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1、第八章第八章 力法力法本章提要本章提要 本章主要介绍超静定结构计算的基本方法本章主要介绍超静定结构计算的基本方法力法。力法。介绍了超静定次数的确定、如何选择力法的基本结构、介绍了超静定次数的确定、如何选择力法的基本结构、建立力法典型方程,并求出超静定结构的内力图。建立力法典型方程,并求出超静定结构的内力图。 通过本章的学习应重点掌握:通过本章的学习应重点掌握:1 1、超静定次数的确定;、超静定次数的确定;2 2、力法的基本原理;、力法的基本原理;3 3、基本结构的选择方法;、基本结构的选择方法;4 4、力法解低次超静定结构的方法。、力法解低次超静定结构的方法。本章内容本章内容 8.1 8.1
2、超静定结构概述超静定结构概述 8.2 8.2 力法基本原理力法基本原理 8.3 8.3 力法的典型方程力法的典型方程 8.4 8.4 力法应用举例力法应用举例 8.5 8.5 超静定结构位移计算超静定结构位移计算8.1 8.1 超静定结构概述超静定结构概述一、超静定结构的概念一、超静定结构的概念 1 1、静定结构、静定结构 凡在几何组成上为几何不变且无多余约束的结构,凡在几何组成上为几何不变且无多余约束的结构,其全部的反力和内力都可由静力平衡方程唯一地确定。其全部的反力和内力都可由静力平衡方程唯一地确定。如如图图1 1(a a)、()、(c c)所示。所示。 2 2、超静定结构、超静定结构 凡
3、在几何组成上为几何不变且有多余约束的结构,凡在几何组成上为几何不变且有多余约束的结构,其全部的反力和内力不能完全由静力平衡方程唯一地确其全部的反力和内力不能完全由静力平衡方程唯一地确定。如定。如图图1 1(b b)、()、(d d)所示。所示。图 1 3 3、多余未知力、多余未知力 多余约束中产生的约束力称为多余未知力。多余约束中产生的约束力称为多余未知力。二、超静定次数的确定二、超静定次数的确定 超静定结构中多余约束的数目称为超静定结构中多余约束的数目称为超静定次数超静定次数。 判断超静定次数可以用去掉多余约束使原结构变成判断超静定次数可以用去掉多余约束使原结构变成静定结构的方法进行。静定结
4、构的方法进行。 去掉多余约束的方式一般去掉多余约束的方式一般有以下几种:有以下几种:(1)(1) 去掉一根支座链杆或切断一根链杆等于去掉一去掉一根支座链杆或切断一根链杆等于去掉一个约束,如个约束,如图图3 3。(2)(2) 去掉一个铰支座或拆去联结两刚片的单铰等于去掉一个铰支座或拆去联结两刚片的单铰等于去掉两个约束,如去掉两个约束,如图图4 4。图 3 图 4 (3)(3) 将固定端支座改成铰支座,或将刚性联结改成将固定端支座改成铰支座,或将刚性联结改成单铰联结,等于去掉一个约束,如单铰联结,等于去掉一个约束,如图图5 5。 (4)(4) 去掉一个固定端支座或切开刚性联结等于去掉去掉一个固定端
5、支座或切开刚性联结等于去掉三个约束,如三个约束,如图图6 6。图 5 图 6 所去掉的多余约束的总数即为结构的超静定次数。所去掉的多余约束的总数即为结构的超静定次数。如从原结构中去掉如从原结构中去掉n n个约束结构就成为静定结构,则原结个约束结构就成为静定结构,则原结构称为构称为n n次超静定结构。次超静定结构。8.2 8.2 力法原理力法原理一、力法的基本思路一、力法的基本思路 力法是计算超静定结构最基本的方法。基本思路是力法是计算超静定结构最基本的方法。基本思路是把超静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题,把超静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题,利用以熟知的静定结构的计算方法达
6、到计算超静定结构利用以熟知的静定结构的计算方法达到计算超静定结构的目的。的目的。二、力法的基本结构二、力法的基本结构 如如图图7(a)7(a)所示为一次超静定梁,虚线表示梁在受力所示为一次超静定梁,虚线表示梁在受力后的弹性变形情况。拆去后的弹性变形情况。拆去B B端的多余约束链杆并用多余未端的多余约束链杆并用多余未知力知力X X1 1代替代替B B端的约束对原结构的作用,得到如端的约束对原结构的作用,得到如图图7(b)7(b)所所示静定梁。这种去掉多余约束后所得到的静定结构,称示静定梁。这种去掉多余约束后所得到的静定结构,称为为原结构的原结构的基本结构基本结构,待求的多余未知力,待求的多余未知
7、力X X1 1称为力法的称为力法的基本未知量。基本未知量。图 7三、力法的基本方程三、力法的基本方程 基本结构在基本结构在B B端不受约束限制,在外力端不受约束限制,在外力P P作用下作用下B B点竖点竖向位移向位移1P1P向下(向下(图图7(c)7(c)),在),在X X1 1作用下作用下B B点竖向位移点竖向位移1111向上向上( (图图7(d)7(d)。由于。由于X X1 1是取代了被拆去约束对原结构是取代了被拆去约束对原结构的作用,因此基本结构的变形位移状态应与原结构完全的作用,因此基本结构的变形位移状态应与原结构完全一致,即一致,即B B点的竖向位移点的竖向位移1 1必须为零,也就是
8、说基本结必须为零,也就是说基本结构在已知荷载与多余未知力构在已知荷载与多余未知力X X1 1共同作用下,在拆除约束共同作用下,在拆除约束处沿多余未知力处沿多余未知力X X1 1作用方向产生的位移应与原结构在作用方向产生的位移应与原结构在X X1 1方向的位移相等。即:方向的位移相等。即: 1 1=0=0 由叠加原理根据位移条件可得下列方程由叠加原理根据位移条件可得下列方程 1=1=1111+1P1P=0=0 若若X X1 1=1=1时在时在X X1 1方向产生的位移为方向产生的位移为1111,则有:,则有: 1111=1111X X1 1 于是得:于是得: 1111X X1 1+1P1P=0
9、=0 此求解多余未知力的补充方程,称为此求解多余未知力的补充方程,称为力法基本方程。力法基本方程。 为了计算为了计算1111和和1P1P,分别作基本结构在荷载,分别作基本结构在荷载q q作用下作用下的弯矩图的弯矩图M MP P( (图图8(a)8(a)和在单位力和在单位力X X1 1=1=1作用下的单位弯矩作用下的单位弯矩图图M M1 1( (图图8(b)8(b),应用图乘法可得:,应用图乘法可得:图 8 代入力法方程得:代入力法方程得: 多余未知力多余未知力X X1 1求得后,即可由静力平衡条件求得其求得后,即可由静力平衡条件求得其余的约束反力和内力。最后弯矩图也可以利用已经绘出余的约束反力
10、和内力。最后弯矩图也可以利用已经绘出的基本结构的的基本结构的M M1 1图和图和M MP P图,由叠加原理按下式求得图,由叠加原理按下式求得 M=MM=M1 1X X1 1+M+MP P 最后内力图如最后内力图如图图9 9所示。所示。图 9 综上所述,我们把这种取多余未知力作为基本未综上所述,我们把这种取多余未知力作为基本未知量,通过基本结构,利用计算静定结构的位移,达到知量,通过基本结构,利用计算静定结构的位移,达到求解超静定结构的方法,称为求解超静定结构的方法,称为力法力法。8.3 8.3 力法的典型方程力法的典型方程 如如图图10(a)10(a)所示的为一个三次超静定刚架。现去掉固所示的
11、为一个三次超静定刚架。现去掉固定端支座定端支座B B,加上相应的多余未知力,加上相应的多余未知力X X1 1、X X2 2和和X X3 3,便得到,便得到图图10(b)10(b)所示的基本结构。由位移条件可知,基本结构在所示的基本结构。由位移条件可知,基本结构在外荷载和多余未知力外荷载和多余未知力X X1 1、X X2 2及及X X3 3共同作用下,共同作用下,B B处的水平处的水平位移位移1 1、竖向位移、竖向位移2 2和角位移和角位移3 3即分别沿即分别沿X X1 1、X X2 2及及X X3 3方向的位移都应等于零,即:方向的位移都应等于零,即: 110 0 220 0 330 0 根据
12、叠加原理得:根据叠加原理得: 1=11X1+12X2+13X3+1P=01=11X1+12X2+13X3+1P=0 2=21X1+22X2+23X3+2P=02=21X1+22X2+23X3+2P=0 3=31X1+32X2+33X3+3P=03=31X1+32X2+33X3+3P=0 对于对于n n次超静定结构有:次超静定结构有:11X1+12X2+1nXn+1P=011X1+12X2+1nXn+1P=0i1X1+i2X2+i1X1+i2X2+inXn+iPinXn+iP=0=0n1X1+n2X2+n1X1+n2X2+nnXn+nPnnXn+nP=0=0 上式为力法方程的一般形式,通常称为上
13、式为力法方程的一般形式,通常称为力法典型力法典型方程。方程。 由力法方程解出多余未知力由力法方程解出多余未知力X1,X2,X1,X2,XnXn后,即可按后,即可按照静定结构的分析方法求得原结构的反力和内力,或按照静定结构的分析方法求得原结构的反力和内力,或按叠加原理求出弯矩:叠加原理求出弯矩: M=MM=M1 1X X1 1+M+M2 2X X2 2+MnXn+MMnXn+MP P 再根据平衡条件即可求其剪力和轴力。再根据平衡条件即可求其剪力和轴力。 式中:式中:1111、2222、3333 nnnn-主系数主系数 1212、2121、13 13 ijij-副系数副系数 1P1P、2P2P、3
14、P 3P nPnP-自由项自由项8.4 8.4 力法应用举例力法应用举例一、力法计算超静定结构的步骤一、力法计算超静定结构的步骤 (1)(1)选取基本结构。选取基本结构。 确定原结构的超静定次数,去掉多余约束代之以相确定原结构的超静定次数,去掉多余约束代之以相应的多余未知力,从而得到基本结构。应的多余未知力,从而得到基本结构。(2)(2)根据变形协调条件根据变形协调条件建立力法方程。建立力法方程。 (3)(3)计算系数和自由项。计算系数和自由项。 首先作基本结构在荷载和各单位未知力分别单独作首先作基本结构在荷载和各单位未知力分别单独作用在基本结构上的弯矩图或写出内力表达式,然后计算用在基本结构
15、上的弯矩图或写出内力表达式,然后计算系数和自由项。系数和自由项。(4)(4)求多余未知力。求多余未知力。将计算的系数和自由项代入力将计算的系数和自由项代入力法方程,求解得各多余未知力。法方程,求解得各多余未知力。(5)(5)绘制内力图。绘制内力图。例例1 1 图示两跨连续梁,作其内力图。图示两跨连续梁,作其内力图。解:解:1.1.选取基本结构,确定基本未知量选取基本结构,确定基本未知量X X1 1: 2.2.建立力法典型方程:建立力法典型方程: 1111= =1111X X1 1+ +1P1P=0=0 3. 3.计算系数和自由项:计算系数和自由项: 4 4、求基本末知量:、求基本末知量: 5
16、5、作内力图、作内力图 M=MM=M1 1X X1 1+M+MP P 例例2 2 作图作图(a)(a)所示超静定刚架的内力图。已知刚架各杆所示超静定刚架的内力图。已知刚架各杆EIEI均为常数。均为常数。解:解:(1)(1) 选取基本结构选取基本结构 此为二次超静定刚架,去掉此为二次超静定刚架,去掉C C支座约束得支座约束得如图如图(b)(b)所所示悬臂刚架作为基本结构。示悬臂刚架作为基本结构。(2)(2) 建立力法方程建立力法方程1111X X1 1+1212X X2 2+1P1P=0=02121X X1 1+2222X X2 2+2P2P=0=0 (3)(3) 计算系数和自由项计算系数和自由
17、项 分别作基本结构的荷载弯矩图分别作基本结构的荷载弯矩图M MP P图和单位弯矩图图和单位弯矩图M M1 1图、图、M M2 2图,如图,如图图(c)(c)、(d)(d)、(e)(e)所示。所示。 由图乘法计算各系数和自由项分别为:由图乘法计算各系数和自由项分别为: 11= 4a11= 4a3 3/3EI/3EI 22=a22=a3 3/3EI/3EI 12=21=a12=21=a3 3/2EI/2EI 1P=-5qa1P=-5qa4 4/8EI/8EI 2P=-qa2P=-qa4 4/4EI/4EI (4) (4)求多余未知力求多余未知力 将以上各系数和自由项代入力法方程得:将以上各系数和自
18、由项代入力法方程得: (5) (5) 作内力图作内力图 根据叠加原理作弯矩图,如图根据叠加原理作弯矩图,如图(f)(f)所示。所示。 根据弯矩图和荷载作剪力图,如图根据弯矩图和荷载作剪力图,如图(g)(g)所示。所示。 根据剪力图和荷载利用结点平衡作轴力图,如根据剪力图和荷载利用结点平衡作轴力图,如图图(h)(h)所示。所示。例例3 3 计算计算图图 (a)(a)所所示铰结排架的内力,并作出弯矩图。示铰结排架的内力,并作出弯矩图。解:解:( (1)1)选取基本结构选取基本结构此排架是一次超静定结构,此排架是一次超静定结构,切断横梁代之以多余未知力切断横梁代之以多余未知力X1X1得得到基本结构如
19、到基本结构如图图(b)(b)所示。所示。(2)(2)建立力法方程建立力法方程11X1+1P=011X1+1P=0(3)(3)计算系数和自由项计算系数和自由项分别作基本结构的荷载弯矩分别作基本结构的荷载弯矩图图M MP P图和单位弯矩图图和单位弯矩图M M1 1图如图如图图 (c)(c)、(d)(d)所示。所示。利用图乘法计算系数和自由利用图乘法计算系数和自由项分别如下:项分别如下: (4)(4)计算多余未知力计算多余未知力 将系数和自由项代入力法方程得:将系数和自由项代入力法方程得: 解得:解得: X1=-5kNX1=-5kN (5)(5) 作弯矩图作弯矩图 M=MM=M1 1X X1 1+M
20、+MP P 作出排架最后弯矩图作出排架最后弯矩图如图如图(e)(e)所示。所示。 8.5 8.5 超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算 计算超静定结构的位移时可以用原超静定结构已经计算超静定结构的位移时可以用原超静定结构已经求出的弯矩图与静定的基本结构的单位荷载弯矩图用图求出的弯矩图与静定的基本结构的单位荷载弯矩图用图乘法求位移。乘法求位移。 具体步骤:具体步骤: (1)(1) 力法解超静定结构,并绘出弯矩图力法解超静定结构,并绘出弯矩图( (即即M MP P图图) ); (2)(2) 选择一个最简单的基本结构作为虚拟状态,并选择一个最简单的基本结构作为虚拟状态,并绘出相应的弯矩图绘出相应
21、的弯矩图( (即即M M图图) );(3)(3) 图乘法求位移。图乘法求位移。例例 试求试求图图(a)(a)所示超静定刚架横梁所示超静定刚架横梁BCBC中点中点D D的竖向位移的竖向位移DVDV。解:解:1 1、力法解超静定刚架,绘出弯矩图如、力法解超静定刚架,绘出弯矩图如图图(b)(b)所示。所示。 2 2、采用悬臂刚架作为基本结构,并绘出单位荷载作、采用悬臂刚架作为基本结构,并绘出单位荷载作用于用于D D点的弯矩图点的弯矩图M M如图如图(d)(d)所示。所示。 3 3、图乘法计算、图乘法计算DVDV 将将M MP P图改成易于图乘的简单的图形组合,图改成易于图乘的简单的图形组合,如图如图(c)(c)所所示。示。再 见