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1、5.3 5.3 二阶微分方程二阶微分方程主要内容主要内容1.1.可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程2.2.二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程1 1一、可降阶的二阶微分方程一、可降阶的二阶微分方程 这类二阶微分方程的特点是，经过适当的变换将二这类二阶微分方程的特点是，经过适当的变换将二阶微分方程化为一阶微分方程，然后用前一节介绍的方阶微分方程化为一阶微分方程，然后用前一节介绍的方法来求解法来求解下面介绍三种可降阶的二阶微分方程的解法下面介绍三种可降阶的二阶微分方程的解法.2 2就得到一个一阶微分方程，即就得到一个一阶微分方程，即两边再积分，即连续积分两边再积分，即连续积分两次就能
2、得到方程（两次就能得到方程（1）的通解）的通解只要连续积分只要连续积分n次，即可得到含有次，即可得到含有n个任意常数的通解个任意常数的通解是最简单的二阶微分方程，是最简单的二阶微分方程， （1） 方程方程两边积分，得两边积分，得同理，对于方程同理，对于方程（2） 3 3例例1 1 解解 对所给的方程连续积分三次，得对所给的方程连续积分三次，得这就是所求方程的通解这就是所求方程的通解4 4因而方程因而方程(3)就变为就变为 这是一个关于变量这是一个关于变量 x,p 的一阶微分方程，可以用前一节的一阶微分方程，可以用前一节所介绍的方法求解所介绍的方法求解方程方程(3) 的右边不显含未知函数的右边不
3、显含未知函数y 5 5例例2 2 解解 这是关于这是关于 p 的一阶线性非齐次微分方程因为的一阶线性非齐次微分方程因为从而所求微分方程的通解为从而所求微分方程的通解为于是于是 即即 所以所以6 6例例3 3 解解 代入方程代入方程并分离变量后，并分离变量后，得得两端积分，得两端积分，得再积分，得再积分，得即即所以所以于是所求的特解为于是所求的特解为7 7为了求出它的解，为了求出它的解，利用复合函数的求导法则，利用复合函数的求导法则，于是方程于是方程(4)就变就变为为这是一个关于变量这是一个关于变量y,p的一阶微分方程的一阶微分方程.设它的通解为设它的通解为分离变量并积分，得方程分离变量并积分，
4、得方程(4)的通解为的通解为方程方程(4) 中不显含自变量中不显含自变量x 8 8例例4 4 解解 方程不显含自变量方程不显含自变量x，代入方程，得代入方程，得那么约去那么约去 p 并分离变量，得并分离变量，得两端积分并进行化简，得两端积分并进行化简，得再一次分离变量并积分，得再一次分离变量并积分，得显然它也满足原方程显然它也满足原方程如果如果p0，或 或或如果如果P= 0，那么立刻可得那么立刻可得 y=C，已被包含在解已被包含在解 中中了但但 y=C所以方程的通解为所以方程的通解为9 9例例5 5 解解 两边积分，得两边积分，得即为所求的满足初始条件的特解即为所求的满足初始条件的特解代入原式
5、，得代入原式，得即即或或积分后，得积分后，得代入上式整理后得代入上式整理后得1010二、二阶常系数线性微分方程二、二阶常系数线性微分方程定义定义 方程方程(5)叫做叫做二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程，其中，其中 p、q是常数是常数下面来讨论二阶常系数线性微分方程的解法下面来讨论二阶常系数线性微分方程的解法方程方程(5)叫做二阶常系数线性微分方程叫做二阶常系数线性微分方程方程方程(5)叫做二阶常系数线性非齐次微分方程叫做二阶常系数线性非齐次微分方程.11111 1二阶常系数线性齐次微分方程的通解二阶常系数线性齐次微分方程的通解定理定理1 1 这个定理表明了线性齐次微分方程的解具有叠
6、加性这个定理表明了线性齐次微分方程的解具有叠加性叠加起来的解叠加起来的解(7)从形式上看含有从形式上看含有 与与 两个任意常数，两个任意常数，但它还不一定是方程但它还不一定是方程(6)的通解的通解先讨论二阶常系数线性齐次微分方程先讨论二阶常系数线性齐次微分方程(6)的解的结构的解的结构那么那么(7) 也是方程也是方程(6)的解，其中是任意常数的解，其中是任意常数1212那么在什么情况下那么在什么情况下(7)式才是式才是(6)式的通解呢？式的通解呢？为了解决这为了解决这个问题，下面给出函数线性相关与线性无关的定义：个问题，下面给出函数线性相关与线性无关的定义：因此，当因此，当时，时， 如果如果不
7、恒等于一个常数，不恒等于一个常数，则则与与就是线性无关的就是线性无关的显然，对于两个线性相关的函数显然，对于两个线性相关的函数和和，恒有，恒有对于两个都不恒等于零的函数对于两个都不恒等于零的函数与与， 那么把函数那么把函数 与与 叫做叫做线性相关线性相关；否则就叫做否则就叫做线性无关线性无关如果存在一如果存在一个常数个常数C使使，1313二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程(6)的通解结构定理：的通解结构定理：由此可知，求二阶常系数线性齐次微分方程由此可知，求二阶常系数线性齐次微分方程(6)的通解，的通解，定理定理2 2就是方程就是方程(6)的通解，其中的通解，其中是任意常数是
8、任意常数关键在于求出方程的两个线性无关的特解关键在于求出方程的两个线性无关的特解 和和 而当而当 r 为常数时，指数函数为常数时，指数函数 和它的各阶导数都和它的各阶导数都只相差一个常数因子只相差一个常数因子 因此，我们可以设想二阶常系数齐次方因此，我们可以设想二阶常系数齐次方程式的特解也是一个指数函数程式的特解也是一个指数函数 ，只要求出，只要求出 r ,便可便可得到得到方程方程(6)的解的解 如果函数如果函数 是常系数线性齐次微分方程是常系数线性齐次微分方程(6)(6)的两个线性无关的特解，那么的两个线性无关的特解，那么1414所以上式要成立就必须有所以上式要成立就必须有(8) 反之，若反
9、之，若r是方程是方程(8)的一个根，的一个根，特征方程的根称为特征方程的根称为特征根特征根 方程方程(8)是以是以 r为未知数的二次方程，我们把它称为微分为未知数的二次方程，我们把它称为微分方程方程(6)的的特征方程特征方程，这就是说，如果函数这就是说，如果函数 是方程是方程(6)的解，那么的解，那么 r 必须满必须满足方程足方程(8) 将将 和它的一、二阶导数和它的一、二阶导数 代入代入方程方程(6)，得到，得到因为因为， 则则是方程是方程(6)的一个特解的一个特解 其中其中 和和 r 的系数，以及常数项恰好的系数，以及常数项恰好依次是微分方程依次是微分方程(6)中中 、 及及 y 的系数的
10、系数1515特征根是一元二次方程的根，特征根是一元二次方程的根，因此它有三种不同的情况：因此它有三种不同的情况：(1)特征根是两个不相等的实根特征根是两个不相等的实根r1r2，且且线性无关，线性无关，此时此时均为方程均为方程(6)的特解，的特解，因此方程因此方程(2)的的通解为通解为:（9)(2)特征根是两个相等的实根特征根是两个相等的实根r1=r2，此时此时和和方程方程(2)的特解，的特解，且线性无关，且线性无关， 所以方程所以方程(6)的通解为：的通解为：（10）(3)特征根是一对共轭复根特征根是一对共轭复根r1,2=i， 这时这时和和是方程是方程(6)的两个特解，的两个特解，但这两个解含
11、有复数，但这两个解含有复数，此时可以证明函数此时可以证明函数和和也是方程也是方程(6)的解，的解，且它们线性无关且它们线性无关于是得方程于是得方程(2)的通解为：的通解为：（11)1616例例6 6 解解 所给方程的特征方程为所给方程的特征方程为其对应的两个线性无关特解为其对应的两个线性无关特解为求求方程的通解方程的通解解得特征根为解得特征根为，所以方程的通解为所以方程的通解为1717例例 7 7 解解 为确定满足初始条件的特解，对为确定满足初始条件的特解，对y 求导，得求导，得求方程求方程的满足初始条件的满足初始条件和和的特解的特解所给方程的特征方程为所给方程的特征方程为所以特征根为所以特征
12、根为因此方程的通解为因此方程的通解为将初始条件将初始条件和和代入以上两式，得代入以上两式，得解得解得 于是，原方程的特解为于是，原方程的特解为1818例例8 8 解解 所以原方程的通解为所以原方程的通解为其其对应的两个线性无关特解为对应的两个线性无关特解为求方程求方程的通解的通解特征方程为特征方程为特征根为特征根为1919综上所述，综上所述，的根的根特征方程特征方程方程方程通解通解两个不相等的实根两个不相等的实根两个相等的实根两个相等的实根一对共轭复根一对共轭复根(3)根据两个特征根的不同情况，按照下表写出微分方程根据两个特征根的不同情况，按照下表写出微分方程(6)的通解：的通解：求二求二阶常
13、系数线性齐次微分方程阶常系数线性齐次微分方程的通解步骤如下：的通解步骤如下：（6）(2)求出特征方程的两个根求出特征方程的两个根与与；(1)写出方程对应的特征方程写出方程对应的特征方程；2020三、二阶常系数线性非齐次微分方程的通解三、二阶常系数线性非齐次微分方程的通解定理定理3 3 Y是与方程（是与方程（5）对应的齐次方程（）对应的齐次方程（6）的通解，）的通解，那么那么由这个定理可知：求二阶常系数线性非齐次微分方程的由这个定理可知：求二阶常系数线性非齐次微分方程的通解，归结为求对应的齐次方程通解，归结为求对应的齐次方程设设是二阶常系数线性非齐次方程是二阶常系数线性非齐次方程(5)的一个特解
14、，的一个特解，是二阶常系数线性非齐次微分方程（是二阶常系数线性非齐次微分方程（5）的通解）的通解(12)的通解和非齐次方程的通解和非齐次方程(5)的本身的一个特解的本身的一个特解(6) 2121它的一个特解也是一个多项式与指数函数的乘积，它的一个特解也是一个多项式与指数函数的乘积， 下面讨论求二阶常系数线性非齐次微分方程的一个特解下面讨论求二阶常系数线性非齐次微分方程的一个特解 的方法我们的方法我们只讨论只讨论f(x)以下两种情形：以下两种情形：(1)其中其中是一个是一个n次多项式，次多项式，为常数为常数这时，方程这时，方程(5)成为成为 (13)且特解具有形式且特解具有形式(k =0,1,2
15、)k是一个整数是一个整数其中其中是一个与是一个与有相同次数的多项式；有相同次数的多项式；当当不是特征根时，不是特征根时，k =0;当当是特征根，但不是重根时，是特征根，但不是重根时，k =1;当当是特征根，且为重根时，是特征根，且为重根时，k =2.2222例例9 9 解解 求方程求方程的通解的通解该方程对应的齐次方程是该方程对应的齐次方程是它的特征方程为它的特征方程为特征根是重根特征根是重根于是得到齐次方程于是得到齐次方程的通解为的通解为原方程中原方程中其中其中是一个一次多项式，是一个一次多项式，是特征方程的重根因此是特征方程的重根因此k =2所以设原方程的特解为所以设原方程的特解为2323
16、代入原方程，化简得代入原方程，化简得比较等式两边同类项的系数，有比较等式两边同类项的系数，有因此，原方程的特解为因此，原方程的特解为于是原方程的通解为于是原方程的通解为求求的导数，得的导数，得解得解得2424它的一个特解的形式为它的一个特解的形式为其中其中A和和B是待定常数；是待定常数； k是一个整数是一个整数注意：注意：当二阶微分方程的特征方程有复数根时，决不会出当二阶微分方程的特征方程有复数根时，决不会出现重根，所以在这里与前一种情形不一样，现重根，所以在这里与前一种情形不一样，k不可能等于不可能等于2(2)其中其中a、b、都是常数都是常数这时，方程这时，方程(5)成为成为(14)当当不是
17、特征根时，不是特征根时，当当是特征根时，是特征根时，k =1.2525例例1010 解解 所以可设方程的特解为所以可设方程的特解为求导数，得求导数，得代入原方程，得代入原方程，得比较上式两边同类项的系数，得比较上式两边同类项的系数，得于是，原方程的特解为于是，原方程的特解为求方程求方程的一个特解的一个特解.因为因为，而，而不是特征方程不是特征方程的根，的根，2626作业1.形如形如方程解法方程解法2.形如形如方程解法方程解法3.形如形如方程解法方程解法4.二阶常系数线性齐次微分方程解法二阶常系数线性齐次微分方程解法5.二阶常系数线性非齐次微分方程解法二阶常系数线性非齐次微分方程解法.习题习题5.3第一次第一次2（1）（）（2）第二次第二次4（3）（）（5）5（3）（）（4）四、小结四、小结2727
