一、二定理的另一推导方法因为按比例加载时，因为按比例加载时，Pj与与 j一一一一对应，即对应，即Pj是是 j的单值函的单值函数：数：所以所以即即于是于是同理，因为同理，因为所以所以即即（1）卡氏第二定理只能用于线弹性结构。）卡氏第二定理只能用于线弹性结构。（2）“相应相应”的意义：的意义：为集中力，则为集中力，则 为与之同方向的线位移。为与之同方向的线位移。为集中力偶，则为集中力偶，则 为与之同转向的角位移。为与之同转向的角位移。与与 位置相同。位置相同。（3）应

32、变能应写成外力的函数。）应变能应写成外力的函数。卡氏第二定理的具体应用：卡氏第二定理的具体应用：（1）梁）梁（2）桁架）桁架（ n根杆）根杆）（3）轴）轴（4）一般地）一般地例例3 图示简支梁，求中点图示简支梁，求中点C的挠度。的挠度。解：解：PEIL/2L/2xABC正号表示正号表示 fC 的方向与的方向与P的指向一致。的指向一致。PEIL/2L/2xABC例例4 图示悬臂梁，求图示悬臂梁，求B截面的转角截面的转角 B 。在在 B 截截面面加加一一与与 B “相相应应”的的假假想想外外力力M解：因为在解：因为在 B 截面没有与截面没有与 B相应的相应的外力，所以要进行处理。外力，所以要进行处

33、理。BlPEIA（顺时针）（顺时针）xPEIM ABL（1）负号表示）负号表示 B的转向与的转向与 M 的转向相反。的转向相反。（2）要要求求某某点点的的“位位移移”，则则必必须须在在该该点点有有与与之之相相应应的的“力力”，若若没没有有，则则必必须须在在该该处处加加上上假假想想的的附附加加“力力”，求导后再令其为零。，求导后再令其为零。注意：注意：xPEIM ABL例例5 图示悬臂梁，求图示悬臂梁，求C截面截面的挠度的挠度 fC 。PEIl/2l/2PBACxy解：解：P2=PEIl/2l/2P1=PBACxy（向下）（向下）P2=PEIl/2l/2P1=PBACxyCD例例6 图示结构，求

34、图示结构，求 A、B 两点两点的相对位移。的相对位移。PEI2aaPBAx1x2x3解：解：CDPEI2aaPBAx1x2x3五、虚功原理五、虚功原理虚位移虚位移约束所允许的微小位移。约束所允许的微小位移。（1）与与结结构构上上的的荷荷载载完完全全无无关关的的原原因因导导致致的的位位移移（如如别的荷载、温度变化、纯假想原因）。别的荷载、温度变化、纯假想原因）。（2）微小，并且符合约束条件。）微小，并且符合约束条件。注意：注意： 对对于于处处于于平平衡衡状状态态的的弹弹性性体体，从从平平衡衡位位置置令令其其有有一一微微小小的的虚虚位位移移，则则作作用用在在弹弹性性体体上上的的外外力力在在虚虚位位

35、移移上上所所作作的的功功Wext，等等于于弹弹性性体体内内力力在在相相应应的的虚虚位位移移上上所所做做的的功功Wint 。前前者者称称为为外外力力虚虚功功，后后者者称称为为内内力力虚虚功功。即：即： 弹性体平衡弹性体平衡 另另一一方方面面，如如果果弹弹性性体体上上的的外外力力和和内内力力在在各各自自的的虚虚位位移上所作的功相等，则弹性体处于平衡状态，即：移上所作的功相等，则弹性体处于平衡状态，即： 弹性体平衡弹性体平衡综合上述两方面，即为弹性体的综合上述两方面，即为弹性体的虚功原理：虚功原理： 弹弹性性体体平平衡衡的的充充分分必必要要条条件件是是，外外力力虚虚功功等等于于内内力虚功，即：力虚功

36、，即： 弹性体平衡弹性体平衡必要条件的简单证明，即证：必要条件的简单证明，即证： 弹性体平衡弹性体平衡以梁为例：以梁为例：（1）设图所示梁发生虚位移）设图所示梁发生虚位移 ，可得：，可得：（2）设设想想：将将处处于于平平衡衡状状态态的的梁梁分分成成无无数数个个长长度度为为dx的的微微段段，考考察察其其中中任任一一微微段段，如如图图所所示：示：（刚体虚位移）（刚体虚位移）MdxCq(x)NNM变形前变形前C变形后变形后（虚（虚 变变 形）形）小小微微段段上上的的虚虚位位移移可可分分解解为为：刚刚体体虚虚位位移移（形形心位移）和虚变形。心位移）和虚变形。质质点点虚虚功功原原理理：处处于于平平衡衡状

37、状态态下下的的力力系系在在刚刚体体虚位移上的虚功之和等于虚位移上的虚功之和等于0。小小微微段段上上的的虚虚功功，由由于于刚刚体体虚虚位位移移引引起起的的虚虚功功为为0，而所剩仅为力系在虚变形上做的功。，而所剩仅为力系在虚变形上做的功。C变形后变形后（虚（虚 变变 形）形）所有微段上的虚功之和即为总的虚功。所有微段上的虚功之和即为总的虚功。C变形后变形后（虚（虚 变变 形）形）即即（1）建建立立单单位位力力系系统统：欲欲求求结结构构上上某某点点沿沿某某方方向向的的位位移移，就就在在该该点点沿沿该该方方向向加加相相应应的的单单位位力力，作作为为单单位位力力系系统。统。“相应相应”：线位移：线位移集

38、中力集中力 角位移角位移集中力偶。集中力偶。对对应应的的单单位位力力系统系统ABaa1求求图图示示结结构构B点点沿沿a-a方方向的线位移向的线位移ABaa（2）将将原原荷荷载载系系统统的的位位移移（变变形形）作作为为单单位位力力系统的虚位移。显然满足：系统的虚位移。显然满足： 原荷载系统的变形与单位力系统的力完全无关。原荷载系统的变形与单位力系统的力完全无关。 微小且符合约束条件。微小且符合约束条件。（3）运用虚功原理：）运用虚功原理：所有微段上的虚功之和即为总的虚功。所有微段上的虚功之和即为总的虚功。C变形后变形后（虚（虚 变变 形）形）其中其中为单位力系为单位力系统对应的内力。统对应的内力

39、。注意注意：上式既适用于线性系统，也适用于非线性系统。：上式既适用于线性系统，也适用于非线性系统。C变形后变形后（虚（虚 变变 形）形）对于线性结构：对于线性结构：莫尔积分法莫尔积分法桁架桁架轴轴梁梁以弯曲变形为主，可略去轴力、剪力、扭矩的影响以弯曲变形为主，可略去轴力、剪力、扭矩的影响上式中上式中为实际荷载引起的内力；为实际荷载引起的内力；是个大于是个大于1的系数，是剪应力实际上不均匀并与的系数，是剪应力实际上不均匀并与截面形状有关的修正系数。截面形状有关的修正系数。例例7 求图示结构求图示结构C点的竖直位移。点的竖直位移。ADBEAaqEIaCaEIx1x3x21111x1x3x2q（1

40、1）建立单位力系统如图。）建立单位力系统如图。解：解：（2 2）建立坐标系如图。）建立坐标系如图。荷荷载载系系统统与与单单位位力力系系统统坐坐标标系系要一致。要一致。(3)求内力。求内力。荷载系统：荷载系统：x3x2x1qx3x2x11111单位力系统：单位力系统：单位力系统与荷载系统的内力符号规定必须一致。单位力系统与荷载系统的内力符号规定必须一致。（4）利用单位力法求）利用单位力法求C点的竖直位移。点的竖直位移。fC符号为正表明符号为正表明 fC的指向与单位力的指向与单位力F=1 的指向相同。的指向相同。解：解：（1）建立单位力系统和坐标系：）建立单位力系统和坐标系：例例8 求图示结构求图

41、示结构 A 截面的转角截面的转角 A。无无论论实实际际结结构构中中有有无无与与A点点的的转转角角 A相相应应的的外外力力，都都必必须须建建立立单位力系统。单位力系统。（2）求内力：）求内力：lAEIBxABx1（3）求求 ：前的负号表示前的负号表示 的转向与单位力的转向与单位力 的转向相反。的转向相反。ABx1lAEIBx六、计算莫尔积分的图乘法六、计算莫尔积分的图乘法梁、刚架等线性结构，单位力法主要是计算莫尔积分：梁、刚架等线性结构，单位力法主要是计算莫尔积分：对对于于最最常常见见的的均均质质等等直直杆杆，EI为为常常数数，可可以以提提取取到到积积分号的外面，莫尔积分变为：分号的外面，莫尔积

42、分变为：图乘法：将积分图乘法：将积分图图形形相相乘乘。出出发发点点：直直杆杆在在单单位位力力作作用用下下的的内内力力图必定是直线段或者折线段。图必定是直线段或者折线段。的计算转化为的计算转化为考考察察任任一一梁梁段段AB，其其上上由由荷荷载载引引起起的的弯弯矩矩MF(x) 可可为为任任意意图图形形，而而由由单单位位力力引引起起的的弯弯矩矩 为为斜斜直线。直线。OxABOxAB建立坐标系：以建立坐标系：以 与与 x 轴的交点轴的交点O为坐标原点，设为坐标原点，设 与与 x轴的夹角为轴的夹角为 。OxABlOxABdxxxC阴影部分面积阴影部分面积阴阴影影部部分分面面积积对对 y 轴之矩轴之矩Ox

43、ABlOxABdxxxC图上对应图上对应xC的值，简记为的值，简记为(1)应用条件：应用条件：杆段必须是直杆，且EI 为常数，两个图形至少有一个是直线图形（2）正正负负号号规则规则：面积A 与纵坐标yc 在同一侧时，乘积取正号；反之取负号。（3）如果一个图形是曲曲线线，一个图形是直直线线，则纵坐标yc 可以取自于其中直线图形。如果两个图形都是直都是直线图线图形形,则纵坐标yc 可以取自于其中任一图形。ABOxABOxAB应用图乘法计算时要注意的几个问题应用图乘法计算时要注意的几个问题（4）如果一个图形为曲线曲线，另一个图形为折线折线，则应分段考虑。如图所示，有如果杆件各段有不同的EI，则应在E

44、I 变化处分段进行图乘。如图所示，有（5）当图形的面面积积的的计计算算或形心位形心位置置不易确定时，可将其分解为几个几个简单简单的的图图形形，分别进行图乘再叠加计算。如图所示为两个梯形相乘，可以把梯形分解为两个三角形（或分为一个矩形和一个三角形），分别图乘，然后叠加，即又如两个直线图都含有不同符号的两部分，如图所示，可以将其中一个图形分解为两个三角形 ABC 和 ABD ，处理方法仍和上面一样，图乘时应注意正负号。如果图形比较复杂，可以将图形分解为几个简单图形，分项计算后再进行叠加。如图所示的MP 图可以看成在均步载荷作用下的抛物线弯矩图和形状为梯形的弯矩图叠加而成，然后分别与图图乘，取其代数

45、和。三三 角角 形形二二 次次 抛抛 物物 线线n 次次 抛抛 物物 线线图图 形形 y xyy面面 积积形形 心心位位 置置表表 常见图形的面积与形心位置常见图形的面积与形心位置xC b h O O C1 h x C2 xC2 xC1 C1 b O h x C2 xC2 xC1 C1 b BA1BlAEIF解：解：（1）建立单位力系统：）建立单位力系统：（2）作作荷荷载载系系统统和和单单位位力系统的弯矩图：力系统的弯矩图：l（3）计算）计算 、 、 ：“正号正号”表明表明 的指向与单位力的指向与单位力 的指向相同。的指向相同。l例例10 求图示外伸梁求图示外伸梁 A 截面的转角。截面的转角。

46、CFAEIBal例例10 10 求图示外伸梁求图示外伸梁 A A 截面的转角。截面的转角。CFAEIBal解：解：（1 1）建立单位力系统：）建立单位力系统：1（2 2）作）作 、 图：图：（3）图乘求）图乘求 A： 与与 引引起起的的弯弯矩矩图图分分开开画画，易易于于确确定定各各图图形的面积和形心位置。形的面积和形心位置。 与与 在在基基线同同一一侧时， 为正正，在在基基线异异侧时， 为负。例例11 求图示简支梁求图示简支梁 C 点的挠度和点的挠度和 A 点的转角。点的转角。FEIl/2ABCl/2例例11 求图示简支梁求图示简支梁 C 点的挠度和点的挠度和 A 点的转角。点的转角。1 1（

47、2 2）作）作 、 图：图：解：解： （1 1）建立求）建立求 的单位力系统：的单位力系统：l/2l/2FEIl/2ABCl/2(3) 求求 A：l/2l/21（4）建立求）建立求 的单位力系统并作相应的的单位力系统并作相应的 图：图：M图为折线，以转折点为界分段进行图乘，然后求和。图为折线，以转折点为界分段进行图乘，然后求和。FEIl/2ABCl/2l/2l/2l/3l/3l/3例例12 求图示悬臂梁求图示悬臂梁 C 点的挠度。点的挠度。l/2FEIFl/2ABC例例12 求图示悬臂梁求图示悬臂梁 C 点的挠度。点的挠度。解：解： （1）建立单位力系统：）建立单位力系统：（2）作）作 、 图

48、：图：将将 图分成易于确定面积和形心位置的三个面积。图分成易于确定面积和形心位置的三个面积。1Cl/2FEIFl/2AB将三个面积分别与将三个面积分别与 图乘，然后相加：图乘，然后相加：图乘法注意要点：图乘法注意要点：（1 1）直杆方能图乘。）直杆方能图乘。（2 2） 和和 图图绘绘制制原原则则为为或或同同时时画画在受拉边，或同时画在受压边。在受拉边，或同时画在受压边。（3 3） 图必须为一条直线，为折线时应分段。图必须为一条直线，为折线时应分段。（4 4）尽尽量量将将 图图绘绘成成面面积积及及形形心心位位置置已已知知的的图形（包括不同荷载的弯矩图分开画）。图形（包括不同荷载的弯矩图分开画）。

49、（5 5） 与与 在在基基线线同同一一侧侧时时， 为为正正，反反之为负。之为负。七、互等定理七、互等定理以梁为例推导：以梁为例推导：记号：荷载：记号：荷载：Fi i: “力力”的作用位置的作用位置 位移：位移：fij i:位移发生的位置位移发生的位置 j:位位移移发发生生的的原原因因，j点点的的“力力”引引起起的的由叠加原理，由叠加原理，1点总的位移为：点总的位移为：f11+ f12 2点总的位移为：点总的位移为： f21+ f22现在梁上现在梁上1、2两点加荷载两点加荷载 F1、F2，采用两种不同方式，采用两种不同方式加载加载:第一种加载方案：第一种加载方案：1、2两点同时加两点同时加 F1

50、 、 F2。第二种加载方案：先加第二种加载方案：先加F1，然后再加，然后再加F2先加先加F1 ，做功为：，做功为：再加再加F2的过程中，的过程中， F1做功为：做功为：F1 f12 F2做功为：做功为：在整个加载的过程中在整个加载的过程中F1与与F2做功为：做功为：线弹性结构，应变能只与力的终值有关，与加载方式无线弹性结构，应变能只与力的终值有关，与加载方式无关。关。功的互等定理功的互等定理F2在在F1引引起起的的位位移移上上所所做做的的功功= F1在在F2引引起起的的位位移移上上所所做做的功的功位移互等定理位移互等定理第第1点点的的荷荷载载引引起起的的第第2点点的的位位移移=在在第第2 2点

51、点作作用用同同样样大大小的荷载引起的第小的荷载引起的第1 1点的位移点的位移当当F1和和F2在数值上相等时，由功的互等定理可得到：在数值上相等时，由功的互等定理可得到：注意：注意：（1）互等定理成立的条件：）互等定理成立的条件：线弹性、小变形、叠加原理成立。线弹性、小变形、叠加原理成立。（2）Fi 广义力广义力 fij 广义位移广义位移Fi 集中力集中力 fij 线位移线位移Fi 集中力偶集中力偶 fij 角位移角位移功互等功互等当当 M1 与与 F2 数值上相等时：数值上相等时：位移互等（数值上相等）位移互等（数值上相等）功互等功互等当当 M1 与与 M2 在数值上相等时：在数值上相等时：位移互等（数值上相等）位移互等（数值上相等）