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1、3.3.随机过程的线性变换随机过程的线性变换3.1 线性系统的基本理论线性系统的基本理论3.2 随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析3.3 随机序列通过离散线性系统分析随机序列通过离散线性系统分析3.5 最佳线性滤波器最佳线性滤波器3.6 线性系统输出端随机过程的概率分布线性系统输出端随机过程的概率分布3.4 白噪声通过线性系统与等效噪声带宽白噪声通过线性系统与等效噪声带宽1. 线性系统线性系统3.13.1线性系统的基本理论线性系统的基本理论时不变性：时不变性：L.分类：分类：连续时间系统、离散时间系统连续时间系统、离散时间系统 因果系统、非因果系统因果系统、非因果系统 线性系统、
2、非线性系统线性系统、非线性系统叠加性、齐次性叠加性、齐次性线性：线性：T线性放大器线性放大器线性滤波器线性滤波器线性系统平方律检波平方律检波全波线性检波全波线性检波非线性系统1. 线性系统线性系统3.13.1线性系统的基本理论线性系统的基本理论3.13.1变换的基本概念和基本定理变换的基本概念和基本定理2. 连续时不变线性系统连续时不变线性系统L.3.13.1变换的基本概念和基本定理变换的基本概念和基本定理3. 离散时不变线性系统离散时不变线性系统L.LX(t)Y(t)3.23.2随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析问题：问题：给定输入和线性系统的特性，求输出。给定输入和线性系统的
3、特性，求输出。求解：求解：输出的统计特征。输出的统计特征。线性系统的描述方法：线性系统的描述方法：微分方程微分方程冲击响应冲击响应系统传递函数系统传递函数微分方程法微分方程法冲击响应法冲击响应法频谱法频谱法h(t)X(t)Y(t)系统的输出：系统的输出： 1. 冲击响应法冲击响应法3.23.2随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析h(t)X(t)Y(t)均值均值1. 冲击响应法冲击响应法3.23.2随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析h(t)X(t)Y(t)1. 冲击响应法冲击响应法3.23.2随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析互相关函数互相关函数h(t)X
4、(t)Y(t)1. 冲击响应法冲击响应法3.23.2随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析自相关函数自相关函数h(t)X(t)Y(t)1. 冲击响应法冲击响应法3.23.2随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析)(tmX)(tmY)(th对于物理可实现系统，假定输入对于物理可实现系统，假定输入X(t)X(t)平稳平稳, ,若输入从若输入从- - 加加入入( (双侧随机信号双侧随机信号) )3.23.2随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析 平稳性讨论平稳性讨论则输出则输出Y(t)Y(t)平稳，且与平稳，且与X(t)X(t)联合平稳；联合平稳；对于物理可实现系统，假
5、定输入对于物理可实现系统，假定输入X(t)X(t)平稳平稳, ,若输入从若输入从- - 加加入入( (双侧随机信号双侧随机信号) )3.23.2随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析 平稳性讨论平稳性讨论则输出则输出Y(t)Y(t)平稳，且与平稳，且与X(t)X(t)联合平稳；联合平稳；3.23.2随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析 平稳性讨论平稳性讨论对于物理可实现系统，假定输入对于物理可实现系统，假定输入X(t)X(t)平稳平稳, ,若输入从若输入从0 0时时刻刻加入加入( (单侧随机信号单侧随机信号) ) 则输出则输出Y(t)Y(t)非平稳。非平稳。3.23.2随
6、机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析2. 频谱法频谱法只适用于平稳随机过程的分析只适用于平稳随机过程的分析输入输出相关函数关系图3.23.2随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析例例1 如如图所示的所示的RC电路，路，输入为双侧平稳随机过程输入为双侧平稳随机过程, 均值为均值为mx,求输出求输出Y(t)的均值。的均值。 3.23.2随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析例例1 如如图所示的所示的RC电路，路，输入为白噪声信号输入为白噪声信号,求输出求输出Y(t)的自相的自相关函数，输出的平均功率和输入输出的自相关函数。关函数，输出的平均功率和输入输出的自相关函数。
7、 3.23.2随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析3.23.2随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析时域法时域法变换域方法变换域方法微分方程法微分方程法冲击响应法冲击响应法频谱法频谱法系统特系统特性描述性描述微分方程和初始值h(t)H( )适用适用范围范围平稳和非平稳平稳和非平稳平稳特点特点运算繁琐h(t)较简单时，较方便方法简单3.23.2随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析时域（冲击响应法）时域（冲击响应法）频域（频谱法）频域（频谱法）1. 白噪声通过线性系统白噪声通过线性系统平稳随机信号的产生平稳随机信号的产生白噪声通过线性系统白噪声通过线性系统3. 限
8、带白噪声限带白噪声低通型限带白噪声低通型限带白噪声|H()|1-cc 输出功率谱：输出功率谱：输出功率：输出功率：低通型限带低通型限带白噪声白噪声低通型限带白噪声的相关函数低通型限带白噪声的相关函数 pwc-0pwct)(tYR随机过程的采样定理：随机过程的采样定理：当采样频率等于或大于当采样频率等于或大于2 2倍带宽时，一个倍带宽时，一个限带平稳随机过程可以用它的一组样本值唯一的表示。限带平稳随机过程可以用它的一组样本值唯一的表示。03. 限带白噪声限带白噪声带通型限带带通型限带白噪声白噪声输出功率谱输出功率谱：相关函数：相关函数：输出功率：输出功率：3. 限带白噪声限带白噪声带通型限带白噪
9、声带通型限带白噪声带通型限带白噪声带通型限带白噪声白噪声过线性系统和噪声等效带宽白噪声过线性系统和噪声等效带宽 白噪声过线性系统白噪声过线性系统 平稳随机信号的产生平稳随机信号的产生白噪声通过线性系统白噪声通过线性系统在一般线性系统中，通常都是以半功率点的通频带（即在一般线性系统中，通常都是以半功率点的通频带（即3dB3dB带宽）带宽）来表示该系统对确定信号频谱的选择性，而这里则以等效噪声带来表示该系统对确定信号频谱的选择性，而这里则以等效噪声带宽来表示该系统对输入白噪声功率谱的选择性，它们都是由系统宽来表示该系统对输入白噪声功率谱的选择性，它们都是由系统本身参数决定的。实际上，当线性系统的形
10、式和级数确定之后，本身参数决定的。实际上，当线性系统的形式和级数确定之后，两者也被确定，有着确定的关系。级数越高，两者越接近。两者也被确定，有着确定的关系。级数越高，两者越接近。2. 等效噪声带宽等效噪声带宽0用一个幅频响应为矩形的理想系统等效代替实际系统。用一个幅频响应为矩形的理想系统等效代替实际系统。2. 等效噪声带宽等效噪声带宽等效噪声带宽：等效噪声带宽：理想系统的带宽，用理想系统的带宽，用 来表示。来表示。等效原则：理想系统等效原则：理想系统与实际系统在同一白与实际系统在同一白噪声激励下的输出噪声激励下的输出平平均功率均功率相等，且理想相等，且理想系统的增益为实际系系统的增益为实际系统
11、的统的最大增益。最大增益。2. 等效噪声带宽等效噪声带宽0等效原则：理想系统等效原则：理想系统与实际系统在同一白与实际系统在同一白噪声激励下的输出噪声激励下的输出平平均功率均功率相等，且理想相等，且理想系统的增益为实际系系统的增益为实际系统的统的最大增益。最大增益。性质：性质： 噪声等效通带只噪声等效通带只能能由线性系统特性确定；由线性系统特性确定； 对于对于带通系统带通系统，输出平均功率，输出平均功率对于对于低通系统低通系统，输出平均功率，输出平均功率CX(t)Y(t)R例例3.7 白噪声通过如图白噪声通过如图RC电路，求系统的噪声等效带宽。电路，求系统的噪声等效带宽。噪声等效带宽：噪声等效
12、带宽：3.33.3随机序列通过离散线性系统分析随机序列通过离散线性系统分析)(nh)(nh)(nX)(nX)(nY)(nY系统输出系统输出系统描述系统描述均值均值: :3.33.3随机序列通过离散线性系统分析随机序列通过离散线性系统分析)(nh)(nh)(nX)(nX)(nY)(nY相关函数相关函数: :1. 冲击响应法冲击响应法3.33.3随机序列通过离散线性系统分析随机序列通过离散线性系统分析假定输入假定输入X(n)X(n)平稳平稳, ,若输入从若输入从- - 加入加入( (双侧随机信号双侧随机信号) ) 平稳性讨论平稳性讨论则输出则输出Y(n)Y(n)平稳，且与平稳，且与X(n)X(n)
13、联合平稳；联合平稳；功率谱密度：功率谱密度：若用若用z变换表示变换表示3.33.3随机序列通过离散线性系统分析随机序列通过离散线性系统分析2. 频谱法频谱法(平稳随机序列平稳随机序列)例例3：设一个平稳随机序列设一个平稳随机序列X(n)的自相关函数为的自相关函数为 ，线性，线性系统的单位冲激响应是系统的单位冲激响应是求输出求输出Y(n)的自相关函数及功率谱密度。的自相关函数及功率谱密度。 解解例例3：设一个平稳随机序列设一个平稳随机序列X(n)的自相关函数为的自相关函数为 ，线性，线性系统的单位冲激响应是系统的单位冲激响应是求输出求输出Y(n)的自相关函数及功率谱密度。的自相关函数及功率谱密度
14、。 解解随机信号过线性系统分析随机信号过线性系统分析 冲激响应法冲激响应法 h(t)X(t)Y(t)(tmX)(tmY)(th随机信号过线性系统分析随机信号过线性系统分析 频谱法频谱法 只适用于平稳随机过程的分析只适用于平稳随机过程的分析课后作业：课后作业： 3.103.10，3.183.18例例4 设有如下差分方程描述的离散线性系统，设有如下差分方程描述的离散线性系统， X(n)=aX(n-1)+W(n) 系统如图所示，其中系统如图所示，其中W(n)为平稳白噪声，方差为为平稳白噪声，方差为 2，模，模型所产生的随机过程称为型所产生的随机过程称为AR过程，求一阶过程，求一阶AR过程的自过程的自
15、相关函数和功率谱。相关函数和功率谱。单位延迟X(n)W(n)aX(n-1)单位延迟X(n)W(n)aX(n-1)3.33.3随机序列通过离散线性系统分析随机序列通过离散线性系统分析自回归模型（自回归模型（Autoregressive）常用时间序列模型常用时间序列模型式中式中X(n)X(n)为零均值、方差为为零均值、方差为 2 2的平稳白噪声，模型的平稳白噪声，模型称为称为自回归滑动平均模型自回归滑动平均模型，用，用ARMA(N,r)ARMA(N,r)表示。表示。许多随机序列可以看成是典型的白噪声序列激励一个线性许多随机序列可以看成是典型的白噪声序列激励一个线性系统所产生的，一般表示式为：系统所
16、产生的，一般表示式为：3.33.3随机序列通过离散线性系统分析随机序列通过离散线性系统分析当系数当系数 均为零时，均为零时，模型称为模型称为自回归模型（自回归模型（AutoregressiveAutoregressive），用，用AR(N)AR(N)表示。表示。3.33.3随机序列通过离散线性系统分析随机序列通过离散线性系统分析当系数当系数 均为零时，均为零时，模型称为模型称为滑动平均模型滑动平均模型(Moving Average)，用，用MA(r)表示。表示。例例5:设有如下差分方程描述的离散线性系统，设有如下差分方程描述的离散线性系统， X(n)=b0W(n)+ b1W(n-1)其中其中W
17、(n)为平稳白噪声，方差为为平稳白噪声，方差为 2，模型所产生的随机过，模型所产生的随机过程称为程称为MA过程，求一阶过程，求一阶MA过程的自相关函数和功率谱。过程的自相关函数和功率谱。 单位延迟X(n)W(n)b1b单位延迟X(n)W(n)b1b0习题： 3.29，3.33（1）3.33.3随机序列通过离散线性系统分析随机序列通过离散线性系统分析滑动平均模型滑动平均模型(Moving Average)一一. 输出信噪比最大的线性滤波器输出信噪比最大的线性滤波器二二. 匹配滤波器匹配滤波器三三. 广义匹配滤波器广义匹配滤波器一一. 输出信噪比最大的线性滤波器输出信噪比最大的线性滤波器A型显示器
18、型显示器)(nh)(th一一. 输出信噪比最大的线性滤波器输出信噪比最大的线性滤波器确知确知信号信号零均值平稳随机过零均值平稳随机过程，功率谱程，功率谱Gn( ). 信噪比最大信噪比最大信噪比：信噪比：输出端信号在输出端信号在t=tt=t0 0时的瞬时功率与噪声的平均功率之比时的瞬时功率与噪声的平均功率之比)(nh)(th输出噪声功率为输出噪声功率为: :最佳滤波器最佳滤波器: :幅频特性为幅频特性为: :相频特性为相频特性为: :滤波器物理意义分析滤波器物理意义分析: :相频特性为相频特性为: :当当:最大输出信噪比为最大输出信噪比为: :输出信号波形为输出信号波形为: :当当t=t0t=t
19、0时时, ,输出信号值最大输出信号值最大, ,是波形是波形s0(t)s0(t)的尖峰的尖峰. .二二. 匹配滤波器及其性质匹配滤波器及其性质)(nh)(th确知信号确知信号白噪声白噪声信噪比最大信噪比最大匹配滤波器匹配滤波器匹配滤波器冲激响应匹配滤波器冲激响应:即匹配滤波器的冲激响应为信号的共轭镜像。即匹配滤波器的冲激响应为信号的共轭镜像。如果如果c=1,h(t)与与s(t)对于对于t0/2点呈偶对称关系点呈偶对称关系.对于实信号对于实信号,有有:tt0/2s(t) h(t)h(t)s(-t)0s(t)实信号及其匹配滤波器的冲激响应实信号及其匹配滤波器的冲激响应匹配滤波器性质匹配滤波器性质:
20、:最大最大 输出信噪比输出信噪比dm与信号与信号s(t)波形无关波形无关;输出最大信噪比只与信号能量有关输出最大信噪比只与信号能量有关,而与信号波形无关。而与信号波形无关。其中其中如果选择输出最大的时刻如果选择输出最大的时刻t0在信号结束之前在信号结束之前,则匹配滤波则匹配滤波器在物理上不可实现器在物理上不可实现即即 t0时刻应当选在信号时刻应当选在信号s(t)结束之后结束之后;物理可实现的滤波器满足物理可实现的滤波器满足:F 匹配滤波器对信号幅度和时延具有适应性；匹配滤波器对信号幅度和时延具有适应性； 匹配滤波器对信号的频移不具有适应性。匹配滤波器对信号的频移不具有适应性。例例1:1: 单个
21、矩形脉冲信号单个矩形脉冲信号求其匹配滤波器的传输函数及输出信号波形求其匹配滤波器的传输函数及输出信号波形. .ta0s(t)例例1:1: 单个矩形脉冲信号单个矩形脉冲信号求其匹配滤波器的传输函数及输出信号波形求其匹配滤波器的传输函数及输出信号波形. . h(t)=cs(t) 匹配滤波器的输出信号匹配滤波器的输出信号矩形脉冲信号匹配滤波器实现框图矩形脉冲信号匹配滤波器实现框图 积分器延迟线s(t)wjcawtje-+-s0(t)积分器延迟线s(t)wjcawtje-+-s0(t)匹配滤波器的实现匹配滤波器的实现思考思考1: 单个矩形中频脉冲信号单个矩形中频脉冲信号其中其中求其匹配滤波器的传输函数
22、及输出信噪比。求其匹配滤波器的传输函数及输出信噪比。思考思考2: 单个线性调频矩形中频脉冲信号单个线性调频矩形中频脉冲信号求其匹配滤波器的传输函数及输出信噪比。求其匹配滤波器的传输函数及输出信噪比。矩形脉冲串信号的匹配滤波器矩形脉冲串信号的匹配滤波器 信号的频谱信号的频谱s(t)s(t)的匹配滤波器的匹配滤波器 取取t0=(M-1)T+ 匹配滤波器可表示为匹配滤波器可表示为 H( )=H1( )H2( ) 子脉冲匹配滤波器子脉冲匹配滤波器相参积累器相参积累器输出的最大信噪比输出的最大信噪比脉冲串信号匹配滤波实现的结构脉冲串信号匹配滤波实现的结构三三. 广义匹配滤波器广义匹配滤波器假定噪声具有有
23、理的功率谱假定噪声具有有理的功率谱 对于物理可实现的系统对于物理可实现的系统噪声通过噪声通过H1( )后变成了白噪声，这是因为后变成了白噪声，这是因为例例2白化滤波器白化滤波器谱分解谱分解信号的拉普拉斯变换信号的拉普拉斯变换 解解取物理可实现部分取物理可实现部分对应的传递函数为对应的传递函数为 s(t)s(t)的广义匹配滤波器为的广义匹配滤波器为 1 1、正态随机信号通过线性系统、正态随机信号通过线性系统正态随机信号通过线性系统输出服从正态分布正态随机信号通过线性系统输出服从正态分布h(t)H( )输出信号分布输出信号分布若若X(t)均值为零：均值为零：2、随机过程正态化、随机过程正态化中心极限定理：中心极限定理： 大量独立同分布的随机变量之和，其分布是趋于正态的。大量独立同分布的随机变量之和，其分布是趋于正态的。 白噪声通过有限带宽线性系统白噪声通过有限带宽线性系统 宽带随机信号通过窄带线性系统宽带随机信号通过窄带线性系统习题：习题： 3.39，3.42
