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1、第四节第四节:指数与指数函数一、根式一、根式1根式的概念根式的概念符号表示备注如果xna，那么x叫做a的n次方根n1，且nN*当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个 零的n次方根是零当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为 负数没有偶次方根2.根式的性质负数相反数二、有理数指数幂二、有理数指数幂1幂的有关概念(1)正分数指数幂： (a0，m，nN*，且n1)；(2)负分数指数幂： (a0，m，nN*，且n1)；(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义2有理数指数幂的运算性质 (1)arasars_(a0，r，sQ)；(2)(ar)sars(a0，r，s
2、Q)；(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ) 三、指数函数的图象与性质三、指数函数的图象与性质yaxa10a0时，y1；当x0时，0y0时，0y1；当x1定点(0,1)1( )n与 这两个式子虽然非常接近，但它们的意义不同，注意区别2指数函数f(x)ax(a0且a1)，且有性质：f(xy)f(x)f(y)，f(1)a0，因此满足该性质的函数原型就是指数函数，在解决有关抽象函数问题时，可以借助原型求解3指数函数的图象经过点(0,1)，在此基础上，可以推出与指数函数有关的一些函数所经过的定点，例如函数y3x25所经过的定点为(2,6)4指数函数定义是一个形式定义，如y2ax就不是指数函数5函
3、数y|ax|(a0且a1)实质上和函数yax(a0，且a1)是同一个函数，而函数ya|x|(a0，且a1)则不同于函数yax(a0，且a1)，它是一个偶函数，图象关于y轴对称6口诀“同大异小”可用来比较ax与1的大小1(教材改编题)下列各式正确的是()A301B 3C(3m)29m D(2)1答案：答案：C2化简 (x0，y0，且a1)对于任意的实数x，y都有()Af(xy)f(x)f(y) Bf(xy)f(x)f(y)Cf(xy)f(x)f(y) Df(xy)f(x)f(y)解析：解析：f(xy)axyaxayf(x)f(y)答案：答案：C4已知a30.2，b(0.2)3，c30.2，则a，
4、b，c的大小关系是_解析解析：由函数y3x的单调性知30.230.23，所以bac.答案：答案：bac5函数f(x)ax2 0112 011(a0，且a1)的图象恒过定点_解析：解析：由于yax(a0，且a1)恒过定点(0,1)，令x2 0110，得x2 011，f(2 011)a02 0112 012.故f(x)的图象恒过定点(2 011,2 012)答案：答案：(2 011,2 012)指数幂的求值与化简指数幂的求值与化简【思路点拨思路点拨】指数幂或根式的化简与求值的一般思路：负指数化为正指数；根式化为分数指数幂；小数化为分数，再根据分数指数幂的运算性质运算.【变式探究变式探究】 1.化简
5、下列各式（其中各字母均为正数）：方法技巧：方法技巧：1.若题目中的式子既有根式又有分数指数幂，通常先化为分数指数幂.2.结果要求：（1）若题目以根式形式给出，则结果用根式表示.（2）若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示（3）结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂. 3.注意运算的先后顺序.指数函数的图象与性质指数函数的图象与性质 (1)作出函数的图象；（2）由图象指出其单调区间；（3）由图象指出，当x取什么值时有最值.【思路点拨思路点拨】先化去绝对值符号，将函数写成分段函数的形式，再作图象；也可以作出的图象后平移，得到的图象，进而由图象可得到单调区间与最值
6、.【解解】（1）法一：由函数解析式可得其图象由两部分组成：一部分是将的图象向左平移一个单位长度，得另一部分是由向左平移一个单位长度，得如图：法二法二：由 可知函数是偶函数，其图象关于y轴对称.故先作保留x0的部分，当x1时，2a2,易知此时，y=2a与的图象只有一个公共点，不合题意.当0a1时，如图，先作出的图象，将的图象向下平移一个单位长度，得的图象，再利用绝对值变换，得的图象，如图.从而当02a1,直线y=2a与函数y=的图象有两个公共点方法技巧：方法技巧：抓住指数函数的图象，不仅可以直观准确把握指数函数的性质，而且利用图象的形象直观，使有些问题得到简捷的解法.综合应用综合应用 (1)判断
7、f(x)的奇偶性；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当x-1,1时，f(x)b恒成立，求b的取值范围.【思路点拨思路点拨】1）用奇偶性定义判断；（2）利用单调性定义，或利用导数解决；（3）恒成立问题可转化为探求f(x)的最小值.【解解】（1）函数的定义域为R【例例3】（理）已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且x(0,1)时 (1)求f(x)在-1，1上的解析式；（2）判断f(x)在（0，1）上的单调性，并给予证明.【思路点拨思路点拨】第（1）问，只需求出f(x)在x(-1,0)和x=0,x=1处的解析式即可，结合奇偶性的周期性可完成；第（2）问，令t=2x(1t0，故函数值域为(0
8、， (2)函数tx26x17在3，)上是增函数，即当3x1x2时，t1( )t2，即y1y2，所以函数y( )x26x17在3，)上是减函数同理可知，y( )x26x17在(，3上是增函数方法技巧：方法技巧：对于形如(a0,且a1)的函数，有如下结论：（1）函数 的定义域与t=f(x)的定义域相同；（2）求y=af(x)的最值（或值域），先确定t=f(x)的最值（或值域），再根据指数函数的单调性可确定y=a f(x)的最值；（3）当a1时，函数y=a f(x)与y=f(x)的单调性相同；当0a0,且a1)是奇函数.【例1】(2009年山东卷)函数y 的图象大致为()【答案】A【例2】设f(x)
9、|2x1|，cba，且f(c)f(a)f(b)，则下列关系中一定成立的是()A2c2bB2c2aC2c2a2 D2c2a2【解析解析】数形结合，先作出f(x)|2x1|的图象，如图知f(x)在(，0)上是减函数，在0，)上是增函数cbf(a)f(b)，c0,02c1.由f(c)f(a)，即|2c1|2a1|，12c2a1，2c2a0，且a1)在区间1,2上的最大值与最小值的差为，则a_.【正解正解】当0a1时，函数f(x)ax在1,2上为增函数，最小值为f(1)a，最大值为f(2)a2，从而a2a ，解得 a ，或a0(舍去)综上，a ，或a .【分析分析】本题在求解过程中极易忽视对底数a的讨
10、论，认为f(x)minf(1)，f(x)maxf(2)由a2a ，求得a ，或a0(舍)，认为a1.因此，当指数函数(或对数函数)的底数含有参数时，一定要先对参数进行讨论，再确定单调性，进而解决有关问题一、选择题一、选择题1函数f(x) 的定义域是() A(，0 B0，) C(，0) D(，)解析：解析：因12x0，即2x1，x0.答案：答案：A2设函数f(x) 若f(x)1，则x的取值范围是()A(，1) B(2，)C(1,2) D(，1)(2，)解析：解析：当x0时，f(x)1，即2x11,2x2，故x1，也即x0时，f(x)1，即 x1, 所以x2.综上所述x的取值范围(，1)(2，)答
11、案：答案：D3函数y (0a0，且a1)，f(2)4，则() Af(2)f(1) Bf(1)f(2) Cf(1)f(2) Df(2)f(2)解析：解析：f(2)4，a24，a12，a ，f(x)( )|x|2|x|，f(2)224，f(1)21.答案：答案：A5(2010年安徽省巢湖市模拟)定义运算ab则函数f(x)12x的图象是()解析：解析：f(x)12xA项合题意答案：答案：A二、填空题二、填空题6下列各等式中，正确的有_(写出正确答案的序号)解析：解析：明显错误；中，n是偶数时，正数的n次方根有两个，故也不正确答案：答案：7(文)函数y( )1x的值域是_解析解析：因1xR，所以( )
12、1x0，即函数值域为(0，)答案：答案：(0，)(理)若函数f(x)axxa(a0且a1)有两个零点，则实数a的 取值范围是_解析：解析：设函数yax(a0且a1)与函数yxa，则函数yaxxa(a0且a1)有两个零点，就是函数yax(a0且a1)与yxa有两个交点，由图象知当0a1时，因yax(a1)图象过(0,1)点，而yxa所过的点一定在(0,1)上方所以两图象一定有两个交点，即a1. 答案：答案：(1，)8设yf(x)是定义在实数集R上的函数，满足条件yf(x1)为偶函数，且当x1时，f(x)2x1，则f( )，f( )，f( )的大小关系为_解析：解析：由yf(x1)是偶函数，得f(
13、1x)f(1x)，f(x)f(2x)，f(x)的图象关于直线x1对称，f( )f(2 )f( )又x1时，f(x)2x1是增函数，0x1时，f(x)是减函数，又 f( )f( )，即f( )f( )f( )答案：答案：f( )f( )f( )9定义区间x1，x2(x1x2)的长度为x2x1.已知函数y2|x|的定义域为a，b，值域为1,2，则区间a，b的长度的最大值与最小值的差为_解析：解析：因y2|x|是偶函数，当a，b在函数的单调增区间0,1或减函数1,0上时，值域为1,2，这时区间长度最短，当a，b在函数关于原点对称的区间1,1时，值域为1,2，这时区间长度最长，故长度的最大值与最小值的
14、差为1.答案：答案：1三、解答题三、解答题10设f(x)axb同时满足条件f(0)2和对任意xR都有f(x1)2f(x)1成立(1)求f(x)的解析式；(2)设函数g(x)的定义域为2,2，且在定义域内g(x)f(x)，且函数h(x)的图象与g(x)的图象关于直线yx对称，求h(x)；(3)求函数yg(x)h(x)的值域 解：解：(1)由f(0)2，得b1，由f(x1)2f(x)1，得ax(a2)0，由ax0得a2，所以f(x)2x1.(2)由题意知，当x2,2时，g(x)f(x)2x1.设点P(x，y)是函数h(x)的图象上任意一点，它关于直线yx对称的点为P(y，x)，依题意点P(y，x)
15、在函数g(x)的图象上，即x2y1，所以ylog2(x1)，即h(x)log2(x1)(x ，5)(3)由已知得，ylog2(x1)2x1，且两个函数的公共定义域是 ，2，所以函数yg(x)h(x)log2(x1)2x1(x ，2)由于函数g(x)2x1与h(x)log2(x1)在区间 ，2上均为增函数，当x 时，y2 1，当x2时，y5，所以函数yg(x)h(x)(x ，2)的值域为2 1,511(2010年南京模拟)已知函数f(x)2x，g(x) 2.(1)求函数g(x)的值域；(2)求满足方程f(x)g(x)0的x的值解：解：(1)g(x) 2( )|x|2，|x|0，0( )|x|1，即2g(x)3，故g(x)的值域是(2,3(2)由f(x)g(x)0得2x 20.当x0时，2x1， 0，x0，显然不满足方程当x0时，方程为2x 20，(2x)222x10，(2x1)22，故2x1 2x1，2x1 ，xlog2( 1)
