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1、2.22.2等差数列等差数列( (优秀课件优秀课件) )一、数列的定义，通项公式一、数列的定义，通项公式:按一定次序排成的一列数叫做数列。一般写成按一定次序排成的一列数叫做数列。一般写成a1,a2，a3 , an, 如果数列如果数列an的第的第n项项an与与n的关系可以用一的关系可以用一个公式来表示，那么个公式来表示，那么这这个公式就叫做个公式就叫做这这个数列个数列的通的通项项公式。公式。二、数列的简单表示二、数列的简单表示:三、给出数列的方法三、给出数列的方法: 复习复习某此系统抽样所抽取的样本号分别是某此系统抽样所抽取的样本号分别是: 7，19，31，43，55，67，79，91，103，
2、115.某长跑运动员某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：天里每天的训练量（单位：m）是：）是： 7500，8000，8500，9000，10000，10500.（观察以下数列）（观察以下数列） 引入引入这三个数列有何共同特征这三个数列有何共同特征从第从第2项起，每一项与其前一项之差等项起，每一项与其前一项之差等于同一个常数。于同一个常数。请尝试着给具有上述特征的特殊数列请尝试着给具有上述特征的特殊数列用数学的语言下定义用数学的语言下定义 交流交流1、等差数列的定义、等差数列的定义 如果一个数列如果一个数列从第从第2项起项起，每一项与其前一项的差每一项与其前一项的差等等于于同一个常数同一个常数
3、，那么这个数列就叫做等差数列，这个常，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的数叫做等差数列的公差公差，公差通常用字母，公差通常用字母d表示。表示。（1）指出定义中的关键词：）指出定义中的关键词：从第从第2项起项起等于同一个常数等于同一个常数由定义得等差数列的递推公式：由定义得等差数列的递推公式： 说明：此公式是判断、证明一个数列是否为等差说明：此公式是判断、证明一个数列是否为等差数列的主要依据数列的主要依据.每一项与其前一项的差每一项与其前一项的差 探究探究 练习练习：判断下列数列中哪些是等差数列，：判断下列数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首哪些不是？如果是，写出首项项
4、a1和公差和公差d, 如如果不是，果不是，说说明理由。明理由。2、等差数列的通项公式、等差数列的通项公式根据等差数列的定义得到根据等差数列的定义得到方法一：不方法一：不完全归纳法完全归纳法2、等差数列的通项公式、等差数列的通项公式将所有等式相加得将所有等式相加得方法二方法二累加法累加法例例1 求等差数列求等差数列8，5，2，的第的第20项项. - 401是不是等差数列是不是等差数列-5，-9，-13，的项？如果是，的项？如果是，是第几项？是第几项？解：解：由由a1=8，d=5-8=-3，n=20，得，得 a20=8+(20-1) (-3)=-49.由由a1=-5，d =-9-(-5)=-4,得
5、到这个数列的通项公式得到这个数列的通项公式为为an=-5-4(n-1).由题意得由题意得-401=-5-4(n-1),解这个关于解这个关于n的方程，得的方程，得n=100，即，即-401是这个数列的第是这个数列的第100项项.例例2 2 在等差数列在等差数列an中，已知中，已知 a5=10,a12=31, ,求首项求首项a1与公差与公差d . .这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组，解之得：解：由题意得： a1+ 4d = 10 a1+11d=31 a1= - 2 d=3 这个数列的首项a1是-2，公差d =3.小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立小结：已知数列中任意
6、两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。这种题型有简便方法吗？二元一次方程组。这种题型有简便方法吗？1、已知等差数列的首项与公差，可求得其任何一项；2、在等差数列的通项公式中，a1，d，n，an四个量中知三求一.结论结论3等差中项等差中项 如果如果 a, A, b 成等差数列，那么成等差数列，那么 A 叫做叫做 a 与与 b 的的等等差中项差中项 .由等差中项的定义可知，由等差中项的定义可知， a, A, b 满足关系：满足关系：意义：意义： 任意两个数都有等差中项，并且这个等差中项任意两个数都有等差中项，并且这个等差中项是唯一的是唯一的.当当 a=b 时，时，A = a = b .
7、4、等差数列通项公式的推广、等差数列通项公式的推广解析：解析：由等差数列的通项公式得由等差数列的通项公式得思考：已知等差数列思考：已知等差数列an中，中，a3=9,a9=3,求求a12,a3n. .解法一解法一: : 依题意得：依题意得： a1+2d=9 a1+8d=3解之得解之得 a1 =11 d =-1 这个数列的通项公式是：这个数列的通项公式是：an=11- (n-1)=12-n 故故 a12= 0, a 3n = 12 3 n.解法二：1.等差数列an中，a1a510，a47，求数列an的公差2. 在数列在数列an中中a1=1，an= an+1+4，则，则a10= .3.3.等差数列等
8、差数列 an 的前三项依次为的前三项依次为 a-6-6，-3-3a-5-5，-10-10a-1-1， 则则 a 等于（等于（ ) ) A. 1 . 1 B. -1 . -1 C.- .- D.课本课本P40(A) 1、3、 (B) 2 作业作业2.2 2.2 等差数列等差数列第二章第二章 数列数列 第二课时第二课时 2、等差数列的通项公式、等差数列的通项公式1、等差数列的定义、等差数列的定义3、等差数列的中项、等差数列的中项 复习复习通项公式的证明及推广通项公式的证明及推广100与180用一下用一下例例2.某出租某出租车车的的计计价价标标准准为为1.2元元/km,起步价起步价为为10元，即最初
9、的元，即最初的4km(不含不含4千米千米)计费计费10元。如果某元。如果某人乘坐人乘坐该该市的出租市的出租车车去往去往14km处处的目的地，且的目的地，且一路一路畅畅通，等候通，等候时间为时间为0，需要支付多少，需要支付多少车费车费？5、等差数列的通项及图象特征、等差数列的通项及图象特征解析解析: 思考思考结论结论:首项是首项是1，公差是，公差是2的无穷等的无穷等差数列的通项公式为差数列的通项公式为an 2n-1相应的图象是直线y=2x-1上均匀排开的无穷多个孤立的点，如右图例如：性质性质 ：设：设 若若 则则等差数列的性质等差数列的性质数列数列an是等差数列，是等差数列，m、n、p、q N+
10、，且且m+n=p+q，则，则am+an=ap+aq。判断：判断：可推广到三项，可推广到三项，四项等四项等注意：等式两注意：等式两边作和的项数边作和的项数必须一样多必须一样多（2）已知等差数列an中， a3 和a15是方程x26x1=0的两个根，则a7 a8 a9a10a11= （3）已知等差数列an中， a3 a5= 14, 2a2a6 = 15，则a8= 跟踪训练跟踪训练（1）已知等差数列an中， 3.更一般的情形，更一般的情形，an= ，d= 小结：小结：1. an为等差数列为等差数列 2. a、b、c成等差数列成等差数列 an+1- an=dan+1=an+dan= a1+(n-1) d
11、an= kn + b（k、b为常数）为常数）am+(n - m) db为为a、c 的等差中项的等差中项AA2b= a+c4.在等差数列在等差数列an中，由中，由 m+n=p+q am+an=ap+aq注意：上面的命题的逆命题注意：上面的命题的逆命题 是不一定成立是不一定成立 的；的； 5. 在等差数列在等差数列an中中a1+an a2+ an-1 a3+ an-2 =300 83+5（n-1）500巩固练习巩固练习1.1.等差数列等差数列 an 的前三项依次为的前三项依次为 a-6-6，-3-3a-5-5，-10-10a-1-1， 则则 a 等于（等于（ ) ) A. 1 . 1 B. -1
12、. -1 C.- .- D.2. 在数列在数列an中中a1=1，an= an+1+4，则，则a10= .(-3a-5 )-(a-6-6)=(-10a-1) -(-3a-5 )提示：提示：提示：提示：d=an+1- an=-43. 在等差数列在等差数列an中中a1=83，a4=98，则这个数列有，则这个数列有 多少项在多少项在300到到500之间？之间？ -35提示：提示：n=45，46，8440例例4例例5 已知三个数成等差数列，它们的和是已知三个数成等差数列，它们的和是12，积，积是是48，求这三个数，求这三个数. 解：解：设三个数为设三个数为a-d，a，a+d，则，则解之得解之得故所求三数
13、依次为故所求三数依次为2，4，6或或6，4，2例例6 如图，三个正方形的边如图，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等的长组成等差数列，且差数列，且AD21cm，这三个正方形的面积之和是，这三个正方形的面积之和是179cm2.（1）求）求AB，BC，CD的长；的长；（2）以）以 AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第的长为等差数列的前三项，以第9项为边长的正方形的面积是多少？项为边长的正方形的面积是多少？3，7，11a9=35S9=12255、等差数列的性质、等差数列的性质已知数列已知数列 为等差数列，那么有为等差数列，那么有性质性质1：若：若 成等差数列，则成等差数列，则 成等差数列
14、成等差数列.证明：根据等差数列的定义，证明：根据等差数列的定义，即即 成等差数列成等差数列.如如 成等差数列，成等差数列， 成等差数列成等差数列.推广：推广：在等差数列在等差数列有规律有规律地取出若干项，所得新数列仍地取出若干项，所得新数列仍然为等差数列。（如奇数项，项数是然为等差数列。（如奇数项，项数是7的倍数的项）的倍数的项）性质性质2：设：设 若若 则则性质性质3：设：设 c, b 为常数，若数列为常数，若数列 为等差数列，则数为等差数列，则数 列列 及及 为等差数列为等差数列.性质性质4：设：设 p, q 为常数，若数列为常数，若数列 、 均为等差数列，均为等差数列， 则数列则数列 为
15、等差数列为等差数列.例8（1）已知等差数列an中， a3 a15=30,求a9， a7a11解：（1）a9是a3和a15的等差中项（2）已知等差数列an中， a3 a4a5 a6 a7=150，求a2a8的值7+11=3+15（2）3+7=4+6=5+5 a3 a4a5 a6 a7=5 a5=150即a5=30故a2a8 =2 a5=60 a7a11 =a3 a15=30 a3a7 =a4 a6=2 a5（1）等差数列an中，a3 a9a15a21=8，则a12 = （2）已知等差数列an中， a3 和a15是方程x26x1=0的两个根，则a7 a8 a9a10a11= 2 （3）已知等差数列an中， a3 a5= 14, 2a2a6 = 15，则a8=19 跟踪训练跟踪训练例8解：（1）a9是a3和a15的等差中项（2）已知等差数列an中， a3 a4a5 a6 a7=150，求a2a8的值7+11=3+15（2）3+7=4+6=5+5 a3 a4a5 a6 a7=5 a5=150即a5=30故a2a8 =2 a5=60 a7a11 =a3 a15=30 a3a7 =a4 a6=2 a5
