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1、第二节 开集、闭集与完备集维空间中的点集开集与闭集若E = E , 则称E为开集（E中每个点都为内点) 若 ,则称E为闭集（与E紧挨的点不跑到E外）lP0为 E的接触点：lP0为 E的聚点：lP0为 E的内点：说明：要证E是开集，只要证 要证E是闭集，只要证(1) 开集、闭集开集与闭集例1：开区间(a,b)为开集说明：要证E是开集，只要证 abx 证明：任取x(a,b),取=min|x-a|,|x-b|, 则 ,从而x是（a,b）的内点，故(a,b)是开集。开集与闭集 证明：任取xa,bc,取=min|x-a|,|x-b|, 则 ,例2：闭区间a,b为闭集说明： 要证E是闭集，只要证a b x
2、从而x不是a,b的接触点，从而a,b的接触点都在a,b内，从而a,b是闭集。开集与闭集注：闭集为对极限运算封闭的点集即：A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列收敛于A中的点利用：利用：p p0 0为E的接触点的充要条件为存在E中点列pn, 使得或p0是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列pn, 使得若 （或 ）,则称E为闭集。 （与E接近的点不跑到E外）开集与闭集 E为开集注： E为含于E内的最大开集E从而y为E的内点，从而所以x为E的内点，即证明：只要证任取 ，取EOx$),(, 0dd使得任取 ，由内点的定义知开集与闭集 E为闭集E证明：只要证任取 ，由聚点的定义知开集与闭集 E为
3、闭集注： 为包含E的最小闭集E从而即x为E的聚点，从而开集与闭集(2)开集与闭集的对偶性lP0为 E的接触点：lP0为 E的聚点：lP0为 E的内点：lP0为 E的外点：b.若E为开集，则Ec为闭集; 若E为闭集，则Ec为开集。a.开集与闭集开集的余集是闭集 lP0为 E的接触点：lP0为 E的内点： 从而x不是Ec的接触点， 也即Ec的接触点一定在Ec内， 从而 ，即Ec为闭集。 证明：设E为开集，即从而开集与闭集闭集的余集是开集证明：设E为闭集，即 任取 ，假如x不是Ec的内点， 则x的任一邻域内至少有一个属于E的点， 从而x为E的接触点，由为闭集可知x在E内， 这与 矛盾，所以Ec中的点
4、都为Ec的内点，即Ec为开集。lP0为 E的接触点：lP0为 E的内点：开集与闭集开集的性质 a. 空集，Rn为开集;b. 任意多个开集之并仍为开集；c. 有限个开集之交仍为开集。注：无限多个开集的交不一定为开集，如：En=(0,1+1/n),Rn中只有空集和Rn既开又闭，存在大量既不开又不闭的集合，如：E=0,1)A B开集与闭集b. 任意一族开集的并是开集证明c. 有限多个开集的交仍是开集证明开集与闭集闭集的性质a.空集，Rn为闭集；b.任意多个闭集之交仍为闭集；c.有限个闭集之并仍为闭集。注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如：En=0,1-1/n开集与闭集(5) Heine-Borel有
5、限覆盖定理 设F为有界闭集，若开集簇 覆盖F（ 即 ）， 则 中存在有限个开集N1 ，N2， ,Nn，它同样覆盖F证明开集与闭集开集与闭集开集与闭集例3：设F为R1中的有界闭集，G为开集且则存在0，使得当|x| 时 ，有证明：对任意的yF，由于yG ，由 组成F的一个开覆盖及有限子覆盖定理，知存在y1, y2, yn F ,开集与闭集且y与Gc中的任一点z之间的距离为则当 |x|时有 y+xG ，即于是对每个yF至少属于某个 开集与闭集(6) 完备集 定义定义1 1（i）若 ，即 的每一点都是 自身的聚点，则称 是自自密集密集； （ii）若 ，则称 是完备集合完备集合。 (自密的闭集或没有孤立
6、点的闭集)定义2 (i) 设A、B 是直线上任意两个集，若B的任意一点x 的任意领域 中总含有A的点，则称A在B中稠密. 当 时，称A是直线上的稠密集. (ii) 若直线上任何开区间 中总有子区间 使得 不含有A的点，则称A是疏朗集 (无处稠密集). 开集与闭集问题：能否在直线上找到既完备有是疏朗的问题：能否在直线上找到既完备有是疏朗的 集合？集合？Cantor集的构造: 将0，1均分为三段，删去中间的开区间 ，将剩下的两个区间 再次三等分，删去中间的两个区间 .如此继续下去，最终剩下的点集记作E，称之为CantorCantor集集，则E是一个完备集。 开集与闭集Cantor集对0,1区间三等
7、分，去掉中间一个开区间，然后对留下的两个闭区间三等分，各自去掉中间一个开区间，此过程一直进行下去，最后留下的点即为CantorCantor集集开集与闭集Cantor 集合E是一完备集合1) E是一闭集.设A是所有被删去的点作成的集合，则A是可数多个开集的和，所以A是开集.2) E是一自密集.开集与闭集Cantor 集合E是一疏朗集合Cantor 集合E是直线上的一个无处稠密的完备集开集与闭集Cantor集的性质1 .分割点一定在Cantor集中 Cantor集P=0,1- G=0,1Gc为闭集注：第n次共去掉2n-1个长为1/3n的开区间2. P的“长度”为0，去掉的区间长度和开集与闭集3.
8、P没有内点( )x- x x+第 n+1次等分去掉的区间第n次等分留下的区间但由Cantor集的作法知，我们要对继续三等分去掉中间一个开区间，从而 内至少有一点不属于P，所以x不可能是P的内点。证明：对任意x P, x必含在“去掉手续进行到第n次”时留下的2n个长为1/3n的互不相交的某个闭区间中开集与闭集4. P中的点全为聚点,从而没有孤立点从而x为P的聚点，当然不为孤立点。 证明：对任意x P ， 只要证：第n次等分留下的区间( )x- x x+ 由Cantor集的作法知 而 的两个端点定在P中，开集与闭集5. Cantor 集合的基数是连续基数，即Cantor 集合中点的“个数”是和0,1区间中点的“个数”一样多.6. Cantor 集合中不是只有那些分点的，因为全部分点显然构成一可数集合.几个概念开集与闭集
