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1、一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限第三节第三节 函数的极限函数的极限 自变量变化过程的六种形式自变量变化过程的六种形式: 根据自变量的这种变化过程，本节主要研究以下根据自变量的这种变化过程，本节主要研究以下两种情况：两种情况：二、当自变量二、当自变量x的绝对值无限增大时，的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势，的变化趋势， 一、当自变量一、当自变量x无限地接近于无限地接近于x0时，时，f(x)的变化趋势的变化趋势一、自变量趋向有限值时函数的极限一、自变量趋向有限值时函数的极限 这个函数虽在这个函数虽在
2、x=1处处无定义，但从它的图无定义，但从它的图形上可见，当点从形上可见，当点从1的的左侧或右侧无限地接左侧或右侧无限地接近于近于1时，时， f(x)的值无的值无限地接近于限地接近于4，我们称，我们称常数常数4为为f(x)当当x1 时时 f(x) 的极限。的极限。1xyo4怎样用数学语言刻划怎样用数学语言刻划无限接近无限接近于确定值于确定值A？1.1.定义定义定义定义1 1设函数设函数有定义有定义.记作记作或或恒有恒有在点在点x0某去心邻域内某去心邻域内注注 定义习惯上称为极限的定义习惯上称为极限的定义其三个要素：定义其三个要素：10。正数。正数，20。正数。正数，30。不等式。不等式 定义中定
3、义中 所以所以x x0时，时，f(x) 有无极限与有无极限与 f(x)在在x0处的状处的状态并无关系，这是因为我们所关心的是态并无关系，这是因为我们所关心的是f(x) 在在x0附附近的变化趋势，即近的变化趋势，即 x x0时时f(x) 变化有无终极目标，变化有无终极目标，而不是而不是f(x) 在在x0这一孤立点的情况这一孤立点的情况 。约定。约定x x0但但 xx00反映了反映了x充分靠近充分靠近x0的程度，它依赖于的程度，它依赖于，对一固定的对一固定的而言，合乎定义要求的而言，合乎定义要求的并不是唯并不是唯一的。一的。由不等式由不等式 |f(x) A| 来选定，来选定，一般地，一般地，越小，
4、越小，越小越小必存在必存在x0的去心邻域的去心邻域对于此邻域内的对于此邻域内的 x,对应的函数图形位于这一带形区域内对应的函数图形位于这一带形区域内.作出带形区域作出带形区域一般说来一般说来,应从不等式应从不等式动身动身, 推导出应小于怎样的正数推导出应小于怎样的正数,这个正数就是要找的与这个正数就是要找的与 相对应的相对应的这个推导常常是困难的这个推导常常是困难的. 但是但是, 注意到我们不需要找最大注意到我们不需要找最大的的所以所以适当放大些适当放大些,的式子的式子,变成易于解出变成易于解出找到一个需要的找到一个需要的找到找到就证明完毕就证明完毕.可把可把证证证证证证 这是证明吗？这是证明
5、吗？非非常常非非常常严严格格！例例1 1例例2 证明证明证证于是于是恒有恒有例例3证证min可用可用保证保证(1) 证明证明证证由于由于要使要使解出解出只要只要可取可取有有解不等式解不等式,(2) 证明证明证证可取可取有有3. 左、右极限左、右极限(单侧极限单侧极限)例如例如,两种情况分别讨论两种情况分别讨论!左极限左极限右极限右极限使得使得时时,或或使得使得时时,或或或或或或注注且且性质常用于判断分段函数当性质常用于判断分段函数当x趋近于趋近于分段点分段点 时的极限时的极限.(1) 左、右极限均存在, 且相等；(2) 左、右极限均存在, 但不相等；(3) 左、右极限中至少有一个不存在.找找例
6、题！ 函数在点 x0 处的左、右极限可能出现以下三种情况之一：试证函数试证函数证证左、右极限不相等左、右极限不相等,故故例例4y = f (x)xOy11在 x = 1 处的左、右极限.解练习练习证证左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限返回返回通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题: 如何用精确的数学数学语言刻划函数如何用精确的数学数学语言刻划函数“无无限接近限接近”.2. 另两种情形另两种情形Axfx= =-)(lim解解显然有显然有可见可见和和虽然都存在虽然都存在, 但它们不相等但它们不相等.故故不存在不
7、存在.例例5 讨论极限讨论极限 是否存在是否存在?图形图形完全落在完全落在:例例6 证证证证证证成立. 由极限的定义可知:例例7证证要使要使成立成立.只要只要有有 解不等式解不等式试证试证证证注意注意有有为了使为了使只要使只要使有有的图形的的图形的水平渐近线水平渐近线(horizontal asymptote).结结论论则直线则直线三、函数极限的性质三、函数极限的性质 函数极限与数列极限相比函数极限与数列极限相比,有类似的性质有类似的性质,定理定理1(1(极限的唯一性极限的唯一性) )有极限有极限,若在自变量的某种变化若在自变量的某种变化趋势下趋势下,则极限值必唯一则极限值必唯一.定理定理2(
8、2(局部有界性局部有界性) )f(x)有极限有极限,则则f(x)在在 上有界上有界;f(x)有有极限极限,且证明方法也类似且证明方法也类似.定理定理3(3(局部保号性局部保号性) )证证 (1) 设设A0,取正数取正数即即有有自己证自己证只要取只要取便可得更强的结论便可得更强的结论:证证 (1)也即也即(2)自己证自己证.定理定理3 (1)的证明中的证明中, 不论不论定理定理 证证 假设上述论断不成立,那末由那末由(1)就有就有在该邻域内在该邻域内这与这与所以所以类似可证类似可证 的情形的情形.假设矛盾假设矛盾,若定理若定理3(2)3(2)中的条件改为中的条件改为必有必有不能不能! ! 如如
9、是否是否定理定理3 3定理定理3 3定理定理4(4(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系) )如果极限如果极限存在存在,为函数为函数的定义域内任一收敛于的定义域内任一收敛于x0的数列的数列,那么相应的函数值数列那么相应的函数值数列且满足且满足:必收敛必收敛,且且证证 设设那那么么有有对此对此有有有有即即)(lim0xfxx).(lim)(lim0xfxfxxnn = = = )(limnnxfA,)(lim0Axfxx= =例例8证证二者不相等二者不相等,1. 函数极限的函数极限的或或定义定义;2. 函数极限的性质函数极限的性质局部保号性局部保号性; ;四、小结四、小结唯一性唯一性; ;局部有界性局部有界性; ;函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系; ;3. 函数的左右极限判定极限的存在性函数的左右极限判定极限的存在性.思考题思考题1. 设函数设函数且且存在存在, 那那么么2.2.4. 试证试证3.3.解（1 1）(2)(2)证证(3) 试证试证提示提示 仅需在仅需在附近讨论问题附近讨论问题,如限定如限定即限定在即限定在范围内范围内讨论问题讨论问题. 这时这时作业作业习题习题1-3 (371-3 (37页页) ) 1.(3) 2.(2) 5. 6
